2024—2025学年上学期长沙初中数学七年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期长沙初中数学七年级开学模拟试卷2
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）在算式4﹣|﹣3（　　）5|中的括号所在位置，填入下列哪种运算符号，计算所得的值最小（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
2．（2分）长方形一边等于5x+8y，另一边比它小2x﹣4y，则此长方形另一边的长等于（　　）
A．3x﹣12y B．3x﹣4y C．3x+4y D．3x+12y
3．（2分）下列方程后所列出的解不正确的是（　　）
A．1＝x，x＝﹣2 B．2﹣xx，x
C．x，x D．1，x
4．（2分）两根木条，一根长8cm，另一根长12cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为（　　）
A．1cm B．11cm C．1cm或11cm D．2cm或10cm
5．（2分）如图是一个正方体纸盒的平面展开图，已知纸盒相对两个面上的数相等．则a、b、c的值分别是（　　）
A．a＝﹣2，b＝﹣1，c＝3 B．a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2
C．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3
6．（2分）有理数a在数轴上对应点的位置如图所示，则|a﹣4|+|a﹣11|化简后的值为（　　）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
7．（2分）已知m＝n，则下列等式不成立的是（　　）
A．m+n＝2n B．m﹣n＝0 C．m﹣2x＝n﹣2x D．2m﹣3n＝5n
8．（2分）的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．（3分）若a与b互为相反数，则a+b+2019＝　 　．
10．（3分）岳阳“马赛克”建筑广电中心，耗资176000000元，数据176000000用科学记数法表示为　 　．
11．（3分）一件商品的进价为a元，将进价提高80%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售价是 　 　元．（结果需化简）
12．（3分）如图，某动物园的平面示意图中，猴山B位于大象馆A北偏西48°的方向，而海洋世界C在大象馆A南偏东22°的方向，那么∠BAC的大小为 　 　．
13．（3分）若|b﹣2|与（a+3）2互为相反数，则（a+b）2022的值为 　 　．
14．（3分）甲、乙两处分别有28人和21人在植树，现需要甲处人数是乙处人数的2倍，有20人去两处支援，其中x人调往甲处，则可列方程：　 　．
三．解答题（共10小题，满分66分）
15．（6分）计算：
（1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）；
（2）；
（3）；
（4）．
16．（6分）化简：
（1）（4a2b﹣5ab2）+（3a2b﹣4ab2）；
（2）2（2a2﹣9b）﹣3（﹣4a2+b）．
17．（6分）解方程：
（1）5x﹣x＝3（x﹣2）+4；
（2）．
18．（6分）如图所示，已知线段AD＝10cm，线段AC＝6cm，BD＝8cm，E，F分别是线段AB，CD的中点，求线段EF的长度．
19．（6分）已知a，b互为倒数，x，y互为相反数，m2＝4．
（1）求ab+x+y的值；
（2）求式子的值．
20．（6分）先化简，再求值：b（2a﹣5b）+a（3a﹣2b），其中a＝2，b＝﹣1．
21．（7分）解方程：5x+2＝2（x+4）
22．（7分）某制造企业有一座对生产设备进行水循环冷却的冷却塔．冷却塔的顶部有一个进水口，3小时恰好可以注满这座空塔，底部有一个出水口，7小时恰好可以放完满塔的水．为了保证安全，塔内剩余水量不得少于全塔水量的，出水口一直打开，保证水的循环，进水口根据水位情况定时对冷却塔进行补水．假设每次恰好在剩余水量为满水量的m倍时开始补水，补满后关闭进水口．
（1）当m时，请问：两次补水之间相隔多长时间？每次补水需要多长时间？
（2）能否找到适当的m值，使得两次补水的间隔时间和每次的补水时间一样长？如果能，请求出m值；如果不能，请你分析两次补水的间隔时间和每次的补水时间之间的数量关系，并表示出来．
23．（8分）如图，已知O是直线AB上一点，∠BOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD，如果∠EOD：∠EOF＝3：2，求∠AOC的度数．
24．（8分）小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“a b”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：
（+3） （+2）＝+1，（+11） （﹣3）＝﹣8，（﹣2） （+5）＝﹣3，
（﹣6） （﹣1）＝+5，，（﹣4） （+0.5）＝﹣3.5，
（﹣8） （﹣8）＝0，（+2.4） （﹣2.4）＝0，（+23） 0＝+23．
．
小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说；“你的理解完全正确．”
（1）计算：①（+5） （+2），②（﹣2） （+3），③0 （﹣1）；
（2）请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整：
绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 　 　，异号得 　 　，并 　 　；
绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值．
（3）小东已经掌握了“乘减法”的运算法则，接下来，他想要继续研究“乘减法”的运算律，请你一起思考：交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立吗？若成立请说明你的理由，若不成立请举反例．
