2024—2025学年上学期武汉初中数学七年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期武汉初中数学七年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 362.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-07 08:37:48 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期武汉初中数学七年级开学模拟试卷2
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）计算5+（﹣3）的结果是（ ）
A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5
2．（2分）某种细菌在培养过程中，平均每半小时分裂繁殖一次（由一个分裂为两个），经过两小时，这种细菌由一个分裂繁殖成（ ）
A．8个 B．16个 C．4个 D．32个
3．（2分）把25克盐放在200克水中制成盐水，那么盐与盐水质量的比是（ ）
A．1：8 B．8：1 C．1：9 D．9：1
4．（2分）一个不透明的袋子里装有3个红球和1个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是白球的概率（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）如图，在2021年4月份日历中按如图所示的方式任意找7个日期“H”，那么这7个数的和可能是（ ）
A．64 B．72 C．98 D．118
6．（2分）一件10元的商品，先提价10%，再降价10%，这件商品（ ）
A．比原来贵 B．价钱不变
C．比原来便宜 D．无法比较
7．（2分）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中实心圆点的个数为（ ）
A．19 B．20 C．22 D．23
8．（2分）已知：如图，某同学将两个大小相等的圆形纸片分别沿半径剪开成四等分和八等分，再拼接成新的图形，关于新拼接的两个图形的周长和面积，下列说法正确的是（ ）
A．周长相等，面积也相等
B．周长不相等，面积相等
C．周长相等，面积不相等
D．周长不相等，面积也不相等
9．（2分）书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元，一律按原价打九折；③一次性购书超过200元，一律按原价打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是（ ）
A．248元 B．296元
C．248元或296元 D．229.4元
10．（2分）按如图所示的操作步骤，若输入的值为﹣4，则输出的值为（ ）
A．﹣100 B．﹣70 C．28 D．90
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）3.45千米＝ 千米 米；
8立方米60立方分米＝ 立方米；
205时＝ 日 时；
7.2升＝ 立方分米＝ 立方厘米．
12．（3分）某校小卖铺一周的盈亏情况如表所示（每天固定成本200元，其中“+”表示盈利，“﹣”表示亏损）
星期 一 二 三 四 五
盈亏 +220 ﹣30 +215 ﹣25 +225
则这个周共盈利 元．
13．（3分）六（1）班52名同学都参加了运动会的比赛，有35人参加了跳高比赛，有28人参加了踢毽子比赛，两种比赛都参加的有 人．
14．（3分）农场收割一块麦地，每小时收割4亩，预计若干小时收割完，当收割了后，改用新式农具收割，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比预计时间提前1小时完成，则这块麦地有 亩．
15．（3分）“冰墩墩”和“雪容融”分别是2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物．一家玩具店购进的“冰墩墩”玩具的数量比“雪容融”玩具的数量多，如果“冰墩墩”玩具有90个，那么“雪容融”玩具有 个；如果“雪容融”玩具有50个，那么“冰墩墩”玩具有 个．
16．（3分）甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米，如果他们同时分别从直路两端出发，他们跑了9分钟相遇 次．
三．解答题（共10小题，满分62分）
17．（6分）解方程：
（1）3x﹣2＝5x﹣6；
（2）1．
18．（9分）计算：
（1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．（6分）根据下列语句列式并计算：
（1）﹣3与0.3的和乘以2的倒数；
（2）45加上15与﹣3的积；
（3）34与6的商减去；
（4）与﹣5的差的平方．
20．（4分）已知每立方厘米铁的质量为7.8g．现有质量为46.8kg的一废铁块，把它熔化后铸成铁锭．已知铁锭的外形为长方体，其长和宽分别为15cm和10cm．它的高为多少厘米？
21．（5分）2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°．
（1）问这片绿地的面积是多少？
（2）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
22．（5分）看图列式并求解．
（1）
（2）
23．（6分）元旦期间，家乐福超市搞促销活动，规定：购物不超过100元不给优惠；购物超过100元但不超过500元的，全部打9折；购物超过500元的，其中500元部分打9折，超过500元部分打8折．
（1）张老师第1次购得商品的总价（标价和）为300元，按活动规定实际付款多少元？
（2）张老师第2次购物，按活动规定实际付款490元，与没有促销相比，第2次购物节约了多少钱？
24．（6分）数轴上点A表示﹣12，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度．动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t＝3秒时，求M、N两点在折线数轴上的和谐距离；
（2）当M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值；
（3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动．是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．
25．（7分）2019年12月14日，中国教育学会第32次学术年会在山东济南召开，某校选派16名教师前往参会，准备用一辆七座汽车（除司机外限载6人，从学校出发），送16位教师去高铁站与机场，其中11位教师准备一起到学校正东方向25千米处的机场，另外5位教师准备一起到学校正东方向15千米处的高铁站，其中去机场的老师中有6人因工作需要需先赶去机场，已知这辆汽车的平均速度为45千米/小时，教师步行的平均速度为5千米/小时．（注：不计教师上、下车时间，教师上车后，中途不下车，汽车到达目的地后立即沿原路返回）
（1）求汽车送第一批教师到达机场所用的时间．
（2）若只有这辆汽车送这16位教师去目的地后返回学校，请设计一种方案使该车所用总时间最短，并求出这个最短时间．
26．（8分）下表是某银行的存款年利率标准．牛奶奶在该银行存了20000元，到期时得到利息820 元，她存的是几年期？
年利率 存期
2.5% 5年
2.45% 3年
2.05% 2年
1.65% 1年
2024—2025学年上学期武汉初中数学七年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）计算5+（﹣3）的结果是（ ）
A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5
【考点】有理数的加法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据有理数的加法法则进行计算即可．
【解答】解：5+（﹣3）
＝5﹣3
＝2，
故选：A．
【点评】本题考查有理数的加法运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（2分）某种细菌在培养过程中，平均每半小时分裂繁殖一次（由一个分裂为两个），经过两小时，这种细菌由一个分裂繁殖成（ ）
A．8个 B．16个 C．4个 D．32个
【考点】有理数的乘方．
【专题】计算题；实数；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】细菌每半小时分裂一次（由一个分裂为两个），经过两小时，进行4次分裂，即24，计算出结果即可．
【解答】解：2×2×2×2＝24＝16（个）．
故选：B．
【点评】本题考查有理数的乘方运算，乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．
3．（2分）把25克盐放在200克水中制成盐水，那么盐与盐水质量的比是（ ）
A．1：8 B．8：1 C．1：9 D．9：1
【考点】比的应用．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】把25克盐放在200克水中，得到225克盐水，求盐与盐水质量的比就是求25与225的比，列式计算即可．
【解答】解：由题意可得，盐与盐水质量的比是25：（25+200）＝25：225＝1：9．
故选：C．
【点评】本题考查了比的应用，求出盐水的质量为225克是解题的关键．
4．（2分）一个不透明的袋子里装有3个红球和1个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是白球的概率（ ）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】从袋中任意摸出一个球共有4种等可能结果，其中是白球的有1种结果，再根据概率公式求解即可得出答案．
