2024—2025学年上学期长沙初中数学七年级开学模拟试卷1（含解析+知识卡片）

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2024—2025学年上学期长沙初中数学七年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下面的数中，与2022的和为0的是（　　）
A．2022 B．﹣2022 C． D．
2．（3分）2022年宁波舟山港完成货物吞吐量超12.5亿吨，连续14年位居全球第一．其中12.5亿用科学记数法表示为（　　）
A．12.5×108 B．1.25×109 C．0.125×109 D．1.25×108
3．（3分）下列各组数中，数值相等的是（　　）
A．﹣35与（﹣5）3 B．﹣35与（﹣3）5
C．﹣34与（﹣5）4 D．（﹣3×5）3与﹣3×53
4．（3分）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（　　）
A．2x5 B．3x3y2 C．x2y3 D．y5
5．（3分）下列等式变形正确的是（　　）
A．若a＝b，则a﹣3＝3﹣b B．若ax＝ay，则x＝y
C．若a＝b，则 D．若，则b＝d
6．（3分）如图，OC⊥AB于点O，∠1＝∠2，则图中互余的角有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．（3分）某人在点A处看点B在北偏东40°的方向上，看点C在北偏西35°的方向上，则∠BAC的度数为（　　）
A．65° B．75° C．40° D．35°
8．（3分）小红所在城市的居民用水实行“阶梯价格”收费，收费办法是：每户用水不超过20m3，每立方米水费x元；超过20m3，每立方米加收1.05元，小红家今年3月份用水28m3，缴纳水费89.6元，根据题意列出关于x的方程，正确的是（　　）
A．20x+8（x+1.05）＝89.6
B．20x+8（x﹣1.05）＝89.6
C．28（x+1.05）＝89.6
D．28（x+1.05）﹣8×1.05＝89.6
9．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．连接两点的线段，叫做两点间的距离
B．射线OA与射线AO表示的是同一条射线
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
D．从一点引出的两条直线所形成的图形叫做角
10．（3分）按一定规律排列的一列数依次为3，6，12，24，…，按此规律排列下去，这列数的第7个数是（　　）
A．96 B．124 C．192 D．234
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）淮北有一天的最低气温是﹣6℃，最高气温是12℃，这一天的最高气温与最低气温相差 　 　度．
12．（3分）若平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，可以画　 　条直线．
13．（3分）已知，2m﹣5n＝﹣5，则代数式4m﹣10n的值为　 　．
14．（3分）钟表上显示10时36分，则此刻时针与分针的夹角的度数为 　 　°．
15．（3分）将纸条照如图方式折一下，经测量∠ABC为30°，那么∠CBD＝　 　．
16．（3分）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是10，那么输出的结果为19，要使输出的结果为13，则输入的最小正整数是　 　．
三．解答题（共9小题，满分72分，每小题8分）
17．（8分）计算：
（1）2﹣18
（2）﹣14﹣2×（﹣3）2÷||
18．（8分）解方程：2（x+2）+1＝7﹣2（x﹣1）．
19．（6分）（1）已知代数式3a﹣7b的值为﹣3，求代数式2（2a+b﹣1）+5（a﹣4b+1）﹣3b的值．
（2）先化简，再求值：﹣5ab+2[3ab﹣（4ab2ab）]﹣5ab2，其中a＝2，b．
20．（6分）阅读下面材料，完成任务．
绝对值的几何意义指的是数轴上的点到原点的距离，例如|2|的几何意义是数轴上表示数2的点到原点之间的距离，我们可以理解为|2﹣0|，同理|7﹣3|的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离．若出现|7+3|，则先对式子进行调整，得|7﹣（﹣3）|，其几何意义为数轴上表示数7的点与表示数﹣3的点之间的距离．
（1）|﹣1+5|的几何意义是数﹣1和数 　 　的距离，故|﹣1+5|＝　 　．
（2）|x﹣2|+|x+3|的最小值是 　 　．
（3）|x﹣2|+|x﹣1|+|x+3|的最小值是 　 　．
21．（6分）如图，已知三点A、B、C，请用尺规作图完成．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（1）画直线AB；
（2）画射线AC；
（3）连接BC并延长BC到E，使得CE＝AB+AC．
22．（9分）甲、乙两家影院为刺激票房收入，五一期间均推出了优惠活动．
甲影院：3人以内（含3人）按原价购票，超出3人时，超出的人员购票打五折；乙影院：购票一律打八折．
若某电影在两家影院的原价都是60元一张票，小明同学一家人去看电影，若他们到甲、乙两家影院购票费用相同，请问他们一家总共多少人？
23．（9分）如图，在直线l上按指定方向依次取点A，B，C，D，且使AB：BC：CD＝2：3：4．若AB的中点M与CD的中点N的距离是15cm，求AB的长．
24．（10分）阅读与理解：
定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“美好方程”．
例如：方程2x﹣1＝3的解为x＝2，x+1＝0解为x＝﹣1，两个方程解之和为1，所以这两个方程互为“美好方程”．
（1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否互为“美好方程”；