2024—2025学年上学期长沙初中数学七年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）在算式4﹣|﹣3（　　）5|中的括号所在位置，填入下列哪种运算符号，计算所得的值最小（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【考点】有理数的混合运算；有理数大小比较．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】C
【分析】分别求出每一个选项的运算结果，比较即可解答．
【解答】解：∵4﹣|﹣3+5|＝4﹣|2|＝4﹣2＝2；
4﹣|﹣3﹣5|＝4﹣|﹣8|＝4﹣8＝﹣4；
4﹣|﹣3×5|＝4﹣|﹣15|＝4﹣15＝﹣11；
4﹣|﹣3÷5|＝4﹣|﹣0.6|＝4﹣0.6＝3.4；
∴﹣11＜﹣4＜2＜3.4，
∴在算式4﹣|﹣3（　　）5|中的括号所在位置，填入乘号，计算所得的值最小，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数大小比较，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2．（2分）长方形一边等于5x+8y，另一边比它小2x﹣4y，则此长方形另一边的长等于（　　）
A．3x﹣12y B．3x﹣4y C．3x+4y D．3x+12y
【考点】整式的加减．
【专题】几何图形问题；整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意列式，然后利用整式加减运算法则进行计算求解．
【解答】解：由题意可得：（5x+8y）﹣（2x﹣4y）＝5x+8y﹣2x+4y＝3x+12y，
故选：D．
【点评】本题考查整式加减的应用，理解题意，准确列式计算是解题关键．
3．（2分）下列方程后所列出的解不正确的是（　　）
A．1＝x，x＝﹣2 B．2﹣xx，x
C．x，x D．1，x
【考点】一元一次方程的解．
【答案】C
【分析】根据方程的解的定义，可得答案．
【解答】解：A、当x＝﹣2时，1＝﹣2，左边＝右边，故A正确；
B、当x时，左边＝2，右边，故B正确；
C、当x时，左边（）右边，故C错误；
D、当x时，左边1＝右边，故D正确；
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解满足方程是解题关键．
4．（2分）两根木条，一根长8cm，另一根长12cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为（　　）
A．1cm B．11cm C．1cm或11cm D．2cm或10cm
【考点】两点间的距离．
【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】D
【分析】两根木条，一端重合放在同一条直线上，可能是两线段相加的形式，也可能是两线段叠放的形式，分两种情况分别计算两木条中点的距离．
【解答】解：当两木条如图放置时，其中AB＝8cm，BC＝12cm，N，M分别为两木条AB，BC中点，
NM＝NB+BMABBC＝4+6＝10cm；
当两木条如图放置时，其中AB＝8cm，AC＝12cm，N，M分别为两木条AB，AC的中点，
NM＝AM﹣ANACAB＝6﹣4＝2cm，
∴两根木条的中点之间的距离为2cm或10cm，
故选：D．
【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键是掌握线段中点的定义与线段的和差．
5．（2分）如图是一个正方体纸盒的平面展开图，已知纸盒相对两个面上的数相等．则a、b、c的值分别是（　　）
A．a＝﹣2，b＝﹣1，c＝3 B．a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2
C．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】B
【分析】根据正方体的平面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面判断即可．
【解答】解：由题意得：
a与﹣1相对，c与﹣2相对，b与3相对，
∵纸盒相对两个面上的数相等，
∴a＝﹣1，c＝﹣2，b＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的平面展开图找相对面的方法是解题的关键．
6．（2分）有理数a在数轴上对应点的位置如图所示，则|a﹣4|+|a﹣11|化简后的值为（　　）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
【考点】数轴；绝对值．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】A
【分析】由有理数a在数轴上对应点的位置可以判断a﹣4＞0，a﹣11＜0，再根据绝对值的意义进行计算即可．
【解答】解：由有理数a在数轴上对应点的位置可知，a﹣4＞0，a﹣11＜0，
∴|a﹣4|+|a﹣11|＝a﹣4+（11﹣a）
＝7，
故选：A．
【点评】本题考查数轴、绝对值，掌握绝对值的意义以及数轴表示数的方法是正确解答的前提．
7．（2分）已知m＝n，则下列等式不成立的是（　　）
A．m+n＝2n B．m﹣n＝0 C．m﹣2x＝n﹣2x D．2m﹣3n＝5n
【考点】等式的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据等式的性质解答即可．
【解答】解：A、在等式m＝n的两边同时加上n得：m+n＝2n，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、在等式m＝n的两边同时减去n得：m﹣n＝0，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、在等式m＝n的两边同时减去2x得：m﹣2x＝n﹣2x，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、在等式m＝n的两边同时乘2，再加上3n得：2m+3n＝2n+3n，即2m+3n＝5n，原变形错误，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了等式的性质，解决本题的关键是熟记等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
8．（2分）的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据绝对值的性质即可求得答案．
【解答】解：||＝﹣（），
