2024—2025学年上学期上海初中数学八年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期上海初中数学八年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 385.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-07 09:05:05 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期上海初中数学八年级开学模拟试卷3
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）下列二次根式中，能与3合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）已知：x，y＝2，那么x与y的关系是（ ）
A．x＝y B．x＝﹣y C．x D．x
3．（2分）在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a＝10，b＝8，c＝6；②a2＝3，b2＝4，c2＝5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④∠A＝2∠B＝2∠C．其中能判断△ABC是直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2分）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0＜x3则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
5．（2分）下列说法错误的是（ ）
A．三角形的两边之和大于第三边
B．三角形的一个外角等于两个内角的和
C．三角形的一条中线能将三角形的面积分成相等的两部分
D．等边三角形任意一边上的高都能与这条边上的中线重合
6．（2分）如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠B＝∠E C．AB＝DE D．CD＝CE
二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
7．（2分）a，b为有理数，且，则a+b＝ ．
8．（2分）方程x2+x﹣2＝0的解是 ．
9．（2分）化简： ．
10．（2分）若关于x的一元二次方程（m+3）x2+m2x﹣3＝0的一次项系数等于9，则m的值是 ．
11．（2分）在实数范围内分解因式：x4﹣4x2+3＝ ．
12．（2分）函数y中，自变量x的取值范围是 ．
13．（2分）如图，点D为△ABC的边AB上一点，且AD＝AC，∠B＝45°，过D作DE⊥AC于E，若AE＝3，四边形BDEC的面积为8，则AB的长度为 ．
14．（2分）如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝28°，∠EBD＝25°，则∠AED＝ °．
15．（2分）底边一定，高为h的三角形的顶点轨迹是 ．
16．（2分）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，3）到原点O的距离是 ．
17．（2分）如图，矩形ABCD的边AB与x轴平行，顶点A的坐标为（2，1），点B与点D都在反比例函数y（x＞0）的图象上，则矩形ABCD的面积为 ．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，6）、B（8，0）．现将△AOB折叠，使点A落在OB边的点A′处，折痕为CD，其中点C在y轴上，点D在AB边上，当△ACD是以CD为底的等腰三角形时，点A′的坐标为 ．
三．解答题（共4小题，满分24分，每小题6分）
19．（6分）计算
（1）（1）0；
（2）（1）2﹣|1|．
20．（6分）用配方法解下列方程：
（1）3x2+8x﹣3＝0；
（2）x2﹣x﹣1＝0．
21．（6分）在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段AB，EA分别是图中1×3的两个长方形的对角线，请你说明：AB⊥EA．
22．（6分）如图，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若AE＝6，求CE的长．
四．解答题（共5小题，满分40分）
23．（6分）商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件．当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件．规定售价不得超过75元．若商场每天盈利为8000元，求每件商品的售价．
24．（8分）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，车离开A城的距离y与时间t的对应关系如图所示．
（1）A，B两城相距 km； 车先到B城；（填甲、乙）
（2）求甲、乙两车的平均速度；
（3）先到的一辆车不停留立刻原路原速返回，返回时在某一时刻与另一车相遇，此刻的相遇位置距B城多远？
25．（8分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，BD＝CE，AD＝AE．
（1）如图1，求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）如图2，若点E在AC的垂直平分线上，∠C＝36°，直接写出图中所有的等腰三角形．
26．（8分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心的正方形ABCD的边长为4m，我们把AB∥y轴时正方形ABCD的位置作为起始位置，若将它绕点O顺时针旋转任意角度α时，它能够与反比例函数y（k＞0）的图象相交于点E，F，G，H，则曲线段EF，HG与线段EH，GF围成的封闭图形命名为“曲边四边形EFGH”．
（1）①如图1，当AB∥y轴时，用含m，k的代数式表示点E的坐标为 ；此时存在曲边四边形EFGH，则k的取值范围是 ；
②已知k＝3m2，把图1中的正方形ABCD绕点O顺时针旋转45°时，是否存在曲边四边形EFGH？请在备用图中画出图形，并说明理由．当把图1中的正方形ABCD绕点O顺时针旋转任意角度α时，直接写出使曲边四边形EFGH存在的k的取值范围．
③若将图1中的正方形绕点O顺时针旋转角度a（0°＜a＜180°）得到曲边四边形EFGH，根据正方形和双曲线的对称性试探究四边形EFGH是什么形状的四边形？曲边四边形EFGH是怎样的对称图形？直接写出结果，不必证明；
（2）正方形ABCD绕点O顺时针旋转到如图2位置，已知点A在反比例函数y（k＞0）的图象上，AB与y轴交于点M，AB＝8，AM＝1，试问此时曲边四边形EFGH存在吗？请说明理由．
27．（10分）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，连接CD，∠B＝2∠ACD．
（1）如图1，求证：BC＝BD；
（2）如图2，点E、点F分别在AC、BC上，CE＝CF，连接DE、DF，∠EDF＝90°，求∠CDF的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，当∠CEB＝∠CFD，BF＝6，求AD的长．
2024—2025学年上学期上海初中数学八年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）下列二次根式中，能与3合并的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】各项中式子化为最简二次根式，利用同类二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、原式＝2，不符合题意；
B、原式＝3，不符合题意；
C、原式＝6，符合题意；
D、原式，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式概念是解题关键．
2．（2分）已知：x，y＝2，那么x与y的关系是（ ）
A．x＝y B．x＝﹣y C．x D．x
【考点】分母有理化．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【解答】解：∵x（2），
∴x＝﹣y．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．
3．（2分）在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a＝10，b＝8，c＝6；②a2＝3，b2＝4，c2＝5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④∠A＝2∠B＝2∠C．其中能判断△ABC是直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：①∵b2+c2＝82+62＝100＝a2，
∴此三角形是直角三角形；
②∵a2＝3，b2＝4，c2＝5，
∴a2+b2≠c2，
∴此三角形不是直角三角形；
③∵a2＝（b+c）（b﹣c），
∴a2＝b2﹣c2，
∴此三角形是直角三角形；
④∵∠A＝2∠B＝2∠C，
∴设∠B＝∠C＝x，则∠A＝2x，
∴x+x+2x＝180°，
解得：x＝45°，
∴∠A＝2x＝90°，
∴此三角形是直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．也考查了三角形内角和定理．
4．（2分）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0＜x3则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】先根据反比例函数y的中k的符号判断出此函数图象所在象限，再根据x1＜x2＜0＜x3判断出y1，y2，y3的大小关系即可．
【解答】解：∵反比例函数y中，k＝﹣1＜0，
∴此函数图象在二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y3＜0，y3＜0＜y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据函数解析式判断出函数图象所在的象限是解答此题的关键．
5．（2分）下列说法错误的是（ ）
A．三角形的两边之和大于第三边
B．三角形的一个外角等于两个内角的和
C．三角形的一条中线能将三角形的面积分成相等的两部分
D．等边三角形任意一边上的高都能与这条边上的中线重合
【考点】等边三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质，三角形外角的性质，三角形三边关系，三角形中线的性质分别判断即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
故A不符合题意；
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，
故B符合题意；
三角形的一条中线把三角形分成了两个等底同高的三角形，
∴分成的两个三角形面积相等，
故C不符合题意；
等边三角形三边都相等，是特殊的等腰三角形，
∴等边三角形任意一边上的高都能与这条边上的中线重合，
故D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的三边关系，三角形外角的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
6．（2分）如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠B＝∠E C．AB＝DE D．CD＝CE
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】由“SAS”可证，可得AB＝DE．
【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
即∠DCE＝∠ACB，
在△ACB和△DCE中，
，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定SAS是解本题的关键．
二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
