2024—2025学年上学期上海初中数学八年级开学模拟试卷1（含解析+知识卡片）

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2024—2025学年上学期上海初中数学八年级开学模拟试卷1
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）一次函数y＝﹣2（x﹣3）在y轴上的截距是（　　）
A．2 B．﹣3 C．﹣6 D．6
3．（3分）由下列三条线段组成的三角形是直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，14
4．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点D，交BC于点E．若AB＝10cm，AC＝8cm，则△ACD的周长是（　　）
A．12cm B．18cm C．16cm D．14cm
5．（3分）在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（　　）
A．（60+2x）（40+2x）＝2816
B．（60+x）（40+x）＝2816
C．（60+2x）（40+x）＝2816
D．（60+x）（40+2x）＝2816
6．（3分）若三角形的三边长为，，2．则此三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
7．（3分）计算：　 　．
8．（3分）计算：　 　．
9．（3分）在实数范围因式分解：x2﹣2xy+y2﹣3＝　 　．
10．（3分）当k 　 　时，y＝（k+3）x2﹣kx+2是关于x的二次函数．
11．（3分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部A'的位置，且A'与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C＝90°，∠A＝34°．若保持△A'DE的一边与BC平行，则∠ADE的度数 　 　．
12．（3分）命题：“两个直角三角形的面积相等，则两个直角三角形全等”是 　 　命题．（填“真”或“假”）
13．（3分）方程组的解是　 　．
14．（3分）已知直线y＝﹣2x﹣3b与两坐标轴围成的三角形面积为9，则b＝　 　．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 　 　．
①AD是∠BAC的平分线
②∠ADC＝60°
③点D在AB的垂直平分线上
④若AD＝2dm，则点D到AB的距离是1dm
⑤S△DAC：S△DAB＝1：2
16．（3分）已知△ABC的一条直角边为12，另外两边为连续奇数，则△ABC的面积为 　 　．
17．（3分）已知反比例函数y的图象经过点（﹣2，3），则k的值为 　 　．
18．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A＝　 　．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）若（a﹣3）a+2＝1．求a的值．
20．（6分）用公式法解下列方程：
（1）3x2+4x﹣7＝0；
（2）2x2+7x＝4；
（3）t2+4t＝1；
（4）p（p﹣8）＝16．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．
22．（6分）课堂上，老师给出如下命题：
等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．
（1）如图是小明画出的图形，请你将已知、求证、证明的过程补充完整．
已知，在△ABC中，　 　．
求证：　 　．
证明：　 　．
（2）利用（1）中的结论解答问题，若等腰三角形的一个内角为40度，则该等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为　 　度．
23．（6分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠ABO＝30°，若点A在反比例函数y（x＜0）的图象上，求经过点B的反比例函数解析式．
24．（10分）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，车离开A城的距离y与时间t的对应关系如图所示．
（1）A，B两城相距　 　km；　 　车先到B城；（填甲、乙）
（2）求甲、乙两车的平均速度；
（3）先到的一辆车不停留立刻原路原速返回，返回时在某一时刻与另一车相遇，此刻的相遇位置距B城多远？
25．（12分）（1）请用直尺，圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D，求作：等腰△PBD，使线段BD为底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．
（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝60°，求等腰△PBD顶角的度数．
26．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A出发，沿AC﹣CB以每秒5个单位的速度向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q．将△APQ绕点P逆时针旋转90°得到△A′PQ′，设点P的运动时间为t秒．
（1）当点P在AC和BC上运动时、分别求线段PQ的长（用含t的代数式表示）；
（2）当点Q′落在边BC上时．求t的值；
（3）在点P的运动过程中，求点A′在△ABC区域（含边界）内的时长；
（4）若边AB，AC的中点分别为点M，N，当点A′落在直线MN上时，直接写出t的值．
2024—2025学年上学期上海初中数学八年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据二次根式的定义逐一判断即可．
【解答】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意；
B、2，被开方数含有开的尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、5，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟记最简二次根式的概念是解题的关键．
2．（3分）一次函数y＝﹣2（x﹣3）在y轴上的截距是（　　）
A．2 B．﹣3 C．﹣6 D．6
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】令x＝0，则y＝﹣6，即一次函数与y轴交点为（0，﹣6），即可得出答案．
【解答】解：在y＝﹣2（x﹣3）中，
令x＝0，则y＝6，
即一次函数与y轴交点为（0，6），
