概率的热点题型及其解法
图片预览
文档简介
概率的热点题型及其解法
概率的解答题已成为近几年高考中的必考考内容，难度中挡，主要涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法，对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合，在以后的高考中，可能出现概率与数列、函数、不等式等有关内容的结合的综合题，下面就谈一谈概率与数列、函数、不等式等有关知识的交汇处命题的解题策略。
题型一：等可能事件概率、互斥事件概率、相互独立事件概率的综合。
例1：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;
(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;
(Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少
解：（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件为“4次均击中目标”，则
（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则
（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。
故
例2：某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.
（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；
（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率.
解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.
（I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为（从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A1，那么事件A1的概率为
P（A1）=
（II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A2和A3，则事件A3的概率为P（A3）=，事件A2的概率为
P（A2）=1－P（A1）－P（A3）=
解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为（先从3个景区任意选定2个，共有种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有种不同选法）.所以P（A2）=
例3：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为；在实验考核中合格的概率分别为，所有考核是否合格相互之间没有影响
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）
解：记“甲理论考核合格”为事件；“乙理论考核合格”为事件；“丙理论考核合格”为事件；记为的对立事件，；记“甲实验考核合格”为事件；“乙实验考核合格”为事件；“丙实验考核合格”为事件；
（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件，记为的对立事件
解法1：
解法2：
所以，理论考核中至少有两人合格的概率为
（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格” 为事件
所以，这三人该课程考核都合格的概率为
题型二：概率与排列组合、等差数列、等比数列的综合。
例4：将1，2，3，…，9，这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
解析：共有种分组的方法，三组的平均值可能是456，357，258，348，267，且各有一种分组的方法，所求的概率为，故选A
例5：从原点出发的某质点，按照向量移动的概率为，按照向量移动的概率为，设可到达点的概率为．
（Ⅰ）求概率、；
（Ⅱ）求 与、 的关系并证明数列是等比数列；
（Ⅲ）求．
解 (Ⅰ)点到达点的概率为；点到达点的事件由两个互斥事件组成：①A=“点先按向量到达点，再按向量到达点”，此时；
②B=“点先按向量移动直接到达点”，此时。
(Ⅱ) 点到达点的事件由两个互斥事件组成：
①“从点按向量移动到达点”，此时；
②“从点按向量移动到达点”，此时。
，即
数列是以为首项，公比为的等比数列。
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知
……
例6：设事件发生的概率为，若在发生的条件下发生的概率为，则事件同时发生的概率为根据这一事实解答下列问题：
一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0，1，2，3…，100，共101站，一枚棋子开始在第0站（即）由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若出现正面，则棋子向前跳动一站，若出现反面则向前跳动两站；直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束。已知硬币出现正、反两面的概率相等，设棋子在跳跃的过程中经过第站的概率为。
（1） 求
（2） （2）设，求证数列｛｝是等比数列。
（3） 求玩游戏获胜的概率。
解析：（1）
（2）棋子跳到第站，必须是从第站或第站跳来的，所以
，且
，故｛｝是以公比为，首项为的等比数列 。
（30由（2）知
=，所以获胜的概率为
例7：质点位于数轴处，质点位于处。这两个质点每隔1秒就向左或向右移动1个单位，设向左移动的概率为，向右移动的概率为。
（Ⅰ）求3秒后，质点位于点处的概率；
（Ⅱ）求2秒后，质点同时在点处的概率；
（Ⅲ）假若质点在两处之间移动，并满足：当质点在处时，1秒后必移到处；当质点在处，1秒后分别以的概率停留在处或移动到处，今质点在处，求8秒后质点在处的概率。
解析：（1）3秒后，质点到处，必须经过两次向右，一次向左移动；
（2）2秒后，质点同时在点处，必须质点两次向右，且质点一次向左，一次向右；故
（3）设第秒后，质点在处的概率为，质点在处的概率为依题意知：，由得
所以｛｝是首项为，公比为的等比数列。所以，；所以8秒后质点在处的概率为。
题型三：概率与函数的综合。
例8： 猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但在发射瞬间距离为150米，如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，且在发射瞬间距离200米，已知猎人的命中的概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率。
解析：记三次射击命中野兔的事件依次为，由且则
，于是
猎人命中野兔的事件为：又为互斥事件，且都是相互独立事件；故所求概率为
==
例9：袋中有红球和白球100个，从这只袋中任取3只，问袋中有几个红球时，使取得的3个球全为同色的概率最小？
解：设分别为红球，白球的个数，则有，从100个球中任取3个球，全为红色球的概率为；从100个球中任取3个球全为白色的概率为，所以取得3个同色球的概率为=
==；
时，最小，此时。
【点评】此题是一道集等可能事件概率，互斥事件和的概率，二次函数于一体的一道综合题。
题型四：概率与不等式的结合。
例10：如图：每个电子元件能正常工作的概率均为，问甲、乙两个系统那个正常工作的概率大？
解：
所以，乙正常工作的概率较大。
例11：北京某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案，方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过。假定某应聘者对三门课程的考试及格的概率分别为，且这三门课程考试是否及格相互之间没有影响。
（1） 分别求应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
（2） 试比较应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小；
解：记应聘者对三门课程考试及格的事件分别为，则
（1） 应聘者用方案一，考试通过的概率
==
应聘者用方案二，考试通过的概率为
（2），=，所，
该应聘者采用方案一通过考试的概率较大。
总之，概率是新教材中的一个重要内容，在现实生活中应用广泛，同时它和排列、组合、函数、数列、不等式等都有着密切联系，在今后的高考中，概率在知识交汇点处命题可能性很大，请大家引起注意。
（甲）
（乙）
概率的解答题已成为近几年高考中的必考考内容，难度中挡，主要涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法，对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合，在以后的高考中，可能出现概率与数列、函数、不等式等有关内容的结合的综合题，下面就谈一谈概率与数列、函数、不等式等有关知识的交汇处命题的解题策略。
题型一：等可能事件概率、互斥事件概率、相互独立事件概率的综合。
例1：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;
(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;
(Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少
解：（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件为“4次均击中目标”，则
（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则
（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。
故
例2：某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.
