2024—2025学年上学期长沙初中数学八年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期长沙初中数学八年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 499.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-07 09:10:44 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期长沙初中数学八年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题）
1．在下列调查中，适宜采用普查的是（ ）
A．了解我省中学生的视力情况
B．了解某校七（1）班学生校服的尺码情况
C．检测一批电灯泡的使用寿命
D．调查达州（达州全搜索）栏目的收视率
2．下列各对x，y的值是方程3x﹣2y＝7的解是（ ）
A． B． C． D．
3．已知a＞b，则下列不等式不成立的是（ ）
A．a+2＞b+2 B．a﹣3＞b﹣3 C．﹣4a＞﹣4b D．
4．不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC与∠ACB，∠A＝80°，则∠BOC的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．160°
6．到y轴的距离等于3的点是（ ）
A．（0，0） B．（3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）
7．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有94只脚，问鸡和兔各有几只？设有x只兔子，y只鸡，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．在三角形全等的条件中，下列哪一个不属于三角形全等的条件（ ）
A．AAS B．SAS C．SSA D．SSS
9．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2BD，BE＝EC，AE和CD相交于点M，△ADM比△CEM的面积大2，则△ABC的面积为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．如图，AD平分∠CAB，BD平分∠ABF，DE⊥AC于E，BF∥AC交ED的延长线于点F．给出以下三个结论：①AB＝AC；②AD⊥BC；③DE＝DF，其中正确的结论共有（ ）
A．0个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题（共5小题）
11．在平面直角坐标系中，点P的坐标是（﹣3，5），则点P关于x轴对称的对称点的坐标是 ．
12．已知方程组，则x+y+z的值为 ．
13．不等式6﹣3x≤0的解集是 ．
14．如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，AE平分∠BAD，且∠AED＝90°，若CD＝2AB，AD＝18，则AB＝ ．
15．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥BC，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数是 ．
三．解答题（共9小题）
16．解下列方程组
（1）
（2）．
17．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）AC边上的高是线段 ，BC边上的高是线段 ；
（2）画出AB边上的高CD，并表示出此时图中所有的直角三角形；
（3）若CB＝5，AC＝12，AB＝13，求CD的长．
19．八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图．
请根据图中信息解决下列问题：
（1）共有 名同学参与问卷调查；
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少．
20．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1∠ABC，∠2∠ACB，
∴∠1+∠2（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）＝90°∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A．
（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
（2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）
（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）
21．（此题需要写出括号内的定理理由，已知、已证、已作、等量代换、等式性质这五条理由不需要写）如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，作AD⊥AB且AD＝AB，联结CD，过点B作CD的垂线（垂足为点E），与过点A作AC的垂线交于点F，联结CF．
（1）求证：△ACF是等腰直角三角形；
（2）联结AE，求证：AE平分∠DEF．
22．某公司准备用36万购进A、B两种货物，预计直接销售完后共可获利6万元，其进价和售价如下表：
进价（元/吨） 售价（元/吨）
A种货物 1200 1380
B种货物 1000 1200
（1）求购进的A、B两种货物各多少吨？
（2）若将该批货物运往某地销售可增加利润．现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将A、B货物全部运往该地．已知甲种货车可装A种货物40吨和B种货物10吨，乙种货车可装A种货物和B种货物各20吨．则该公司有哪几种租车方案？请你帮忙设计出来．
（3）在第（2）问的条件下，将该批货物运往某地销售可增加20%的利润，如果甲种货车每辆需付运输费400元，乙种货车每辆需付运输费360元．该公司应选择哪种方案可使利润最大？最大利润是多少元？
23．解不等式或方程（组）
（1）3x﹣2＝5x+6；
（2）；
（3）；
（4）|2x﹣1|﹣2＝9；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）4（x﹣2）﹣3（x+3）＞﹣x；
（9）；
（10）．
24．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）
2024—2025学年上学期长沙初中数学八年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在下列调查中，适宜采用普查的是（ ）
A．了解我省中学生的视力情况