【解答】解：从袋中任意摸出一个球共有4种等可能结果，其中是白球的有1种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是白球的概率为，
故选：A．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
5．（2分）如图，在2021年4月份日历中按如图所示的方式任意找7个日期“H”，那么这7个数的和可能是（ ）
A．64 B．72 C．98 D．118
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设7个日期的中间数为x，则另外6个数分别为（x﹣8），（x﹣6），（x﹣1），（x+1），（x+6），（x+8），进而可得出7个数之和为7x，结合四个选项中的数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再结合x为整数即可确定结论．
【解答】解：设7个日期的中间数为x，则另外6个数分别为（x﹣8），（x﹣6），（x﹣1），（x+1），（x+6），（x+8），
∴7个数之和为7x．
当7x＝64时，x，不合题意；
当7x＝72时，x，不合题意；
当7x＝98时，x＝14，符合题意；
当7x＝118时，x，不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．（2分）一件10元的商品，先提价10%，再降价10%，这件商品（ ）
A．比原来贵 B．价钱不变
C．比原来便宜 D．无法比较
【考点】百分数的应用．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】分别把提价与降价后的价格用代数式表示出来，比较降价后价格与10大小即可．
【解答】解：提价10%后价格为：10×（1+10%）＝11（元），
再降价10%后价格为：11×（1﹣10%）＝9.9，
∵9.9＜10，
∴比原价便宜，
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式及数的大小比较，关键在于正确表达提价和降价后的价格．
7．（2分）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中实心圆点的个数为（ ）
A．19 B．20 C．22 D．23
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】压轴题；规律型；猜想归纳；推理能力．
【答案】D
【分析】观察并比较分析图形的相同点与不同点，得出每两个相邻的图形中后一个图形总是在前一个图形的底部增加1个实心圆点，顶部的两侧各增加1个实心圆点，进而归纳任意两相邻的图形中后一个图形实心圆点数比前一个实心圆点数多3个，从而得出图形实心圆点数的一般变化规律．
【解答】解：第①个图形的实心圆点数是y1＝5个．
第②个图形的实心圆点数是y2＝y1+3＝5+3＝8．
第③个图形的实心圆点数是y3＝y2+3＝5+3+3＝5+3×2．
第④个图形的实心圆点数是y4＝y3+3＝5+3+3+3＝5+3×3．
..．
以此类推，第n个图形的实心圆点数是yn＝5+3（n﹣1）个．
∴当n＝7时，第⑦个图形的实心圆点数是y7＝5+3×6＝23个．
故选：D．
【点评】本题主要考查学生观察与比较分析得能力，运用特殊到一般的数学思想可解决此类规律题．
8．（2分）已知：如图，某同学将两个大小相等的圆形纸片分别沿半径剪开成四等分和八等分，再拼接成新的图形，关于新拼接的两个图形的周长和面积，下列说法正确的是（ ）
A．周长相等，面积也相等
B．周长不相等，面积相等
C．周长相等，面积不相等
D．周长不相等，面积也不相等
【考点】圆的周长；圆的面积．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】A
【分析】根据拼接成的两个图形大小来确定面积的变化，根据拼接成的两个图形所有线的长来确定周长的变化．
【解答】解：四等分后拼接成的图形，由4个圆组成，面积为1个圆的面积，它的周长由4个圆的周长和2个半径组成，比原来的圆的周长多2个半径的长度；
八等分后拼接成的图形，由8个圆组成，面积为1个圆的面积，它的周长由8个圆的周长和2个半径组成，比原来的圆的周长多2个半径的长度，
所以，新拼接的两个图形的周长和面积都相等，
故选：A．
【点评】本题考查了圆的周长和面积的变化，关键根据图形的大小和围成图形的线的长度来判断．
9．（2分）书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元，一律按原价打九折；③一次性购书超过200元，一律按原价打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是（ ）
A．248元 B．296元
C．248元或296元 D．229.4元
【考点】一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】设小丽第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元，分五种情况，列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设小丽第一次购书的原价为x元，第二次购书的原价为3x元，
分情况讨论：
①当3x≤100，即x时，
由题意得：x+3x＝229.4，
解得：x＝57.35（不符合题意，舍去）；
②当100＜3x≤200，即x时，
由题意得：x+0.9×3x＝229.4，
解得：x＝62，
∴x+3x＝248；
③当3x＞200且x≤100，即x≤100时，
由题意得：x+0.7×3x＝229.4，
解得：x＝74，
∴x+3x＝296；
④当100＜x≤200时，
由题意得：0.9x+0.7×3x＝229.4，
解得：x≈76.47（不符合题意，舍去）；
⑤当x＞200时，
由题意得：0.7x+0.7×3x＝229.4，
解得：x≈81.93（不符合题意，舍去）．
综上所述，小丽这两次购书原价的总和是248元或296元，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，分五种情况，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．（2分）按如图所示的操作步骤，若输入的值为﹣4，则输出的值为（ ）
A．﹣100 B．﹣70 C．28 D．90
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】C
【分析】把﹣4代入程序中计算即可确定出输出结果．
【解答】解：把﹣4代入程序中得：（﹣4）2＝16＞10，
则有（16﹣9）×4＝7×4＝28．
故选：C．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）3.45千米＝ 3 千米 450 米；
8立方米60立方分米＝ 8.06 立方米；
205时＝ 8 日 13 时；
7.2升＝ 7.2 立方分米＝ 7200 立方厘米．
【考点】数学常识．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】3，450，8.06，8，13，7.2，7200．
【分析】根据1千米＝1000米，1立方米＝1000立方分米，1日＝24时，1升＝1立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，可得．
【解答】解：3.45千米＝3千米450米，
8立方米60立方分米＝8.06立方米，
205时＝8日13时，
7.2升＝7.2立方分米＝7200立方厘米，
故答案为：3，450，8.06，8，13，7.2，7200．
【点评】本题考查了单位换算，掌握单位换算是本题的关键．
12．（3分）某校小卖铺一周的盈亏情况如表所示（每天固定成本200元，其中“+”表示盈利，“﹣”表示亏损）
星期 一 二 三 四 五
盈亏 +220 ﹣30 +215 ﹣25 +225
则这个周共盈利 605 元．
【考点】正数和负数．
【专题】实数；数感．
【答案】605．
【分析】根据有理数的加减计算解答即可．
【解答】解：因为+220﹣30+215﹣25+225＝605（元），
故答案为：605．
【点评】此题考查正数和负数，关键是根据有理数的加减计算解答．
13．（3分）六（1）班52名同学都参加了运动会的比赛，有35人参加了跳高比赛，有28人参加了踢毽子比赛，两种比赛都参加的有 11 人．
【考点】容斥原理．
【专题】实数；应用意识．
【答案】11．
【分析】根据容斥原理公式计算即可．
【解答】解：35+28﹣52
＝63﹣52
＝11（人）
故答案为：11．
【点评】本题主要考查了容斥原理，熟记容斥原理公式是本题解题的关键．
14．（3分）农场收割一块麦地，每小时收割4亩，预计若干小时收割完，当收割了后，改用新式农具收割，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比预计时间提前1小时完成，则这块麦地有 36 亩．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】36．
【分析】设这块麦地有x亩，则预计时间为小时，收割的时间为x÷4，改用新式农具收割的时间为（1）x÷（4×1.5），根据结果比预计时间提前1小时完成列方程求解．
【解答】解：设这块麦地有x亩，根据题意得：
x÷4+（1）x÷（4×1.5）1，
解得：x＝36．
答：这块地麦地有36亩．
故答案为：36．
【点评】此题考查的是一元一次方程的应用，关键是设未知数，表示出预计时间、两次收割时间，确定相等关系列方程求解．
15．（3分）“冰墩墩”和“雪容融”分别是2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物．一家玩具店购进的“冰墩墩”玩具的数量比“雪容融”玩具的数量多，如果“冰墩墩”玩具有90个，那么“雪容融”玩具有 75 个；如果“雪容融”玩具有50个，那么“冰墩墩”玩具有 60 个．
【考点】分数混合运算的应用．
【专题】实数；运算能力．
【答案】75，60．
