2024—2025学年上学期上海初中数学八年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期上海初中数学八年级开学模拟试卷2
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）已知a、b、c为常数，且a（a+b+c）＜0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0根的情况是（　　）
A．无实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个实数根
3．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
4．（3分）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1
5．（3分）下列命题中，逆命题是真命题的是（　　）
A．全等三角形对应角相等
B．等腰三角形的角平分线与中线互相重合
C．如果a＞0，b＞0，那么ab＞0
D．如果两实数相等，那么它们的平方也相等
6．（3分）下列说法错误的是（　　）
A．到点P距离等于1cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆
B．等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线
C．到直线l距离等于2cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线
D．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线
二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
7．（2分）计算：　 　．
8．（2分）　 　．
9．（2分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2023﹣a﹣2b的值为 　 　．
10．（2分）方程 （x+1）2＝4的解是　 　．
11．（2分）在实数范围内分解因式：y2﹣4x2＝　 　．
12．（2分）函数的自变量x的取值范围是　 　．
13．（2分）反比例函数y（其中x＜0）的图象在第　 　象限．
14．（2分）函数y＝﹣4x的图象经过原点、第二象限和第 　 　象限．
15．（2分）在平面直角坐标系中有两点A（4，0）和B（0，a）（a＞0），已知这两点之间的距离为5，则a＝　 　．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝6cm，则AC＝　 　cm．
17．（2分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE＝5，BC＝8，则△DEF的周长是　 　．
18．（2分）如图，△ABC和△DCE都为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，连接AD，以AD、AB为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若AB，CD，现将△DCE绕点C逆时针旋转一周，则在旋转过程中，AF的最小值是 　 　．
三．解答题（共7小题，满分58分）
19．（10分）计算：（）．
20．（10分）解方程
（1）x2+2x+1＝9（配方法）；
（2）2x2﹣x﹣6＝0（公式法）．
21．（6分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠DCB＝90°，E，F分别是对角线BD，AC的中点，连接EF．
（1）求证：EF⊥AC；
（2）当AC＝8，BD＝10时，求EF的长．
22．（6分）“武汉加油！中国加油！”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩，若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？
23．（7分）某工程开挖一段河渠，施工进度y（m）与施工时间x（天）之间的函数关系如图所示．根据图象所提供的信息，解答下列问题：
（1）开挖到25m时，用了多少时间？
（2）写出开工后前6天内y与x之间的函数表达式；
（3）前2天施工进度是每天　 　m，从第3天开始到第6天施工进度是每天　 　m．
24．（9分）如图，已知一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（1，n），B（﹣2，﹣1）两点，与y轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式ax+b的解集；
（3）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
25．（10分）如图，△ABC与△EDC都是等边三角形，当点B，C，D在一条直线上时，连接AD，BE交于点M，连接CM．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）试探究线段BM与线段AM，CM之间的数量关系，并说明理由．
2024—2025学年上学期上海初中数学八年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、与不能合并，故A不符合题意；
B、∵2，
∴与能合并，
故B符合题意；
C、与不能合并，故C不符合题意；
D、∵2，
∴与不能合并，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
2．（3分）已知a、b、c为常数，且a（a+b+c）＜0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0根的情况是（　　）
A．无实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个实数根
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用已知条件得到4a2+4ab+b2＜b2﹣4ac，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝（﹣b）2﹣4ac＝b2﹣4ac，
∵a（a+b+c）＜0，
∴a2+ab+ac＜0，
即a2+ab＜﹣ac，
∴4a2+4ab＜﹣4ac，
∴4a2+4ab+b2＜b2﹣4ac，
∴b2﹣4ac＞（2a+b）2，
即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
3．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；符号意识．
【答案】A
【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数中k＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵﹣3＜0，﹣1＜0，
∴点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）位于第二象限，
∴y1＞0，y2＞0，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴0＜y1＜y2．
∵2＞0，
∴点C（2，y3）位于第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：A．
【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
4．（3分）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上时，②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上时．
【解答】解：∵k＝1＞0，
∴图象在一、三象限，在每一支上，y随x的增大而减小，
①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，
∵y1＞y2，
∴或，
解得a＞1或a＜﹣1，
②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，
∵y1＞y2，
∴，
无解，
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
5．（3分）下列命题中，逆命题是真命题的是（　　）
A．全等三角形对应角相等
B．等腰三角形的角平分线与中线互相重合
C．如果a＞0，b＞0，那么ab＞0
