2024—2025学年上学期福建初中数学八年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期福建初中数学八年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 467.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-07 08:43:04 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期福建初中数学八年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）在下列长度的四根木棒中，能与3cm，8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．3cm B．5cm C．7cm D．12cm
3．（4分）如图，BC＝EC，AB＝DE，要使△ABC≌△DEC，则可以添加条件（ ）
A．∠BCE＝∠ACD B．∠A＝∠D
C．∠B＝∠E D．以上都不对
4．（4分）如图，∠A＝30°，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．150° B．180° C．220° D．210°
5．（4分）如图，图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．50° B．71° C．58° D．59°
6．（4分）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC＝12km，BC＝16km，则M，C两点之间的距离为（ ）
A．13km B．12km C．11km D．10km
7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD，BC于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，交CD于点F，则DF的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
8．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，AD是∠BAC平分线，则BD的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．无法确定
9．（4分）△ABC中，∠A＝50°，AB、AC边上的高（或高的延长线）相交所成的角的度数是（ ）
A．40° B．140° C．40°或140° D．50°或130°
10．（4分）如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线AD＝6，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E，F运动的过程中，EB+EF的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知点P到x轴，y轴的距离分别是2和3，且点P关于y轴对称的点在第四象限，则点P关于x轴对称的点的坐标是 ．
12．（4分）在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝20°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 ．
13．（4分）As the picture shows，find the value of the unknows∠α＝ °．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，B（0，3），A（4，1），点C是第一象限内的点，且△ABC是以AB为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为 ．
15．（4分）已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D在BC边上．
请从A，B两题中任选一题作答．我选择 题．
A．如图1，若BD＝AB，则AD的长为 ．
B．如图2，若AD⊥AB，则AD的长为 ．
16．（4分）如图，直线a过正方形ABCD的顶点A，点B、D到直线a的距离分别为5、12，则正方形的周长为 ．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断上述结论是否成立；
（2）若与互为相反数，求6的值．
18．（8分）解不等式组：．
19．（8分）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．
（1）求证：△ADE≌△BEC；
（2）若M是线段DC的中点，连接EM，请写出线段EM与AD、BC之间的数量关系，并说明理由．
20．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，∠BAC＝80°，∠C＝70°．求∠BAD的度数．
21．（8分）为了更好的推进乡村振兴，某城市一机构对乡村居民比较关心的四类信息进行了民意调查问卷，A：乡村医疗机构保障信息；B：农村大学生就业信息；C：乡村孩子上学信息；D：乡村居民住房保障信息，根据调查获得的信息关注度进行统计，得到下面两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解答相关问题．
（1）本次参与调查的乡村居民人数是多少？
（2）补全条形统计图．
（3）在扇形统计图中，求B所在的扇形圆心角的度数．
22．（10分）元旦期间，某商场搞促销活动，具体内容如表所示：
优惠条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元
优惠方式 没有优惠 全部按九折优惠 其中500元仍按九折优惠；超过500元的部分按八折优惠
（1）设一次性购买的物品原价是x元，当原价x超过200元但不超过500元时，实际付款为 元；当原价x超过500元时，实际付款为 元．（用含x的式子表示）
（2）若顾客甲购物时一次性付款490元，则甲所购物品的原价是多少元？
23．（10分）如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的S点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下测量方案．
课题 测量凉亭与游艇之间的距离
测量工具 皮尺等
测量方案示意图
测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆B旁； ②再往前走相同的距离，到达C点（即AB＝BC）； ③然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来．
测量结果 AS⊥AC，CD⊥AC，CD＝5米
（1）凉亭与游艇之间的距离是 米；
（2）请你说明小明做法的正确性．
24．（12分）如图，已知AD∥BC，AD＝CB，AE＝CF，求证：BE＝DF．
25．（14分）在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点M，N分别是边AB，BC上的动点，△BMN与△B′MN关于直线MN对称，点B的对称点为B′．
（1）如图1，当B′在边AC上时，若∠CNB′＝25°，求∠AMB′的度数；
（2）如图2，当∠BMB′＝30°且CN＝MN时，若CM BC＝2，求△AMC的面积．
2024—2025学年上学期福建初中数学八年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
【解答】解：A、“中”可以看作轴对称图形，故此选项符合题意；
B、“流”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
C、“砥”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
D、“柱”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（4分）在下列长度的四根木棒中，能与3cm，8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．3cm B．5cm C．7cm D．12cm
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】首先设第三根木棒长为x cm，根据三角形的三边关系定理可得8﹣3＜x＜8+3，计算出x的取值范围，然后可确定答案．
【解答】解：设第三根木棒长为x cm，由题意得：8﹣3＜x＜8+3，
∴5＜x＜11，
∴C选项7cm符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
3．（4分）如图，BC＝EC，AB＝DE，要使△ABC≌△DEC，则可以添加条件（ ）
A．∠BCE＝∠ACD B．∠A＝∠D
C．∠B＝∠E D．以上都不对
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】C
【分析】由全等三角形的判定方法：SAS，即可得到答案．
【解答】解：A、由∠BCE＝∠ACD，可以得到∠BCA＝∠ECD，但不一定能判定△ABC≌△DEC；
B、添加∠A＝∠D，不一定能判定△ABC≌△DEC；
C、因为BC＝EC，AB＝DE，添加条件∠B＝∠E，由SAS，能判定△ABC≌△DEC；
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
4．（4分）如图，∠A＝30°，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．150° B．180° C．220° D．210°
