2024—2025学年上学期武汉初中数学八年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期武汉初中数学八年级开学模拟试卷3
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）如图，已知AB＝AC，添加一个条件，不能使△ABF≌△ACE的是（　　）
A．AE＝AF B．∠B＝∠C C．∠AEC＝∠AFB D．CE＝BF
2．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）
A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
3．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠C＝30°，作BD平分∠ABC交边AC于D，过A作AE⊥BD于E，延长AE交边BC于点F，连接DF，则∠CDF的度数为（　　）
A．50° B．60° C．65° D．70°
4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（﹣5，12），它关于y轴的对称点为B，则△ABO的周长为（　　）
A．24 B．34 C．35 D．36
5．（4分）若a，b，c是△ABC的三边，则化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|的结果等于（　　）
A．2b B．2c C．2a D．2a+c
6．（4分）如图，点A、B、C在一条直线上，△DAC和△EBC均为正三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①AD∥CE；②∠DCE＝60°；③△ACE≌△DCB；④CM＝CN；⑤AE与DB所夹锐角为60°．其中正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
7．（4分）一个正n多边形的一个内角是它的外角的4倍，则n＝　 　．
8．（4分）若等腰三角形的两边长分别为6和8，则它的周长为 　 　．
9．（4分）如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，下列结论：①AE＝BD； ②△DGC≌△EFC； ③线段AE和BD所夹锐角为80°；④FG∥BE．其中正确的是　 　．（填序号）
10．（4分）如图，在△ABP中，AB∥CD∥EF，AC＝CE＝EP，若四边形CDFE的面积为6，则S△ABP＝　 　．
三．解答题（共5小题，满分60分）
11．（10分）计算：（要求（4）利用乘法公式计算）
（1）（﹣a4） （﹣a2）2÷（﹣a）3；
（2）（2x2y）3 （﹣7xy2）÷（14x4y3）；
（3）﹣（﹣0.25）2012×42011+（﹣52）÷|﹣2|；
（4）2018×2020﹣20192．
12．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以边AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，连接CD，BE，DE，CD交BE于点F．
（1）线段CD与线段BE有怎样的数量关系和位置关系，请给出你的证明；
（2）若AB＝3，AC＝5，求DE的长．
13．（12分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）若点A、B、C关于x轴的对称点分别为A1、B1、C1，则A1（ 　 　，　 　），B1（ 　 　，　 　），C1（ 　 　，　 　），并在图中画出△A1B1C1．
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上求一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB，并通过画图求出P点的坐标．
14．（12分）在△ABC中，AD为∠BAC的平分线．
（1）如图1，若∠C＝2∠B，AB＝12，AC＝7.2，求线段CD的长度；
（2）如图2，若∠BAC＝2∠ABC，∠ABC的平分线BP与AD交于点P，且BP＝AC，求∠C的度数．
15．（14分）探究与应用
（1）【操作发现】如图1，△ABC为等边三角形，点D为AB边上的一点，∠DCE＝30°，将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF、EF，请直接写出下列结果：
①∠EAF的度数为 　 　；
②DE与EF之间的数量关系为 　 　；
（2）【类比探究】如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D为AB边上的一点，∠DCE＝45°，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接AF、EF．
则线段AE，ED，DB之间有什么数量关系？请说明理由；
（3）【拓展应用】如图3，△ABC是一个三角形的余料，小张同学量得∠ACB＝120°，AC＝BC，他在边AB上取了D、E两点，并量得∠BCD＝15°、∠DCE＝60°，这样CD、CE将△ABC分成三个小三角形，则S△BCD：S△DCE：S△ACE＝　 　．
2024—2025学年上学期武汉初中数学八年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）如图，已知AB＝AC，添加一个条件，不能使△ABF≌△ACE的是（　　）
A．AE＝AF B．∠B＝∠C C．∠AEC＝∠AFB D．CE＝BF
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】利用全等三角形的判定依次判断可求解．
【解答】解：A、若AE＝AF，且∠A＝∠A，AB＝AC，由“SAS”可证△ABF≌△ACE，故选项A不符合题意；
B、若∠B＝∠C，且∠A＝∠A，AB＝AC，由“ASA”可证△ABF≌△ACE，故选项B不符合题意；
C、若∠AEC＝∠AFB，且∠A＝∠A，AB＝AC，由“AAS”可证△ABF≌△ACE，故选项C不符合题意；
D、若CE＝BF，且∠A＝∠A，AB＝AC，无法证明△ABF≌△ACE，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
2．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）