D．如果两实数相等，那么它们的平方也相等
【考点】命题与定理；全等三角形的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的判定定理、等腰三角形的判定、实数的乘法、实数的平方判断即可．
【解答】解：A、全等三角形对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形全等，是假命题，不符合题意；
B、等腰三角形的角平分线与中线互相重合的逆命题是角平分线与中线互相重合的三角形是等腰三角形，是真命题，符合题意；
C、如果a＞0，b＞0，那么ab＞0的逆命题是如果ab＞0，那么a＞0，b＞0，是假命题，不符合题意；
D、如果两实数相等，那么它们的平方也相等的逆命题是如果两实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（3分）下列说法错误的是（　　）
A．到点P距离等于1cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆
B．等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线
C．到直线l距离等于2cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线
D．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线
【考点】轨迹；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】根据圆的集合定义判断A；根据线段的垂直平分线的性质与三角形的三角形的定义判断B；根据平行线间的距离定义判断C；根据角平分线的定义判断D．
【解答】解：A．到点P距离等于1cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆，命题正确，不符合题意；
B．等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线（不含BC的中点），原命题错误，符合题意；
C．到直线l距离等于2cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线，命题正确，不符合题意；
D．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，命题正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了轨迹，圆的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，关键是正确理解这些性质与概念．
二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
7．（2分）计算：　22　．
【考点】分母有理化；二次根式的乘除法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】22．
【分析】将分式分母有理化后再运算即可．
【解答】解：
＝2
＝2（1）
＝22，
故答案为：22．
【点评】本题考查二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．
8．（2分）　2　．
【考点】二次根式的乘除法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】2．
【分析】原式利用二次根式除法法则计算即可．
【解答】解：原式
＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2023﹣a﹣2b的值为 　2024　．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2024．
【分析】将x＝1代入原方程，可得出a+2b＝﹣1，再将其代入2023﹣a﹣2b＝2023﹣（a+2b）中，即可求出结论．
【解答】解：将x＝1代入原方程得：1+a+2b＝0，
∴a+2b＝﹣1，
∴2023﹣a﹣2b＝2023﹣（a+2b）＝2023﹣（﹣1）＝2024．
故答案为：2024．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，将方程的解代入原方程，求出a+2b是解题的关键．
10．（2分）方程 （x+1）2＝4的解是　x＝﹣3或x＝1　．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x＝﹣3或x＝1．
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵（x+1）2＝4，
∴x+1＝±2，
∴x＝﹣3或x＝1，
故答案为：x＝﹣3或x＝1．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
11．（2分）在实数范围内分解因式：y2﹣4x2＝　（y+2x）（y﹣2x）　．
【考点】实数范围内分解因式．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】（y+2x）（y﹣2x）．
【分析】利用平方差公式可以进行因式分解得出结论．
【解答】解：y2﹣4x2＝（y+2x）（y﹣2x）．
故答案为（y+2x）（y﹣2x）．
【点评】本题主要考查了实数范围内因式分解，利用平方差公式进行分解是解题的关键．
12．（2分）函数的自变量x的取值范围是　x≤2　．
【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意得：4﹣2x≥0，
解得x≤2．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
13．（2分）反比例函数y（其中x＜0）的图象在第　二　象限．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据反比例函数的性质和x的取值范围为x＜0，即可得到该函数的图象在哪个象限．
【解答】解：∵反比例函数y（其中x＜0），
∴该函数的图象在第二象限，
故答案为：二．
【点评】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
14．（2分）函数y＝﹣4x的图象经过原点、第二象限和第 　四　象限．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正比例函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；符号意识；推理能力．
【答案】四．
【分析】根据正比例函数的图象性质可知．
【解答】解：因为k＝﹣4＜0，根据图象的性质知：它经过第二象限和第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
15．（2分）在平面直角坐标系中有两点A（4，0）和B（0，a）（a＞0），已知这两点之间的距离为5，则a＝　3　．
【考点】勾股定理；两点间的距离公式．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据坐标系中两点距离公式建立方程求解即可．
【解答】解：∵A（4，0）和B（0，a）（a＞0），这两点之间的距离为5，
∴（4﹣0）2+（0﹣a）2＝52，
解得a＝3或a＝﹣3（舍去），
∴a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟知坐标系中两点距离公式是解题的关键．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝6cm，则AC＝　3　cm．
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】3．
【分析】连接AD，先利用线段垂直平分线的性质可得AD＝BD＝6cm，从而利用等腰三角形的性质可得∠DBA＝∠BAD＝15°，进而利用三角形的外角性质可得∠ADC＝30°，然后在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形性质进行计算即可解答．
【解答】解：连接AD，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD＝6cm，
∴∠DBA＝∠BAD＝15°，
∴∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝30°，
∵∠C＝90°，DB＝6cm，
∴ACAD＝3（cm），