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据三角形外角性质和三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠B+∠C，∠1＝∠A+∠2，
∠4＝∠D+∠E，∠4＝∠A+∠3，
∴∠B+∠C+∠D+∠E＝∠1+∠4，∠1+∠4＝∠2+∠3+2∠A，
又∵∠2+∠3+∠A＝180°，∠A＝30°，
∴∠1+∠4＝180°+30°＝210°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E＝210°．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形外角性质、三角形内角和定理，熟知三角形角形内角和是180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题关键．
5．（4分）如图，图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．50° B．71° C．58° D．59°
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】根据全等三角形对应角相等可知∠α是a、b边的夹角，然后写出即可．
【解答】解：∵三角形内角和是180°，
∴a、b边的夹角度数为：180°﹣71°﹣50°＝59°，
∵图中的两个三角形全等，
∴∠α等于59°，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键．
6．（4分）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC＝12km，BC＝16km，则M，C两点之间的距离为（ ）
A．13km B．12km C．11km D．10km
【考点】勾股定理的应用．
【专题】几何图形问题；方程思想；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【答案】D
【分析】由勾股定理可得AB＝20，斜边中线等于斜边的一半，所以MC＝10．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2+CB2
∴AB＝20
∵M点是AB中点
∴MCAB＝10
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理和斜边中线的性质，综合了直角三角形的线段求法，是一道很好的问题．
7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD，BC于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，交CD于点F，则DF的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；矩形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；矩形 菱形 正方形；尺规作图；推理能力．
【答案】C
【分析】过点F作FH⊥BD于 H，由矩形的性质及勾股定理求出BD，由角平分线的性质得到FH＝FC＝8﹣DF，由全等三角形的判定和性质求得DH，在Rt△DFH中，根据勾股定理即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝8，∠C＝90°，
∴BD10，
过点F作FH⊥BD于 H，
由作法得BF平分∠CBD，
∴FH＝FC＝CD﹣DF＝8﹣DF，
在Rt△BCF≌△BHF中，
，
∴Rt△BCF和△BHF（HL），
∴BC＝BH＝6，
∴DH＝BD﹣BH＝4，
在Rt△DFH中，DH2+FH2＝DF2，
∴42+（8﹣DF）2＝DF2，
解得DF＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质，矩形的性质和全等三角形的性质和判定．
8．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，AD是∠BAC平分线，则BD的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．无法确定
【考点】角平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】由等腰三角形的性质得出BD＝CDBC即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC平分线，BC＝12，
∴BD＝CDBC＝6，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，难度不大．
9．（4分）△ABC中，∠A＝50°，AB、AC边上的高（或高的延长线）相交所成的角的度数是（ ）
A．40° B．140° C．40°或140° D．50°或130°
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】①△ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC＝∠A，从而得解．
【解答】解：①如图1，△ABC是锐角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，
在△ABD中，∵∠A＝50°，
∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝40°+90°＝130°；
②△ABC是钝角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠A+∠ACE＝90°，∠BHC+∠HCD＝90°，
∵∠ACE＝∠HCD（对顶角相等），
∴∠BHC＝∠A＝50°，
综上所述，∠BHC的度数是130°或50°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观．
10．（4分）如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线AD＝6，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E，F运动的过程中，EB+EF的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质．
【专题】三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．连接CE，由题意可得BE＝EC，将FE+EB转化为FE+CE，当点C，点E，点F三点共线，且CF⊥AB时，EC+EF值最小，即BE+EF的值最小，此时CF的长度为FE+EB的最小值．
【解答】解：如图：连接CE，
∵△ABC是等边三角形，AD是中线，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝EC，
∴BE+EF＝EC+EF，
∴当点C，点E，点F三点共线，且CF⊥AB时，EC+EF值最小，即BE+EF的值最小．
此时：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CF⊥AB，
∴AD＝CF＝6，
即EB+EF的最小值是6，
故选：A．
【点评】本题考查了最短路径问题，等边三角形的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知点P到x轴，y轴的距离分别是2和3，且点P关于y轴对称的点在第四象限，则点P关于x轴对称的点的坐标是 （﹣3，2） ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【答案】（﹣3，2）．
【分析】直接利用关于x，y轴对称点的性质以及坐标系内点的坐标特点，分析得出答案．
【解答】解：∵点P关于y轴对称的点在第四象限，
∴点P在第三象限，
∵点P到x轴，y轴的距离分别是2和3，
∴P（﹣3，﹣2），
∴点P关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
12．（4分）在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝20°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 70°或30° ．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【专题】分类讨论；三角形；运算能力；推理能力．
【答案】70°或30°．
【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理或直角三角形的两锐角的关系可得结论．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，当∠ADC＝90°时，
∵∠B＝20°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣20°＝70°；
②如图2，当∠ACD＝90°时，
∵∠A＝40°，∠B＝25°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣20°﹣40°＝1120°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝120°﹣90°＝30°，
综上，∠BCD的度数为70°或30°，
故答案为：70°或30°．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，能够分情况画出图形进行讨论是解决本题的关键．
13．（4分）As the picture shows，find the value of the unknows∠α＝ 45 °．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据互补的性质即可得出四边形三个内角，然后根据四边形内角和＝360°即可得出答案．