【分析】根据题意列出式子再进行计算即可．
【解答】解：90÷（1）＝909075（个），
则“雪容融”玩具有75个；
50×（1）＝5060（个），
则冰墩墩”玩具有60个．
故答案为：75，60．
【点评】本题考查分数混合运算的应用，能够根据题意列出式子是解题的关键．
16．（3分）甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米，如果他们同时分别从直路两端出发，他们跑了9分钟相遇 15 次．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】行程问题；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】15．
【分析】首先根据共行路程÷速度和＝相遇时间求出每次相遇的时间周期，由这条直路长度为90米，两人的速度和2+3＝5米/秒，所以两人第一次相遇用时18秒；此后两人每共行两个全程相遇一次，则相遇时间为90×2÷5＝36秒，9分钟＝540秒，540﹣18＝522秒，所以9分钟内两人第一次相遇后，又相遇了522÷36＝14次……18秒，即14次，则一共相遇14+1＝15（次）．
【解答】解：9分钟＝540秒；
两人第一次相遇用时x秒，依题意有：
（2+3）x＝90，
解得x＝18，
第一次相遇后又相遇：
（540﹣18）÷[90×2÷（2+3）]
＝522÷（180÷5）
＝522÷36
＝14（次）…18（秒），
14+1＝15（次）
答：他们跑了9分钟相遇15次．
故答案为：15．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，明确第一次相遇后，以后每共行两个全程就相遇一次是完成本题的关键．
三．解答题（共10小题，满分62分）
17．（6分）解方程：
（1）3x﹣2＝5x﹣6；
（2）1．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝2；（2）x．
【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解（1）移项，得：3x﹣5x＝﹣6+2，
合并同类项，得：﹣2x＝﹣4，
系数化为1，得：x＝2．
（2）去分母，得：（2x﹣5）+3（3x+1）＝6，
去括号，得：2x﹣5+9x+3＝6，
移项，得：2x+9x＝6+5﹣3，
合并同类项，得：11x＝8，
系数化为1，得：x．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
18．（9分）计算：
（1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）；
（2）；
（3）；
（4）．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】（1）﹣19；（2）﹣10；（3）1；（4）．
【分析】（1）将减法统一成加法，然后利用有理数加法运算法则进行计算；
（2）使用乘法分配律进行简便计算；
（3）将除法统一成乘法，然后利用有理数乘法的运算法则进行计算；
（4）先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的，绝对值相当于小括号．
【解答】解：（1）原式＝﹣20+3+5+（﹣7）
＝[（﹣20）+（﹣7）]+（3+5）
＝﹣27+8
＝﹣19；
（2）原式＝﹣363636
＝﹣9+20﹣21
＝﹣10；
（3）原式＝81
＝1；
（4）原式＝﹣4+3﹣241
＝﹣11
．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算）是解题关键．
19．（6分）根据下列语句列式并计算：
（1）﹣3与0.3的和乘以2的倒数；
（2）45加上15与﹣3的积；
（3）34与6的商减去；
（4）与﹣5的差的平方．
【考点】有理数的除法；倒数；有理数的加法；有理数的减法；有理数的乘法．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】（1）﹣1.35；（2）0；（3）6；（4）．
【分析】（1）（2）（3）（4）先根据题意列出算式，再计算算式的结果．
【解答】解：（1）（﹣3+0.3）
＝﹣2.7
＝﹣1.35；
（2）45+15×（﹣3）
＝45﹣45
＝0；
（3）34÷6﹣（）
＝6；
（4）[（﹣5）]2
＝（5）2
＝（）2
．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式，掌握有理数的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
20．（4分）已知每立方厘米铁的质量为7.8g．现有质量为46.8kg的一废铁块，把它熔化后铸成铁锭．已知铁锭的外形为长方体，其长和宽分别为15cm和10cm．它的高为多少厘米？
【考点】认识立体图形．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】40cm．
【分析】先求出体积，再应用长方体体积即可．
【解答】解：46.8×1000÷7.8÷（15×10）＝40（cm）．
答：高为40厘米．
【点评】本题主要考查了长方体体积公式，解题关键是正确应用公式计算．
21．（5分）2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°．
（1）问这片绿地的面积是多少？
（2）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）114m2；
（2）居民从点A到点C将少走6m路程．
【分析】（1）连接AC，由勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理得△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°，然后由三角形面积公式即可得出结论；
（2）求出AB+BC﹣AC的长即可．
【解答】解：（1）如图，连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，
∴AD2+AC2＝DC2，
∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°，
∴S△DACAD AC8×15＝60（m2），S△ACBAB BC9×12＝54（m2），
∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2），
答：这片绿地的面积是114m2；
（2）AB+BC﹣AC＝9+12﹣15＝6（m），
答：居民从点A到点C将少走6m路程．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题的关键．
22．（5分）看图列式并求解．
（1）
（2）
【考点】分数混合运算的应用．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）柚子的质量为150千克；
（2）实际修路比计划修路少修20%．
【分析】（1）根据题意列出算式，进行计算即可解答；
（2）根据题意列出算式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
200×（1﹣25%）
＝200×75%
＝150（千克），
∴柚子的质量为150千克；
（2）（250﹣200）÷250
＝50÷250
＝20%，
∴实际修路比计划修路少修20%．
【点评】本题考查了分数混合运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键．
23．（6分）元旦期间，家乐福超市搞促销活动，规定：购物不超过100元不给优惠；购物超过100元但不超过500元的，全部打9折；购物超过500元的，其中500元部分打9折，超过500元部分打8折．
（1）张老师第1次购得商品的总价（标价和）为300元，按活动规定实际付款多少元？
（2）张老师第2次购物，按活动规定实际付款490元，与没有促销相比，第2次购物节约了多少钱？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）270元；
（2）60元．
【分析】（1）根据题意，可以计算出按活动规定实际付款多少元；
（2）设张老师消费x元，然后根据题意，即可列出相应的方程，从而可以求得张老师的消费情况，然后再减去实际付款，即可得到可节约多少钱．
【解答】（1）解：由题意可得，300×0.9＝270，
答：按活动规定张老师实际付款270元；
（2）解：∵500×0.9＝450且450＜490，
∴张老师消费超过了500元，
设张老师消费x元，然后根据题意，450+（x﹣500）×0.8＝490，
解得x＝550，550﹣490＝60（元），
答：第2次购物节约了60元．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出相应的付款．
24．（6分）数轴上点A表示﹣12，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度．动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t＝3秒时，求M、N两点在折线数轴上的和谐距离；
（2）当M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值；
（3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动．是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．
【考点】一元一次方程的应用；数轴；绝对值；列代数式．
【专题】新定义；动点型；实数；一次方程（组）及应用；符号意识；运算能力；应用意识．
【答案】（1）15；
（2）t或t；
（3）存在，t＝3.6或4.5或11．
【分析】（1）求出M表示的数是﹣3，N表示的数是12，即可得M、N两点在折线数轴上的和谐距离是|﹣3﹣12|＝15；