∴一次函数在y轴上的截距为6．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，属于基础题，关键是令x＝0求出与y轴的交点坐标．
3．（3分）由下列三条线段组成的三角形是直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，14
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】常规题型．
【答案】B
【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断三角形是不是直角三角形，据此进行判断．
【解答】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+12＝（）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+82≠112，不能构成直角三角形，故错误；
D、52+122≠142，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
4．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点D，交BC于点E．若AB＝10cm，AC＝8cm，则△ACD的周长是（　　）
A．12cm B．18cm C．16cm D．14cm
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴△ACD的周长＝AD+DC+AC＝AD+DB+AC＝AB+AC＝18（cm），
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．（3分）在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（　　）
A．（60+2x）（40+2x）＝2816
B．（60+x）（40+x）＝2816
C．（60+2x）（40+x）＝2816
D．（60+x）（40+2x）＝2816
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据题意可知：矩形挂图的长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm；则运用面积公式列方程即可．
【解答】解：挂图长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm，
所以根据矩形的面积公式可得：（60+2x）（40+2x）＝2816．
故选：A．
【点评】此题是一元二次方程的应用，解此类题的关键是看准题型列面积方程，矩形的面积＝矩形的长×矩形的宽．
6．（3分）若三角形的三边长为，，2．则此三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的应用．
【专题】常规题型；几何直观；运算能力．
【答案】A
【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出此三角形为直角三角形，再利用直角三角形面积求法得出答案．
【解答】解：∵（）2+22＝（）2，
∴三角形的三边长为，，2，此三角形为直角三角形，
故此三角形的面积为：2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确应用勾股定理的逆定理是解题关键．
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
7．（3分）计算：　3　．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】3．
【分析】利用二次根式的性质得到原式＝|3|，然后去绝对值即可．
【解答】解：原式＝|3|
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键．
8．（3分）计算：　8　．
【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】8．
【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝9
＝8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减法和二次根式的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
9．（3分）在实数范围因式分解：x2﹣2xy+y2﹣3＝　（x﹣y）（x﹣y）　．
【考点】实数范围内分解因式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】．
【分析】先利用完全平方公式进行分解，再用平方差公式分解即可．
【解答】解：x2﹣2xy+y2﹣3
＝（x﹣y）2﹣3
．
故答案为：（x﹣y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了因式分解，解题关键是恰当进行分组，然后用公式法分解．
10．（3分）当k 　≠﹣3　时，y＝（k+3）x2﹣kx+2是关于x的二次函数．
【考点】二次函数的定义．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】≠﹣3．
【分析】根据二次函数的定义得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵y＝（k+3）x2﹣kx+2是关于x的二次函数，
∴k+3≠0，
解得k≠﹣3．
故答案为：≠﹣3．
【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
11．（3分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部A'的位置，且A'与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C＝90°，∠A＝34°．若保持△A'DE的一边与BC平行，则∠ADE的度数 　45°或28°　．
【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】45°或28°．
【分析】分DA'∥BC或EA'∥BC两种情况，分别画出图形，即可解决问题．
【解答】解：当DA'∥BC时，如图，
∠A'DA＝∠ACB＝90°，
∵△ADE沿DE折叠到A'DE，
∴∠ADE＝∠A'DE∠ADA′＝45°；
当EA'∥BC时，如图，连接AA'，
则∠2＝∠ABC＝56°，
∵∠DA'E＝∠BAC＝34°，
∴∠1＝34°+56°＝90°，
∴∠ADA′＝180°﹣90°﹣34°＝56°，
∵△ADE沿DE折叠到A'DE，
∴∠ADE∠ADA′＝28°，
综上所述，∠ADE的度数为：45°或28°．