B．了解某校七（1）班学生校服的尺码情况
C．检测一批电灯泡的使用寿命
D．调查达州（达州全搜索）栏目的收视率
【考点】全面调查与抽样调查．
【专题】常规题型；数据的收集与整理．
【答案】B
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【解答】解：A、了解我省中学生的视力情况，调查范围广，适合抽样调查，故A错误；
B、了解九（1）班学生校服的尺码情况适合普查，故B正确；
C、检测一批电灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故C错误；
D、调查达州（达州全搜索）栏目的收视率，调查范围广，适合抽样调查，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2．下列各对x，y的值是方程3x﹣2y＝7的解是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二元一次方程的解．
【专题】计算题；推理填空题．
【答案】C
【分析】把选项中各对x、y的值代入方程3x﹣2y＝7，逐一验证，判断出哪对x，y的值是方程3x﹣2y＝7的解即可．
【解答】解：当时，
3×1﹣2×2＝﹣1≠7，
∴不是方程3x﹣2y＝7的解．
当时，
3×3﹣2×（﹣1）＝11≠7，
∴不是方程3x﹣2y＝7的解．
当时，
3×（﹣1）﹣2×（﹣5）＝7，
∴是方程3x﹣2y＝7的解．
当时，
3×5﹣2×（﹣4）＝23≠7，
∴不是方程3x﹣2y＝7的解．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的解，要熟练掌握，采用代入法即可．
3．已知a＞b，则下列不等式不成立的是（ ）
A．a+2＞b+2 B．a﹣3＞b﹣3 C．﹣4a＞﹣4b D．
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴a+2＞b+2，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴a﹣3＞b﹣3，故本选项不符合题意；
C．∵a＞b，
∴﹣4a＜﹣4b，故本选项符合题意；
D．∵a＞b，
∴，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【答案】D
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则可得答案．
【解答】解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣3，
解不等式x﹣2≤0，得：x≤2，
∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．已知如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC与∠ACB，∠A＝80°，则∠BOC的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．160°
【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．
【答案】B
【分析】因为∠A＝80°，由三角形内角和定理可知∠ABC+∠ACB＝100°，又因为BO、CO分别平分∠ABC与∠ACB，则∠1+∠2＝50°，故∠BOC的度数可求．
【解答】解：∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°．
∵BO、CO分别平分∠ABC与∠ACB，
∴∠1+∠2＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝130°．
故选：B．
【点评】此题把角平分线的性质和三角形内角和定理结合求解．有利于培养同学们的发散思维能力．
6．到y轴的距离等于3的点是（ ）
A．（0，0） B．（3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）
【考点】点的坐标．
【答案】B
【分析】根据距离的意义逐个分析四个答案，可得出结果．
【解答】解：A（0，0）在y轴上，到y轴的距离为0；
B（3，0）到y轴的距离为3；
C（0，3）在y轴上，到y轴的距离为0；
D（0，﹣3）在y轴上，到y轴的距离为0；
故选：B．
【点评】解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号及距离的概念．
7．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有94只脚，问鸡和兔各有几只？设有x只兔子，y只鸡，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有94只脚，可以列出相应的方程组．
【解答】解：设有x只兔子，y只鸡，
由一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，可得方程x+y＝35，
由下面数共有94只脚，可得方程4x+2y＝94，
故可列方程组，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
8．在三角形全等的条件中，下列哪一个不属于三角形全等的条件（ ）
A．AAS B．SAS C．SSA D．SSS
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定定理分析判断即可．
【解答】解：全等三角形的判定定理分别为：（1）判定定理1：SSS：三条边分别对应相等的两个三角形全等，故D不符合题意；
（2）判定定理2：SAS：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．故B不符合题意；
（3）判定定理3：ASA：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．故A不符合题意；
（5）判定定理5：HL：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
故C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．
9．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2BD，BE＝EC，AE和CD相交于点M，△ADM比△CEM的面积大2，则△ABC的面积为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【考点】三角形的面积．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】如图：连接BM，设S△CEM＝x，则S△ADM＝x+2，然后再根据三角形的等分线的性质表示出S△CEM＝S△BEM＝x、S△ABE＝S△ACE、S△ACD＝2S△BCD、，进而表示出、、S△ABC＝5x+6，再根据S△ACD＝2S△BCD列出关于x的方程并求解，最后将x的值代入计算即可．