（2）若关于x的方程与方程3x＝x+4是互为“美好方程”，求m的值．
25．（10分）定义：在同一平面内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”．
如图为一量角器的平面示意图，O为量角器的中心．作射线OA，OB，OC，并将其所对应的量角器内圈刻度分别记为a°，b°，m°．
（1）若射线OA，OB，OC为“共生三线”，且OC为∠AOB的角平分线．
①如图1，a＝0，b＝80，则m＝　 　；
②当a＝40，b＝150时，请在图2中作出射线OA，OB，OC，并直接写出m的值；
③根据①②的经验，得m＝　 　．（用含a，b的代数式表示）．
（2）如图3，a＝0，b＝m＝60．将OA，OB，OC按逆时针方向绕点O同时旋转，旋转速度分别为每秒10°，8°，6°，若旋转t秒后得到的射线OA′，OB'，OC'第一次成为“共生三线”，求t的值．
2024—2025学年上学期长沙初中数学七年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下面的数中，与2022的和为0的是（　　）
A．2022 B．﹣2022 C． D．
【考点】相反数．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】B
【分析】利用有理数的加法或互为相反数的定义计算并判断．
【解答】解：与2022的和为0的数是﹣2022，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的加法法则，解题的关键是掌握有理数的加法法则．
2．（3分）2022年宁波舟山港完成货物吞吐量超12.5亿吨，连续14年位居全球第一．其中12.5亿用科学记数法表示为（　　）
A．12.5×108 B．1.25×109 C．0.125×109 D．1.25×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：12.5亿＝1250000000＝1.25×109．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．（3分）下列各组数中，数值相等的是（　　）
A．﹣35与（﹣5）3 B．﹣35与（﹣3）5
C．﹣34与（﹣5）4 D．（﹣3×5）3与﹣3×53
【考点】有理数的乘方；有理数的乘法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘法法则解决此题．
【解答】解：A．根据有理数的乘方，﹣35＝﹣243，（﹣5）3＝﹣125，故﹣35≠（﹣5）3，那么A不符合题意．
B．根据有理数的乘方，﹣35＝﹣243，（﹣3）5＝﹣243，故﹣35＝（﹣3）5，那么B符合题意．
C．根据有理数的乘方，﹣34＝﹣81，（﹣5）4＝625，那么﹣34≠（﹣5）4，那么C不符合题意．
D．根据有理数的乘法以及乘方，（﹣3×5）3＝﹣27×53≠﹣3×53，那么D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查有理数的乘方、有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘方、有理数的乘法法则是解决本题的关键．
4．（3分）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（　　）
A．2x5 B．3x3y2 C．x2y3 D．y5
【考点】同类项．
【专题】整式；数感；符号意识；模型思想．
【答案】C
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可．
【解答】解：A、2x5与3x2y3不是同类项，故本选项错误；
B、3x3y2与3x2y3不是同类项，故本选项错误；
C、x2y3与3x2y3是同类项，故本选项正确；
D、y5与3x2y3不是同类项，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是理解同类项的定义．
5．（3分）下列等式变形正确的是（　　）
A．若a＝b，则a﹣3＝3﹣b B．若ax＝ay，则x＝y
C．若a＝b，则 D．若，则b＝d
【考点】等式的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＝b，
∴a﹣3＝b﹣3，故本选项不符合题意；
B．当a＝0时，由ax＝ay不能推出x＝y，故本选项不符合题意；
C．当c＝0时，由a＝b不能推出，故本选项不符合题意；
D．∵，
∴等式两边都乘c得：b＝d，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立；等式的性质2：等式的两边乘同一个数，等式仍成立；等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．
6．（3分）如图，OC⊥AB于点O，∠1＝∠2，则图中互余的角有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【考点】垂线；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】D
【分析】根据OC⊥AB于点O，可知∠1与∠AOD互为余角，∠2与∠COD互为余角，又因为∠1＝∠2，则相互交换又多了两对互余角．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠1+∠AOD＝90°，∠2+∠COE＝90°，
即∠1与∠AOD互为余角，∠2与∠COE互为余角，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠COE＝90°，∠2+∠AOD＝90°，
即∠1与∠COE互为余角，∠2与∠AOD互为余角．
所以图中互余的角有4对．
故选：D．
【点评】本题考查了垂线的知识，解答本题的关键是根据垂直得出直角，继而找到互余的角．