故选：D．
【点评】本题考查绝对值的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．（3分）若a与b互为相反数，则a+b+2019＝　2019　．
【考点】有理数的加法；相反数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】2019．
【分析】由a与b互为相反数，得到a+b＝0，代入所求代数式即可求解．
【解答】解：∵a与b互为相反数，
∴a+b＝0，
∴a+b+2019＝0+2019＝2019，
故答案为2019．
【点评】本题考查有理数的运算，熟练掌握相反数的性质是解题的关键．
10．（3分）岳阳“马赛克”建筑广电中心，耗资176000000元，数据176000000用科学记数法表示为　1.76×108　．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】1.76×108．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：176000000＝1.76×108．
故答案为：1.76×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．（3分）一件商品的进价为a元，将进价提高80%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售价是 　1.26a　元．（结果需化简）
【考点】列代数式．
【专题】销售问题；整式；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】售价＝（1+提高的百分比）×a×折扣÷10，化简即可．
【解答】解：由题意得：实际售价为：（1+80%）a 70%＝1.26a（元），
故答案为：1.26a．
【点评】此题考查了列代数式的知识，解题的关键是联系生活，知道七折就是标价的70%．
12．（3分）如图，某动物园的平面示意图中，猴山B位于大象馆A北偏西48°的方向，而海洋世界C在大象馆A南偏东22°的方向，那么∠BAC的大小为 　154°　．
【考点】方向角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】154°．
【分析】根据方位角的概念，结合上北下南左西右东的规定，通过计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得：
∠BAC＝（90°﹣48°）+90°+22°＝154°．
故答案为：154°．
【点评】本题考查了方向角，结合图形，正确认识方向角是解决此类问题的关键．
13．（3分）若|b﹣2|与（a+3）2互为相反数，则（a+b）2022的值为 　1　．
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】1．
【分析】由|b﹣2|与（a+3）2互为相反数，得出|b﹣2|+（a+3）2＝0，从而求出a、b的值，再求（a+b）2022的值即可．
【解答】解：∵|b﹣2|与（a+3）2互为相反数，
∴|b﹣2|+（a+3）2＝0，
∴b﹣2＝0，a+3＝0，
即b＝2，a＝﹣3，
∴（a+b）2022＝（2﹣3）2022＝（﹣1）2022＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了代数式求值以及非负数的性质，解题的关键是弄清题意，此题比较简单，易于掌握．
14．（3分）甲、乙两处分别有28人和21人在植树，现需要甲处人数是乙处人数的2倍，有20人去两处支援，其中x人调往甲处，则可列方程：　28+x＝2[21+（20﹣x）]　．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】28+x＝2[21+（20﹣x）]．
【分析】根据题意可知：甲处原来的人数+增加的人数＝（乙处原来的人数+增加的人数）×2，然后即可列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得，
28+x＝2[21+（20﹣x）]，
故答案为：28+x＝2[21+（20﹣x）]．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
三．解答题（共10小题，满分66分）
15．（6分）计算：
（1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）；
（2）；
（3）；
（4）．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】（1）﹣19；（2）﹣10；（3）1；（4）．
【分析】（1）将减法统一成加法，然后利用有理数加法运算法则进行计算；
（2）使用乘法分配律进行简便计算；
（3）将除法统一成乘法，然后利用有理数乘法的运算法则进行计算；
（4）先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的，绝对值相当于小括号．
【解答】解：（1）原式＝﹣20+3+5+（﹣7）
＝[（﹣20）+（﹣7）]+（3+5）
＝﹣27+8
＝﹣19；
（2）原式＝﹣363636
＝﹣9+20﹣21
＝﹣10；
（3）原式＝81
＝1；
（4）原式＝﹣4+3﹣241
＝﹣11
．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算）是解题关键．
16．（6分）化简：
（1）（4a2b﹣5ab2）+（3a2b﹣4ab2）；
（2）2（2a2﹣9b）﹣3（﹣4a2+b）．
【考点】整式的加减．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】（1）7a2b﹣9ab2；
（2）16a2﹣21b．
【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）（4a2b﹣5ab2）+（3a2b﹣4ab2）
＝4a2b﹣5ab2+3a2b﹣4ab2
＝7a2b﹣9ab2；
（2）2（2a2﹣9b）﹣3（﹣4a2+b）
＝4a2﹣18b+12a2﹣3b
＝16a2﹣21b．
【点评】本题考查了整式的加减，掌握去括号法则以及合并同类项法则是解答本题的关键．
17．（6分）解方程：
（1）5x﹣x＝3（x﹣2）+4；
（2）．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝﹣2；