7．（2分）a，b为有理数，且，则a+b＝ 2 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】2．
【分析】先根据完全平方公式进行变形，再根据二次根式的性质进行计算，求出a、b的值，最后求出a+b即可．
【解答】解：4+212+2（）2＝（1）2，
∵a，b为有理数，且，
∴ab＝1，
∴a＝1，b＝1，
∴a+b＝1+1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，能正确根据二次根式的性质进行计算是解此题的关键．
8．（2分）方程x2+x﹣2＝0的解是 x1＝﹣2，x2＝1 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：（x+2）（x﹣1）＝0，
x+2＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣2，x2＝1．
故答案为x1＝﹣2，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
9．（2分）化简： ﹣π ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】﹣π．
【分析】首先判断﹣π＜0，再根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简．
【解答】解：∵﹣π＜0，
∴π．
故答案为：﹣π．
【点评】此题考查了二次根式的性质：|a|．正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
10．（2分）若关于x的一元二次方程（m+3）x2+m2x﹣3＝0的一次项系数等于9，则m的值是 3 ．
【考点】一元二次方程的一般形式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据一元二次方程的一般形式可知，一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是（m+3）确定m+3≠0，另外一次项系数等于9，确定m2＝9，据此解答．
【解答】解：因为一元二次方程（m+3）x2+m2x﹣3＝0的一次项系数等于9，
所以m2＝9，
所以m＝3或m＝﹣3．
又因为二次项系数不为0，
所以m+3≠0，
解得m≠﹣3，
所以m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的定义，难度不大，属于基础题．
11．（2分）在实数范围内分解因式：x4﹣4x2+3＝ （x+1）（x﹣1）（x）（x） ．
【考点】实数范围内分解因式；因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣十字相乘法等．
【答案】见试题解答内容
【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．x4﹣4x2+3中常数项与前2项组不成完全平方式，所以需要通过添项来凑完全平方式，然后再利用公式进行分解．
【解答】解：x4﹣4x2+3＝x4﹣4x2+3+1﹣1
＝（x4﹣4x2+4）﹣1
＝（x2﹣2）2﹣1
＝（x2﹣2+1）（x2﹣2﹣1）
＝（x2﹣1）（x2﹣3）
＝（x+1）（x﹣1）（x）（x）．
【点评】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．此题有一定难度，难点在于把三项式x4﹣4x2+3通过添项的方法来凑完全平方式，已达到利用公式的目的，由于是在实数范围内分解因式，所以要分到出现无理数为止，很容易漏掉最后一项使分解不完整．
12．（2分）函数y中，自变量x的取值范围是 x≠﹣3 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【专题】计算题；函数及其图象；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由分母不为0，直接得到x的取值范围．
【解答】解：由题意，得2x+6≠0，
解得x≠﹣3．
故答案为：x≠﹣3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围．分式考虑分母不为0，二次根式考虑被开方数是非负数．
13．（2分）如图，点D为△ABC的边AB上一点，且AD＝AC，∠B＝45°，过D作DE⊥AC于E，若AE＝3，四边形BDEC的面积为8，则AB的长度为 7 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】7．
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，根据全等三角形的性质得到AF＝AE＝3，推出△BFC是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式得到BF＝CF＝4，根据勾股定理得到AD＝AC5，于是得到结论．
【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，
∵DE⊥AC，
∴∠AFC＝∠BFC＝∠AED＝90°，
∵∠A＝∠A，AD＝AC，
∴△ADE≌△ACF（AAS）．
∴AF＝AE＝3．
∴S△BFC＝四边形BDEC的面积＝8，
∵∠B＝45°，
∴△BFC是等腰直角三角形，
∴BF CFBF2＝8，
∴BF＝CF＝4．
∴AB＝AF+BF＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
14．（2分）如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝28°，∠EBD＝25°，则∠AED＝ 37 °．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】37．
【分析】连接CE，过E作ER⊥AC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出CE＝BE，ER＝EF，根据全等求出∠RCE＝∠EBF，求出∠ACB＝∠QED＝28°，求出∠BED＝∠CED＝65°，求出∠REF的度数，再求出∠CAB，求出∠CAE，根据三角形的外角性质求出∠DOE，再求出答案即可．
【解答】解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，
∵DE是线段BC的中垂线，
∴∠EDC＝90°，CE＝BE，
∴∠ECB＝∠EBD，
∵∠EBD＝25°，
∴∠ECB＝25°，
∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°，
∵ER⊥AC，ED⊥BC，
∴∠QRC＝∠QDE＝90°，
∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°，
∵∠CQR＝∠EQD，
∴∠ACB＝∠QED，
∵∠ACB＝28°，
∴∠QED＝28°，
∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，
∴ER＝EF，
在Rt△ERC和Rt△EFB中，
，
∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL），
∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝28°+25°＝53°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣53°＝37°，
∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝28°+65°+37°＝130°，
∵∠ARE＝∠AFE＝90°，
∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∵AE平分∠CAM，
∴∠CAECAM＝25°，
∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+28°＝53°，
∵ED⊥BC，
∴∠EDB＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣53°＝37°，
故答案为：37．
【点评】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
15．（2分）底边一定，高为h的三角形的顶点轨迹是 平行于直线BC且距离BC为h的两条平行线 ．
【考点】轨迹．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】平行于直线BC且距离BC为h的两条平行线．
【分析】如图，BC为底边，A到BC的高为h，利用A到BC的高即可确定顶点A轨迹．
【解答】解：如图，∵BC为底边，A到BC的高为h，
∴点A的轨迹为平行于直线BC且距离BC为h的两条平行线．
【点评】此题主要考查了轨迹的知识点，解题的关键是熟练掌握到已知直线的距离为定值的点具有的性质．
16．（2分）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，3）到原点O的距离是 5 ．
【考点】勾股定理；两点间的距离公式．
【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理可求点P（﹣4，3）到原点的距离．
【解答】解：点P（﹣4，3）到原点的距离为5．
故答案为：5．
【点评】考查了勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17．（2分）如图，矩形ABCD的边AB与x轴平行，顶点A的坐标为（2，1），点B与点D都在反比例函数y（x＞0）的图象上，则矩形ABCD的面积为 8 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力．
【答案】8．
【分析】先根据已知条件求出点B（1，6），点D（2，3），进而得AB＝4，AD＝2，由此可求出矩形ABCD的面积．
【解答】解：∵点A（2，1），四边形ABCD为矩形，
∴点B的纵坐标为1，点D的横坐标为2，
∵点B与点D都在反比例函数y（x＞0）的图象上，
∴对于y，当y＝1时，x＝6，当x＝2时，y＝3，
∴点B的坐标为（1，6），点D的坐标为（2，3），
∴AB＝6﹣2＝4，AD＝3﹣1＝2，
∴S矩形ABCD＝AB AD＝4×2＝8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，，矩形的性质，理解反比例函数图象上点满足反比例函数的表达式，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，6）、B（8，0）．现将△AOB折叠，使点A落在OB边的点A′处，折痕为CD，其中点C在y轴上，点D在AB边上，当△ACD是以CD为底的等腰三角形时，点A′的坐标为 （3，0） ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质；勾股定理；坐标与图形变化﹣对称．
【专题】平面直角坐标系；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（3，0）．
【分析】△ACD是以CD为底的等腰三角形，翻折得出△A′CD，由内错角等得A′C∥AB，得出，由A（0，6）、B（8，0）得OA＝6，OB＝8，勾股定理得出AB﹣10，设C（0，m），则OC＝m，AC＝6﹣m，在Rt△A'OC中，用勾股定理可得m，即可得答案．
【解答】解：∵△ACD是以CD为底的等腰三角形，
∴AC＝AD，∠ACD＝∠ADC，
∵△ACD以CD为折痕，翻折得到△A′CD，
∴∠ADC＝∠A′CD，
∴A′C∥AB，
∴，
∵A（0，6）、B（8，0），
∴OA＝6，OB＝8，
∴AB＝10，
设C（0，m），则OC＝m，AC＝A′C＝6﹣m，
∴，
∴m，
∴OC，A′C，
∴OA′3，
∴A′（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【点评】本题考查直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理列方程．
三．解答题（共4小题，满分24分，每小题6分）
19．（6分）计算
（1）（1）0；