【解答】解：如图：连接BM，
设S△CEM＝x，则S△ADM＝x+2，
∵BE＝EC，
∴S△CEM＝S△BEM＝x，S△ABE＝S△ACE，
∵AD＝2BD，
∴S△ADM＝2S△BDM，S△ACD＝2S△BCD，
∴，
∴，
，
∵S△ACD＝2S△BCD，
∴，
解得：x＝1.2，
∴S△ABC＝5x+6＝5×1.2+6＝12．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的等分线、一元一次方程的应用等知识点，根据等分线的知识，明确各角间的关系是解答本题的关键．
10．如图，AD平分∠CAB，BD平分∠ABF，DE⊥AC于E，BF∥AC交ED的延长线于点F．给出以下三个结论：①AB＝AC；②AD⊥BC；③DE＝DF，其中正确的结论共有（ ）
A．0个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】几何图形．
【答案】B
【分析】①根据平行线性质和角平分线得结论；
②根据等腰三角形的性质三线合一得到BD＝CD，AD⊥BC，可判断②③；
④通过△CDE≌△DBF，得到DE＝DF，可判断④．
【解答】解：①∵AC∥BF，
∴∠C＝∠CBF，
∵BD平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠C＝∠ABC，
∴AB＝AC；
故①正确；
②∵AB＝AC，AD平分∠CAB，
∴AD⊥BC；
故②正确；
③∵AB＝AC，AD平分∠CAB，
∴BD＝CD，
在△CED和△BFD中，
∵，
∴△CED≌△BFD（ASA），
∴DE＝DF，
故③正确，
本题正确的结论有：①②③；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．在平面直角坐标系中，点P的坐标是（﹣3，5），则点P关于x轴对称的对称点的坐标是 （﹣3，﹣5） ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；数感．
【答案】（﹣3，﹣5）．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点P的坐标是（﹣3，5），
∴点P关于x轴对称的对称点的坐标是（﹣3，﹣5）．
故答案为：（﹣3，﹣5）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
12．已知方程组，则x+y+z的值为 5 ．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】5．
【分析】三个方程相加即可得到x+y+z的值．
【解答】解：方程组，
三个方程相加得2x+2y+2z＝10，
所以，x+y+z＝5，
故答案为5．
【点评】本题考查三元一次方程组的解，解得关键是明确解三元一次方程组的解答方法．
13．不等式6﹣3x≤0的解集是 x≥2 ．
【考点】解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】x≥2．
【分析】根据解一元一次不等式的方法可以求得所求不等式的解集．
【解答】解：6﹣3x≤0，
移项，得
6≤3x，
系数化为1，得
2≤x
即不等式6﹣3x≤0的解集是x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
14．如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，AE平分∠BAD，且∠AED＝90°，若CD＝2AB，AD＝18，则AB＝ 6 ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】6．
【分析】在AD边上截取AF＝AB，连接EF，证明△ABE≌△AFE，得BE＝FE＝CE，再证明△DEF≌△DEC（SAS），得DF＝DC，进而利用线段的和差即可解决问题．
【解答】解：∵E是边BC的中点，
∴BE＝CE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
如图，在AD边上截取AF＝AB，连接EF，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（SAS），
∴BE＝FE，
∴BE＝FE＝CE，
∵∠AED＝90°，
∴∠AEF+∠DEF＝∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠DEF＝∠DEC，
在△DEF和△DEC中，
，
∴△DEF≌△DEC（SAS），
∴DF＝DC，
∵CD＝2AB，AD＝18，
∴AD＝DF+AF＝2AB+AB＝3AB＝18，
∴AB＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABE≌△AFE．
15．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥BC，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数是 180° ．
【考点】多边形内角与外角；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】180°．
【分析】根据多边形的外角和减去∠A和∠B的外角的和即可确定四个外角的和．
【解答】解：∵AF∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠A与∠B的外角和为180°，
∵六边形ABCDEF的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°．
故答案为：180°．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理、平行线的性质，解题的关键是发现∠A和∠B的外角的和为180°，难度中等．
三．解答题（共9小题）
16．解下列方程组
（1）
（2）．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
把①代入②得：6y+y+7＝0，即y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①得：x＝﹣3，
则方程组的解为；
（2），
②﹣①×2得：7y＝35，即y＝5，
把y＝5代入①得：x＝2，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
17．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣2＜x≤2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2（x+1）＞﹣2，得x＞﹣2，
