2024—2025学年上学期福建初中数学八年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）

中小学教育资源及组卷应用平台
2024—2025学年上学期福建初中数学八年级开学模拟试卷2
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列运算中，正确的是（　　）
A． B．3 C． D．
2．（4分）平面直角坐标系内，点A（n，n﹣1）一定不在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．2 B．（2）2＝6 C． D．
4．（4分）二次根式化为最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，线段AB是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE＝3，则BC的长是（　　）
A． B．4 C．6 D．
6．（4分）下列说法错误的是（　　）
A．数轴上的点表示的数不是有理数就是无理数
B．任何实数都有立方根
C．任何实数都只有一个算术平方根
D．任何一个无理数的绝对值都是正数
7．（4分）下列四个数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）计算的结果是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣2 D．﹣4
9．（4分）在式子，，，中，x可以取到0和1的是（　　）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2015个等腰直角三角形的斜边长是（　　）
A． B． C．22014 D．22015
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）若点A（x，2）在第二象限，则x的取值范围是　 　．
12．（4分）的倒数是　 　．
13．（4分）对于有理数a，b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，当a＞b时，min{a，b}＝b．例如：min{1，﹣2}＝﹣2，min{3，﹣1}＝﹣1．已知min{，a}，min{，b}＝b，且a和b为两个连续正整数，则a+b的平方根为　 　．
14．（4分）2的有理化因式可以是 　 　．
15．（4分）如图，边长为1的正方形，经过一次生长后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图1，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过一次“生长”后，变成图2；如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”． 请你算出“生长”了2014次后形成的图形中，所有的正方形的面积和是　 　．
16．（4分）如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形A的面积为 　 　．
三．解答题（共9小题，满分84分）
17．（8分）计算：||﹣（π）0
18．（8分）计算：4．
19．（8分）作图：请在同一个数轴上用尺规作出的对应的点．
20．（8分）阅读材料．
∵，即23
∴的整数部分为2，小数部分为2，规定实数m的整数部分记作[m]，小数部分记作{m}，如，2．
解答下列问题：
（1）　 　，　 　．
（2）求的值．
21．（10分）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为900米，C处与B村的距离为1200米，且AC⊥BC．
（1）求A，B两村之间的距离；
（2）为了安全起见，爆破点C周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
22．（10分）求下列式子中的x值：
（1）25x2＝81．
（2）（x+1）3＝﹣27．
23．（10分）如图所示的正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处，直线m与网格中竖直的线重合．
（1）作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′（其中A的对称点为A′，B的对称点为B′，C的对称点为C′）；
（2）△ABC的面积为 　 　；
（3）点P是直线m上的动点，求PB+PC的最小值．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC上一点，且AE＝BC，过点A作AD⊥CA，垂足为A，且AD＝AC，AB，DE交于点F．
（1）试说明AB＝DE，DE⊥AB．
（2）连接BD，BE，若设BC＝a，AC＝b，AB＝c，请利用四边形ADBE的面积说明a2+b2＝c2．
25．（12分）观察下列分母有理化的运算．
1，，
，
利用上面的规律计算：
（）（1）
2024—2025学年上学期福建初中数学八年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列运算中，正确的是（　　）
A． B．3 C． D．
【考点】二次根式的性质与化简；平方根；立方根．
【专题】实数；二次根式；数感；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质要化简方法，平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A.|﹣4|＝4，因此选项A不符合题意；
B.3，3，因此选项B不符合题意；
C.6，因此选项C不符合题意；
D.±7，因此选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，平方根、立方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义，掌握二次根式的性质与化简方法是正确解答的前提．
2．（4分）平面直角坐标系内，点A（n，n﹣1）一定不在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【答案】B
【分析】先判断出纵坐标比横坐标小，然后根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵（n﹣1）﹣n＝n﹣1﹣n＝﹣1，
∴点A的纵坐标比横坐标小，
∵第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，纵坐标大于横坐标，
∴点A一定不在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．2 B．（2）2＝6 C． D．
【考点】二次根式的混合运算；分母有理化．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】利用二次根式的性质对A、B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；利用分母有理化对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝2，所以A选项错误；
B、原式＝4×3＝12，所以B选项错误；