故答案为：45°或28°．
【点评】本题主要考查了翻折的性质，平行线的性质等知识，能根据题意，运用分类讨论思想分别画出图形是解题的关键．
12．（3分）命题：“两个直角三角形的面积相等，则两个直角三角形全等”是 　假　命题．（填“真”或“假”）
【考点】命题与定理；三角形的面积；直角三角形全等的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】假．
【分析】由全等三角形的判定，即可判断．
【解答】解：“两个直角三角形的面积相等，则两个直角三角形全等”是假命题．
故答案为：假．
【点评】本题考查全等三角形的判定，命题与定理，三角形的面积，关键是掌握全等三角形的判定方法．
13．（3分）方程组的解是　　．
【考点】高次方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先将三式变形，得到xy+zx＝3（x+y+z），xy+zy＝4（x+y+z），zy+zx＝5（x+y+z）再分别进行加减运算得出2y＝3x，2y＝z，进而代入方程，即可得出y值，以及x，z的值．
【解答】解：题中三个式子经过通分变形得：
xy+zx＝3（x+y+z） （1）
xy+zy＝4（x+y+z） （2）
zy+zx＝5（x+y+z） （3）
又由（2）﹣（1）得：x+y+z＝zy﹣zx 代入（3）化简得：2y＝3x （4），
同理（3）﹣（2）得：x+y+z＝zx﹣xy 代入 （1）化简得：2y＝z （5）
所以：又由（4）（5）得：
xy； z＝2y 代入题中第一个式子化简得：y，
所以x，z＝11，
所以，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了高次方程组的解法，根据已知将原式变形为xy+zx＝3（x+y+z），xy+zy＝4（x+y+z），zy+zx＝5（x+y+z）利用代入消元法求出是解题关键．
14．（3分）已知直线y＝﹣2x﹣3b与两坐标轴围成的三角形面积为9，则b＝　±2　．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可找出直线y＝﹣2x﹣3b与两坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式即可得出关于b的方程，解之即可得出结论．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣2x﹣3b＝﹣3b，
∴直线y＝﹣2x﹣3b与y轴交于点（0，﹣3b）；
当y＝0时，﹣2x﹣3b＝0，
解得：xb，
∴直线y＝﹣2x﹣3b与x轴的交点坐标为（b，0）．
∵直线y＝﹣2x﹣3b与两坐标轴围成的三角形面积为9，
∴|﹣3b|×|b|＝9，
解得：b＝±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，找出关于b的方程是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 　5　．
①AD是∠BAC的平分线
②∠ADC＝60°
③点D在AB的垂直平分线上
④若AD＝2dm，则点D到AB的距离是1dm
⑤S△DAC：S△DAB＝1：2
【考点】含30度角的直角三角形；作图—基本作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】5．
【分析】根据作图过程可得AD是∠BAC的平分线，可以判断①；根据△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，可得∠BAC＝60°，再根据直角三角形两个锐角互余求出∠ADC，可以判断②；根据∠B＝∠DAB＝30°，得出DA＝DB，可以判断③；过点D作DH⊥AB于H，根据“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可得DH＝1，可以判断④；证明BD＝AD＝2CD，根据三角形面积公式可以判断⑤，进而可得答案．
【解答】解：根据作图过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①正确；
∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣∠DAC＝90°﹣30°＝60°，故②正确；
∵∠B＝∠DAB＝30°，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，故③正确；
如下图，过点D作DH⊥AB于H，
∵∠DAB＝30°，
∴，
即点D到AB的距离是1dm，故④正确；
∵∠DAC＝30°，∠C＝90°，
∴AD＝2CD，
∵DA＝DB，
∴BD＝2CD，
又∵，，
∴S△DAC：S△ABD＝1：2，故⑤正确．
综上所述，正确的有①②③④⑤．
故答案为：5．
【点评】本题考查了作图—基本作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的判定、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解决本题的关键是熟练掌握相关知识．
16．（3分）已知△ABC的一条直角边为12，另外两边为连续奇数，则△ABC的面积为 　210　．
【考点】三角形的面积．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】210．
【分析】设另一条直角边为x，则斜边为x+2，由勾股定理得122+x2＝（x+2）2，解得x＝35，再由三角形面积公式求解即可．
【解答】解：设另一条直角边为x，则斜边为x+2，
由勾股定理得：122+x2＝（x+2）2，
解得：x＝35，
∴S△ABC12×35＝210，
故答案为：210．
【点评】本题考查了勾股定理以及三角形面积公式，由勾股定理得出方程是解题的关键．
17．（3分）已知反比例函数y的图象经过点（﹣2，3），则k的值为 　3　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】3．
【分析】直接把点（﹣2，3）代入反比例函数y，求出即可求得k的值．
【解答】解：∵反比例函数y的图象经过点（﹣2，3），
∴3，解得k＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的反比例函数图象上点的坐标特点，熟知图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
18．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A＝　60°　．
【考点】直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】60°．