故答案为：3．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．（2分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE＝5，BC＝8，则△DEF的周长是　13　．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF、EF，再根据三角形的周长的定义解答．
【解答】解：∵CD⊥AB，F为BC的中点，
∴DFBC8＝4，
∵BE⊥AC，F为BC的中点，
∴EFBC8＝4，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝5+4+4＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
18．（2分）如图，△ABC和△DCE都为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，连接AD，以AD、AB为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若AB，CD，现将△DCE绕点C逆时针旋转一周，则在旋转过程中，AF的最小值是 　　．
【考点】旋转的性质；垂线段最短；平行线之间的距离；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；平行四边形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】证明当D，E，F共线时，△AOF为等腰直角三角形，可得AFAO，当AO有最小值时，AF最小，由此可得CO＝1，AO，AF．
【解答】解：当D，E，F共线时，AF最小，如图所示，
∵AB＝AC，AB＝DF，
∴AC＝DF，
又∠FDC＝∠ACD＝45°，
∵DO＝OC，
∴OA＝OF，
∵∠AOF＝90°，
∴AFAO，
当AO有最小值时，AF最小，即当O在AC上时，此时D，E，F共线，
∵CD，
∴CO＝1，
∵，
∴，
∴．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，寻找AF最小时的图形的位置是解题的难点．
三．解答题（共7小题，满分58分）
19．（10分）计算：（）．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】5．
【分析】根据二次根式的乘法法则运算．
【解答】解：原式
＝6
＝5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（10分）解方程
（1）x2+2x+1＝9（配方法）；
（2）2x2﹣x﹣6＝0（公式法）．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣4；
（2）x1＝2，x2．
【分析】（1）利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解；
（2）找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：（1）x2+2x+1＝9，
（x+1）2＝9，
∴x+1＝±3，
∴x1＝2，x2＝﹣4；
（2）这里a＝2，b＝﹣1，c＝﹣6，
∵Δ＝1+48＝49＞0，
∴x，
则x1＝2，x2．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及配方法，熟练掌握解法是解本题的关键．
21．（6分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠DCB＝90°，E，F分别是对角线BD，AC的中点，连接EF．
（1）求证：EF⊥AC；
（2）当AC＝8，BD＝10时，求EF的长．
【考点】勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质即可解决问题．
（2）在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接AE、CE，
∵∠BAD＝90°，E为BD中点，
∴AEDB，
∵∠DCB＝90°，
∴CEBD，
∴AE＝CE，
∵F是AC中点，
∴EF⊥AC；
（2）解：∵AC＝8，BD＝10，E、F分别是边AC、BD的中点，
∴AE＝CE＝5，CF＝4，
∵EF⊥AC．
∴EF3．
【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（6分）“武汉加油！中国加油！”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩，若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】5．
【分析】生产线的条数乘以每条生产线生产的口罩数量＝6000，据此列出一元二次方程，求解并根据题意作出取舍即可．
【解答】解：应该增加几条生产线x条生产线，
由题意得：（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
∵尽可能投入少，
∴x2＝10舍去．
答：应该增加5条生产线．
【点评】本题主要考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解决问题的关键．
23．（7分）某工程开挖一段河渠，施工进度y（m）与施工时间x（天）之间的函数关系如图所示．根据图象所提供的信息，解答下列问题：
（1）开挖到25m时，用了多少时间？
（2）写出开工后前6天内y与x之间的函数表达式；
（3）前2天施工进度是每天　12.5　m，从第3天开始到第6天施工进度是每天　6.25　m．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据图象，可以得到开挖到25m时，用了多少时间；
（2）根据函数图象中的数据，可以得到开工后前6天内y与x之间的函数表达式；
（3）根据函数图象中的数据，可以计算出前2天施工进度和从第3天开始到第6天施工进度．
【解答】解：（1）由图象可得，
开挖到25m时，用了2天；
（2）当0≤x≤2时，设y与x的函数关系式为y＝kx，
2k＝25，得k＝12.5，
即当0≤x≤2时，y与x的函数关系式为y＝12.5x，
当2＜x≤6时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，
由图象可得，，得，
即当2＜x≤6时，y与x的函数关系式为yx，
由上可得，开工后前6天内y与x之间的函数表达式是y；
（3）前2天施工进度是每天25÷2＝12.5（m），
从第3天开始到第6天施工进度是每天（50﹣25）÷（6﹣2）＝6.25（m），
故答案为：12.5，6.25．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
24．（9分）如图，已知一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（1，n），B（﹣2，﹣1）两点，与y轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式ax+b的解集；
（3）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y；一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）﹣2＜x＜0或x＞1；
（3）3．
【分析】（1）把B（﹣2，﹣1）代入y可得m的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点A坐标，再根据待定系数法可得一次函数的解析式；
（2）根据图象得出不等式ax+b的解集即可；
（3）利用面积的和差关系可求解．
【解答】解：（1）把B（﹣2，﹣1）代入y，得：m＝2，
∴反比例函数的解析式为y；
把A（1，n）代入y，得：n＝2，
∴A（1，2），
把A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝ax+b，得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）根据图象得：不等式ax+b的解集为﹣2＜x＜0或x＞1；
（3）由y＝x+1可知C的坐标为（0，1），
∵点D与点C关于x轴对称，
∴D（0，﹣1），
∴CD＝2，
∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD2×12×2＝3．
【点评】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