（2）（1）2﹣|1|．
【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；分母有理化．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）1；
（2）7﹣3．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）（1）0
＝2（1）﹣21
＝22﹣21
＝1；
（2）（1）2﹣|1|
4﹣2（1）
＝2+4﹣21
＝7﹣3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（6分）用配方法解下列方程：
（1）3x2+8x﹣3＝0；
（2）x2﹣x﹣1＝0．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1，x2＝﹣3．
（2）x1＝1，x2＝1．
【分析】（1）直接利用解一元二次方程﹣配方法进行计算即可．
（2）直接利用解一元二次方程﹣配方法进行计算即可．
【解答】解：（1）3x2+8x﹣3＝0，
3x2+8x＝3，
x2x＝1，
x2x1，
（x）2，
∴x±，
∴x1，x2＝﹣3．
（2）x2﹣x﹣1＝0，
x2﹣x＝1，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
∴x﹣1，
∴x1＝1，x2＝1．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解答本题的关键．
21．（6分）在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段AB，EA分别是图中1×3的两个长方形的对角线，请你说明：AB⊥EA．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由勾股定理分别求得AE、AB、BE的值，再证明AE2+AB2＝BE2，即可证明AB⊥EA．
【解答】证明：∵AE，
AB，
BE2，
∴AE2+AB2＝20＝BE2，
∴△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°，
∴AB⊥EA．
【点评】此题主要考查了在网格中运用勾股定理及其逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
22．（6分）如图，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若AE＝6，求CE的长．
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】计算题；证明题；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接BE，由垂直平分线的性质得出BE＝CE，得出∠ABE＝∠DBE＝30°，由直角三角形的性质可得出结论；
（2）由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：连接BE，
∵∠A＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝30°，
∵BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．
∴BE＝CE，
∴∠C＝∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝30°，
∴AEBE，DEBE，
∴AE＝DE；
（2）解：∵∠A＝90°，AE＝6，∠ABE＝30°，
∴BE＝2AE＝12，
∴CE＝BE＝12．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
四．解答题（共5小题，满分40分）
23．（6分）商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件．当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件．规定售价不得超过75元．若商场每天盈利为8000元，求每件商品的售价．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】应用题；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】60元．
【分析】设商场日盈利达到8000元时，每件商品涨价为x元，根据每件商品的盈利×销售的件数＝商场的日盈利，列方程求解即可．
【解答】解：设涨价x元，则根据题意列方程得：
（500﹣10x）（50+x﹣40）＝8000，
整理得出：x2﹣40x+300＝0，
（x﹣10）（x﹣30）＝0，
解得：x1＝10 x2＝30，
故每件商品的销售定价为：50+10＝60（元），30+50＝80（元）；
∵售价不得超过75元，
∴每件商品售价为60时，商场日盈利达到8000元．
答：每件商品售价为60元时，商场日盈利达到8000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据每件商品的盈利×销售的件数＝商场的日盈利，列出方程是关键．
24．（8分）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，车离开A城的距离y与时间t的对应关系如图所示．
（1）A，B两城相距 300 km； 乙 车先到B城；（填甲、乙）
（2）求甲、乙两车的平均速度；
（3）先到的一辆车不停留立刻原路原速返回，返回时在某一时刻与另一车相遇，此刻的相遇位置距B城多远？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）300，乙；
（2）60km/h，100km/h；
（3）37.5km．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以解答本题；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两车的平均速度；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以计算出先到的一辆车不停留立刻原路原速返回，返回时在某一时刻与另一车相遇，此刻的相遇位置距B城多远．
【解答】解：（1）由图象可得，
A，B两城相距300km，乙车先到达B城，
故答案为：300，乙；
（2）由图象可得，
甲车的速度为：300÷（10﹣5）＝60（km/h），
乙车的速度为：300÷（9﹣6）＝100（km/h），
即甲、乙两车的平均速度分别为60km/h，100km/h；
（3）设乙车返回时，与甲车相遇时距B城的距离为t km，
t+60×（9﹣5）＝300，
解得t＝37.5，
答：先到的一辆车不停留立刻原路原速返回，返回时在某一时刻与另一车相遇，此刻的相遇位置距B城37.5km．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．（8分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，BD＝CE，AD＝AE．
（1）如图1，求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）如图2，若点E在AC的垂直平分线上，∠C＝36°，直接写出图中所有的等腰三角形．
【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】证明题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，∠DAF＝∠EAF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC，可得∠BAF＝∠CAF，结论即可证明；
（2）根据等腰三角形的判定解答即可．
【解答】解：（1）证明：过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，AF⊥BC，
∴DF＝EF，∠DAF＝∠EAF，
∵BD＝CE，
∴BF＝CF，
∵AF⊥BC，
∴AB＝AC，
∴∠BAF＝∠CAF，
∴∠BAF﹣∠DAF＝∠CAF﹣∠EAF，
∴∠BAD＝∠CAE；
（2）∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE＝CE，
∴∠CAE＝∠C＝36°，
∴∠BAD＝∠CAE＝36°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝36°，
∴∠BAD＝∠CAE＝∠C＝∠B＝36°，
∴BD＝AD＝AE＝EC，∠BEA＝∠ADE＝∠BAE＝∠DAC＝72°，
∴AB＝AC＝BE＝CD，
∴图中所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，△ADE，△ABC．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
26．（8分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心的正方形ABCD的边长为4m，我们把AB∥y轴时正方形ABCD的位置作为起始位置，若将它绕点O顺时针旋转任意角度α时，它能够与反比例函数y（k＞0）的图象相交于点E，F，G，H，则曲线段EF，HG与线段EH，GF围成的封闭图形命名为“曲边四边形EFGH”．
（1）①如图1，当AB∥y轴时，用含m，k的代数式表示点E的坐标为 （，2m） ；此时存在曲边四边形EFGH，则k的取值范围是 0＜k＜4m2 ；
②已知k＝3m2，把图1中的正方形ABCD绕点O顺时针旋转45°时，是否存在曲边四边形EFGH？请在备用图中画出图形，并说明理由．当把图1中的正方形ABCD绕点O顺时针旋转任意角度α时，直接写出使曲边四边形EFGH存在的k的取值范围．
③若将图1中的正方形绕点O顺时针旋转角度a（0°＜a＜180°）得到曲边四边形EFGH，根据正方形和双曲线的对称性试探究四边形EFGH是什么形状的四边形？曲边四边形EFGH是怎样的对称图形？直接写出结果，不必证明；
（2）正方形ABCD绕点O顺时针旋转到如图2位置，已知点A在反比例函数y（k＞0）的图象上，AB与y轴交于点M，AB＝8，AM＝1，试问此时曲边四边形EFGH存在吗？请说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①，0＜k＜4m2；
②不存在，0＜k＜2m2；
③四边形EFGH是平行四边形，曲边四边形EFGH是中心对称图形；
（2）存在曲边四边形EFGH，证明见解答．
【分析】（1）①利用正方形性质可得D（2m，2m），即点E的纵坐标为2m，代入反比例函数解析式即可得出点E的坐标，求出双曲线经过点D时的k值，即可求得k的取值范围；
②利用待定系数法可得直线AD的解析式为y＝﹣x+2m，再联立方程组，并运用一元二次方程根的判别式即可得出答案；
③如图3，连接EF、GH、FH、EG，根据正方形和双曲线的对称性可得：EG与FH经过点O，且OE＝OG，OF＝OH，进而证明△EOF≌△GOH（SAS），即可得出答案；
（2）如图4所示，连接OA，OB，分别过点A作AT⊥x轴于点T，AW⊥y轴于点W，分别过点B作BR⊥x轴于点R，BS⊥y轴于点S，先证明△RBO≌△TOA（AAS），再证明：四边形BROS为矩形，四边形ATOW为矩形，进而证得△AWM∽△BSM，得出，设A点坐标为（t，7t），代入y（k＞0），再利用勾股定理建立方程即可得出：反比例函数解析式为：y，再结合图2运用待定系数法求得直线AD解析式为：y＝﹣x+4，联立方程组，再运用根的判别式即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵正方形ABCD的边长为4m，AB∥y轴，
∴D（2m，2m），
∴点E的纵坐标为2m，
∴2m，
解得：x，
∴E（，2m），
将D（2m，2m）代入y，得：2m，
∴k＝4m2，
∵此时存在曲边四边形EFGH，
∴0＜k＜4m2，
故答案为：（，2m），0＜k＜4m2；
②如图2，∵正方形ABCD绕点O顺时针旋转45°时，点A在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，
此时OA＝ODAD＝2m，
∴A（0，2m），D（2m，0），