C、与不能合并，所以C选项错误；
D、原式，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．（4分）二次根式化为最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【答案】B
【分析】根据二次根式的分子分母都乘以同一个数，二次根式的值不变，可得答案．
【解答】解：，
化为最简二次根式是，
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式，最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式．
5．（4分）如图，线段AB是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE＝3，则BC的长是（　　）
A． B．4 C．6 D．
【考点】勾股定理；圆周角定理；作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】连接CO，根据作图知CE垂直平分AC，即可得AC＝OC，AE＝OE＝3，根据圆的半径得AC＝6，AB＝12，根据圆周角的推论得∠ACB＝90°，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：连接CO，根据作图知CE垂直平分OA，
∴AC＝OC，AE＝OE＝3，
∴AC＝OC＝OB＝AO＝AE+EO＝6，
即AB＝AO+BO＝12，
∵线段AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，根据勾股定理得，
，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质、直径所对的圆周角为直角、勾股定理知识，掌握相关的性质进行正确求解是解题的关键．
6．（4分）下列说法错误的是（　　）
A．数轴上的点表示的数不是有理数就是无理数
B．任何实数都有立方根
C．任何实数都只有一个算术平方根
D．任何一个无理数的绝对值都是正数
【考点】实数与数轴；算术平方根；立方根；无理数；实数的性质．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】由实数的概念、平方根和立方根的性质解题．
【解答】解：A、数轴上的点与实数一一对应，而实数分为有理数和无理数，故A选项不符合题意；
B、一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．故B选项不符合题意；
C、负数没有算术平方根，故C选项符合题意；
D、0是有理数，负无理数的绝对值是正数，正有理数的绝对值是它本身，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查学生对实数的概念、平方根和立方根的性质的掌握情况，在取绝对值的时候一定要注意0既不是正数也不是负数．
7．（4分）下列四个数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】无理数；算术平方根；立方根．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据无理数的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．是无理数，故本选项符合题意；
C．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查无理数，理解无理数的定义是正确解答的前提，掌握无限不循环小数是无理数是正确判断的关键．
8．（4分）计算的结果是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣2 D．﹣4
【考点】立方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据立方根的定义即可求出答案．
【解答】解：2，
故选：C．
【点评】本题考查立方根，解题的关键是熟练运用立方根的定义，本题属于基础题型．
9．（4分）在式子，，，中，x可以取到0和1的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【专题】分式；二次根式；符号意识．
【答案】C
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件进行分析即可．
【解答】解：A、中，x≠0，x＝0时分式无意义，故此选项不合题意；
B、中x﹣1≠0，则x≠1，x＝1时分式无意义，故此选项不合题意；
C、中，x＝0或1都可以，故此选项符合题意；
D、中，x﹣1≥0，则x≥1，当x＝0时，二次根式无意义，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于零．
10．（4分）如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2015个等腰直角三角形的斜边长是（　　）
A． B． C．22014 D．22015
【考点】等腰直角三角形．
【专题】规律型．
【答案】B
【分析】设等腰直角三角形一个直角边为1，根据等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍，可以发现n个△，直角边是第（n﹣1）个△的斜边长，即可求出斜边长
【解答】解：∵等腰直角三角形一个直角边为1，
∴等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍．
第一个三角形（也就是Rt△ABC）的斜边长：1；
第二个三角形（也就是Rt△ACD），直角边是第一个三角形的斜边长，所以它的斜边长：；
第三个三角形（也就是Rt△ADE），直角边是第二个三角形的斜边长，所以它的斜边长：；
…
第n个三角形，直角边是第（n﹣1）个三角形的斜边长，其斜边长为：．
∴第2015个等腰直角三角形的斜边长是：．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对等腰直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是通过认真分析，根据等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍，从中发现规律．此题有一定的拔高难度，属于中档题．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）若点A（x，2）在第二象限，则x的取值范围是　x＜0　．
【考点】点的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据第二象限内点的横坐标小于零，可得答案．
【解答】解：由点A（x，2）在第二象限，得
x＜0，
故答案为：x＜0．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键．
12．（4分）的倒数是　　．
【考点】实数的性质；算术平方根．
【专题】计算题；实数．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据倒数的定义得出的倒数是，再化简即可．
【解答】解：的倒数是，．
故答案为．