（2）x．
【分析】（1）去括号，移项、合并同类项即可．
（2）去分母，去括号，移项、合并同类项、化系数为1即可．
【解答】解：（1）5x﹣x＝3（x﹣2）+4，
去括号得：5x﹣x＝3x﹣6+4，
移项得：5x﹣x﹣3x＝﹣6+4，
合并同类项得：x＝﹣2；
（2），
去分母得：5（1﹣x）＝2（x+2）﹣10，
去括号得：5﹣5x＝2x+4﹣10，
移项得：﹣5x﹣2x＝4﹣10﹣5，
合并同类项得：﹣7x＝﹣11，
把x的系数化为1得：x．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程，容易出错的地方有：①去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．②去括号，移项时要注意符号的变化．
18．（6分）如图所示，已知线段AD＝10cm，线段AC＝6cm，BD＝8cm，E，F分别是线段AB，CD的中点，求线段EF的长度．
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】7cm．
【分析】根据AD＝10cm，AC＝6cm，求出AB和CD的长，然后根据E、F分别是线段AB、CD的中点，分别求出AE和DF的长，进而可得EF的长．
【解答】解：因为AD＝10cm，AC＝6cm，
所以CD＝4cm，
因为AD＝10cm，BD＝8cm，
所以AB＝2cm，
因为E是线段AB的中点，
所以AE＝EB，
因为F是线段CD的中点，
所以CF＝FD，
所以EF＝AD﹣AE﹣FD＝10﹣1﹣2＝7cm．
即EF的长为7cm．
【点评】此题主要考查学生对两点间的距离这个知识点的理解和掌握，解答此题的关键是利用E、F分别是线段AB、CD的中点，分别求出AE和DF的长．
19．（6分）已知a，b互为倒数，x，y互为相反数，m2＝4．
（1）求ab+x+y的值；
（2）求式子的值．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】（1）1；
（2）﹣7或9．
【分析】先根据互为倒数、互为相反数的意义，求出ab、x+y的值，根据平方根的意义求出m的值．
（1）把ab、x+y的值代入多项式，求出多项式的值．
（2）把ab、x+y及m的值代入多项式，求出多项式的值．
【解答】解：由a、b互为倒数，x、y互为相反数，m是平方后得4的数，
则ab＝1，x+y＝0，m＝±2．
（1）把ab＝1，x+y＝0代入多项式，
原式＝ab+（x+y）＝1+0＝1；
（2）把ab＝1，x+y＝0，m＝±2代入多项式，
原式＝12020﹣0﹣m3＝1﹣m3，
当m＝2时，原式＝1﹣8＝﹣7；
当m＝﹣2时，原式＝1+8＝9．
故式子的值是﹣7或9．
【点评】本题考查了互为相反数、互为倒数的意义，平方根的意义及有理数的混合运算．掌握互为相反数的两数的和为0，互为倒数的两数的积为1．一个正数有两个平方根是解决本题的关键．
20．（6分）先化简，再求值：b（2a﹣5b）+a（3a﹣2b），其中a＝2，b＝﹣1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】3a2﹣5b2，7．
【分析】根据整式的混合运算进行化简，再代入值即可．
【解答】解：原式＝2ab﹣5b2+3a2﹣2ab
＝3a2﹣5b2，
当a＝2，b＝﹣1时，原式＝3×22﹣5×（﹣1）2＝12﹣5＝7．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，解决本题的关键是掌握整式的混合运算．
21．（7分）解方程：5x+2＝2（x+4）
【考点】解一元一次方程．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：去括号得：5x+2＝2x+8，
移项合并得：3x＝6，
解得：x＝2．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
22．（7分）某制造企业有一座对生产设备进行水循环冷却的冷却塔．冷却塔的顶部有一个进水口，3小时恰好可以注满这座空塔，底部有一个出水口，7小时恰好可以放完满塔的水．为了保证安全，塔内剩余水量不得少于全塔水量的，出水口一直打开，保证水的循环，进水口根据水位情况定时对冷却塔进行补水．假设每次恰好在剩余水量为满水量的m倍时开始补水，补满后关闭进水口．
（1）当m时，请问：两次补水之间相隔多长时间？每次补水需要多长时间？
（2）能否找到适当的m值，使得两次补水的间隔时间和每次的补水时间一样长？如果能，请求出m值；如果不能，请你分析两次补水的间隔时间和每次的补水时间之间的数量关系，并表示出来．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】方程思想；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设两次补水间隔x小时，每次补水需要y小时，满塔水量记为1，则进水速度为每小时，出水速度为每小时，根据出水的速度×两次补水间隔时间1和进水的速度×每次补水时长+出水的速度×每次补水时长1，即可得出关于x（y）的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）同（1）可求出x（y）的值，由两值之间的关系，即可得出结论．
【解答】解：（1）设两次补水间隔x小时，每次补水需要y小时，满塔水量记为1，则进水速度为每小时，出水速度为每小时，
依题意，得：x1，yy1，
解得：x，y．
答：两次补水之间相隔小时，每次补水需要小时．
（2）依题意，得：x+m＝1，yy+m＝1，
解得：x＝7（1﹣m），y（1﹣m），
∴两次补水之间间隔7（1﹣m）小时，每次补水需要（1﹣m）小时，
∴不能找到适当的m值，能使得两次补水的间隔时间和每次的补水时间一样长，两次补水的间隔时间和每次的补水时间之比为4：3．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
23．（8分）如图，已知O是直线AB上一点，∠BOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD，如果∠EOD：∠EOF＝3：2，求∠AOC的度数．
【考点】余角和补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】可令∠EOD＝3x，∠EOF＝2x，则有∠EOD+∠EOF＝90°，从而可求得∠EOD的度数，即可求∠BOD的度数，再由角平分线的定义可求得∠BOC的度数，利用补角的定义可求∠AOC的度数．