7．（3分）某人在点A处看点B在北偏东40°的方向上，看点C在北偏西35°的方向上，则∠BAC的度数为（　　）
A．65° B．75° C．40° D．35°
【考点】方向角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】根据方位角的概念画出图形，再根据已知结合角的和差关系求解．
【解答】解：如图所示：
∵某人在A处看点B在北偏东40°的方向上，看点C在北偏西35°的方向上，
∴∠BAD＝40°，∠CAD＝35°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝40°+35°＝75°．
故选：B．
【点评】本题考查了方向角，解答此类题关键是需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合角的和差关系求解．
8．（3分）小红所在城市的居民用水实行“阶梯价格”收费，收费办法是：每户用水不超过20m3，每立方米水费x元；超过20m3，每立方米加收1.05元，小红家今年3月份用水28m3，缴纳水费89.6元，根据题意列出关于x的方程，正确的是（　　）
A．20x+8（x+1.05）＝89.6
B．20x+8（x﹣1.05）＝89.6
C．28（x+1.05）＝89.6
D．28（x+1.05）﹣8×1.05＝89.6
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】利用总价＝单价×数量，结合“阶梯价格”收费标准，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：20x+（28﹣20）（x+1.05）＝89.6，
即20x+8（x+1.05）＝89.6．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．连接两点的线段，叫做两点间的距离
B．射线OA与射线AO表示的是同一条射线
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
D．从一点引出的两条直线所形成的图形叫做角
【考点】角的概念；直线、射线、线段；直线的性质：两点确定一条直线；两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】依据角的概念、射线的概念、直线的性质以及两点间的距离，即可得到正确结论．
【解答】解：A．连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离，故本选项错误；
B．射线OA与射线AO表示的是不同的两条射线，故本选项错误；
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线，故本选项正确；
D．从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了角的概念、射线的概念、直线的性质以及两点间的距离，平面上任意两点间都有一定距离，指的是连接这两点的线段的长度．
10．（3分）按一定规律排列的一列数依次为3，6，12，24，…，按此规律排列下去，这列数的第7个数是（　　）
A．96 B．124 C．192 D．234
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】C
【分析】观察这列数发现每个数是3的倍数，倍数分别是1，2，22，23，…，即可算出第7个数．
【解答】解：观察一系列等式得：第（n+1）个数为3×2n，
则这列数中的7个数为3×26＝192．
故选：C．
【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）淮北有一天的最低气温是﹣6℃，最高气温是12℃，这一天的最高气温与最低气温相差 　18　度．
【考点】有理数的减法；正数和负数．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】18．
【分析】根据有理数减法法则计算即可．
【解答】解：由题可知：12﹣（﹣6）＝18（℃）．
故答案为：18．
【点评】本题考查有理数的减法，掌握有理数减法法则是解题的关键．
12．（3分）若平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，可以画　1或4或6　条直线．
【考点】直线的性质：两点确定一条直线；直线、射线、线段．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】1或4或6．
【分析】根据四个点共线，其中三点共线，任意三点不共线3种情况讨论，作出图形可得答案
【解答】解：如图，
故平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，可以画1条或4条或6条直线，
故答案为：1或4或6．
【点评】此题主要考查了直线，关键是掌握两点确定一条直线．
13．（3分）已知，2m﹣5n＝﹣5，则代数式4m﹣10n的值为　﹣10　．
【考点】代数式求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣10．
【分析】代数式4m﹣10n可化成2（2m﹣5n），将2m﹣5n＝﹣5代入即可得解．
【解答】解：∵2m﹣5n＝﹣5，
∴4m﹣10n＝2（2m﹣5n）＝2×（﹣5）＝﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】此题考查了代数式的求值，解题的关键是整体代入．
14．（3分）钟表上显示10时36分，则此刻时针与分针的夹角的度数为 　102　°．
【考点】钟面角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】102．