A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】过D点作DE⊥BC于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DA＝3，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA＝3，
∴△BCD的面积5×3＝7.5．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠C＝30°，作BD平分∠ABC交边AC于D，过A作AE⊥BD于E，延长AE交边BC于点F，连接DF，则∠CDF的度数为（　　）
A．50° B．60° C．65° D．70°
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】先求出∠BAC＝100°，证△ABE和△FBE全等得∠BAE＝∠BFE，AE＝FE，进而可求出∠BAE＝∠BFE＝65°，则∠DAF＝35°，再证BD为AF的垂直平分线得AD＝DF，则∠DFA＝∠DAF＝35°，由此可求出∠ADF＝110°，进而根据平角的定义可求出∠CDF的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝50°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠C）＝100°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵AE⊥BD于E，
∴∠AEB＝∠FEB＝90°，
在△ABE和△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴∠BAE＝∠BFE，AE＝FE，
在△ABF中，∠ABC＝50°，∠BAE＝∠BFE，
∴∠BAE＝∠BFE（180°﹣∠ABC）（180°﹣50°）＝65°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠BAE＝100°﹣65°＝35°，
∵AE＝FE，AE⊥BD，
∴BD为AF的垂直平分线，
∴AD＝DF，
∴∠DFA＝∠DAF＝35°，
∴∠ADF＝180°﹣（∠DFA+∠DAF）＝180°﹣（35°+35°）＝110°，
∴∠CDF＝180°﹣∠ADF＝70°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质灵活运用三角形的内角和定理进行计算是解决问题的关键．
4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（﹣5，12），它关于y轴的对称点为B，则△ABO的周长为（　　）
A．24 B．34 C．35 D．36
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】D
【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．求出B点的坐标，再求△ABO的周长即可．
【解答】解：∵点A与点B关于y轴对称，A（﹣5，12），
∴B（5，12），
∴AB＝10，
∵A（﹣5，12），
∴OA＝13，
∴OB＝13，
∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝26+10＝36，
故选：D．
【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的坐标特点，两点间距离的求法是解题的关键．
5．（4分）若a，b，c是△ABC的三边，则化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|的结果等于（　　）
A．2b B．2c C．2a D．2a+c
【考点】三角形三边关系；绝对值．
【专题】整式；三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】根据a，b，c为三角形三边长，利用三角形三边关系判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简即可．
【解答】解：∵a，b，c为三角形的三边，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，
则原式＝﹣a+b+c﹣b+a+c＝2c，
故选：C．
【点评】此题考查了三角形三边关系以及整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（4分）如图，点A、B、C在一条直线上，△DAC和△EBC均为正三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①AD∥CE；②∠DCE＝60°；③△ACE≌△DCB；④CM＝CN；⑤AE与DB所夹锐角为60°．其中正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】由等边三角形的性质和全等三角形的性质依次判断可求解．
【解答】解：∵△DAC和△EBC均为正三角形，
∴∠DAC＝∠ECB＝60°，AC＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴AD∥CE，故①正确；
∵点A、B、C在一条直线上，
∴∠DCE＝60°，故②正确；
∵∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠ACE＝∠DCB＝120°，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），故③正确；
∴∠CAE＝∠CDB，
在△ACM和△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM＝CN，故④正确；
∵∠AMD＝∠CDB+∠DPM＝∠CAE+∠ACD，
∴∠ACD＝∠DPM＝60°，
∴AE与DB所夹锐角为60°，故⑤正确；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
7．（4分）一个正n多边形的一个内角是它的外角的4倍，则n＝　10　．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先设这个正n边形的一个外角为x°，则其内角为（180﹣x）°，由一个正n边形的一个内角是它的外角的5倍，即可得方程180﹣x＝4x，解此方程求出它的外角的度数，继而求得答案．
【解答】解：设这个正n边形的一个外角为x°，则其内角为（180﹣x）°，
∵此正n边形的一个内角是它的外角的5倍，
∴180﹣x＝4x，