【解答】解：根据互补的性质可得出四边形三个角分别为150°，65°，100°，
根据四边形内角和＝360°，
∴∠α＝360°﹣150°﹣65°﹣100°＝45°．
故答案为45°．
【点评】本题主要考查了互补的性质及四边形内角和＝360°，难度适中．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，B（0，3），A（4，1），点C是第一象限内的点，且△ABC是以AB为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为 （6，5）或（2，7） ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；坐标与图形性质．
【专题】计算题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别从当∠ABC＝90°，AB＝BC时，当∠BAC＝90°，AB＝AC时去分析求解，利用全等三角形的判定与性质，即可求得点C的坐标．
【解答】解：当∠ABC＝90°，AB＝BC时，
过点C作CD⊥y轴于点D，过点A作AE⊥y轴于点E，
∴∠CDB＝∠AEB＝90°，
∵∠EAB+∠ABE＝90°，∠ABE+∠CBD＝90°，
∴∠EAB＝∠CBD，
在△AEB和△BDC中，
，
∴△AEB≌△BDC（AAS），
∴BD＝EA＝4，CD＝EB＝2，
∴OD＝OB+BD＝7，
∴点C的坐标为（2，7）．
当∠BAC＝90°，AB＝AC时，
过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥AE于点D，
同理证明△AEB≌△CDA，
∴CD＝EA＝4，AD＝EB＝2，
∴ED＝6，
∴C（6，5）．
综上可得：点C的坐标为：（6，5）或（2，7）．
故答案为：（6，5）或（2，7）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质．注意掌握数形结合思想、分类讨论思想的应用．
15．（4分）已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D在BC边上．
请从A，B两题中任选一题作答．我选择 AB 题．
A．如图1，若BD＝AB，则AD的长为 ．
B．如图2，若AD⊥AB，则AD的长为 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】A．；
B．．
【分析】A．作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质得出BE＝CE＝4，即可求得ED＝1，利用勾股定理求得AE，进一步求得AD；
B．作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质得出BE＝CE＝4，利用勾股定理求得AE，然后通过证得△ABD∽△EBA，即可求得AD．
【解答】解：A．作AE⊥BC于E，如图1，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BE＝CE＝4，
∵BD＝AB＝5，
∴ED＝5﹣4＝1，
∵AE3，
∴AD；
故答案为：；
B．作AE⊥BC于E，如图2，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BE＝CE＝4，
∴AE3，
∵∠ABD＝∠ABE，∠BAD＝∠AEB＝90°，
∴△ABD∽△EBA，
∴，即，
∴AD，
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
16．（4分）如图，直线a过正方形ABCD的顶点A，点B、D到直线a的距离分别为5、12，则正方形的周长为 52 ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】52．
【分析】先证Rt△AFD≌Rt△BEA（AAS），得DF＝AE＝12，AF＝BE＝5，再由勾股定理求出AB＝13，即可求出正方形的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝90°，
∵点B、D到直线a的距离分别为5、12，
∴DF⊥AF，BE⊥AE，BE＝5，DF＝12，
∴∠AFD＝∠BEA＝90°，∠ADF+∠DAF＝90°，
∵∠DAF+∠BAE＝90°，
∴∠ADF＝∠BAE，
在Rt△AFD和Rt△BEA中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△BEA（AAS），
∴DF＝AE＝12，AF＝BE＝5，
在Rt△BEA中，由勾股定理得：AB13，
∴正方形ABCD的周长＝4AB＝52，
故答案为：52．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，属于中考常考题型．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断上述结论是否成立；
（2）若与互为相反数，求6的值．
【考点】实数的性质；立方根．
【专题】计算题；实数；符号意识．
【答案】（1）成立，举例见解答；
（2）0．
【分析】（1）举例：2，2，可得8和﹣8互为相反数，即可求解；
（2）根据（1）的结论可得2x﹣8+（﹣x﹣28）＝0，解得x＝36，即可求解．
【解答】解：（1）举例：2，2，
∵2+（﹣2）＝0，
∴2和﹣2互为相反数，8和﹣8互为相反数，
∴结论：“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”成立；
（2）∵与互为相反数，
∴2x﹣8+（﹣x﹣28）＝0，
解得：x＝36，
∴66＝6﹣6＝0．
【点评】本题考查了相反数，立方根的定义和性质，解题的关键是将（1）中成立的结论运用在（2）中．
18．（8分）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得：x＜5，
解②得：x，
所以不等式组的解集为：x．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（8分）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．
（1）求证：△ADE≌△BEC；
（2）若M是线段DC的中点，连接EM，请写出线段EM与AD、BC之间的数量关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）AD2+BC2＝2EM2．
【分析】（1）根据HL证明Rt△ADE和Rt△BEC全等解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2，
∴ED＝EC，
∵∠A＝∠B＝90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）AD2+BC2＝2EM2，理由如下：
由（1）得Rt△ADE≌Rt△BEC，DE＝CE，
∴∠AED＝∠BCE，BC＝AE，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠BCE+∠CEB＝90°，
∴∠AED+∠CEB＝90°，
∴∠DEC＝180°﹣90°＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∵M为DC中点，
∴EMDC，且EM⊥CD，
∴EM＝DM，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝AD2+BC2，
同理可得，在Rt△EMD中，DE2＝EM2+DM2＝2EM2，
∴AD2+BC2＝2EM2．
【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，∠BAC＝80°，∠C＝70°．求∠BAD的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】60°．
【分析】根据三角形的内角和定理可求解交B的度数，再利用三角形的高线结合直角三角形的性质可求解∠BAD的度数．
【解答】解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠BAC＝80°，∠C＝70°，
∴∠B＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，直角三角形的性质，三角形的高线，求解∠B的度数是解题的额关键．
21．（8分）为了更好的推进乡村振兴，某城市一机构对乡村居民比较关心的四类信息进行了民意调查问卷，A：乡村医疗机构保障信息；B：农村大学生就业信息；C：乡村孩子上学信息；D：乡村居民住房保障信息，根据调查获得的信息关注度进行统计，得到下面两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解答相关问题．
（1）本次参与调查的乡村居民人数是多少？
（2）补全条形统计图．
（3）在扇形统计图中，求B所在的扇形圆心角的度数．
【考点】条形统计图；扇形统计图．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）1000；
（2）详见解答；
（3）54°．
【分析】（1）从两个统计图中可知，选择“D”的人数是400人，占调查人数的40%，根据频率可求出调查总人数；
（2）求出选择“C”“B”的人数即可补全条形统计图；
（3）求出样本中“B”所占的百分比，即可估计总体中“B”所占的百分比，进而求出相应的人数．
【解答】解：（1）400÷40%＝1000（人），
答：本次参与调查的乡村居民人数是1000人；
（2）选择“C”的人数：1000×20%＝200（人），
选择“B”的人数：1000﹣250﹣400﹣200＝150（人），
补全的条形统计图如下：
（3）360°54°，
答：在扇形统计图中，B所在的扇形圆心角的度数是54°．