（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；
（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率.
解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.
（I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为（从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A1，那么事件A1的概率为
P（A1）=
（II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A2和A3，则事件A3的概率为P（A3）=，事件A2的概率为
P（A2）=1－P（A1）－P（A3）=
解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为（先从3个景区任意选定2个，共有种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有种不同选法）.所以P（A2）=
例3：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为；在实验考核中合格的概率分别为，所有考核是否合格相互之间没有影响
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）
解：记“甲理论考核合格”为事件；“乙理论考核合格”为事件；“丙理论考核合格”为事件；记为的对立事件，；记“甲实验考核合格”为事件；“乙实验考核合格”为事件；“丙实验考核合格”为事件；
（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件，记为的对立事件
解法1：
解法2：
所以，理论考核中至少有两人合格的概率为
（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格” 为事件
所以，这三人该课程考核都合格的概率为
题型二：概率与排列组合、等差数列、等比数列的综合。
例4：将1，2，3，…，9，这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
解析：共有种分组的方法，三组的平均值可能是456，357，258，348，267，且各有一种分组的方法，所求的概率为，故选A
例5：从原点出发的某质点，按照向量移动的概率为，按照向量移动的概率为，设可到达点的概率为．
（Ⅰ）求概率、；
（Ⅱ）求 与、 的关系并证明数列是等比数列；
（Ⅲ）求．
解 (Ⅰ)点到达点的概率为；点到达点的事件由两个互斥事件组成：①A=“点先按向量到达点，再按向量到达点”，此时；
②B=“点先按向量移动直接到达点”，此时。
(Ⅱ) 点到达点的事件由两个互斥事件组成：
①“从点按向量移动到达点”，此时；
②“从点按向量移动到达点”，此时。
，即
数列是以为首项，公比为的等比数列。
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知
……
例6：设事件发生的概率为，若在发生的条件下发生的概率为，则事件同时发生的概率为根据这一事实解答下列问题：
一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0，1，2，3…，100，共101站，一枚棋子开始在第0站（即）由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若出现正面，则棋子向前跳动一站，若出现反面则向前跳动两站；直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束。已知硬币出现正、反两面的概率相等，设棋子在跳跃的过程中经过第站的概率为。
（1） 求
（2） （2）设，求证数列｛｝是等比数列。
（3） 求玩游戏获胜的概率。
解析：（1）
（2）棋子跳到第站，必须是从第站或第站跳来的，所以
，且
，故｛｝是以公比为，首项为的等比数列 。
（30由（2）知
=，所以获胜的概率为
例7：质点位于数轴处，质点位于处。这两个质点每隔1秒就向左或向右移动1个单位，设向左移动的概率为，向右移动的概率为。
（Ⅰ）求3秒后，质点位于点处的概率；
（Ⅱ）求2秒后，质点同时在点处的概率；
（Ⅲ）假若质点在两处之间移动，并满足：当质点在处时，1秒后必移到处；当质点在处，1秒后分别以的概率停留在处或移动到处，今质点在处，求8秒后质点在处的概率。
解析：（1）3秒后，质点到处，必须经过两次向右，一次向左移动；
（2）2秒后，质点同时在点处，必须质点两次向右，且质点一次向左，一次向右；故
（3）设第秒后，质点在处的概率为，质点在处的概率为依题意知：，由得
所以｛｝是首项为，公比为的等比数列。所以，；所以8秒后质点在处的概率为。
题型三：概率与函数的综合。
例8： 猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但在发射瞬间距离为150米，如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，且在发射瞬间距离200米，已知猎人的命中的概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率。
解析：记三次射击命中野兔的事件依次为，由且则
，于是
猎人命中野兔的事件为：又为互斥事件，且都是相互独立事件；故所求概率为
==
例9：袋中有红球和白球100个，从这只袋中任取3只，问袋中有几个红球时，使取得的3个球全为同色的概率最小？
解：设分别为红球，白球的个数，则有，从100个球中任取3个球，全为红色球的概率为；从100个球中任取3个球全为白色的概率为，所以取得3个同色球的概率为=
==；
时，最小，此时。
【点评】此题是一道集等可能事件概率，互斥事件和的概率，二次函数于一体的一道综合题。
题型四：概率与不等式的结合。
例10：如图：每个电子元件能正常工作的概率均为，问甲、乙两个系统那个正常工作的概率大？
解：
所以，乙正常工作的概率较大。
例11：北京某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案，方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过。假定某应聘者对三门课程的考试及格的概率分别为，且这三门课程考试是否及格相互之间没有影响。
（1） 分别求应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
（2） 试比较应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小；
解：记应聘者对三门课程考试及格的事件分别为，则
（1） 应聘者用方案一，考试通过的概率
==
应聘者用方案二，考试通过的概率为
（2），=，所，
该应聘者采用方案一通过考试的概率较大。
总之，概率是新教材中的一个重要内容，在现实生活中应用广泛，同时它和排列、组合、函数、数列、不等式等都有着密切联系，在今后的高考中，概率在知识交汇点处命题可能性很大，请大家引起注意。
（甲）
（乙）