（2）当M在OB上运动（4≤t≤6）时，M表示的数是6（t﹣4）＝6t﹣24，当N在OB上运动（3≤t≤9）时，N表示的数是12﹣2（t﹣3）＝18﹣2t，即得|（18﹣2t）﹣（6t﹣24）|＝4，从而解得t或t；
（3）当t≤3时，不可能M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等；当3＜t≤4时，12﹣3t＝2（t﹣3），解得t＝3.6，当4＜t≤6时，6（t﹣4）＝2（t﹣3），解得t＝4.5，当6＜t≤9时，不可能M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当9＜t≤10时，M在BC12+4（t﹣9）＝12+3（t﹣6），解得t＝18（舍去），当10＜t≤12时，12+4（t﹣9）＝24﹣3（t﹣10），解得t＝11．
【解答】解：（1）由已知得，t＝3时，M表示的数是﹣12+3×3＝﹣3，N表示的数是24﹣4×3＝12，
∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离是|﹣3﹣12|＝15；
（2）由已知可得t＝4时，M运动到O，当M在OB上运动（4≤t≤6）时，M表示的数是6（t﹣4）＝6t﹣24，
t＝3时，N运动到B，当N在OB上运动（3≤t≤9）时，N表示的数是12﹣2（t﹣3）＝18﹣2t，
当M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，|（18﹣2t）﹣（6t﹣24）|＝4，
∴42﹣8t＝4或42﹣8t＝﹣4，
解得t或t，
经检验，t或t时，M、N均在OB上，
∴t或t时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；
（3）存在，理由如下：
当t≤3时，M在OA上，N在BC上，M、N运动速度不同，不可能M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等；
当3＜t≤4时，M在OA上，N在OB上，由题意得：12﹣3t＝2（t﹣3），解得t＝3.6，
当4＜t≤6时，M在OB上，N在OB上，由题意得：6（t﹣4）＝2（t﹣3），解得t＝4.5，
当6＜t≤9时，M在BC上，N在OB上，不可能M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，
当9＜t≤10时，M在BC上，N在OA上，由题意得：12+4（t﹣9）＝12+3（t﹣6），解得t＝18（舍去），
当10＜t≤12时，M返回在BC上，N在OA上，由题意得：12+4（t﹣9）＝24﹣3（t﹣10），解得t＝11，
t＝12时，N达到A，
综上所述，t＝3.6或4.5或11时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．
【点评】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是分类讨论不同时间段，M、N所表示的数与t的关系，综合性较强．
25．（7分）2019年12月14日，中国教育学会第32次学术年会在山东济南召开，某校选派16名教师前往参会，准备用一辆七座汽车（除司机外限载6人，从学校出发），送16位教师去高铁站与机场，其中11位教师准备一起到学校正东方向25千米处的机场，另外5位教师准备一起到学校正东方向15千米处的高铁站，其中去机场的老师中有6人因工作需要需先赶去机场，已知这辆汽车的平均速度为45千米/小时，教师步行的平均速度为5千米/小时．（注：不计教师上、下车时间，教师上车后，中途不下车，汽车到达目的地后立即沿原路返回）
（1）求汽车送第一批教师到达机场所用的时间．
（2）若只有这辆汽车送这16位教师去目的地后返回学校，请设计一种方案使该车所用总时间最短，并求出这个最短时间．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设汽车送走第一批教师到达机场所用时间为t小时，根据题意列出方程即可求出答案．
（2）方案如下①司机从学校出发沿正东方向先送6位教师去飞机场后，立即原路返回，遇上同时从酒店出发沿正东方向步行的另外10教师；②司机从这10位教师中接走剩下要去机场的5位教师去飞机场后，立即原路返回，遇上继续沿正东方向步行去高铁站的5位教师；③司机接走最后去高铁站的5位教师去高铁站后，立即原路返回学校．
【解答】解：（1）设汽车送走第一批教师到达机场所用时间为t小时，
则t＝25÷45小时
答：汽车送第一批教师到达机场所用的时间为小时．
（2）方案如下：
①司机从学校出发沿正东方向先送6位教师去飞机场后，立即原路返回，遇上同时从酒店出发沿正东方向步行的另外10教师，
设所用时间为t1小时，
则5t1+45t1＝25×2，
解得t1＝1（小时）
②司机从这10位教师中接走剩要去机场的5位教师去飞机场后，立即原路返回，遇上继续沿正东方向步行去高铁站的5位教师，
设所用时间为t2小时，
则5t2+45t2＝20×2，
解得t2（小时）；
③司机接走最后去高铁站的5位教师去高铁站后，立即原路返回学校．
设所用时间为t3小时，
则45t3＝15×2﹣9，
解得t3（小时）
所以司机送这16位教师去目的地后返回学校所用总时间的最短时间为1小时
【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于中等题型．
26．（8分）下表是某银行的存款年利率标准．牛奶奶在该银行存了20000元，到期时得到利息820 元，她存的是几年期？
年利率 存期
2.5% 5年
2.45% 3年
2.05% 2年
1.65% 1年
【考点】百分数的应用．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】2年期．
【分析】利息＝本金×利率×存期，由此即可解决问题．
【解答】解：如果存期是1年，年利率＝820÷20000÷1＝4.10%，
如果存期是2年，年利率＝820÷20000÷2＝2.05%，
如果存期是3年，年利率＝820÷20000÷3≈1.37%，
如果存期是5年，年利率＝820÷20000÷5＝0.82%，
答：由表格中年利率知牛奶奶存的是2年期．
【点评】本题考查百分数的应用，关键是掌握利息的计算公式．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
4．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a 1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
5．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
6．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
7．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
8．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
9．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
10．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
11．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
12．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
13．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
14．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
15．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
16．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
17．认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
（3）重点和难点突破：
结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
18．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
19．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
20．容斥原理
容斥原理．
两个集合的容斥关系公式：AUB＝|AUB|＝|A|+|B|﹣|A|∩|B|（∩：重合的部分）
三个集合的容斥关系公式：|AUBUC|＝|A|+|B|+|C|﹣|A∩B|﹣|B∩C|﹣|C∩A|+|A∩B∩C|．
21．分数混合运算的应用
分数的混合运算的应用包括两个部分的内容，第一是对整个应用题目信息的提取和分析得出计算的方法和分析的结果，其次是在计算的过程当中需要如何进行简便快速的运算，那么也是大家需要掌握的第二个重点问题．
22．比的应用
1、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或者几个数量是多少？2、比的第二种应用：已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？3、比的第三种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或者几个数量是多少？
23．百分数的应用
超市卖货中的打折（折扣）问题，如一件上衣400元，现八折（80%）出售．成数问题，如这次小麦收成是上次的二成（20%）．事物配制问题：如水占8伤，药占水的20%等．
24．圆的周长
圆周长是指绕圆一周的长度．圆周长就是：C＝πd或C＝2πr者（其中d是圆的直径，r是圆的半径）．
25．圆的面积