【点评】本题考查扇形统计图，条形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键．
22．（10分）元旦期间，某商场搞促销活动，具体内容如表所示：
优惠条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元
优惠方式 没有优惠 全部按九折优惠 其中500元仍按九折优惠；超过500元的部分按八折优惠
（1）设一次性购买的物品原价是x元，当原价x超过200元但不超过500元时，实际付款为 0.9x 元；当原价x超过500元时，实际付款为 （0.8x+50） 元．（用含x的式子表示）
（2）若顾客甲购物时一次性付款490元，则甲所购物品的原价是多少元？
【考点】一元一次方程的应用；列代数式．
【专题】整式；一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）0.9x，（0.8x+50）；
（2）甲所购物品的原价是550元．
【分析】（1）当200＜x≤500时，实际付款为0.9x元．当x＞500时，实际付款为500×0.9+0.8（x﹣500）元．
（2）设甲所购物品的原价是y元，根据490＞500x0.9＝450，得出y＞500．根据题意，得0.8x+50＝490，
求解y值即可．
【解答】解：（1）当200＜x≤500时，实际付款为0.9x元．
当x＞500时，实际付款为500×0.9+0.8（x﹣500）＝（0.8x+50）元．
故答案为：0.9x，（0.8x+50）；
（2）设甲所购物品的原价是y元，
∵490＞500x0.9＝450，
∴y＞500．
根据题意，得0.8x+50＝490，
解得y＝550．
答：甲所购物品的原价是550元．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出等式或方程．
23．（10分）如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的S点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下测量方案．
课题 测量凉亭与游艇之间的距离
测量工具 皮尺等
测量方案示意图
测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆B旁； ②再往前走相同的距离，到达C点（即AB＝BC）； ③然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来．
测量结果 AS⊥AC，CD⊥AC，CD＝5米
（1）凉亭与游艇之间的距离是 5 米；
（2）请你说明小明做法的正确性．
【考点】全等三角形的应用；函数的表示方法．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：（1）凉亭与游艇之间的距离是5米；
故答案为：5．
（2）理由：在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（ASA），
∴AS＝CD＝5米．
【点评】本题考查的是全等三角形在实际生活中的运用，能根据题意画出图形是解答此题的关键．
24．（12分）如图，已知AD∥BC，AD＝CB，AE＝CF，求证：BE＝DF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的全等；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】可证出∠A＝∠C和AF＝CE，从而可证ADF≌△CBE（SAS），即可得证．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE，
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴BE＝DF．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键．
25．（14分）在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点M，N分别是边AB，BC上的动点，△BMN与△B′MN关于直线MN对称，点B的对称点为B′．
（1）如图1，当B′在边AC上时，若∠CNB′＝25°，求∠AMB′的度数；
（2）如图2，当∠BMB′＝30°且CN＝MN时，若CM BC＝2，求△AMC的面积．
【考点】轴对称的性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）65°；
（2）．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得∠A＝∠B＝45°，再由轴对称的性质得△BMN≌△B'MN，得∠B＝∠MB′N＝45°，∠MNB＝∠MNB′＝77.5°，则∠NMB＝∠NMB′＝180°﹣∠B﹣∠MNB＝57.5°，
得∠BMB′＝2∠NMB＝115°，即可解决问题；
（2）过M作MH⊥AC于点H，由折叠的性质得∠BMN＝∠NMB′＝15°，再证△CMN是等边三角形，得∠MCN＝60°，则∠ACM＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得MHCM，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，CA＝CB，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵△MNB′是由△MNB翻折得到，
∴∠B＝∠MB′N＝45°，∠MNB＝∠MNB′（180°﹣25°）＝77.5°，
∴∠NMB＝∠NMB′＝180°﹣∠B﹣∠MNB＝180°﹣45°﹣77.5°＝57.5°，
∴∠BMB′＝2∠NMB＝115°，
∴∠AMB′＝180°﹣∠BMB'＝180°﹣115°＝65°；
（2）如图2，过M作MH⊥AC于点H，
∵△MNB′是由△MNB翻折得到，∠BMB′＝30°，
∴∠BMN＝∠NMB′＝15°，
∵∠B＝45°，
∴∠CNM＝∠B+∠NMB＝60°，
∵CN＝MN，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠MCN＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM＝30°，
∵MH⊥AC，
∴∠MHC＝90°，
∴MHCM，
∴S△AMCAC MHBC CMCM BC2．
【点评】本题考查了全等三角形的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
考点卡片
1．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
2．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
3．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
4．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
5．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
6．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
7．函数的表示方法
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
8．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
9．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
10．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
11．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
12．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
13．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
14．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
15．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
16．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
17．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
18．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
19．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
20．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
21．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
22．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
23．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
24．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
25．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
26．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