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝2∠B，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）若（a﹣3）a+2＝1．求a的值．
【考点】零指数幂；有理数的乘方．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用零指数幂的定义以及有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵（a﹣3）a+2＝1，
∴当a+2＝0时，a＝﹣2；
当a﹣3＝1时，a＝4；
当a﹣3＝﹣1时，a＝2．
综上所述：a的值为4或﹣2或2．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方，正确把握定义是解题关键．
20．（6分）用公式法解下列方程：
（1）3x2+4x﹣7＝0；
（2）2x2+7x＝4；
（3）t2+4t＝1；
（4）p（p﹣8）＝16．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝1，x2；
（2）x1，x2＝﹣4；
（3）t1，t2；
（4）p1＝4+4，p2＝4﹣4．
【分析】用公式法求出方程的解即可．
【解答】解：（1）3x2+4x﹣7＝0，
∵a＝3，b＝4，c＝﹣7，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×3×（﹣7）＝100＞0，
∴x，
∴x1＝1，x2；
（2）2x2+7x＝4，
原方程变形为，2x2+7x﹣4＝0，
∵a＝2，b＝7，c＝﹣4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝72﹣4×2×（﹣4）＝81＞0，
∴x，
∴x1，x2＝﹣4；
（3）t2+4t＝1，
原方程变形为，3t2+8t﹣2＝0，
∵a＝3，b＝8，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝82﹣4×3×（﹣2）＝88＞0，
∴t，
∴t1，t2；
（4）p（p﹣8）＝16，
原方程变形为，p2﹣8p﹣16＝0，
∵a＝1，b＝﹣8，c＝﹣16，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×（﹣16）＝128＞0，
∴p4，
∴p1＝4+4，p2＝4﹣4．
【点评】此题考查了用公式法解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）a＝﹣11；（2）4，2，1．
【分析】（1）将x＝﹣1代入一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0即可求a；
（2）由于根的存在性可得Δ＝36﹣32（a﹣3）≥0，再结合二次项系数a≠3，可求a的范围为a且a≠3，即可求解．
【解答】解：（1）∵方程的一个根为x＝﹣1，
将x＝﹣1代入一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0，
可得a﹣3+6+8＝0，
∴a＝﹣11；
（2）∵（a﹣3）x2﹣6x+8＝0是一元二次方程，
∴a≠3，
∵方程有实数根，
∴Δ＝36﹣32（a﹣3）≥0，
∴a，
∴a且a≠3，
∵a是正整数，
∴a＝4，2，1．
【点评】本题考查一元二次方程的根与根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式求法，注意二次项系数的取值情况是解题的关键．
22．（6分）课堂上，老师给出如下命题：
等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．
（1）如图是小明画出的图形，请你将已知、求证、证明的过程补充完整．
已知，在△ABC中，　AB＝AC，BD⊥AC于D　．
求证：　∠CBD∠BAC　．
证明：　过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE+∠C＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠CBD+∠C＝90°，
∴∠CBD＝∠CAE∠BAC．　．
（2）利用（1）中的结论解答问题，若等腰三角形的一个内角为40度，则该等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为　50或20　度．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）AB＝AC，BD⊥AC于D；
∠CBD∠BAC；
过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE+∠C＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠CBD+∠C＝90°，
∴∠CBD＝∠CAE∠BAC；
（2）50或20．
【分析】（1）根据题意写出已知和求证；根据等腰三角形三线合一的性质得到∠BAE＝∠CAE∠BAC，根据同角的余角相等即可证得∠CBD＝∠CAE∠BAC；
（2）分两种情况：底角为40°顶角为40°，根据（1）的结论分别求出的高与底边的夹角即可．
【解答】解：已知：在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，
求证：∠CBD∠BAC，
证明：过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE+∠C＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠CBD+∠C＝90°，
∴∠CBD＝∠CAE∠BAC．
故答案为：AB＝AC，BD⊥AC于D；
∠CBD∠BAC；
过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE+∠C＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠CBD+∠C＝90°，
∴∠CBD＝∠CAE∠BAC；
（2）①当∠ABC＝∠C＝40°时，则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝100°，
由（1）知，∠CBD∠BAC，
∴∠CBD100°＝50°，
②当∠BAC＝40°时，则∠CBD∠BAC40°＝20°，
综上所述：∠BAC的度数是50°或20°，
故答案为50或20．
【点评】本题考查的是命题的证明，掌握等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余是解题的关键．