设直线AD的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
解得：，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x+2m，
联立方程组得，
∴x2m＝0，
∴x2﹣2mx+k＝0，
∵Δ＝（﹣2m）2﹣4k＝8m2﹣12m2＝﹣4m2≤0，
∴直线AD与y（x＞0）没有两个交点，
∴由y与正方形ABCD的对称性可知，BC与y（x＜0）的图象没有两个交点，
∴当k＝3m2，把正方形ABCD绕点O顺时针旋转45°时，不存在曲边四边形EFGH，
如果当把图1中的正方形ABCD绕点O顺时针旋转任意角度α时，存在曲边四边形EFGH，
a＝45°时，直线AD与y存在两个不同的交点，
∴关于x的方程x2﹣2mx+k＝0有两个不相同的实数根，
∴Δ＝8m2﹣4k＞0，即k＜2m2，
∴0＜k＜2m2，
由正方形ABCD与y的对称性可知，a＝45°，0＜k＜2m2时，BC与y（x＜0）图象也有2个交点，
∴存在曲边四边形EFGH时k的取值范围为：0＜k＜2m2，
故答案为：k＝3m2，a＝45°时，不存在曲边四边形EFGH；
把正方形ABCD绕点O顺时针旋转任意角度a时，使曲边四边形EFGH存在的k的取值范围为：0＜k＜2m2，
③如图3，连接EF、GH、FH、EG，
则：EG与FH经过点O，且OE＝OG，OF＝OH，
在△EOF和△GOH中，
，
∴△EOF≌△GOH（SAS），
∴EF＝GH，
同理：EH＝FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，曲边四边形EFGH是中心对称图形．
（2）存在曲边四边形EFGH，理由如下：
如图4所示，连接OA，OB，分别过点A作AT⊥x轴于点T，AW⊥y轴于点W，
分别过点B作BR⊥x轴于点R，BS⊥y轴于点S，
∵原点O为正方形ABCD的中心，
∴OA＝OB，∠AOB360°＝90°，
∴∠AOT+∠BOR＝90°，∠AOT+∠OAT＝90°，
∴∠BOR＝∠OAT，
在△RBO与△TOA中，
，
∴△RBO≌△TOA（AAS），
∴BR＝OT，OR＝AT，
∵BS⊥y轴，BR⊥x轴，
∴∠BSO＝∠BRO＝∠ROS＝90°，
∴四边形BROS为矩形，
∴OR＝BS＝AT，
∵AT⊥x轴，AW⊥y轴，
∴∠AWO＝∠ATO＝∠WOT＝90°，
∴四边形ATOW为矩形，
∴OT＝AW＝BR，
∵AB＝8，AM＝1，
∴BM＝AB﹣AM＝8﹣1＝7，
∵∠AWM＝∠BSM＝90°，∠AMW＝∠BMS，
∴△AWM∽△BSM，
∴，即BS＝7AW，
∴BS＝OR＝AT＝7AW＝7OT，
∴设A点坐标为（t，7t），
∵点A（t，7t）在y（k＞0）图象上，
∴7t2＝k，
∵AB＝8，△AOB为等腰直角三角形，
∴OAAB＝4，
在Rt△AOT中，OA2＝OT2+AT2，
∴（4）2＝t2+（7t）2，即50t2＝32，
∴t，
∴k＝7t2＝7×（）2，
∴反比例函数解析式为：y，
如图2，当A点在y轴正半轴，D点在x轴正半轴，C点在y轴负半轴，B点在x轴负半轴上时，O点为正方形ABCD中心，
∴OA＝OD，∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵正方形ABCD中AB＝8，
∴AD＝AB＝8，
∴OA＝ODAD＝4，
∴A点坐标为（0，4），D点坐标为（4，0），
设直线AD解析式为y＝k2x+b2，
∴，
解得：，
∴直线AD解析式为：y＝﹣x+4，
联立方程组，
∴x2﹣4x0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×10，
∴AD与y有两个交点，
由双曲线与正方形的对称性可知，BC与y（x＜0）也有两个交点，
∴此时存在曲边四边形EFGH．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，根的判别式，旋转变换的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等，理解题意，运用数形结合思想是解题关键．
27．（10分）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，连接CD，∠B＝2∠ACD．
（1）如图1，求证：BC＝BD；
（2）如图2，点E、点F分别在AC、BC上，CE＝CF，连接DE、DF，∠EDF＝90°，求∠CDF的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，当∠CEB＝∠CFD，BF＝6，求AD的长．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）45°；
（3）3．
【分析】（1）证∠BCD＝90°∠B，∠A＝90°﹣∠B，再由三角形的外角性质得∠BDC＝∠A+∠ACD＝90°∠B，则∠BDC＝∠BCD，即可得出结论；
（2）过点C作CG⊥DE交DE延长线于点G，作CH⊥DF交DF于点H，证∠HCF＝∠GCE，再证△HCF≌△GCE（AAS），得CH＝CG，则CD平分∠EDF，即可得出结论；
（3）延长CA、FD交于点G，证△CGF≌△CBE（ASA），得CG＝CB，则GE＝BF＝6，设∠ACD＝α，证∠AED＝∠ADE，则AD＝AE，再证∠G＝∠ADG，则AD＝AG，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠B＝2∠ACD，
∴∠BCD＝90°∠B，∠A＝90°﹣∠B，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝90°﹣∠B∠B＝90°∠B，
∴∠BDC＝∠BCD，
∴BC＝BD；
（2）解：如图2，过点C作CG⊥DE交DE延长线于点G，作CH⊥DF交DF于点H，
则∠CGD＝∠CHD＝∠CHF＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠GCH＝360°﹣∠CGD﹣∠CHD﹣∠EDF＝90°，
∴∠GCE+∠ACH＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠HCF+∠ACH＝90°，
∴∠HCF＝∠GCE，
在△HCF和△GCE中，
，
∴△HCF≌△GCE（AAS），
∴CH＝CG，
∴CD平分∠EDF，
∵∠EDF＝90°，
∴∠CDF∠EDF＝45°；
（3）解：如图3，延长CA、FD交于点G，
在△CGF和△CBE中，
，
∴△CGF≌△CBE（ASA），
∴CG＝CB，
∵CE＝CF，
∴CG﹣CE＝CB﹣CF，
即GE＝BF＝6，
设∠ACD＝α，则∠BCD＝90°﹣α，
由（2）可知，∠CDF＝∠CDE＝45°，
∴∠AED＝∠ACD+∠CDE＝α+45°，
由（1）可知，BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝90°﹣α，
∴∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣45°﹣（90°﹣α）＝α+45°，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∵∠EDF＝90°，
∴∠EDG＝90°，
∴∠G+∠AED＝∠ADG+∠ADE＝90°，
∴∠G＝∠ADG，
∴AD＝AG，
∴AD＝AE＝AGGE＝3，
即AD的长为3．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
考点卡片
1．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
2．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1 a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1 c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
3．实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x）（x）
4．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
5．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
6．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①；②．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数．
7．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
8．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
9．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
10．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
11．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
12．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
13．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
14．两点间的距离公式
两点间的距离公式：
设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB．
说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
15．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
16．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
17．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
18．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
19．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
20．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
21．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
22．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
23．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
24．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
25．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
26．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
27．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
28．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
29．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
30．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
31．轨迹
轨迹 数学概念轨迹数学概念：在数学中，轨迹是由满足坐标关系的特定方程的所有点，或由一个点、线或运动曲面构成的曲线或其他形状．所有的形状，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等．
32．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b） P（2m﹣a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b） P（a，2n﹣b）