27．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
28．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
2024—2025学年上学期福建初中数学八年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）在下列长度的四根木棒中，能与3cm，8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．3cm B．5cm C．7cm D．12cm
3．（4分）如图，BC＝EC，AB＝DE，要使△ABC≌△DEC，则可以添加条件（ ）
A．∠BCE＝∠ACD B．∠A＝∠D
C．∠B＝∠E D．以上都不对
4．（4分）如图，∠A＝30°，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．150° B．180° C．220° D．210°
5．（4分）如图，图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．50° B．71° C．58° D．59°
6．（4分）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC＝12km，BC＝16km，则M，C两点之间的距离为（ ）
A．13km B．12km C．11km D．10km
7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD，BC于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，交CD于点F，则DF的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
8．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，AD是∠BAC平分线，则BD的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．无法确定
9．（4分）△ABC中，∠A＝50°，AB、AC边上的高（或高的延长线）相交所成的角的度数是（ ）
A．40° B．140° C．40°或140° D．50°或130°
10．（4分）如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线AD＝6，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E，F运动的过程中，EB+EF的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知点P到x轴，y轴的距离分别是2和3，且点P关于y轴对称的点在第四象限，则点P关于x轴对称的点的坐标是 ．
12．（4分）在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝20°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 ．
13．（4分）As the picture shows，find the value of the unknows∠α＝ °．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，B（0，3），A（4，1），点C是第一象限内的点，且△ABC是以AB为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为 ．
15．（4分）已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D在BC边上．
请从A，B两题中任选一题作答．我选择 题．
A．如图1，若BD＝AB，则AD的长为 ．
B．如图2，若AD⊥AB，则AD的长为 ．
16．（4分）如图，直线a过正方形ABCD的顶点A，点B、D到直线a的距离分别为5、12，则正方形的周长为 ．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断上述结论是否成立；
（2）若与互为相反数，求6的值．
18．（8分）解不等式组：．
19．（8分）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．
（1）求证：△ADE≌△BEC；
（2）若M是线段DC的中点，连接EM，请写出线段EM与AD、BC之间的数量关系，并说明理由．
20．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，∠BAC＝80°，∠C＝70°．求∠BAD的度数．
21．（8分）为了更好的推进乡村振兴，某城市一机构对乡村居民比较关心的四类信息进行了民意调查问卷，A：乡村医疗机构保障信息；B：农村大学生就业信息；C：乡村孩子上学信息；D：乡村居民住房保障信息，根据调查获得的信息关注度进行统计，得到下面两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解答相关问题．
（1）本次参与调查的乡村居民人数是多少？
（2）补全条形统计图．
（3）在扇形统计图中，求B所在的扇形圆心角的度数．
22．（10分）元旦期间，某商场搞促销活动，具体内容如表所示：
优惠条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元
优惠方式 没有优惠 全部按九折优惠 其中500元仍按九折优惠；超过500元的部分按八折优惠
（1）设一次性购买的物品原价是x元，当原价x超过200元但不超过500元时，实际付款为 元；当原价x超过500元时，实际付款为 元．（用含x的式子表示）
（2）若顾客甲购物时一次性付款490元，则甲所购物品的原价是多少元？
23．（10分）如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的S点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下测量方案．
课题 测量凉亭与游艇之间的距离
测量工具 皮尺等
测量方案示意图
测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆B旁； ②再往前走相同的距离，到达C点（即AB＝BC）； ③然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来．
测量结果 AS⊥AC，CD⊥AC，CD＝5米
（1）凉亭与游艇之间的距离是 米；
（2）请你说明小明做法的正确性．
24．（12分）如图，已知AD∥BC，AD＝CB，AE＝CF，求证：BE＝DF．
25．（14分）在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点M，N分别是边AB，BC上的动点，△BMN与△B′MN关于直线MN对称，点B的对称点为B′．
（1）如图1，当B′在边AC上时，若∠CNB′＝25°，求∠AMB′的度数；
（2）如图2，当∠BMB′＝30°且CN＝MN时，若CM BC＝2，求△AMC的面积．
2024—2025学年上学期福建初中数学八年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
【解答】解：A、“中”可以看作轴对称图形，故此选项符合题意；
B、“流”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
C、“砥”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
D、“柱”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（4分）在下列长度的四根木棒中，能与3cm，8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．3cm B．5cm C．7cm D．12cm
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】首先设第三根木棒长为x cm，根据三角形的三边关系定理可得8﹣3＜x＜8+3，计算出x的取值范围，然后可确定答案．
【解答】解：设第三根木棒长为x cm，由题意得：8﹣3＜x＜8+3，
∴5＜x＜11，
∴C选项7cm符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
3．（4分）如图，BC＝EC，AB＝DE，要使△ABC≌△DEC，则可以添加条件（ ）
A．∠BCE＝∠ACD B．∠A＝∠D
C．∠B＝∠E D．以上都不对
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】C
【分析】由全等三角形的判定方法：SAS，即可得到答案．
【解答】解：A、由∠BCE＝∠ACD，可以得到∠BCA＝∠ECD，但不一定能判定△ABC≌△DEC；
B、添加∠A＝∠D，不一定能判定△ABC≌△DEC；
C、因为BC＝EC，AB＝DE，添加条件∠B＝∠E，由SAS，能判定△ABC≌△DEC；
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
4．（4分）如图，∠A＝30°，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．150° B．180° C．220° D．210°
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据三角形外角性质和三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠B+∠C，∠1＝∠A+∠2，
∠4＝∠D+∠E，∠4＝∠A+∠3，
∴∠B+∠C+∠D+∠E＝∠1+∠4，∠1+∠4＝∠2+∠3+2∠A，
又∵∠2+∠3+∠A＝180°，∠A＝30°，