解得：x＝36，
∵它的外角为：，
∴n10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角的性质．注意方程思想的应用是解此题的关键．
8．（4分）若等腰三角形的两边长分别为6和8，则它的周长为 　20或22　．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】分6是腰长与底边两种情况分情况讨论，再利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
【解答】解：若6是腰长，则三角形的三边分别为6、6、8，
能组成三角形，
周长＝6+6+8＝20，
若6是底边长，则三角形的三边分别为6、8、8，
能组成三角形，
周长＝6+8+8＝22，
综上所述，三角形的周长为20或22．
故答案为20或22．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．
9．（4分）如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，下列结论：①AE＝BD； ②△DGC≌△EFC； ③线段AE和BD所夹锐角为80°；④FG∥BE．其中正确的是　①②④　．（填序号）
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】推理填空题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】①②④．
【分析】证明△ACE≌△BCD（SAS），可得出AE＝BD，故①正确；由△ACE≌△BCD得出∠AEC＝∠BDC，可证得△DGC≌△EFC（ASA）．故②正确；由全等三角形的性质得出∠GAM＝∠CBG，可求出线段AE和BD所夹锐角为60°；证明△GCF是等边三角形，得出∠GFC＝60°，则∠GFC＝∠ECF，则可得出结论④正确．
【解答】解：∵△ABC与△CDE都是等边三角形
∴AC＝BC，CE＝CD
∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵点B、C、E在同一条直线上，
∴∠ACD＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD；
故①正确．
∵△ACE≌△BCD，
∴∠AEC＝∠BDC，
在△DGC和△EFC中，
∴△DGC≌△EFC（ASA）．
故②正确；
如图，AE与BD交于点M，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠GAM＝∠CBG，
∵∠CGB＝∠AGM，
∴∠GCB＝∠AMG，
∵∠GCB＝60°，
∴∠AMB＝60°．
∴线段AE和BD所夹锐角为60°，
故③错误；
∵△DGC≌△EFC，
∴CG＝CF，
∵∠GCF＝60°，
∴△GCF是等边三角形，
∴∠GFC＝60°，
∴∠GFC＝∠ECF，
∴FG∥BE．
故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（4分）如图，在△ABP中，AB∥CD∥EF，AC＝CE＝EP，若四边形CDFE的面积为6，则S△ABP＝　18　．
【考点】三角形的面积；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力；推理能力．
【答案】18．
【分析】由题意可得PE：PC＝1：2，PE：PA＝1：3，则可求得S△PEF：S△PCD＝1：4，S△PEF：S△PAB＝1：9，则可求得S△PEF＝2，即可求解．
【解答】解：∵AC＝CE＝EP，
∴PE：PC＝1：2，PE：PA＝1：3，
∵AB∥CD∥EF，
∴S△PEF：S△PCD＝1：4，S△PEF：S△PAB＝1：9，
∵四边形CDFE的面积为6，
∴S△PEF：（S△PEF+S四边形CDFE）＝1：4，
解得：S△PEF＝2，
∴S△PAB＝18．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查三角形的面积，平行线的性质，解答的关键是由题意得出S△PEF：S△PCD＝1：4，S△PEF：S△PAB＝1：9．
三．解答题（共5小题，满分60分）
11．（10分）计算：（要求（4）利用乘法公式计算）
（1）（﹣a4） （﹣a2）2÷（﹣a）3；
（2）（2x2y）3 （﹣7xy2）÷（14x4y3）；
（3）﹣（﹣0.25）2012×42011+（﹣52）÷|﹣2|；
（4）2018×2020﹣20192．
【考点】整式的混合运算．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据单项式的乘除法以及幂的乘方运算法则计算即可；
（2）根据单项式的乘除法以及积的乘方运算法则计算即可；
（3）根据积的乘方运算法则以及有理数的混合运算顺序计算即可；
（4）根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（﹣a4） a4÷（﹣a3）
＝a4+4﹣3
＝a5；
（2）原式＝8x6y3 （﹣7xy2）÷（14x4y3）
＝﹣（8×7÷14） x6+1﹣4 y3+2﹣3
＝﹣4x3y2；
（3）原式
＝﹣110
\frac{41}{4}$；
（4）原式＝（2019﹣1）×（2019+1）﹣20192
＝20192﹣1﹣20192
＝﹣1．
【点评】本题考查了整式的混合运算以及有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
12．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以边AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，连接CD，BE，DE，CD交BE于点F．
（1）线段CD与线段BE有怎样的数量关系和位置关系，请给出你的证明；
（2）若AB＝3，AC＝5，求DE的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）CD＝BE，CD⊥BE，理由见解析过程；
（2）2．
【分析】（1）由“SAS”可证△ADC≌△ABE，可得CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，由角的数量关系可证CD⊥BE；
（2）由勾股定理可得BC2+DE2＝BD2+CE2，即可求解．
【解答】解：（1）CD＝BE，CD⊥BE，理由如下：
∵等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，