【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了 12 等份，每一份是30°，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘 30°即可．
【解答】解：“时针在钟面上每分钟转 0.5°，分针每分钟转6°，
∴钟表上10时36分钟时，时针与分针的夹角可以看成时针转过10时0.5°×36＝18°，分针在数字7与8之间．
∵钟表 12 个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴12时20分钟时分针与时针的夹角2×30°+18°102°．
故答案为：102．
【点评】本题考查钟面角，解答本题的关键是明确钟面角的特点，求出相应的角的度数．
15．（3分）将纸条照如图方式折一下，经测量∠ABC为30°，那么∠CBD＝　75°　．
【考点】角的计算；翻折变换（折叠问题）．
【答案】见试题解答内容
【分析】延长AB，则根据折叠的性质可得，∠EBD＝∠CBD，据此即可求解．
【解答】解：延长AB．
则∠EBD＝∠CBD75°．
故答案为：75°．
【点评】本题考查了折叠的性质，理解∠EBD＝∠CBD是解决本题的关键．
16．（3分）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是10，那么输出的结果为19，要使输出的结果为13，则输入的最小正整数是　4　．
【考点】代数式求值；有理数的混合运算．
【专题】计算题；整式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据输出的结果确定出x的所有可能值即可．
【解答】解：当2x﹣1＝13时，x＝7，
当2x﹣1＝7时，x＝4，
当2x﹣1＝4时，x，不是整数；
所以输入的最小正整数为4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了代数式求值，弄清程序中的运算过程是解本题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分，每小题8分）
17．（8分）计算：
（1）2﹣18
（2）﹣14﹣2×（﹣3）2÷||
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可求出值；
（2）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝2﹣9+14﹣6＝1；
（2）原式＝﹣1﹣18×3＝﹣1﹣54＝﹣55．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）解方程：2（x+2）+1＝7﹣2（x﹣1）．
【考点】解一元一次方程．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】x＝1．
【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解一元一次方程即可．
【解答】解：2（x+2）+1＝7﹣2（x﹣1），
去括号得：2x+4+1＝7﹣2x+2，
移项得：2x+2x＝7+2﹣4﹣1，
合并同类项得：4x＝4，
系数化为1得：x＝1．
【点评】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤．
19．（6分）（1）已知代数式3a﹣7b的值为﹣3，求代数式2（2a+b﹣1）+5（a﹣4b+1）﹣3b的值．
（2）先化简，再求值：﹣5ab+2[3ab﹣（4ab2ab）]﹣5ab2，其中a＝2，b．
【考点】整式的加减—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）﹣6；
（2）．
【分析】（1）将代数式2（2a+b﹣1）+5（a﹣4b+1）﹣3b进行化简并整理可得3（3a﹣7b）+3，然后代入已知数据计算即可；
（2）将﹣5ab+2[3ab﹣（4ab2ab）]﹣5ab2进行化简，然后将a＝2，b代入计算即可．
【解答】解：（1）2（2a+b﹣1）+5（a﹣4b+1）﹣3b
＝4a+2b﹣2+5a﹣20b+5﹣3b
＝9a﹣21b+3
＝3（3a﹣7b）+3，
∵3a﹣7b＝﹣3，
∴原式＝3×（﹣3）+3＝﹣6；
（2）﹣5ab+2[3ab﹣（4ab2ab）]﹣5ab2
＝﹣5ab+2（3ab﹣4ab2ab）﹣5ab2
＝﹣5ab+6ab﹣8ab2+ab﹣5ab2
＝2ab﹣13ab2，
∵a＝2，b，
∴原式＝2×213×2×（）2
＝2
．
【点评】本题主要考查整式的化简求值，整式化简过程中，去括号时应注意判断去括号后是否需要变号．
20．（6分）阅读下面材料，完成任务．
绝对值的几何意义指的是数轴上的点到原点的距离，例如|2|的几何意义是数轴上表示数2的点到原点之间的距离，我们可以理解为|2﹣0|，同理|7﹣3|的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离．若出现|7+3|，则先对式子进行调整，得|7﹣（﹣3）|，其几何意义为数轴上表示数7的点与表示数﹣3的点之间的距离．
（1）|﹣1+5|的几何意义是数﹣1和数 　﹣5　的距离，故|﹣1+5|＝　4　．
（2）|x﹣2|+|x+3|的最小值是 　5　．
（3）|x﹣2|+|x﹣1|+|x+3|的最小值是 　5　．
【考点】数轴；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）﹣5，4；
（2）5；
（3）3．
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解；
（2）根据式子|x﹣2|+|x+3|表示数m到2和﹣3的距离之和即可确定最小值；
（3）根据绝对值的几何意义，可得|x﹣2|+|x﹣1|+|x+3|有最小值，当x＝﹣1时，|x﹣2|+|x﹣1|+|x+3|的最小值为5．
【解答】解：（1）|﹣1+5|的几何意义是数﹣1和数﹣5的距离，故|﹣1+5|＝4．
故答案为：﹣5，4；