∴∠1+∠4＝180°+30°＝210°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E＝210°．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形外角性质、三角形内角和定理，熟知三角形角形内角和是180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题关键．
5．（4分）如图，图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．50° B．71° C．58° D．59°
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】根据全等三角形对应角相等可知∠α是a、b边的夹角，然后写出即可．
【解答】解：∵三角形内角和是180°，
∴a、b边的夹角度数为：180°﹣71°﹣50°＝59°，
∵图中的两个三角形全等，
∴∠α等于59°，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键．
6．（4分）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC＝12km，BC＝16km，则M，C两点之间的距离为（ ）
A．13km B．12km C．11km D．10km
【考点】勾股定理的应用．
【专题】几何图形问题；方程思想；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【答案】D
【分析】由勾股定理可得AB＝20，斜边中线等于斜边的一半，所以MC＝10．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2+CB2
∴AB＝20
∵M点是AB中点
∴MCAB＝10
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理和斜边中线的性质，综合了直角三角形的线段求法，是一道很好的问题．
7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD，BC于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，交CD于点F，则DF的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；矩形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；矩形 菱形 正方形；尺规作图；推理能力．
【答案】C
【分析】过点F作FH⊥BD于 H，由矩形的性质及勾股定理求出BD，由角平分线的性质得到FH＝FC＝8﹣DF，由全等三角形的判定和性质求得DH，在Rt△DFH中，根据勾股定理即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝8，∠C＝90°，
∴BD10，
过点F作FH⊥BD于 H，
由作法得BF平分∠CBD，
∴FH＝FC＝CD﹣DF＝8﹣DF，
在Rt△BCF≌△BHF中，
，
∴Rt△BCF和△BHF（HL），
∴BC＝BH＝6，
∴DH＝BD﹣BH＝4，
在Rt△DFH中，DH2+FH2＝DF2，
∴42+（8﹣DF）2＝DF2，
解得DF＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质，矩形的性质和全等三角形的性质和判定．
8．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，AD是∠BAC平分线，则BD的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．无法确定
【考点】角平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】由等腰三角形的性质得出BD＝CDBC即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC平分线，BC＝12，
∴BD＝CDBC＝6，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，难度不大．
9．（4分）△ABC中，∠A＝50°，AB、AC边上的高（或高的延长线）相交所成的角的度数是（ ）
A．40° B．140° C．40°或140° D．50°或130°
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】①△ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC＝∠A，从而得解．
【解答】解：①如图1，△ABC是锐角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，
在△ABD中，∵∠A＝50°，
∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝40°+90°＝130°；
②△ABC是钝角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠A+∠ACE＝90°，∠BHC+∠HCD＝90°，
∵∠ACE＝∠HCD（对顶角相等），
∴∠BHC＝∠A＝50°，
综上所述，∠BHC的度数是130°或50°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观．
10．（4分）如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线AD＝6，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E，F运动的过程中，EB+EF的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质．
【专题】三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．连接CE，由题意可得BE＝EC，将FE+EB转化为FE+CE，当点C，点E，点F三点共线，且CF⊥AB时，EC+EF值最小，即BE+EF的值最小，此时CF的长度为FE+EB的最小值．
【解答】解：如图：连接CE，
∵△ABC是等边三角形，AD是中线，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝EC，
∴BE+EF＝EC+EF，
∴当点C，点E，点F三点共线，且CF⊥AB时，EC+EF值最小，即BE+EF的值最小．
此时：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CF⊥AB，
∴AD＝CF＝6，
即EB+EF的最小值是6，
故选：A．
【点评】本题考查了最短路径问题，等边三角形的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知点P到x轴，y轴的距离分别是2和3，且点P关于y轴对称的点在第四象限，则点P关于x轴对称的点的坐标是 （﹣3，2） ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【答案】（﹣3，2）．
【分析】直接利用关于x，y轴对称点的性质以及坐标系内点的坐标特点，分析得出答案．
【解答】解：∵点P关于y轴对称的点在第四象限，
∴点P在第三象限，
∵点P到x轴，y轴的距离分别是2和3，
∴P（﹣3，﹣2），
∴点P关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
12．（4分）在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝20°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 70°或30° ．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【专题】分类讨论；三角形；运算能力；推理能力．
【答案】70°或30°．
【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理或直角三角形的两锐角的关系可得结论．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，当∠ADC＝90°时，
∵∠B＝20°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣20°＝70°；
②如图2，当∠ACD＝90°时，
∵∠A＝40°，∠B＝25°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣20°﹣40°＝1120°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝120°﹣90°＝30°，
综上，∠BCD的度数为70°或30°，
故答案为：70°或30°．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，能够分情况画出图形进行讨论是解决本题的关键．
13．（4分）As the picture shows，find the value of the unknows∠α＝ 45 °．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据互补的性质即可得出四边形三个内角，然后根据四边形内角和＝360°即可得出答案．
【解答】解：根据互补的性质可得出四边形三个角分别为150°，65°，100°，
根据四边形内角和＝360°，
∴∠α＝360°﹣150°﹣65°﹣100°＝45°．
故答案为45°．