圆面积是指圆形所占的平面空间大小，常用S表示．圆是一种规则的平面几何图形，其计算方法有很多种，比较常见的是开普勒的求解方法，卡瓦利里的求解方法等．圆的面积就是：圆的半径（r）的平方乘以π．
2024—2025学年上学期武汉初中数学七年级开学模拟试卷2
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）计算5+（﹣3）的结果是（ ）
A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5
2．（2分）某种细菌在培养过程中，平均每半小时分裂繁殖一次（由一个分裂为两个），经过两小时，这种细菌由一个分裂繁殖成（ ）
A．8个 B．16个 C．4个 D．32个
3．（2分）把25克盐放在200克水中制成盐水，那么盐与盐水质量的比是（ ）
A．1：8 B．8：1 C．1：9 D．9：1
4．（2分）一个不透明的袋子里装有3个红球和1个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是白球的概率（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）如图，在2021年4月份日历中按如图所示的方式任意找7个日期“H”，那么这7个数的和可能是（ ）
A．64 B．72 C．98 D．118
6．（2分）一件10元的商品，先提价10%，再降价10%，这件商品（ ）
A．比原来贵 B．价钱不变
C．比原来便宜 D．无法比较
7．（2分）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中实心圆点的个数为（ ）
A．19 B．20 C．22 D．23
8．（2分）已知：如图，某同学将两个大小相等的圆形纸片分别沿半径剪开成四等分和八等分，再拼接成新的图形，关于新拼接的两个图形的周长和面积，下列说法正确的是（ ）
A．周长相等，面积也相等
B．周长不相等，面积相等
C．周长相等，面积不相等
D．周长不相等，面积也不相等
9．（2分）书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元，一律按原价打九折；③一次性购书超过200元，一律按原价打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是（ ）
A．248元 B．296元
C．248元或296元 D．229.4元
10．（2分）按如图所示的操作步骤，若输入的值为﹣4，则输出的值为（ ）
A．﹣100 B．﹣70 C．28 D．90
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）3.45千米＝ 千米 米；
8立方米60立方分米＝ 立方米；
205时＝ 日 时；
7.2升＝ 立方分米＝ 立方厘米．
12．（3分）某校小卖铺一周的盈亏情况如表所示（每天固定成本200元，其中“+”表示盈利，“﹣”表示亏损）
星期 一 二 三 四 五
盈亏 +220 ﹣30 +215 ﹣25 +225
则这个周共盈利 元．
13．（3分）六（1）班52名同学都参加了运动会的比赛，有35人参加了跳高比赛，有28人参加了踢毽子比赛，两种比赛都参加的有 人．
14．（3分）农场收割一块麦地，每小时收割4亩，预计若干小时收割完，当收割了后，改用新式农具收割，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比预计时间提前1小时完成，则这块麦地有 亩．
15．（3分）“冰墩墩”和“雪容融”分别是2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物．一家玩具店购进的“冰墩墩”玩具的数量比“雪容融”玩具的数量多，如果“冰墩墩”玩具有90个，那么“雪容融”玩具有 个；如果“雪容融”玩具有50个，那么“冰墩墩”玩具有 个．
16．（3分）甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米，如果他们同时分别从直路两端出发，他们跑了9分钟相遇 次．
三．解答题（共10小题，满分62分）
17．（6分）解方程：
（1）3x﹣2＝5x﹣6；
（2）1．
18．（9分）计算：
（1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．（6分）根据下列语句列式并计算：
（1）﹣3与0.3的和乘以2的倒数；
（2）45加上15与﹣3的积；
（3）34与6的商减去；
（4）与﹣5的差的平方．
20．（4分）已知每立方厘米铁的质量为7.8g．现有质量为46.8kg的一废铁块，把它熔化后铸成铁锭．已知铁锭的外形为长方体，其长和宽分别为15cm和10cm．它的高为多少厘米？
21．（5分）2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°．
（1）问这片绿地的面积是多少？
（2）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
22．（5分）看图列式并求解．
（1）
（2）
23．（6分）元旦期间，家乐福超市搞促销活动，规定：购物不超过100元不给优惠；购物超过100元但不超过500元的，全部打9折；购物超过500元的，其中500元部分打9折，超过500元部分打8折．
（1）张老师第1次购得商品的总价（标价和）为300元，按活动规定实际付款多少元？
（2）张老师第2次购物，按活动规定实际付款490元，与没有促销相比，第2次购物节约了多少钱？
24．（6分）数轴上点A表示﹣12，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度．动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t＝3秒时，求M、N两点在折线数轴上的和谐距离；
（2）当M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值；
（3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动．是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．
25．（7分）2019年12月14日，中国教育学会第32次学术年会在山东济南召开，某校选派16名教师前往参会，准备用一辆七座汽车（除司机外限载6人，从学校出发），送16位教师去高铁站与机场，其中11位教师准备一起到学校正东方向25千米处的机场，另外5位教师准备一起到学校正东方向15千米处的高铁站，其中去机场的老师中有6人因工作需要需先赶去机场，已知这辆汽车的平均速度为45千米/小时，教师步行的平均速度为5千米/小时．（注：不计教师上、下车时间，教师上车后，中途不下车，汽车到达目的地后立即沿原路返回）
（1）求汽车送第一批教师到达机场所用的时间．
（2）若只有这辆汽车送这16位教师去目的地后返回学校，请设计一种方案使该车所用总时间最短，并求出这个最短时间．
26．（8分）下表是某银行的存款年利率标准．牛奶奶在该银行存了20000元，到期时得到利息820 元，她存的是几年期？
年利率 存期
2.5% 5年
2.45% 3年
2.05% 2年
1.65% 1年
2024—2025学年上学期武汉初中数学七年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）计算5+（﹣3）的结果是（ ）
A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5
【考点】有理数的加法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据有理数的加法法则进行计算即可．
【解答】解：5+（﹣3）
＝5﹣3
＝2，
故选：A．
【点评】本题考查有理数的加法运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（2分）某种细菌在培养过程中，平均每半小时分裂繁殖一次（由一个分裂为两个），经过两小时，这种细菌由一个分裂繁殖成（ ）
A．8个 B．16个 C．4个 D．32个
【考点】有理数的乘方．
【专题】计算题；实数；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】细菌每半小时分裂一次（由一个分裂为两个），经过两小时，进行4次分裂，即24，计算出结果即可．
【解答】解：2×2×2×2＝24＝16（个）．
故选：B．
【点评】本题考查有理数的乘方运算，乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．
3．（2分）把25克盐放在200克水中制成盐水，那么盐与盐水质量的比是（ ）
A．1：8 B．8：1 C．1：9 D．9：1
【考点】比的应用．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】把25克盐放在200克水中，得到225克盐水，求盐与盐水质量的比就是求25与225的比，列式计算即可．
【解答】解：由题意可得，盐与盐水质量的比是25：（25+200）＝25：225＝1：9．
故选：C．
【点评】本题考查了比的应用，求出盐水的质量为225克是解题的关键．
4．（2分）一个不透明的袋子里装有3个红球和1个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是白球的概率（ ）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】从袋中任意摸出一个球共有4种等可能结果，其中是白球的有1种结果，再根据概率公式求解即可得出答案．
【解答】解：从袋中任意摸出一个球共有4种等可能结果，其中是白球的有1种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是白球的概率为，
故选：A．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