（2）式子|x﹣2|+|x+3|表示数m到2和﹣3的距离之和，
∴|x﹣2|+|x+3|的最小值是|2﹣（﹣3）|＝5，
故答案为：5；
（3）根据绝对值的几何意义，可得|x﹣2|+|x﹣1|+|x+3|有最小值，
当x＝﹣1时，|x﹣2|+|x﹣1|+|x+3|的最小值为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键．
21．（6分）如图，已知三点A、B、C，请用尺规作图完成．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（1）画直线AB；
（2）画射线AC；
（3）连接BC并延长BC到E，使得CE＝AB+AC．
【考点】作图—复杂作图；直线、射线、线段．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）（2）（3）作图见解析部分．
【分析】根据直线，射线，线段的定义解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，直线AB即为所求作．
（2）如图，射线AC即为所求作．
（3）如图，线段CE即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（9分）甲、乙两家影院为刺激票房收入，五一期间均推出了优惠活动．
甲影院：3人以内（含3人）按原价购票，超出3人时，超出的人员购票打五折；乙影院：购票一律打八折．
若某电影在两家影院的原价都是60元一张票，小明同学一家人去看电影，若他们到甲、乙两家影院购票费用相同，请问他们一家总共多少人？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】销售问题；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】他们一家总共5人．
【分析】根据等量关系：在两家影院购票费用相同，列出方程计算即可求解．
【解答】解：设他们一家总共x人，由题意有：
60×3+0.5×60（x﹣3）＝0.8×60x，
解得x＝5．
故他们一家总共5人．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意找到等量关系列出方程是解本题的关键．
23．（9分）如图，在直线l上按指定方向依次取点A，B，C，D，且使AB：BC：CD＝2：3：4．若AB的中点M与CD的中点N的距离是15cm，求AB的长．
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】5cm．
【分析】根据题意，设AB＝2x cm，则BC＝3x cm，CD＝4x cm，再根据点M、N分别是线段AB，CD的中点可知BM＝x cm，CN＝2x cm，再由MN＝15cm求出x的值，进而可得出结论．
【解答】解：设AB＝2x cm，则BC＝3x cm，CD＝4x cm，
∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴MBAB，CNCD．
∵AB＝2x cm，CD＝4xcm，
∴MB＝xc m，CN＝2x cm．
∵MB+BC+CN＝15cm，
∴x+3x+2x＝15，
∴x＝2.5，
∴AB＝5cm．
【点评】本题考查两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键．
24．（10分）阅读与理解：
定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“美好方程”．
例如：方程2x﹣1＝3的解为x＝2，x+1＝0解为x＝﹣1，两个方程解之和为1，所以这两个方程互为“美好方程”．
（1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否互为“美好方程”；
（2）若关于x的方程与方程3x＝x+4是互为“美好方程”，求m的值．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是互为“美好方程”，理由见解析；
（2）．
【分析】（1）根据“美好方程”的定义进行判断即可；
（2）先求出两个方程的解分别为：x＝﹣2m，x＝2，再根据关于x的方程与方程3x＝x+4是互为“美好方程”得出﹣2m+2＝1解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）解方程4x﹣（x+5）＝1得：x＝2，
解方程﹣2y﹣y＝3得：y＝﹣1，
∴x+y＝2﹣1＝1，
∴方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是互为“美好方程”．
（2）关于x的方程的解为：x＝﹣2m，
方程3x＝x+4的解为x＝2，
∵关于x的方程与方程3x＝x+4是互为“美好方程”，
∴﹣2m+2＝1，
解得：．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算．
25．（10分）定义：在同一平面内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”．
如图为一量角器的平面示意图，O为量角器的中心．作射线OA，OB，OC，并将其所对应的量角器内圈刻度分别记为a°，b°，m°．
（1）若射线OA，OB，OC为“共生三线”，且OC为∠AOB的角平分线．
①如图1，a＝0，b＝80，则m＝　40　；
②当a＝40，b＝150时，请在图2中作出射线OA，OB，OC，并直接写出m的值；
③根据①②的经验，得m＝　（a+b）　．（用含a，b的代数式表示）．
（2）如图3，a＝0，b＝m＝60．将OA，OB，OC按逆时针方向绕点O同时旋转，旋转速度分别为每秒10°，8°，6°，若旋转t秒后得到的射线OA′，OB'，OC'第一次成为“共生三线”，求t的值．
【考点】一元一次方程的应用；角平分线的定义；角的计算；列代数式．