【点评】本题主要考查了互补的性质及四边形内角和＝360°，难度适中．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，B（0，3），A（4，1），点C是第一象限内的点，且△ABC是以AB为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为 （6，5）或（2，7） ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；坐标与图形性质．
【专题】计算题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别从当∠ABC＝90°，AB＝BC时，当∠BAC＝90°，AB＝AC时去分析求解，利用全等三角形的判定与性质，即可求得点C的坐标．
【解答】解：当∠ABC＝90°，AB＝BC时，
过点C作CD⊥y轴于点D，过点A作AE⊥y轴于点E，
∴∠CDB＝∠AEB＝90°，
∵∠EAB+∠ABE＝90°，∠ABE+∠CBD＝90°，
∴∠EAB＝∠CBD，
在△AEB和△BDC中，
，
∴△AEB≌△BDC（AAS），
∴BD＝EA＝4，CD＝EB＝2，
∴OD＝OB+BD＝7，
∴点C的坐标为（2，7）．
当∠BAC＝90°，AB＝AC时，
过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥AE于点D，
同理证明△AEB≌△CDA，
∴CD＝EA＝4，AD＝EB＝2，
∴ED＝6，
∴C（6，5）．
综上可得：点C的坐标为：（6，5）或（2，7）．
故答案为：（6，5）或（2，7）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质．注意掌握数形结合思想、分类讨论思想的应用．
15．（4分）已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D在BC边上．
请从A，B两题中任选一题作答．我选择 AB 题．
A．如图1，若BD＝AB，则AD的长为 ．
B．如图2，若AD⊥AB，则AD的长为 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】A．；
B．．
【分析】A．作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质得出BE＝CE＝4，即可求得ED＝1，利用勾股定理求得AE，进一步求得AD；
B．作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质得出BE＝CE＝4，利用勾股定理求得AE，然后通过证得△ABD∽△EBA，即可求得AD．
【解答】解：A．作AE⊥BC于E，如图1，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BE＝CE＝4，
∵BD＝AB＝5，
∴ED＝5﹣4＝1，
∵AE3，
∴AD；
故答案为：；
B．作AE⊥BC于E，如图2，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BE＝CE＝4，
∴AE3，
∵∠ABD＝∠ABE，∠BAD＝∠AEB＝90°，
∴△ABD∽△EBA，
∴，即，
∴AD，
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
16．（4分）如图，直线a过正方形ABCD的顶点A，点B、D到直线a的距离分别为5、12，则正方形的周长为 52 ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】52．
【分析】先证Rt△AFD≌Rt△BEA（AAS），得DF＝AE＝12，AF＝BE＝5，再由勾股定理求出AB＝13，即可求出正方形的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝90°，
∵点B、D到直线a的距离分别为5、12，
∴DF⊥AF，BE⊥AE，BE＝5，DF＝12，
∴∠AFD＝∠BEA＝90°，∠ADF+∠DAF＝90°，
∵∠DAF+∠BAE＝90°，
∴∠ADF＝∠BAE，
在Rt△AFD和Rt△BEA中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△BEA（AAS），
∴DF＝AE＝12，AF＝BE＝5，
在Rt△BEA中，由勾股定理得：AB13，
∴正方形ABCD的周长＝4AB＝52，
故答案为：52．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，属于中考常考题型．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断上述结论是否成立；
（2）若与互为相反数，求6的值．
【考点】实数的性质；立方根．
【专题】计算题；实数；符号意识．
【答案】（1）成立，举例见解答；
（2）0．
【分析】（1）举例：2，2，可得8和﹣8互为相反数，即可求解；
（2）根据（1）的结论可得2x﹣8+（﹣x﹣28）＝0，解得x＝36，即可求解．
【解答】解：（1）举例：2，2，
∵2+（﹣2）＝0，
∴2和﹣2互为相反数，8和﹣8互为相反数，
∴结论：“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”成立；
（2）∵与互为相反数，
∴2x﹣8+（﹣x﹣28）＝0，
解得：x＝36，
∴66＝6﹣6＝0．
【点评】本题考查了相反数，立方根的定义和性质，解题的关键是将（1）中成立的结论运用在（2）中．
18．（8分）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得：x＜5，
解②得：x，
所以不等式组的解集为：x．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（8分）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．
（1）求证：△ADE≌△BEC；
（2）若M是线段DC的中点，连接EM，请写出线段EM与AD、BC之间的数量关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）AD2+BC2＝2EM2．
【分析】（1）根据HL证明Rt△ADE和Rt△BEC全等解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2，
∴ED＝EC，
∵∠A＝∠B＝90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）AD2+BC2＝2EM2，理由如下：
由（1）得Rt△ADE≌Rt△BEC，DE＝CE，
∴∠AED＝∠BCE，BC＝AE，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠BCE+∠CEB＝90°，
∴∠AED+∠CEB＝90°，
∴∠DEC＝180°﹣90°＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∵M为DC中点，
∴EMDC，且EM⊥CD，
∴EM＝DM，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝AD2+BC2，
同理可得，在Rt△EMD中，DE2＝EM2+DM2＝2EM2，
∴AD2+BC2＝2EM2．
【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，∠BAC＝80°，∠C＝70°．求∠BAD的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】60°．
【分析】根据三角形的内角和定理可求解交B的度数，再利用三角形的高线结合直角三角形的性质可求解∠BAD的度数．
【解答】解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠BAC＝80°，∠C＝70°，
∴∠B＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，直角三角形的性质，三角形的高线，求解∠B的度数是解题的额关键．
21．（8分）为了更好的推进乡村振兴，某城市一机构对乡村居民比较关心的四类信息进行了民意调查问卷，A：乡村医疗机构保障信息；B：农村大学生就业信息；C：乡村孩子上学信息；D：乡村居民住房保障信息，根据调查获得的信息关注度进行统计，得到下面两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解答相关问题．
（1）本次参与调查的乡村居民人数是多少？
（2）补全条形统计图．
（3）在扇形统计图中，求B所在的扇形圆心角的度数．
【考点】条形统计图；扇形统计图．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）1000；
（2）详见解答；
（3）54°．
【分析】（1）从两个统计图中可知，选择“D”的人数是400人，占调查人数的40%，根据频率可求出调查总人数；
（2）求出选择“C”“B”的人数即可补全条形统计图；
（3）求出样本中“B”所占的百分比，即可估计总体中“B”所占的百分比，进而求出相应的人数．
【解答】解：（1）400÷40%＝1000（人），
答：本次参与调查的乡村居民人数是1000人；
（2）选择“C”的人数：1000×20%＝200（人），
选择“B”的人数：1000﹣250﹣400﹣200＝150（人），
补全的条形统计图如下：
（3）360°54°，
答：在扇形统计图中，B所在的扇形圆心角的度数是54°．
【点评】本题考查扇形统计图，条形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键．
22．（10分）元旦期间，某商场搞促销活动，具体内容如表所示：
优惠条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元