∴AB＝DA，AC＝AE，∠BAD＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△ADC和△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，
∵∠ADC+∠BDC+∠ABD＝90°，
∴∠ABE+∠CDB+∠ABD＝90°，
∴∠BFD＝90°，
∴CD⊥BE；
（2）∵AB＝3，AC＝5，∠ABC＝90°，
∴BC4，
∵等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，
∴BDAB＝3，CEAC＝5，
∵CD⊥BE，
∴BC2＝CF2+BF2，BD2＝BF2+DF2，CE2＝CF2+EF2，DE2＝DF2+EF2，
∴BC2+DE2＝BD2+CE2，
∴16+DE2＝18+50，
∴DE＝2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
13．（12分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）若点A、B、C关于x轴的对称点分别为A1、B1、C1，则A1（ 　1　，　﹣1　），B1（ 　4　，　﹣2　），C1（ 　3　，　﹣4　），并在图中画出△A1B1C1．
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上求一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB，并通过画图求出P点的坐标．
【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）作图见解析部分，1，﹣1，4，﹣2，3，﹣4；
（2）3.5；
（3）作图见解析部分，P（2，0）．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）连接BA1交X轴于点P，连接AP即可．
【解答】解：（1）如图，A1B1C1．即为所求，A1（1，﹣1），B1（4，﹣2），C1（3，﹣4）．
故答案为：1，﹣1，4，﹣2，3，﹣4；
（2）△ABC的面积＝3×32×31×21×3＝3.5；
（3）如图，点P即为所求，P（2，0）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
14．（12分）在△ABC中，AD为∠BAC的平分线．
（1）如图1，若∠C＝2∠B，AB＝12，AC＝7.2，求线段CD的长度；
（2）如图2，若∠BAC＝2∠ABC，∠ABC的平分线BP与AD交于点P，且BP＝AC，求∠C的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在AB上截取AE＝AC，连接DE，证明△ACD≌△AED（SAS），得出∠C＝∠AED，证出∠B＝∠BDE，得出BE＝DE，则CD＝BE，求出BE的长，即可得出答案；
（2）过A作AM平分∠BAD交BC于M，证明△ABP≌△BAM（ASA），得出AM＝BP，证明△ACM是等边三角形，即可得出∠C＝60°．
【解答】解：（1）在AB上截取AE＝AC，连接DE，如图1所示：
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠DAE＝∠DAC，
在△ACD和△AED中，，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠C＝∠AED，CD＝ED，
∵∠C＝2∠B，
∴∠C＝2∠AED，
∵∠AED＝∠B+∠BDE，
∴∠B+∠BDE＝2∠B，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴CD＝BE，
∵AB＝12，AC＝7.2，
∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣AC＝12﹣7.2＝4.8，
∴CD＝4.8；
（2）过A作AM平分∠BAD交BC于M，如图2所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD∠BAC，
即∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD，
∵AM平分∠BAD，BP平分∠ABC，
∴∠BAM＝∠DAM∠BAD，∠ABP＝∠DBP∠ABC，
∵∠BAC＝2∠ABC，
∴∠BAM＝∠DAM＝∠ABP＝∠DBP，
在△ABP和△BAM中，，
∴△ABP≌△BAM（ASA），
∴AM＝BP，
∵AC＝BP，
∴AM＝AC，
∵∠AMC＝∠ABC+∠BAM，∠CAM＝∠CAD+∠DAM，∠ABC＝∠CAD，
∴∠AMC＝∠CAM，
∴AC＝MC，
∴AC＝MC＝AM，
∴△ACM是等边三角形，
∴∠C＝60°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
15．（14分）探究与应用
（1）【操作发现】如图1，△ABC为等边三角形，点D为AB边上的一点，∠DCE＝30°，将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF、EF，请直接写出下列结果：
①∠EAF的度数为 　120°　；
②DE与EF之间的数量关系为 　DE＝EF　；
（2）【类比探究】如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D为AB边上的一点，∠DCE＝45°，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接AF、EF．
则线段AE，ED，DB之间有什么数量关系？请说明理由；
（3）【拓展应用】如图3，△ABC是一个三角形的余料，小张同学量得∠ACB＝120°，AC＝BC，他在边AB上取了D、E两点，并量得∠BCD＝15°、∠DCE＝60°，这样CD、CE将△ABC分成三个小三角形，则S△BCD：S△DCE：S△ACE＝　1：：2　．
【考点】几何变换综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）①120°； ②DE＝EF；
（2）AE2+DB2＝DE2；理由见解析；
（3）S△BCD：S△CDE：S△ACE＝1：：2．
【分析】（1）①根据旋转及等边三角形的性质，证明△DCB≌△FCA，再求得∠EAF的度数为120°；②根据旋转及等边三角形的性质，证明△FCE≌△DCE，再求得EF＝ED；