5．（2分）如图，在2021年4月份日历中按如图所示的方式任意找7个日期“H”，那么这7个数的和可能是（ ）
A．64 B．72 C．98 D．118
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设7个日期的中间数为x，则另外6个数分别为（x﹣8），（x﹣6），（x﹣1），（x+1），（x+6），（x+8），进而可得出7个数之和为7x，结合四个选项中的数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再结合x为整数即可确定结论．
【解答】解：设7个日期的中间数为x，则另外6个数分别为（x﹣8），（x﹣6），（x﹣1），（x+1），（x+6），（x+8），
∴7个数之和为7x．
当7x＝64时，x，不合题意；
当7x＝72时，x，不合题意；
当7x＝98时，x＝14，符合题意；
当7x＝118时，x，不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．（2分）一件10元的商品，先提价10%，再降价10%，这件商品（ ）
A．比原来贵 B．价钱不变
C．比原来便宜 D．无法比较
【考点】百分数的应用．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】分别把提价与降价后的价格用代数式表示出来，比较降价后价格与10大小即可．
【解答】解：提价10%后价格为：10×（1+10%）＝11（元），
再降价10%后价格为：11×（1﹣10%）＝9.9，
∵9.9＜10，
∴比原价便宜，
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式及数的大小比较，关键在于正确表达提价和降价后的价格．
7．（2分）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中实心圆点的个数为（ ）
A．19 B．20 C．22 D．23
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】压轴题；规律型；猜想归纳；推理能力．
【答案】D
【分析】观察并比较分析图形的相同点与不同点，得出每两个相邻的图形中后一个图形总是在前一个图形的底部增加1个实心圆点，顶部的两侧各增加1个实心圆点，进而归纳任意两相邻的图形中后一个图形实心圆点数比前一个实心圆点数多3个，从而得出图形实心圆点数的一般变化规律．
【解答】解：第①个图形的实心圆点数是y1＝5个．
第②个图形的实心圆点数是y2＝y1+3＝5+3＝8．
第③个图形的实心圆点数是y3＝y2+3＝5+3+3＝5+3×2．
第④个图形的实心圆点数是y4＝y3+3＝5+3+3+3＝5+3×3．
..．
以此类推，第n个图形的实心圆点数是yn＝5+3（n﹣1）个．
∴当n＝7时，第⑦个图形的实心圆点数是y7＝5+3×6＝23个．
故选：D．
【点评】本题主要考查学生观察与比较分析得能力，运用特殊到一般的数学思想可解决此类规律题．
8．（2分）已知：如图，某同学将两个大小相等的圆形纸片分别沿半径剪开成四等分和八等分，再拼接成新的图形，关于新拼接的两个图形的周长和面积，下列说法正确的是（ ）
A．周长相等，面积也相等
B．周长不相等，面积相等
C．周长相等，面积不相等
D．周长不相等，面积也不相等
【考点】圆的周长；圆的面积．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】A
【分析】根据拼接成的两个图形大小来确定面积的变化，根据拼接成的两个图形所有线的长来确定周长的变化．
【解答】解：四等分后拼接成的图形，由4个圆组成，面积为1个圆的面积，它的周长由4个圆的周长和2个半径组成，比原来的圆的周长多2个半径的长度；
八等分后拼接成的图形，由8个圆组成，面积为1个圆的面积，它的周长由8个圆的周长和2个半径组成，比原来的圆的周长多2个半径的长度，
所以，新拼接的两个图形的周长和面积都相等，
故选：A．
【点评】本题考查了圆的周长和面积的变化，关键根据图形的大小和围成图形的线的长度来判断．
9．（2分）书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元，一律按原价打九折；③一次性购书超过200元，一律按原价打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是（ ）
A．248元 B．296元
C．248元或296元 D．229.4元
【考点】一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】设小丽第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元，分五种情况，列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设小丽第一次购书的原价为x元，第二次购书的原价为3x元，
分情况讨论：
①当3x≤100，即x时，
由题意得：x+3x＝229.4，
解得：x＝57.35（不符合题意，舍去）；
②当100＜3x≤200，即x时，
由题意得：x+0.9×3x＝229.4，
解得：x＝62，
∴x+3x＝248；
③当3x＞200且x≤100，即x≤100时，
由题意得：x+0.7×3x＝229.4，
解得：x＝74，
∴x+3x＝296；
④当100＜x≤200时，
由题意得：0.9x+0.7×3x＝229.4，
解得：x≈76.47（不符合题意，舍去）；
⑤当x＞200时，
由题意得：0.7x+0.7×3x＝229.4，
解得：x≈81.93（不符合题意，舍去）．
综上所述，小丽这两次购书原价的总和是248元或296元，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，分五种情况，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．（2分）按如图所示的操作步骤，若输入的值为﹣4，则输出的值为（ ）
A．﹣100 B．﹣70 C．28 D．90
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】C
【分析】把﹣4代入程序中计算即可确定出输出结果．
【解答】解：把﹣4代入程序中得：（﹣4）2＝16＞10，
则有（16﹣9）×4＝7×4＝28．
故选：C．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）3.45千米＝ 3 千米 450 米；
8立方米60立方分米＝ 8.06 立方米；
205时＝ 8 日 13 时；
7.2升＝ 7.2 立方分米＝ 7200 立方厘米．
【考点】数学常识．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】3，450，8.06，8，13，7.2，7200．
【分析】根据1千米＝1000米，1立方米＝1000立方分米，1日＝24时，1升＝1立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，可得．
【解答】解：3.45千米＝3千米450米，
8立方米60立方分米＝8.06立方米，
205时＝8日13时，
7.2升＝7.2立方分米＝7200立方厘米，
故答案为：3，450，8.06，8，13，7.2，7200．
【点评】本题考查了单位换算，掌握单位换算是本题的关键．
12．（3分）某校小卖铺一周的盈亏情况如表所示（每天固定成本200元，其中“+”表示盈利，“﹣”表示亏损）
星期 一 二 三 四 五
盈亏 +220 ﹣30 +215 ﹣25 +225
则这个周共盈利 605 元．
【考点】正数和负数．
【专题】实数；数感．
【答案】605．
【分析】根据有理数的加减计算解答即可．
【解答】解：因为+220﹣30+215﹣25+225＝605（元），
故答案为：605．
【点评】此题考查正数和负数，关键是根据有理数的加减计算解答．
13．（3分）六（1）班52名同学都参加了运动会的比赛，有35人参加了跳高比赛，有28人参加了踢毽子比赛，两种比赛都参加的有 11 人．
【考点】容斥原理．
【专题】实数；应用意识．
【答案】11．
【分析】根据容斥原理公式计算即可．
【解答】解：35+28﹣52
＝63﹣52
＝11（人）
故答案为：11．
【点评】本题主要考查了容斥原理，熟记容斥原理公式是本题解题的关键．
14．（3分）农场收割一块麦地，每小时收割4亩，预计若干小时收割完，当收割了后，改用新式农具收割，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比预计时间提前1小时完成，则这块麦地有 36 亩．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】36．
【分析】设这块麦地有x亩，则预计时间为小时，收割的时间为x÷4，改用新式农具收割的时间为（1）x÷（4×1.5），根据结果比预计时间提前1小时完成列方程求解．
【解答】解：设这块麦地有x亩，根据题意得：
x÷4+（1）x÷（4×1.5）1，
解得：x＝36．
答：这块地麦地有36亩．
故答案为：36．
【点评】此题考查的是一元一次方程的应用，关键是设未知数，表示出预计时间、两次收割时间，确定相等关系列方程求解．
15．（3分）“冰墩墩”和“雪容融”分别是2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物．一家玩具店购进的“冰墩墩”玩具的数量比“雪容融”玩具的数量多，如果“冰墩墩”玩具有90个，那么“雪容融”玩具有 75 个；如果“雪容融”玩具有50个，那么“冰墩墩”玩具有 60 个．
【考点】分数混合运算的应用．
【专题】实数；运算能力．
【答案】75，60．
【分析】根据题意列出式子再进行计算即可．
【解答】解：90÷（1）＝909075（个），
则“雪容融”玩具有75个；
50×（1）＝5060（个），
则冰墩墩”玩具有60个．
故答案为：75，60．
【点评】本题考查分数混合运算的应用，能够根据题意列出式子是解题的关键．