33．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
2024—2025学年上学期上海初中数学八年级开学模拟试卷3
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）下列二次根式中，能与3合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）已知：x，y＝2，那么x与y的关系是（ ）
A．x＝y B．x＝﹣y C．x D．x
3．（2分）在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a＝10，b＝8，c＝6；②a2＝3，b2＝4，c2＝5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④∠A＝2∠B＝2∠C．其中能判断△ABC是直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2分）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0＜x3则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
5．（2分）下列说法错误的是（ ）
A．三角形的两边之和大于第三边
B．三角形的一个外角等于两个内角的和
C．三角形的一条中线能将三角形的面积分成相等的两部分
D．等边三角形任意一边上的高都能与这条边上的中线重合
6．（2分）如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠B＝∠E C．AB＝DE D．CD＝CE
二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
7．（2分）a，b为有理数，且，则a+b＝ ．
8．（2分）方程x2+x﹣2＝0的解是 ．
9．（2分）化简： ．
10．（2分）若关于x的一元二次方程（m+3）x2+m2x﹣3＝0的一次项系数等于9，则m的值是 ．
11．（2分）在实数范围内分解因式：x4﹣4x2+3＝ ．
12．（2分）函数y中，自变量x的取值范围是 ．
13．（2分）如图，点D为△ABC的边AB上一点，且AD＝AC，∠B＝45°，过D作DE⊥AC于E，若AE＝3，四边形BDEC的面积为8，则AB的长度为 ．
14．（2分）如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝28°，∠EBD＝25°，则∠AED＝ °．
15．（2分）底边一定，高为h的三角形的顶点轨迹是 ．
16．（2分）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，3）到原点O的距离是 ．
17．（2分）如图，矩形ABCD的边AB与x轴平行，顶点A的坐标为（2，1），点B与点D都在反比例函数y（x＞0）的图象上，则矩形ABCD的面积为 ．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，6）、B（8，0）．现将△AOB折叠，使点A落在OB边的点A′处，折痕为CD，其中点C在y轴上，点D在AB边上，当△ACD是以CD为底的等腰三角形时，点A′的坐标为 ．
三．解答题（共4小题，满分24分，每小题6分）
19．（6分）计算
（1）（1）0；
（2）（1）2﹣|1|．
20．（6分）用配方法解下列方程：
（1）3x2+8x﹣3＝0；
（2）x2﹣x﹣1＝0．
21．（6分）在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段AB，EA分别是图中1×3的两个长方形的对角线，请你说明：AB⊥EA．
22．（6分）如图，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若AE＝6，求CE的长．
四．解答题（共5小题，满分40分）
23．（6分）商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件．当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件．规定售价不得超过75元．若商场每天盈利为8000元，求每件商品的售价．
24．（8分）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，车离开A城的距离y与时间t的对应关系如图所示．
（1）A，B两城相距 km； 车先到B城；（填甲、乙）
（2）求甲、乙两车的平均速度；
（3）先到的一辆车不停留立刻原路原速返回，返回时在某一时刻与另一车相遇，此刻的相遇位置距B城多远？
25．（8分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，BD＝CE，AD＝AE．
（1）如图1，求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）如图2，若点E在AC的垂直平分线上，∠C＝36°，直接写出图中所有的等腰三角形．
26．（8分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心的正方形ABCD的边长为4m，我们把AB∥y轴时正方形ABCD的位置作为起始位置，若将它绕点O顺时针旋转任意角度α时，它能够与反比例函数y（k＞0）的图象相交于点E，F，G，H，则曲线段EF，HG与线段EH，GF围成的封闭图形命名为“曲边四边形EFGH”．
（1）①如图1，当AB∥y轴时，用含m，k的代数式表示点E的坐标为 ；此时存在曲边四边形EFGH，则k的取值范围是 ；
②已知k＝3m2，把图1中的正方形ABCD绕点O顺时针旋转45°时，是否存在曲边四边形EFGH？请在备用图中画出图形，并说明理由．当把图1中的正方形ABCD绕点O顺时针旋转任意角度α时，直接写出使曲边四边形EFGH存在的k的取值范围．
③若将图1中的正方形绕点O顺时针旋转角度a（0°＜a＜180°）得到曲边四边形EFGH，根据正方形和双曲线的对称性试探究四边形EFGH是什么形状的四边形？曲边四边形EFGH是怎样的对称图形？直接写出结果，不必证明；
（2）正方形ABCD绕点O顺时针旋转到如图2位置，已知点A在反比例函数y（k＞0）的图象上，AB与y轴交于点M，AB＝8，AM＝1，试问此时曲边四边形EFGH存在吗？请说明理由．
27．（10分）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，连接CD，∠B＝2∠ACD．
（1）如图1，求证：BC＝BD；
（2）如图2，点E、点F分别在AC、BC上，CE＝CF，连接DE、DF，∠EDF＝90°，求∠CDF的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，当∠CEB＝∠CFD，BF＝6，求AD的长．
2024—2025学年上学期上海初中数学八年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）下列二次根式中，能与3合并的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】各项中式子化为最简二次根式，利用同类二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、原式＝2，不符合题意；
B、原式＝3，不符合题意；
C、原式＝6，符合题意；
D、原式，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式概念是解题关键．
2．（2分）已知：x，y＝2，那么x与y的关系是（ ）
A．x＝y B．x＝﹣y C．x D．x
【考点】分母有理化．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【解答】解：∵x（2），
∴x＝﹣y．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．
3．（2分）在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a＝10，b＝8，c＝6；②a2＝3，b2＝4，c2＝5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④∠A＝2∠B＝2∠C．其中能判断△ABC是直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：①∵b2+c2＝82+62＝100＝a2，
∴此三角形是直角三角形；
②∵a2＝3，b2＝4，c2＝5，
∴a2+b2≠c2，
∴此三角形不是直角三角形；
③∵a2＝（b+c）（b﹣c），
∴a2＝b2﹣c2，
∴此三角形是直角三角形；
④∵∠A＝2∠B＝2∠C，
∴设∠B＝∠C＝x，则∠A＝2x，
∴x+x+2x＝180°，
解得：x＝45°，
∴∠A＝2x＝90°，
∴此三角形是直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．也考查了三角形内角和定理．
4．（2分）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0＜x3则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】先根据反比例函数y的中k的符号判断出此函数图象所在象限，再根据x1＜x2＜0＜x3判断出y1，y2，y3的大小关系即可．
【解答】解：∵反比例函数y中，k＝﹣1＜0，
∴此函数图象在二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y3＜0，y3＜0＜y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据函数解析式判断出函数图象所在的象限是解答此题的关键．
5．（2分）下列说法错误的是（ ）
A．三角形的两边之和大于第三边
B．三角形的一个外角等于两个内角的和
C．三角形的一条中线能将三角形的面积分成相等的两部分
D．等边三角形任意一边上的高都能与这条边上的中线重合
【考点】等边三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质，三角形外角的性质，三角形三边关系，三角形中线的性质分别判断即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
故A不符合题意；
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，
故B符合题意；
三角形的一条中线把三角形分成了两个等底同高的三角形，
∴分成的两个三角形面积相等，
故C不符合题意；
等边三角形三边都相等，是特殊的等腰三角形，
∴等边三角形任意一边上的高都能与这条边上的中线重合，
故D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的三边关系，三角形外角的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
6．（2分）如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠B＝∠E C．AB＝DE D．CD＝CE
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】由“SAS”可证，可得AB＝DE．
【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
即∠DCE＝∠ACB，
在△ACB和△DCE中，
，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定SAS是解本题的关键．
二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
7．（2分）a，b为有理数，且，则a+b＝ 2 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】2．
【分析】先根据完全平方公式进行变形，再根据二次根式的性质进行计算，求出a、b的值，最后求出a+b即可．
【解答】解：4+212+2（）2＝（1）2，