23．（6分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠ABO＝30°，若点A在反比例函数y（x＜0）的图象上，求经过点B的反比例函数解析式．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；含30度角的直角三角形；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】y．
【分析】作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OBOA，再证明Rt△BOC∽Rt△OAD得（）2＝3，利用反比例函数k的几何意义得到S△OAD＝1，则S△OBC＝3，所以|k|＝3，然后求出k即可得到经过点B的反比例函数解析式．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，如图，
∴∠ADO＝∠BCO＝90°，
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，
∴AB＝2AO，
∴OBOA，
∴，
∵∠AOD+∠BOC＝90°，∠AOD+∠DAO＝90°，
∴∠BOC＝∠DAO，
∴△BOC∽△OAD，
∴（）2＝3，
∵S△OAD|﹣2|＝1，
∴S△OBC＝3，
即|k|＝3，
而k＞0，
∴k＝6，
∴经过点B的反比例函数解析式为y．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，相似三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，正确作出辅助线，并根据相似三角形的性质和判定证出是解决问题的关键．
24．（10分）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，车离开A城的距离y与时间t的对应关系如图所示．
（1）A，B两城相距　300　km；　乙　车先到B城；（填甲、乙）
（2）求甲、乙两车的平均速度；
（3）先到的一辆车不停留立刻原路原速返回，返回时在某一时刻与另一车相遇，此刻的相遇位置距B城多远？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）300，乙；
（2）60km/h，100km/h；
（3）37.5km．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以解答本题；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两车的平均速度；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以计算出先到的一辆车不停留立刻原路原速返回，返回时在某一时刻与另一车相遇，此刻的相遇位置距B城多远．
【解答】解：（1）由图象可得，
A，B两城相距300km，乙车先到达B城，
故答案为：300，乙；
（2）由图象可得，
甲车的速度为：300÷（10﹣5）＝60（km/h），
乙车的速度为：300÷（9﹣6）＝100（km/h），
即甲、乙两车的平均速度分别为60km/h，100km/h；
（3）设乙车返回时，与甲车相遇时距B城的距离为t km，
t+60×（9﹣5）＝300，
解得t＝37.5，
答：先到的一辆车不停留立刻原路原速返回，返回时在某一时刻与另一车相遇，此刻的相遇位置距B城37.5km．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．（12分）（1）请用直尺，圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D，求作：等腰△PBD，使线段BD为底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．
（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝60°，求等腰△PBD顶角的度数．
【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）作图见解答；
（2）120°．
【分析】（1）分别作∠ABC的平分线和BD的垂直平分线，它们的交点为P点，则△PBD满足条件；
（2）先根据角平分线的定义得到∠PBD＝30°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠BPD的度数．
【解答】解：（1）如图1，△PBD为所作；
（2）∵点P到∠ABC两边的距离相等，
∴BP平分∠ABD，
∴∠PBD∠ABC60°＝30°，
∵PB＝PD，
∴∠PDB＝∠PBD＝30°，
∵∠BPD+∠PBD+∠PDB＝180°，
∴∠BPD＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
即等腰△PBD顶角的度数为 120°．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
26．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A出发，沿AC﹣CB以每秒5个单位的速度向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q．将△APQ绕点P逆时针旋转90°得到△A′PQ′，设点P的运动时间为t秒．
（1）当点P在AC和BC上运动时、分别求线段PQ的长（用含t的代数式表示）；
（2）当点Q′落在边BC上时．求t的值；
（3）在点P的运动过程中，求点A′在△ABC区域（含边界）内的时长；
（4）若边AB，AC的中点分别为点M，N，当点A′落在直线MN上时，直接写出t的值．
【考点】几何变换综合题．
【专题】代数几何综合题；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）综上，当点P在AC上运动时，PQ＝4t；当点P在BC上运动时，PQ．
2）．
3）．
4）或．
【分析】（1）根据勾股定理求得AB＝10，分两种情形：当点P在AC上运动时，AP＝5t，根据正弦的定义可求得PQ＝4t；当点P在BC上运动，PB＝14﹣5t，根据正弦的定义可求得．
（2）根据（1）可求得PC＝6﹣5t，根据旋转的性质可得PQ'＝PQ＝4t，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求得．
（3）当点P从点A运动到点C时，点A从△ABC内部运动到了边BC上；当点P从点C向点B运动，且点A落在AB上时（临界点），根据（1）可得PB＝14﹣5t，PQ，根据矩形的判定和正方形的判定和性质可得PQ＝A'Q'＝AQ，根据正弦的定义求得BQ，即可求得．
（4）分类讨论：当点A′落在中位线MN上时，则点P与N重合，推得，即可求得；当点A′落在中位线MN的延长线上时，作A'G⊥BC，交CB的延长线于G，根据矩形的判定和性质可得A'G＝CN，根据全等三角形的判定和性质可得A'G＝CP＝CN，推得，即可求得．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