16．（3分）甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米，如果他们同时分别从直路两端出发，他们跑了9分钟相遇 15 次．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】行程问题；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】15．
【分析】首先根据共行路程÷速度和＝相遇时间求出每次相遇的时间周期，由这条直路长度为90米，两人的速度和2+3＝5米/秒，所以两人第一次相遇用时18秒；此后两人每共行两个全程相遇一次，则相遇时间为90×2÷5＝36秒，9分钟＝540秒，540﹣18＝522秒，所以9分钟内两人第一次相遇后，又相遇了522÷36＝14次……18秒，即14次，则一共相遇14+1＝15（次）．
【解答】解：9分钟＝540秒；
两人第一次相遇用时x秒，依题意有：
（2+3）x＝90，
解得x＝18，
第一次相遇后又相遇：
（540﹣18）÷[90×2÷（2+3）]
＝522÷（180÷5）
＝522÷36
＝14（次）…18（秒），
14+1＝15（次）
答：他们跑了9分钟相遇15次．
故答案为：15．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，明确第一次相遇后，以后每共行两个全程就相遇一次是完成本题的关键．
三．解答题（共10小题，满分62分）
17．（6分）解方程：
（1）3x﹣2＝5x﹣6；
（2）1．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝2；（2）x．
【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解（1）移项，得：3x﹣5x＝﹣6+2，
合并同类项，得：﹣2x＝﹣4，
系数化为1，得：x＝2．
（2）去分母，得：（2x﹣5）+3（3x+1）＝6，
去括号，得：2x﹣5+9x+3＝6，
移项，得：2x+9x＝6+5﹣3，
合并同类项，得：11x＝8，
系数化为1，得：x．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
18．（9分）计算：
（1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）；
（2）；
（3）；
（4）．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】（1）﹣19；（2）﹣10；（3）1；（4）．
【分析】（1）将减法统一成加法，然后利用有理数加法运算法则进行计算；
（2）使用乘法分配律进行简便计算；
（3）将除法统一成乘法，然后利用有理数乘法的运算法则进行计算；
（4）先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的，绝对值相当于小括号．
【解答】解：（1）原式＝﹣20+3+5+（﹣7）
＝[（﹣20）+（﹣7）]+（3+5）
＝﹣27+8
＝﹣19；
（2）原式＝﹣363636
＝﹣9+20﹣21
＝﹣10；
（3）原式＝81
＝1；
（4）原式＝﹣4+3﹣241
＝﹣11
．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算）是解题关键．
19．（6分）根据下列语句列式并计算：
（1）﹣3与0.3的和乘以2的倒数；
（2）45加上15与﹣3的积；
（3）34与6的商减去；
（4）与﹣5的差的平方．
【考点】有理数的除法；倒数；有理数的加法；有理数的减法；有理数的乘法．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】（1）﹣1.35；（2）0；（3）6；（4）．
【分析】（1）（2）（3）（4）先根据题意列出算式，再计算算式的结果．
【解答】解：（1）（﹣3+0.3）
＝﹣2.7
＝﹣1.35；
（2）45+15×（﹣3）
＝45﹣45
＝0；
（3）34÷6﹣（）
＝6；
（4）[（﹣5）]2
＝（5）2
＝（）2
．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式，掌握有理数的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
20．（4分）已知每立方厘米铁的质量为7.8g．现有质量为46.8kg的一废铁块，把它熔化后铸成铁锭．已知铁锭的外形为长方体，其长和宽分别为15cm和10cm．它的高为多少厘米？
【考点】认识立体图形．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】40cm．
【分析】先求出体积，再应用长方体体积即可．
【解答】解：46.8×1000÷7.8÷（15×10）＝40（cm）．
答：高为40厘米．
【点评】本题主要考查了长方体体积公式，解题关键是正确应用公式计算．
21．（5分）2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°．
（1）问这片绿地的面积是多少？
（2）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）114m2；
（2）居民从点A到点C将少走6m路程．
【分析】（1）连接AC，由勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理得△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°，然后由三角形面积公式即可得出结论；
（2）求出AB+BC﹣AC的长即可．
【解答】解：（1）如图，连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，
∴AD2+AC2＝DC2，
∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°，
∴S△DACAD AC8×15＝60（m2），S△ACBAB BC9×12＝54（m2），
∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2），
答：这片绿地的面积是114m2；
（2）AB+BC﹣AC＝9+12﹣15＝6（m），
答：居民从点A到点C将少走6m路程．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题的关键．
22．（5分）看图列式并求解．
（1）
（2）
【考点】分数混合运算的应用．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）柚子的质量为150千克；
（2）实际修路比计划修路少修20%．
【分析】（1）根据题意列出算式，进行计算即可解答；
（2）根据题意列出算式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
200×（1﹣25%）
＝200×75%
＝150（千克），
∴柚子的质量为150千克；
（2）（250﹣200）÷250
＝50÷250
＝20%，
∴实际修路比计划修路少修20%．
【点评】本题考查了分数混合运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键．
23．（6分）元旦期间，家乐福超市搞促销活动，规定：购物不超过100元不给优惠；购物超过100元但不超过500元的，全部打9折；购物超过500元的，其中500元部分打9折，超过500元部分打8折．
（1）张老师第1次购得商品的总价（标价和）为300元，按活动规定实际付款多少元？
（2）张老师第2次购物，按活动规定实际付款490元，与没有促销相比，第2次购物节约了多少钱？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）270元；
（2）60元．
【分析】（1）根据题意，可以计算出按活动规定实际付款多少元；
（2）设张老师消费x元，然后根据题意，即可列出相应的方程，从而可以求得张老师的消费情况，然后再减去实际付款，即可得到可节约多少钱．
【解答】（1）解：由题意可得，300×0.9＝270，
答：按活动规定张老师实际付款270元；
（2）解：∵500×0.9＝450且450＜490，
∴张老师消费超过了500元，
设张老师消费x元，然后根据题意，450+（x﹣500）×0.8＝490，
解得x＝550，550﹣490＝60（元），
答：第2次购物节约了60元．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出相应的付款．
24．（6分）数轴上点A表示﹣12，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度．动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t＝3秒时，求M、N两点在折线数轴上的和谐距离；
（2）当M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值；
（3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动．是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．
【考点】一元一次方程的应用；数轴；绝对值；列代数式．
【专题】新定义；动点型；实数；一次方程（组）及应用；符号意识；运算能力；应用意识．
【答案】（1）15；
（2）t或t；
（3）存在，t＝3.6或4.5或11．
【分析】（1）求出M表示的数是﹣3，N表示的数是12，即可得M、N两点在折线数轴上的和谐距离是|﹣3﹣12|＝15；
（2）当M在OB上运动（4≤t≤6）时，M表示的数是6（t﹣4）＝6t﹣24，当N在OB上运动（3≤t≤9）时，N表示的数是12﹣2（t﹣3）＝18﹣2t，即得|（18﹣2t）﹣（6t﹣24）|＝4，从而解得t或t；