∵a，b为有理数，且，
∴ab＝1，
∴a＝1，b＝1，
∴a+b＝1+1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，能正确根据二次根式的性质进行计算是解此题的关键．
8．（2分）方程x2+x﹣2＝0的解是 x1＝﹣2，x2＝1 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：（x+2）（x﹣1）＝0，
x+2＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣2，x2＝1．
故答案为x1＝﹣2，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
9．（2分）化简： ﹣π ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】﹣π．
【分析】首先判断﹣π＜0，再根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简．
【解答】解：∵﹣π＜0，
∴π．
故答案为：﹣π．
【点评】此题考查了二次根式的性质：|a|．正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
10．（2分）若关于x的一元二次方程（m+3）x2+m2x﹣3＝0的一次项系数等于9，则m的值是 3 ．
【考点】一元二次方程的一般形式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据一元二次方程的一般形式可知，一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是（m+3）确定m+3≠0，另外一次项系数等于9，确定m2＝9，据此解答．
【解答】解：因为一元二次方程（m+3）x2+m2x﹣3＝0的一次项系数等于9，
所以m2＝9，
所以m＝3或m＝﹣3．
又因为二次项系数不为0，
所以m+3≠0，
解得m≠﹣3，
所以m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的定义，难度不大，属于基础题．
11．（2分）在实数范围内分解因式：x4﹣4x2+3＝ （x+1）（x﹣1）（x）（x） ．
【考点】实数范围内分解因式；因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣十字相乘法等．
【答案】见试题解答内容
【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．x4﹣4x2+3中常数项与前2项组不成完全平方式，所以需要通过添项来凑完全平方式，然后再利用公式进行分解．
【解答】解：x4﹣4x2+3＝x4﹣4x2+3+1﹣1
＝（x4﹣4x2+4）﹣1
＝（x2﹣2）2﹣1
＝（x2﹣2+1）（x2﹣2﹣1）
＝（x2﹣1）（x2﹣3）
＝（x+1）（x﹣1）（x）（x）．
【点评】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．此题有一定难度，难点在于把三项式x4﹣4x2+3通过添项的方法来凑完全平方式，已达到利用公式的目的，由于是在实数范围内分解因式，所以要分到出现无理数为止，很容易漏掉最后一项使分解不完整．
12．（2分）函数y中，自变量x的取值范围是 x≠﹣3 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【专题】计算题；函数及其图象；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由分母不为0，直接得到x的取值范围．
【解答】解：由题意，得2x+6≠0，
解得x≠﹣3．
故答案为：x≠﹣3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围．分式考虑分母不为0，二次根式考虑被开方数是非负数．
13．（2分）如图，点D为△ABC的边AB上一点，且AD＝AC，∠B＝45°，过D作DE⊥AC于E，若AE＝3，四边形BDEC的面积为8，则AB的长度为 7 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】7．
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，根据全等三角形的性质得到AF＝AE＝3，推出△BFC是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式得到BF＝CF＝4，根据勾股定理得到AD＝AC5，于是得到结论．
【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，
∵DE⊥AC，
∴∠AFC＝∠BFC＝∠AED＝90°，
∵∠A＝∠A，AD＝AC，
∴△ADE≌△ACF（AAS）．
∴AF＝AE＝3．
∴S△BFC＝四边形BDEC的面积＝8，
∵∠B＝45°，
∴△BFC是等腰直角三角形，
∴BF CFBF2＝8，
∴BF＝CF＝4．
∴AB＝AF+BF＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
14．（2分）如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝28°，∠EBD＝25°，则∠AED＝ 37 °．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】37．
【分析】连接CE，过E作ER⊥AC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出CE＝BE，ER＝EF，根据全等求出∠RCE＝∠EBF，求出∠ACB＝∠QED＝28°，求出∠BED＝∠CED＝65°，求出∠REF的度数，再求出∠CAB，求出∠CAE，根据三角形的外角性质求出∠DOE，再求出答案即可．
【解答】解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，
∵DE是线段BC的中垂线，
∴∠EDC＝90°，CE＝BE，
∴∠ECB＝∠EBD，
∵∠EBD＝25°，
∴∠ECB＝25°，
∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°，
∵ER⊥AC，ED⊥BC，
∴∠QRC＝∠QDE＝90°，
∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°，
∵∠CQR＝∠EQD，
∴∠ACB＝∠QED，
∵∠ACB＝28°，
∴∠QED＝28°，
∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，
∴ER＝EF，
在Rt△ERC和Rt△EFB中，
，
∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL），
∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝28°+25°＝53°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣53°＝37°，
∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝28°+65°+37°＝130°，
∵∠ARE＝∠AFE＝90°，
∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∵AE平分∠CAM，
∴∠CAECAM＝25°，
∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+28°＝53°，
∵ED⊥BC，
∴∠EDB＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣53°＝37°，
故答案为：37．
【点评】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
15．（2分）底边一定，高为h的三角形的顶点轨迹是 平行于直线BC且距离BC为h的两条平行线 ．
【考点】轨迹．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】平行于直线BC且距离BC为h的两条平行线．
【分析】如图，BC为底边，A到BC的高为h，利用A到BC的高即可确定顶点A轨迹．
【解答】解：如图，∵BC为底边，A到BC的高为h，
∴点A的轨迹为平行于直线BC且距离BC为h的两条平行线．
【点评】此题主要考查了轨迹的知识点，解题的关键是熟练掌握到已知直线的距离为定值的点具有的性质．
16．（2分）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，3）到原点O的距离是 5 ．
【考点】勾股定理；两点间的距离公式．
【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理可求点P（﹣4，3）到原点的距离．
【解答】解：点P（﹣4，3）到原点的距离为5．
故答案为：5．
【点评】考查了勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17．（2分）如图，矩形ABCD的边AB与x轴平行，顶点A的坐标为（2，1），点B与点D都在反比例函数y（x＞0）的图象上，则矩形ABCD的面积为 8 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力．
【答案】8．
【分析】先根据已知条件求出点B（1，6），点D（2，3），进而得AB＝4，AD＝2，由此可求出矩形ABCD的面积．
【解答】解：∵点A（2，1），四边形ABCD为矩形，
∴点B的纵坐标为1，点D的横坐标为2，
∵点B与点D都在反比例函数y（x＞0）的图象上，
∴对于y，当y＝1时，x＝6，当x＝2时，y＝3，
∴点B的坐标为（1，6），点D的坐标为（2，3），
∴AB＝6﹣2＝4，AD＝3﹣1＝2，
∴S矩形ABCD＝AB AD＝4×2＝8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，，矩形的性质，理解反比例函数图象上点满足反比例函数的表达式，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，6）、B（8，0）．现将△AOB折叠，使点A落在OB边的点A′处，折痕为CD，其中点C在y轴上，点D在AB边上，当△ACD是以CD为底的等腰三角形时，点A′的坐标为 （3，0） ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质；勾股定理；坐标与图形变化﹣对称．
【专题】平面直角坐标系；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（3，0）．
【分析】△ACD是以CD为底的等腰三角形，翻折得出△A′CD，由内错角等得A′C∥AB，得出，由A（0，6）、B（8，0）得OA＝6，OB＝8，勾股定理得出AB﹣10，设C（0，m），则OC＝m，AC＝6﹣m，在Rt△A'OC中，用勾股定理可得m，即可得答案．
【解答】解：∵△ACD是以CD为底的等腰三角形，
∴AC＝AD，∠ACD＝∠ADC，
∵△ACD以CD为折痕，翻折得到△A′CD，
∴∠ADC＝∠A′CD，
∴A′C∥AB，
∴，
∵A（0，6）、B（8，0），
∴OA＝6，OB＝8，
∴AB＝10，
设C（0，m），则OC＝m，AC＝A′C＝6﹣m，
∴，
∴m，
∴OC，A′C，
∴OA′3，
∴A′（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【点评】本题考查直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理列方程．
三．解答题（共4小题，满分24分，每小题6分）
19．（6分）计算
（1）（1）0；
（2）（1）2﹣|1|．
【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；分母有理化．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）1；