【点评】本题考查了倒数的定义，二次根式的化简．是基础题，比较简单．
13．（4分）对于有理数a，b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，当a＞b时，min{a，b}＝b．例如：min{1，﹣2}＝﹣2，min{3，﹣1}＝﹣1．已知min{，a}，min{，b}＝b，且a和b为两个连续正整数，则a+b的平方根为　±3　．
【考点】实数大小比较；平方根；算术平方根．
【专题】实数；二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知和45得出a、b的值，再求出a+b的值，最后根据平方根的定义得出即可．
【解答】解：∵min{，a}，min{，b}＝b，且a和b为两个连续正整数，45，
∴a＝5，b＝4，
∴a+b＝9，
∴a+b的平方根是±3，
故答案为：±3．
【点评】本题考查了估算无理数的大小和平方根的定义，能求出a、b的值是解此题的关键．
14．（4分）2的有理化因式可以是 　2　．
【考点】分母有理化．
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式这个定义求出结果．
【解答】解：∵（2）（2）＝x﹣1+2＝x+1，
∴（2）是（2）的有理化因式，
故答案为：2．
【点评】本题考查了分母有理化，掌握分母有理化定义，注意一个二次根式的有理化因式不止一个是解题关键．
15．（4分）如图，边长为1的正方形，经过一次生长后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图1，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过一次“生长”后，变成图2；如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”． 请你算出“生长”了2014次后形成的图形中，所有的正方形的面积和是　2015　．
【考点】勾股定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出每一次生长后所生长出的四边形面积，找出变化规律，计算出所有四边形的面积．
【解答】解：如图，第一次生长后长出的三角形面积为SA+SB＝1；
第二次生长后长出的三角形面积为SD+SC+SA+SB＝1；
第三次生长后长出的三角形面积为：1；
第四次生长后长出的三角形面积为：1；
…
“生长”了2014次后形成的图形中，所有的正方形的面积和是1×2014+1＝2015．
故答案为2015．
【点评】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．
16．（4分）如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形A的面积为 　84　．
【考点】勾股定理．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】84．
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解答】解：在Rt△DEF中，DE2＝DF2+EF2＝28+56＝84，
∴正方形A的面积为84，
故答案为：84．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
三．解答题（共9小题，满分84分）
17．（8分）计算：||﹣（π）0
【考点】二次根式的加减法；零指数幂．
【答案】见试题解答内容
【分析】先进行绝对值和指数的运算，然后再进行二次根式的化简运算，最后进行合并运算．
【解答】解：原式1+231．
【点评】本题考查二次根式的加减运算，关键要注意先进行绝对值和幂的运算，再进行二次根式的化简运算．
18．（8分）计算：4．
【考点】二次根式的加减法．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】5．
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝4312
＝432
＝5．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
19．（8分）作图：请在同一个数轴上用尺规作出的对应的点．
【考点】作图—复杂作图；算术平方根；实数与数轴．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】作图见解析部分．
【分析】利用勾股定了构造直角三角形，得到斜边为，可得结论．
【解答】解：如图，点A即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，实数与数轴等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（8分）阅读材料．
∵，即23
∴的整数部分为2，小数部分为2，规定实数m的整数部分记作[m]，小数部分记作{m}，如，2．
解答下列问题：
（1）　4　，　2　．
（2）求的值．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；数感．
【答案】（1）4，2；（2）5．
【分析】（1）先估算的范围，进而可得它们的整数部分和小数部分，即得答案；
（2）先估算的范围，可得，，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：（1）∵16＜19＜25，1＜3＜4，
∴45，﹣21，
∴；；
故答案为：4，2；
（2）∵9＜13＜16．
∴34，
∴12＜2，﹣43
∴1＜52，
∴，，
∴原式＝1+4．
【点评】本题考查了实数的运算，正确理解题意、准确计算是关键．
21．（10分）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为900米，C处与B村的距离为1200米，且AC⊥BC．
（1）求A，B两村之间的距离；
（2）为了安全起见，爆破点C周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】（1）A，B两村之间的距离为1500米；
（2）AB段公路需要封锁，需要封锁的路段长度为420米．
【分析】（1）根据勾股定理可直接求出AB；
（2）利用三角形的面积公式求得CD＝720米．再根据720米＜750米可以判断有危险，根据勾股定理求出DE，进而求出EF．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝900米，BC＝1200米，
∴AB1500（米）．
答：A，B两村之间的距离为1500米；
（2）公路AB有危险而需要封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．以点C为圆心，750米为半径画弧，交AB于点E，F，连接CE，CF，
∵S△ABCAB CDBC AC，
∴CD
＝720（米）．
由于720米＜750米，故有危险，
因此AB段公路需要封锁．
∴EC＝FC＝750米，
∴ED
＝210（米），
故EF＝420米，
则需要封锁的路段长度为420米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及利用三角形的面积公式求出CD的长．