优惠方式 没有优惠 全部按九折优惠 其中500元仍按九折优惠；超过500元的部分按八折优惠
（1）设一次性购买的物品原价是x元，当原价x超过200元但不超过500元时，实际付款为 0.9x 元；当原价x超过500元时，实际付款为 （0.8x+50） 元．（用含x的式子表示）
（2）若顾客甲购物时一次性付款490元，则甲所购物品的原价是多少元？
【考点】一元一次方程的应用；列代数式．
【专题】整式；一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）0.9x，（0.8x+50）；
（2）甲所购物品的原价是550元．
【分析】（1）当200＜x≤500时，实际付款为0.9x元．当x＞500时，实际付款为500×0.9+0.8（x﹣500）元．
（2）设甲所购物品的原价是y元，根据490＞500x0.9＝450，得出y＞500．根据题意，得0.8x+50＝490，
求解y值即可．
【解答】解：（1）当200＜x≤500时，实际付款为0.9x元．
当x＞500时，实际付款为500×0.9+0.8（x﹣500）＝（0.8x+50）元．
故答案为：0.9x，（0.8x+50）；
（2）设甲所购物品的原价是y元，
∵490＞500x0.9＝450，
∴y＞500．
根据题意，得0.8x+50＝490，
解得y＝550．
答：甲所购物品的原价是550元．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出等式或方程．
23．（10分）如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的S点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下测量方案．
课题 测量凉亭与游艇之间的距离
测量工具 皮尺等
测量方案示意图
测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆B旁； ②再往前走相同的距离，到达C点（即AB＝BC）； ③然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来．
测量结果 AS⊥AC，CD⊥AC，CD＝5米
（1）凉亭与游艇之间的距离是 5 米；
（2）请你说明小明做法的正确性．
【考点】全等三角形的应用；函数的表示方法．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：（1）凉亭与游艇之间的距离是5米；
故答案为：5．
（2）理由：在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（ASA），
∴AS＝CD＝5米．
【点评】本题考查的是全等三角形在实际生活中的运用，能根据题意画出图形是解答此题的关键．
24．（12分）如图，已知AD∥BC，AD＝CB，AE＝CF，求证：BE＝DF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的全等；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】可证出∠A＝∠C和AF＝CE，从而可证ADF≌△CBE（SAS），即可得证．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE，
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴BE＝DF．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键．
25．（14分）在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点M，N分别是边AB，BC上的动点，△BMN与△B′MN关于直线MN对称，点B的对称点为B′．
（1）如图1，当B′在边AC上时，若∠CNB′＝25°，求∠AMB′的度数；
（2）如图2，当∠BMB′＝30°且CN＝MN时，若CM BC＝2，求△AMC的面积．
【考点】轴对称的性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）65°；
（2）．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得∠A＝∠B＝45°，再由轴对称的性质得△BMN≌△B'MN，得∠B＝∠MB′N＝45°，∠MNB＝∠MNB′＝77.5°，则∠NMB＝∠NMB′＝180°﹣∠B﹣∠MNB＝57.5°，
得∠BMB′＝2∠NMB＝115°，即可解决问题；
（2）过M作MH⊥AC于点H，由折叠的性质得∠BMN＝∠NMB′＝15°，再证△CMN是等边三角形，得∠MCN＝60°，则∠ACM＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得MHCM，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，CA＝CB，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵△MNB′是由△MNB翻折得到，
∴∠B＝∠MB′N＝45°，∠MNB＝∠MNB′（180°﹣25°）＝77.5°，
∴∠NMB＝∠NMB′＝180°﹣∠B﹣∠MNB＝180°﹣45°﹣77.5°＝57.5°，
∴∠BMB′＝2∠NMB＝115°，
∴∠AMB′＝180°﹣∠BMB'＝180°﹣115°＝65°；
（2）如图2，过M作MH⊥AC于点H，
∵△MNB′是由△MNB翻折得到，∠BMB′＝30°，
∴∠BMN＝∠NMB′＝15°，
∵∠B＝45°，
∴∠CNM＝∠B+∠NMB＝60°，
∵CN＝MN，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠MCN＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM＝30°，
∵MH⊥AC，
∴∠MHC＝90°，
∴MHCM，
∴S△AMCAC MHBC CMCM BC2．
【点评】本题考查了全等三角形的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
考点卡片
1．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
2．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
3．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
4．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
5．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
6．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
7．函数的表示方法
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
8．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
9．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
10．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
11．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
12．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
13．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
14．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
15．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
16．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
17．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
18．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
19．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
20．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
21．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
22．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
23．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
24．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
25．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
26．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
27．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
28．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
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