（2）7﹣3．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）（1）0
＝2（1）﹣21
＝22﹣21
＝1；
（2）（1）2﹣|1|
4﹣2（1）
＝2+4﹣21
＝7﹣3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（6分）用配方法解下列方程：
（1）3x2+8x﹣3＝0；
（2）x2﹣x﹣1＝0．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1，x2＝﹣3．
（2）x1＝1，x2＝1．
【分析】（1）直接利用解一元二次方程﹣配方法进行计算即可．
（2）直接利用解一元二次方程﹣配方法进行计算即可．
【解答】解：（1）3x2+8x﹣3＝0，
3x2+8x＝3，
x2x＝1，
x2x1，
（x）2，
∴x±，
∴x1，x2＝﹣3．
（2）x2﹣x﹣1＝0，
x2﹣x＝1，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
∴x﹣1，
∴x1＝1，x2＝1．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解答本题的关键．
21．（6分）在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段AB，EA分别是图中1×3的两个长方形的对角线，请你说明：AB⊥EA．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由勾股定理分别求得AE、AB、BE的值，再证明AE2+AB2＝BE2，即可证明AB⊥EA．
【解答】证明：∵AE，
AB，
BE2，
∴AE2+AB2＝20＝BE2，
∴△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°，
∴AB⊥EA．
【点评】此题主要考查了在网格中运用勾股定理及其逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
22．（6分）如图，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若AE＝6，求CE的长．
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】计算题；证明题；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接BE，由垂直平分线的性质得出BE＝CE，得出∠ABE＝∠DBE＝30°，由直角三角形的性质可得出结论；
（2）由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：连接BE，
∵∠A＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝30°，
∵BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．
∴BE＝CE，
∴∠C＝∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝30°，
∴AEBE，DEBE，
∴AE＝DE；
（2）解：∵∠A＝90°，AE＝6，∠ABE＝30°，
∴BE＝2AE＝12，
∴CE＝BE＝12．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
四．解答题（共5小题，满分40分）
23．（6分）商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件．当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件．规定售价不得超过75元．若商场每天盈利为8000元，求每件商品的售价．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】应用题；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】60元．
【分析】设商场日盈利达到8000元时，每件商品涨价为x元，根据每件商品的盈利×销售的件数＝商场的日盈利，列方程求解即可．
【解答】解：设涨价x元，则根据题意列方程得：
（500﹣10x）（50+x﹣40）＝8000，
整理得出：x2﹣40x+300＝0，
（x﹣10）（x﹣30）＝0，
解得：x1＝10 x2＝30，
故每件商品的销售定价为：50+10＝60（元），30+50＝80（元）；
∵售价不得超过75元，
∴每件商品售价为60时，商场日盈利达到8000元．
答：每件商品售价为60元时，商场日盈利达到8000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据每件商品的盈利×销售的件数＝商场的日盈利，列出方程是关键．
24．（8分）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，车离开A城的距离y与时间t的对应关系如图所示．
（1）A，B两城相距 300 km； 乙 车先到B城；（填甲、乙）
（2）求甲、乙两车的平均速度；
（3）先到的一辆车不停留立刻原路原速返回，返回时在某一时刻与另一车相遇，此刻的相遇位置距B城多远？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）300，乙；
（2）60km/h，100km/h；
（3）37.5km．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以解答本题；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两车的平均速度；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以计算出先到的一辆车不停留立刻原路原速返回，返回时在某一时刻与另一车相遇，此刻的相遇位置距B城多远．
【解答】解：（1）由图象可得，
A，B两城相距300km，乙车先到达B城，
故答案为：300，乙；
（2）由图象可得，
甲车的速度为：300÷（10﹣5）＝60（km/h），
乙车的速度为：300÷（9﹣6）＝100（km/h），
即甲、乙两车的平均速度分别为60km/h，100km/h；
（3）设乙车返回时，与甲车相遇时距B城的距离为t km，
t+60×（9﹣5）＝300，
解得t＝37.5，
答：先到的一辆车不停留立刻原路原速返回，返回时在某一时刻与另一车相遇，此刻的相遇位置距B城37.5km．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．（8分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，BD＝CE，AD＝AE．
（1）如图1，求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）如图2，若点E在AC的垂直平分线上，∠C＝36°，直接写出图中所有的等腰三角形．
【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】证明题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，∠DAF＝∠EAF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC，可得∠BAF＝∠CAF，结论即可证明；
（2）根据等腰三角形的判定解答即可．
【解答】解：（1）证明：过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，AF⊥BC，
∴DF＝EF，∠DAF＝∠EAF，
∵BD＝CE，
∴BF＝CF，
∵AF⊥BC，
∴AB＝AC，
∴∠BAF＝∠CAF，
∴∠BAF﹣∠DAF＝∠CAF﹣∠EAF，
∴∠BAD＝∠CAE；
（2）∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE＝CE，
∴∠CAE＝∠C＝36°，
∴∠BAD＝∠CAE＝36°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝36°，
∴∠BAD＝∠CAE＝∠C＝∠B＝36°，
∴BD＝AD＝AE＝EC，∠BEA＝∠ADE＝∠BAE＝∠DAC＝72°，
∴AB＝AC＝BE＝CD，
∴图中所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，△ADE，△ABC．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
26．（8分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心的正方形ABCD的边长为4m，我们把AB∥y轴时正方形ABCD的位置作为起始位置，若将它绕点O顺时针旋转任意角度α时，它能够与反比例函数y（k＞0）的图象相交于点E，F，G，H，则曲线段EF，HG与线段EH，GF围成的封闭图形命名为“曲边四边形EFGH”．
（1）①如图1，当AB∥y轴时，用含m，k的代数式表示点E的坐标为 （，2m） ；此时存在曲边四边形EFGH，则k的取值范围是 0＜k＜4m2 ；
②已知k＝3m2，把图1中的正方形ABCD绕点O顺时针旋转45°时，是否存在曲边四边形EFGH？请在备用图中画出图形，并说明理由．当把图1中的正方形ABCD绕点O顺时针旋转任意角度α时，直接写出使曲边四边形EFGH存在的k的取值范围．
③若将图1中的正方形绕点O顺时针旋转角度a（0°＜a＜180°）得到曲边四边形EFGH，根据正方形和双曲线的对称性试探究四边形EFGH是什么形状的四边形？曲边四边形EFGH是怎样的对称图形？直接写出结果，不必证明；
（2）正方形ABCD绕点O顺时针旋转到如图2位置，已知点A在反比例函数y（k＞0）的图象上，AB与y轴交于点M，AB＝8，AM＝1，试问此时曲边四边形EFGH存在吗？请说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①，0＜k＜4m2；
②不存在，0＜k＜2m2；
③四边形EFGH是平行四边形，曲边四边形EFGH是中心对称图形；
（2）存在曲边四边形EFGH，证明见解答．
【分析】（1）①利用正方形性质可得D（2m，2m），即点E的纵坐标为2m，代入反比例函数解析式即可得出点E的坐标，求出双曲线经过点D时的k值，即可求得k的取值范围；
②利用待定系数法可得直线AD的解析式为y＝﹣x+2m，再联立方程组，并运用一元二次方程根的判别式即可得出答案；
③如图3，连接EF、GH、FH、EG，根据正方形和双曲线的对称性可得：EG与FH经过点O，且OE＝OG，OF＝OH，进而证明△EOF≌△GOH（SAS），即可得出答案；
（2）如图4所示，连接OA，OB，分别过点A作AT⊥x轴于点T，AW⊥y轴于点W，分别过点B作BR⊥x轴于点R，BS⊥y轴于点S，先证明△RBO≌△TOA（AAS），再证明：四边形BROS为矩形，四边形ATOW为矩形，进而证得△AWM∽△BSM，得出，设A点坐标为（t，7t），代入y（k＞0），再利用勾股定理建立方程即可得出：反比例函数解析式为：y，再结合图2运用待定系数法求得直线AD解析式为：y＝﹣x+4，联立方程组，再运用根的判别式即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵正方形ABCD的边长为4m，AB∥y轴，
∴D（2m，2m），
∴点E的纵坐标为2m，
∴2m，
解得：x，
∴E（，2m），
将D（2m，2m）代入y，得：2m，
∴k＝4m2，
∵此时存在曲边四边形EFGH，
∴0＜k＜4m2，
故答案为：（，2m），0＜k＜4m2；
②如图2，∵正方形ABCD绕点O顺时针旋转45°时，点A在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，
此时OA＝ODAD＝2m，
∴A（0，2m），D（2m，0），
设直线AD的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
解得：，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x+2m，
联立方程组得，
∴x2m＝0，
∴x2﹣2mx+k＝0，