（2）根据旋转及等腰直角三角形的性质，证明△ACF≌△BCD，△DCE≌△FCE，再运用全等三角形的性质及勾股定理，证得AE2+DB2＝DE2；
（3）将线段CD绕点C顺时针旋转120°得到线段CF，连接AF、EF，根据旋转及等腰三角形的性质，证明△ACF≌△BCD，△DCE≌△FCE，由全等三角形的性质推导出∠FAE＝60°，∠AFE＝90°，则，即得S△BCD：S△CDE：S△ACE＝1：：2．
【解答】解：（1）①∠EAF的度数为120°，理由如下：
∵线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，
∴CD＝CF，∠FCD＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝∠FCD＝60°，BC＝AC，
∴∠ACB﹣∠ACD＝∠FCD﹣∠ACD，即∠DCB＝∠FCA．
在△DCB与△FCA中，
，
∴△DCB≌△FCA（SAS），
∴∠CAF＝∠B＝60°．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAB＝120°．
故答案为：120°；
②结论：DE＝EF，理由如下：
∵线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，
∴∠FCD＝60°，CD＝CF，
∵∠DCE＝30°，
∴∠FCE＝∠DCF﹣∠DCE＝30°．
在△FCE与△DCE中，
，
∴△FCE≌△DCE（SAS），
∴EF＝ED．
故答案为：DE＝EF；
（2）结论：AE2+DB2＝DE2，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝45°，
由旋转知，CD＝CF，∠DCF＝90°，
∵∠DCF＝∠BCA，
∴∠DCF﹣∠ACD＝∠BCA﹣∠ACD，
即∠ACF＝∠BCD，
在△ACF和△BCD中，
∵，
∴△ACF≌△BCD（SAS），
∴∠CAF＝∠B＝45°，AF＝DB，
∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝90°；
∵∠DCF＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠FCE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DCE＝∠FCE，
在△DCE和△FCE中，
，
∴△DCE≌△FCE（SAS），
∴DE＝EF，
在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，
又∵AF＝DB，
∴AE2+DB2＝DE2；
（3）如图，将线段CD绕点C顺时针旋转120°得到线段CF，连接AF、EF，
∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝120°，
∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝30°，
由旋转知，CD＝CF，∠DCF＝120°，
∵∠DCF＝∠BCA，
∴∠DCF﹣∠ACD＝∠BCA﹣∠ACD，
即∠ACF＝∠BCD，
在△ACF和△BCD中，
，
∴△ACF≌△BCD（SAS），
∴∠CAF＝∠B＝30°，AF＝DB，
∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝60°；
∵∠DCF＝120°，∠DCE＝60°，
∴∠FCE＝120°﹣60°＝60°，
∴∠DCE＝∠FCE，
在△DCE和△FCE中，
，
∴△DCE≌△FCE（SAS），
∴DE＝EF．
∵△DCE≌△FCE，
∴∠CDE＝∠CFE．
∵∠DCB＝15°，∠B＝30°，
∴∠CDE＝∠B+∠DCB＝45°，
∴∠CDB＝180°﹣∠CDE＝135°．
∵△ACF≌△BCD，
∴∠AFC＝∠CDB＝135°，∠FAC＝∠B＝30°，
∵∠CFE＝∠CDE＝45°，
∴∠AFE＝∠AFC﹣∠CFE＝135°﹣45°＝90°，
∵∠FAC＝30°，∠CAB＝30°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAB＝60°，
在Rt△AFE中，．
∵△DCE≌△FCE，△ACF≌△BCD，
∴EF＝ED，AF＝BD，
∴，
∵S△BCD：S△CDE：S△ACE＝BD：ED：AE，
∴S△BCD：S△CDE：S△ACE＝1：：2．
故答案为：1：：2
【点评】本题考查了图形旋转的性质，三角形全等的证明及性质应用，以及等边三角形、等腰三角形等特殊三角形的性质，综合运用以上知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
3．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
4．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
5．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
6．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
7．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
8．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
9．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
10．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
11．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
12．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
13．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
14．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
15．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
16．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
17．几何变换综合题
这种题型主要考查旋转、平移以及动点问题，经常是四边形和圆的综合题目，难度大．