25．（10分）如图，△ABC与△EDC都是等边三角形，当点B，C，D在一条直线上时，连接AD，BE交于点M，连接CM．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）试探究线段BM与线段AM，CM之间的数量关系，并说明理由．
【考点】三角形综合题．
【专题】证明题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）BM＝AM+CM．理由见解析．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，证出∠ACD＝∠BCE，可证明△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）由全等三角形的性质证出∠BMD＝120°，过点C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，证明△BCG≌△ACH（AAS），由全等三角形的性质得出CG＝CH，在BM上截取BF＝AM，证明△BCF≌△ACM（SAS），得出CF＝CM，证出△CMF是等边三角形，由等边三角形的性质得出MF＝CM，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，
∴∠ACE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE＝120°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：BM＝AM+CM．
理由：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∴∠AMB＝∠MBD+∠MDB＝∠CAD+∠MDB＝∠ACB＝60°，
∴∠BMD＝120°，
过点C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，
∴∠BGC＝∠AHC＝90°，
又∵AC＝BC，∠CBG＝∠CAH，
∴△BCG≌△ACH（AAS），
∴CG＝CH，
又∵CG⊥BE，CH⊥AD，
∴MC平分∠BMD，
∴∠BMC∠BMD＝60°，
在BM上截取BF＝AM，
∵AC＝BC∠CBF＝∠CAM，
∴△BCF≌△ACM（SAS），
∴CF＝CM，
∵∠CMF＝60°，
∴△CMF是等边三角形，
∴MF＝CM，
∴BM＝BF+FM＝AM+CM．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的和性质，角平分线的性质，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，灵活运用所学知识解决问题．
考点卡片
1．实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x）（x）
2．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
3．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质： （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则： （a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质 （a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
4．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①；②．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数．
5．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
6．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
8．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
9．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
10．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
11．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
12．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
13．两点间的距离公式
两点间的距离公式：
设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB．
说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
14．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
15．正比例函数的性质
单调性
当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1]
当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数．
对称性
对称点：关于原点成中心对称．[1]
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．
16．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
17．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
18．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
19．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
20．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
21．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
22．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
23．平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（2）平行线间的距离处处相等．
24．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
25．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
26．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
27．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
28．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
29．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
30．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
31．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
32．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
33．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
34．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
35．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
36．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
37．轨迹
轨迹 数学概念轨迹数学概念：在数学中，轨迹是由满足坐标关系的特定方程的所有点，或由一个点、线或运动曲面构成的曲线或其他形状．所有的形状，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等．
38．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．