【解答】解：∵∠EOD：∠EOF＝3：2，
∴令∠EOD＝3x，∠EOF＝2x，
∵∠BOE＝∠FOD＝90°，
∴∠EOD+∠EOF＝90°，
即3x+2x＝90°，
解得：x＝18°，
∴∠EOD＝3×18°＝54°，
∴∠BOD＝∠BOE﹣∠EOD＝36°，
∵OB平分∠COD，
∴∠BOC＝∠BOD＝36°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝144°，
答：∠AOC的度数为144°．
【点评】本题主要考查余角与补角，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
24．（8分）小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“a b”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：
（+3） （+2）＝+1，（+11） （﹣3）＝﹣8，（﹣2） （+5）＝﹣3，
（﹣6） （﹣1）＝+5，，（﹣4） （+0.5）＝﹣3.5，
（﹣8） （﹣8）＝0，（+2.4） （﹣2.4）＝0，（+23） 0＝+23．
．
小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说；“你的理解完全正确．”
（1）计算：①（+5） （+2），②（﹣2） （+3），③0 （﹣1）；
（2）请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整：
绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 　正　，异号得 　负　，并 　把绝对值相减　；
绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值．
（3）小东已经掌握了“乘减法”的运算法则，接下来，他想要继续研究“乘减法”的运算律，请你一起思考：交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立吗？若成立请说明你的理由，若不成立请举反例．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】新定义；实数；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①3；②﹣1；③1；
（2）正，负，把绝对值相减；
（3）不一定成立，理由见解答．
【分析】（1）根据“乘减法”进行计算即可；
（2）根据题中给出的例子即可得出结论；
（3）设a＝2，b＝﹣3，c＝4代入式子进行计算，看结果是否相同即可．
【解答】解：（1）由题意得：
①（+5） （+2）＝+（5﹣2）＝3；
②（﹣2） （+3）＝﹣（2﹣3）＝﹣1；
③0 （﹣1）＝|﹣1|＝1．
（2）绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并把绝对值相减；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值．
故答案为：正，负，把绝对值相减；
（3）不一定成立，理由如下：
设a＝2，b＝﹣3，c＝4，
左边＝（a b） c＝[2 （﹣3）] 4＝（﹣1） 4＝﹣3，
右边＝a （b c）＝2 [（﹣3） 4]＝2 （﹣1）＝﹣1，
左边≠右边，
∴结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，根据题中给出的例子读懂题意是解题的关键．
考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
3．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
4．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
5．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
6．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
7．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
8．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
9．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
10．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
11．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
12．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
13．等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
14．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
15．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
16．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
17．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
18．专题：正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
19．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
20．方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
21．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
22．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．