当点P在AC上运动时，AP＝5t，如图，
在Rt△ACB中，，
在Rt△APQ中，sinA，
∴，
解得PQ＝4t；
当点P在BC上运动时，PB＝AC+CB﹣AP＝14﹣5t，如图，
在Rt△BPQ中，sin∠B，
∴PQ＝PB sin∠B，
综上，当点P在AC上运动时，PQ＝4t；当点P在BC上运动时，PQ．
（2）当点Q′在BC上时，如图，
由（1）得，PD＝4t，AP＝5t，AB＝10，
∴PC＝AC﹣AP＝6﹣5t，
∵将△APQ绕点P逆时针旋转90°得到△A′PQ′，
∴PQ′＝PQ＝4t，
∵PQ′∥AB，∠C＝90°，
∴△CPQ′≌△CAB，
∴，
∴，
解得；
（3）点P从点A运动到点C时，点A′从△ABC内部运动到了边BC上．
点P从点C向点B运动时，当点A′落在AB上时，如图，
由（1）可知，PB＝14﹣5t，，
∵∠Q'PQ＝∠Q'PQ＝∠PQA'＝90°，
∴四边形PQA'Q'是矩形，
∵A'Q'＝PQ＝PQ'，
∴四边形 PQA'Q'是正方形，
∴PQ＝A'Q'＝AQ，
在Rt△ACB 中，，
在Rt△BPQ中，，
∴，
解得，
∴，
解得，
∴点A′在△ABC区域（含边界）内的时长是秒．
（4）当点A落在中位线MN上时，则点P与N重合，如图，
∴，
即5t＝3，
解得，
当点A′落在中位线MN的延长线上时，作A′G⊥BC，交CB的延长线于G，如图：
∵∠C＝∠CNA'＝∠CGA'＝90°．
∴四边形CNAG是矩形，
∴A′G＝CN．
∵∠C＝∠CGA'＝∠APA'＝90°，
∴∠CAP＝∠GPA′，
∴△ACP≌△PGA′，
∴A′G＝CP＝CN，
即，
整理得，
解得，
综上，当t的值为 或 时，点AM落在直线MN上．
【点评】本题考查了勾股定理，正弦的定义，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质 正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中位线的性质等，熟练应用分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
考点卡片
1．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
2．实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x）（x）
3．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
4．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
5．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
6．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
7．二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
8．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
9．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
10．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
11．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
12．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
13．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
14．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
15．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
16．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
17．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
18．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
19．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
20．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
21．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
22．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
23．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
24．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
25．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
26．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
27．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
28．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
29．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
30．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
31．几何变换综合题
这种题型主要考查旋转、平移以及动点问题，经常是四边形和圆的综合题目，难度大．
32．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
33．高次方程
高次方程．
整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
高次方程的一般形式为anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0＝0，
等式两边同时除以最高项系数，得：
anxn/an+an﹣1xn﹣1/an+…+a1x/an+a0/an＝0，
所以高次方程一般形式又可写为：
xn+bnxn﹣1+…+b1x+b0＝0．