∵Δ＝（﹣2m）2﹣4k＝8m2﹣12m2＝﹣4m2≤0，
∴直线AD与y（x＞0）没有两个交点，
∴由y与正方形ABCD的对称性可知，BC与y（x＜0）的图象没有两个交点，
∴当k＝3m2，把正方形ABCD绕点O顺时针旋转45°时，不存在曲边四边形EFGH，
如果当把图1中的正方形ABCD绕点O顺时针旋转任意角度α时，存在曲边四边形EFGH，
a＝45°时，直线AD与y存在两个不同的交点，
∴关于x的方程x2﹣2mx+k＝0有两个不相同的实数根，
∴Δ＝8m2﹣4k＞0，即k＜2m2，
∴0＜k＜2m2，
由正方形ABCD与y的对称性可知，a＝45°，0＜k＜2m2时，BC与y（x＜0）图象也有2个交点，
∴存在曲边四边形EFGH时k的取值范围为：0＜k＜2m2，
故答案为：k＝3m2，a＝45°时，不存在曲边四边形EFGH；
把正方形ABCD绕点O顺时针旋转任意角度a时，使曲边四边形EFGH存在的k的取值范围为：0＜k＜2m2，
③如图3，连接EF、GH、FH、EG，
则：EG与FH经过点O，且OE＝OG，OF＝OH，
在△EOF和△GOH中，
，
∴△EOF≌△GOH（SAS），
∴EF＝GH，
同理：EH＝FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，曲边四边形EFGH是中心对称图形．
（2）存在曲边四边形EFGH，理由如下：
如图4所示，连接OA，OB，分别过点A作AT⊥x轴于点T，AW⊥y轴于点W，
分别过点B作BR⊥x轴于点R，BS⊥y轴于点S，
∵原点O为正方形ABCD的中心，
∴OA＝OB，∠AOB360°＝90°，
∴∠AOT+∠BOR＝90°，∠AOT+∠OAT＝90°，
∴∠BOR＝∠OAT，
在△RBO与△TOA中，
，
∴△RBO≌△TOA（AAS），
∴BR＝OT，OR＝AT，
∵BS⊥y轴，BR⊥x轴，
∴∠BSO＝∠BRO＝∠ROS＝90°，
∴四边形BROS为矩形，
∴OR＝BS＝AT，
∵AT⊥x轴，AW⊥y轴，
∴∠AWO＝∠ATO＝∠WOT＝90°，
∴四边形ATOW为矩形，
∴OT＝AW＝BR，
∵AB＝8，AM＝1，
∴BM＝AB﹣AM＝8﹣1＝7，
∵∠AWM＝∠BSM＝90°，∠AMW＝∠BMS，
∴△AWM∽△BSM，
∴，即BS＝7AW，
∴BS＝OR＝AT＝7AW＝7OT，
∴设A点坐标为（t，7t），
∵点A（t，7t）在y（k＞0）图象上，
∴7t2＝k，
∵AB＝8，△AOB为等腰直角三角形，
∴OAAB＝4，
在Rt△AOT中，OA2＝OT2+AT2，
∴（4）2＝t2+（7t）2，即50t2＝32，
∴t，
∴k＝7t2＝7×（）2，
∴反比例函数解析式为：y，
如图2，当A点在y轴正半轴，D点在x轴正半轴，C点在y轴负半轴，B点在x轴负半轴上时，O点为正方形ABCD中心，
∴OA＝OD，∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵正方形ABCD中AB＝8，
∴AD＝AB＝8，
∴OA＝ODAD＝4，
∴A点坐标为（0，4），D点坐标为（4，0），
设直线AD解析式为y＝k2x+b2，
∴，
解得：，
∴直线AD解析式为：y＝﹣x+4，
联立方程组，
∴x2﹣4x0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×10，
∴AD与y有两个交点，
由双曲线与正方形的对称性可知，BC与y（x＜0）也有两个交点，
∴此时存在曲边四边形EFGH．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，根的判别式，旋转变换的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等，理解题意，运用数形结合思想是解题关键．
27．（10分）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，连接CD，∠B＝2∠ACD．
（1）如图1，求证：BC＝BD；
（2）如图2，点E、点F分别在AC、BC上，CE＝CF，连接DE、DF，∠EDF＝90°，求∠CDF的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，当∠CEB＝∠CFD，BF＝6，求AD的长．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）45°；
（3）3．
【分析】（1）证∠BCD＝90°∠B，∠A＝90°﹣∠B，再由三角形的外角性质得∠BDC＝∠A+∠ACD＝90°∠B，则∠BDC＝∠BCD，即可得出结论；
（2）过点C作CG⊥DE交DE延长线于点G，作CH⊥DF交DF于点H，证∠HCF＝∠GCE，再证△HCF≌△GCE（AAS），得CH＝CG，则CD平分∠EDF，即可得出结论；
（3）延长CA、FD交于点G，证△CGF≌△CBE（ASA），得CG＝CB，则GE＝BF＝6，设∠ACD＝α，证∠AED＝∠ADE，则AD＝AE，再证∠G＝∠ADG，则AD＝AG，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠B＝2∠ACD，
∴∠BCD＝90°∠B，∠A＝90°﹣∠B，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝90°﹣∠B∠B＝90°∠B，
∴∠BDC＝∠BCD，
∴BC＝BD；
（2）解：如图2，过点C作CG⊥DE交DE延长线于点G，作CH⊥DF交DF于点H，
则∠CGD＝∠CHD＝∠CHF＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠GCH＝360°﹣∠CGD﹣∠CHD﹣∠EDF＝90°，
∴∠GCE+∠ACH＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠HCF+∠ACH＝90°，
∴∠HCF＝∠GCE，
在△HCF和△GCE中，
，
∴△HCF≌△GCE（AAS），
∴CH＝CG，
∴CD平分∠EDF，
∵∠EDF＝90°，
∴∠CDF∠EDF＝45°；
（3）解：如图3，延长CA、FD交于点G，
在△CGF和△CBE中，
，
∴△CGF≌△CBE（ASA），
∴CG＝CB，
∵CE＝CF，
∴CG﹣CE＝CB﹣CF，
即GE＝BF＝6，
设∠ACD＝α，则∠BCD＝90°﹣α，
由（2）可知，∠CDF＝∠CDE＝45°，
∴∠AED＝∠ACD+∠CDE＝α+45°，
由（1）可知，BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝90°﹣α，
∴∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣45°﹣（90°﹣α）＝α+45°，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∵∠EDF＝90°，
∴∠EDG＝90°，
∴∠G+∠AED＝∠ADG+∠ADE＝90°，
∴∠G＝∠ADG，
∴AD＝AG，
∴AD＝AE＝AGGE＝3，
即AD的长为3．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
考点卡片
1．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
2．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1 a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1 c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
3．实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x）（x）
4．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
5．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
6．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①；②．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数．
7．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
8．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
9．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
10．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
11．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
12．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
13．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
14．两点间的距离公式
两点间的距离公式：
设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB．
说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
15．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
16．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
17．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
18．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
19．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
20．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
21．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
22．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
23．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
24．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
25．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
26．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
27．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
28．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
29．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
30．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
31．轨迹
轨迹 数学概念轨迹数学概念：在数学中，轨迹是由满足坐标关系的特定方程的所有点，或由一个点、线或运动曲面构成的曲线或其他形状．所有的形状，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等．
32．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b） P（2m﹣a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b） P（a，2n﹣b）
33．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
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