22．（10分）求下列式子中的x值：
（1）25x2＝81．
（2）（x+1）3＝﹣27．
【考点】立方根；平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）x；（2）x＝﹣4．
【分析】（1）式子变形后，利用平方根的定义求解即可；
（2）利用立方根的定义求解即可．
【解答】解：（1）25x2＝81，
x2，
x；
（2）（x+1）3＝﹣27，
x+1＝﹣3
x＝﹣4．
【点评】本题考查了平方根与立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．
23．（10分）如图所示的正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处，直线m与网格中竖直的线重合．
（1）作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′（其中A的对称点为A′，B的对称点为B′，C的对称点为C′）；
（2）△ABC的面积为 　3.5　；
（3）点P是直线m上的动点，求PB+PC的最小值．
【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）3.5；
（3）作图见解析部分．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的时间三角形面积即可；
（3）连接CB′交直线m于点P，连接BP，点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）如图，△ABC的面积＝2×41×21×41×3＝3.5．
故答案为：3.5；
（3）如图，点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC上一点，且AE＝BC，过点A作AD⊥CA，垂足为A，且AD＝AC，AB，DE交于点F．
（1）试说明AB＝DE，DE⊥AB．
（2）连接BD，BE，若设BC＝a，AC＝b，AB＝c，请利用四边形ADBE的面积说明a2+b2＝c2．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的证明；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）见解析过程；
（2）见解析过程．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DEA，可得AB＝DE，∠3＝∠1，根据余角的性质，可得∠2与∠3的关系，从而得结论；
（2）由四边形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）∵AD⊥CA，
∴∠DAE＝90°．
在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴AB＝DE，∠3＝∠1，
∵∠DAE＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3+∠2＝90°，
∴∠AFE＝90°，
∴AB⊥DE；
（2）连接BD，BE，
∵S四边形ADBE＝S△ADE+S△BDEDE AFDE BFDE ABc2，S四边形ADBE＝S△ABE+S△ABDa2b2，
∴a2b2c2，
∴a2+b2＝c2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
25．（12分）观察下列分母有理化的运算．
1，，
，
利用上面的规律计算：
（）（1）
【考点】分母有理化．
【专题】规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据给出的分母有理化的规律对所求式子进行分母有理化，寻找抵消规律，再运用平方差公式计算．
【解答】解：（）（1）
＝（1）（1）
＝（1）（1）
＝2007﹣1
＝2006．
【点评】本题考查了分母的有理化，题目较为新颖，注意发现抵消规律．
考点卡片
1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
4．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
5．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
6．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
7．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
8．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
9．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
10．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
11．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
12．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
13．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
14．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①；②．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数．
15．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
16．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
18．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
19．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
20．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
21．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
22．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
23．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
24．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
25．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
26．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
27．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
28．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．