（3）当t≤3时，不可能M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等；当3＜t≤4时，12﹣3t＝2（t﹣3），解得t＝3.6，当4＜t≤6时，6（t﹣4）＝2（t﹣3），解得t＝4.5，当6＜t≤9时，不可能M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当9＜t≤10时，M在BC12+4（t﹣9）＝12+3（t﹣6），解得t＝18（舍去），当10＜t≤12时，12+4（t﹣9）＝24﹣3（t﹣10），解得t＝11．
【解答】解：（1）由已知得，t＝3时，M表示的数是﹣12+3×3＝﹣3，N表示的数是24﹣4×3＝12，
∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离是|﹣3﹣12|＝15；
（2）由已知可得t＝4时，M运动到O，当M在OB上运动（4≤t≤6）时，M表示的数是6（t﹣4）＝6t﹣24，
t＝3时，N运动到B，当N在OB上运动（3≤t≤9）时，N表示的数是12﹣2（t﹣3）＝18﹣2t，
当M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，|（18﹣2t）﹣（6t﹣24）|＝4，
∴42﹣8t＝4或42﹣8t＝﹣4，
解得t或t，
经检验，t或t时，M、N均在OB上，
∴t或t时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；
（3）存在，理由如下：
当t≤3时，M在OA上，N在BC上，M、N运动速度不同，不可能M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等；
当3＜t≤4时，M在OA上，N在OB上，由题意得：12﹣3t＝2（t﹣3），解得t＝3.6，
当4＜t≤6时，M在OB上，N在OB上，由题意得：6（t﹣4）＝2（t﹣3），解得t＝4.5，
当6＜t≤9时，M在BC上，N在OB上，不可能M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，
当9＜t≤10时，M在BC上，N在OA上，由题意得：12+4（t﹣9）＝12+3（t﹣6），解得t＝18（舍去），
当10＜t≤12时，M返回在BC上，N在OA上，由题意得：12+4（t﹣9）＝24﹣3（t﹣10），解得t＝11，
t＝12时，N达到A，
综上所述，t＝3.6或4.5或11时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．
【点评】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是分类讨论不同时间段，M、N所表示的数与t的关系，综合性较强．
25．（7分）2019年12月14日，中国教育学会第32次学术年会在山东济南召开，某校选派16名教师前往参会，准备用一辆七座汽车（除司机外限载6人，从学校出发），送16位教师去高铁站与机场，其中11位教师准备一起到学校正东方向25千米处的机场，另外5位教师准备一起到学校正东方向15千米处的高铁站，其中去机场的老师中有6人因工作需要需先赶去机场，已知这辆汽车的平均速度为45千米/小时，教师步行的平均速度为5千米/小时．（注：不计教师上、下车时间，教师上车后，中途不下车，汽车到达目的地后立即沿原路返回）
（1）求汽车送第一批教师到达机场所用的时间．
（2）若只有这辆汽车送这16位教师去目的地后返回学校，请设计一种方案使该车所用总时间最短，并求出这个最短时间．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设汽车送走第一批教师到达机场所用时间为t小时，根据题意列出方程即可求出答案．
（2）方案如下①司机从学校出发沿正东方向先送6位教师去飞机场后，立即原路返回，遇上同时从酒店出发沿正东方向步行的另外10教师；②司机从这10位教师中接走剩下要去机场的5位教师去飞机场后，立即原路返回，遇上继续沿正东方向步行去高铁站的5位教师；③司机接走最后去高铁站的5位教师去高铁站后，立即原路返回学校．
【解答】解：（1）设汽车送走第一批教师到达机场所用时间为t小时，
则t＝25÷45小时
答：汽车送第一批教师到达机场所用的时间为小时．
（2）方案如下：
①司机从学校出发沿正东方向先送6位教师去飞机场后，立即原路返回，遇上同时从酒店出发沿正东方向步行的另外10教师，
设所用时间为t1小时，
则5t1+45t1＝25×2，
解得t1＝1（小时）
②司机从这10位教师中接走剩要去机场的5位教师去飞机场后，立即原路返回，遇上继续沿正东方向步行去高铁站的5位教师，
设所用时间为t2小时，
则5t2+45t2＝20×2，
解得t2（小时）；
③司机接走最后去高铁站的5位教师去高铁站后，立即原路返回学校．
设所用时间为t3小时，
则45t3＝15×2﹣9，
解得t3（小时）
所以司机送这16位教师去目的地后返回学校所用总时间的最短时间为1小时
【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于中等题型．
26．（8分）下表是某银行的存款年利率标准．牛奶奶在该银行存了20000元，到期时得到利息820 元，她存的是几年期？
年利率 存期
2.5% 5年
2.45% 3年
2.05% 2年
1.65% 1年
【考点】百分数的应用．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】2年期．
【分析】利息＝本金×利率×存期，由此即可解决问题．
【解答】解：如果存期是1年，年利率＝820÷20000÷1＝4.10%，
如果存期是2年，年利率＝820÷20000÷2＝2.05%，
如果存期是3年，年利率＝820÷20000÷3≈1.37%，
如果存期是5年，年利率＝820÷20000÷5＝0.82%，
答：由表格中年利率知牛奶奶存的是2年期．
【点评】本题考查百分数的应用，关键是掌握利息的计算公式．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
4．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a 1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
5．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
6．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
7．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
8．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
9．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
10．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
11．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
12．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
13．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
14．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
15．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
16．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
17．认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
（3）重点和难点突破：
结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
18．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
19．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
20．容斥原理
容斥原理．
两个集合的容斥关系公式：AUB＝|AUB|＝|A|+|B|﹣|A|∩|B|（∩：重合的部分）
三个集合的容斥关系公式：|AUBUC|＝|A|+|B|+|C|﹣|A∩B|﹣|B∩C|﹣|C∩A|+|A∩B∩C|．
21．分数混合运算的应用
分数的混合运算的应用包括两个部分的内容，第一是对整个应用题目信息的提取和分析得出计算的方法和分析的结果，其次是在计算的过程当中需要如何进行简便快速的运算，那么也是大家需要掌握的第二个重点问题．
22．比的应用
1、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或者几个数量是多少？2、比的第二种应用：已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？3、比的第三种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或者几个数量是多少？
23．百分数的应用
超市卖货中的打折（折扣）问题，如一件上衣400元，现八折（80%）出售．成数问题，如这次小麦收成是上次的二成（20%）．事物配制问题：如水占8伤，药占水的20%等．
24．圆的周长
圆周长是指绕圆一周的长度．圆周长就是：C＝πd或C＝2πr者（其中d是圆的直径，r是圆的半径）．
25．圆的面积
圆面积是指圆形所占的平面空间大小，常用S表示．圆是一种规则的平面几何图形，其计算方法有很多种，比较常见的是开普勒的求解方法，卡瓦利里的求解方法等．圆的面积就是：圆的半径（r）的平方乘以π．
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