【专题】一次方程（组）及应用；线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】（1）40．
②m＝95．
③（a+b）．
（2）10．
【分析】（1）①由射线OA，OB，OC为“共生三线”，且OC为∠AOB的角平分线，即可求出；
②由条件，得∠AOB＝150°﹣40°＝110°，易知射线OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC∠AOB＝55°，m＝40+55＝95；
③根据①②的经验，得m（a+b）．
（2）由题意可知，旋转t s后射线OA′，OB′，OC′对应的刻度分别记为（10t）°，（60+8t）°，（60+6t）°，根据OC′是∠A′OB′的平分线，构建方程即可．
【解答】解：（1）①由题意可知，m40，
故答案为：40．
②由条件，得∠AOB＝150°﹣40°＝110°，
易知射线OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC∠AOB＝55°，
∴m＝40+55＝95．
③根据①②的经验，得m（a+b）．
故答案为：（a+b）．
（2）由题意可知，旋转t s后射线OA′，OB′，OC′对应的刻度分别记为（10t）°，（60+8t）°，（60+6t）°，
∵OC′是∠A′OB′的平分线，则（60+6t）﹣（60+8t）＝10t﹣（60+6t），
解得，t＝10．
∴满足题意的t的值为10．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式，角平分线的定义，角的计算，解题的关键是注意分类讨论．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
4．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
5．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
6．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
7．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
8．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
9．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
10．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
11．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
12．同类项
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
13．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
14．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
15．等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
16．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
17．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
18．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
19．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
20．直线、射线、线段
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
21．直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
22．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
23．角的概念
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角．
（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
24．钟面角
（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°．
（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．
（3）钟面上的路程问题
分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6°
时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．
25．方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
26．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
27．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
28．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
29．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
30．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
31．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．