解不等式3x≤x+4，得x≤2，
∴不等式组的解集是﹣2＜x≤2，
解集在数轴上表示如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）AC边上的高是线段 BC ，BC边上的高是线段 AC ；
（2）画出AB边上的高CD，并表示出此时图中所有的直角三角形；
（3）若CB＝5，AC＝12，AB＝13，求CD的长．
【考点】作图—复杂作图；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．
【专题】尺规作图；推理能力．
【答案】（1）BC，AC；
（2）画图见解析，△ACD，△BCD，△ABC；
（3）．
【分析】（1）根据高的定义判断线段即可；
（2）过C作CD⊥AB，垂足为D即可，根据垂直得到图中的直角三角形；
（3）根据三角形的面积列出等式，从而求出CD．
【解答】解：（1）AC边上的高是线段BC，BC边上的高是线段AC，
故答案为：BC，AC；
（2）作高CD，如图所示：
其中图中的直角三角形有△ACD，△BCD，△ABC；
（3）根据三角形面积可得：，
∴，
∴．
【点评】本题考查了三角形的高及画法，直角三角形，三角形的面积，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．
19．八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图．
请根据图中信息解决下列问题：
（1）共有 100 名同学参与问卷调查；
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】常规题型；统计的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由读书1本的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以读4本的百分比求得其人数，减去男生人数即可得出女生人数，用读2本的人数除以总人数可得对应百分比；
（3）总人数乘以样本中读2本人数所占比例．
【解答】解：（1）参与问卷调查的学生人数为（8+2）÷10%＝100（名），
故答案为：100；
（2）读4本的女生人数为100×15%﹣10＝5（名），
读2本人数所占百分比为100%＝38%，
补全图形如下：
（3）1500×38%＝570（人），
答：估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为570人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1∠ABC，∠2∠ACB，
∴∠1+∠2（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）＝90°∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A．
（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
（2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）
（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）
【考点】三角形的外角性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．
【专题】探究型；整体思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据角平分线的定义表示出∠OBC，∠OCD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC和∠BCE，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
（3）根据四边形内角和等于360°求出∠ABC+∠BCD，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解．
【解答】解：（1）探究2结论：∠BOC∠A．
理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠OBC∠ABC，∠OCD∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠OCD（∠A+∠ABC）∠A∠ABC∠A+∠OBC，
又∵∠OCD是△BOC的一个外角，
∴∠BOC＝∠OCD﹣∠OBC∠A+∠OBC﹣∠OBC∠A；
（2）探究3：结论∠BOC＝90°∠A．
根据三角形的外角性质，∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，
∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，
∴∠OBC∠DBC，∠OCB∠BCE，
∴∠OBC+∠OCB（∠DBC+∠BCE）（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°∠A，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A；
（3）拓展：结论∠BOC（∠A+∠D）．
在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝（360°﹣∠A﹣∠D），
∵O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠BCD，
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠BCD）（360°﹣∠A﹣∠D），
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（360°﹣∠A﹣∠D）（∠A+∠D），
即∠BOC（∠A+∠D）．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
21．（此题需要写出括号内的定理理由，已知、已证、已作、等量代换、等式性质这五条理由不需要写）如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，作AD⊥AB且AD＝AB，联结CD，过点B作CD的垂线（垂足为点E），与过点A作AC的垂线交于点F，联结CF．
（1）求证：△ACF是等腰直角三角形；
（2）联结AE，求证：AE平分∠DEF．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答．
【分析】（1）由AD⊥AB于点A，AF⊥AC，得∠BAD＝∠CAF＝90°，则∠DAC＝∠BAF＝90°+∠BAC，由BF⊥CD于点E，得∠BED＝90°，可根据“等角的余角相等”推导出∠D＝∠ABF，而AD＝AB，即可证明△ADC≌△ABF，得AC＝AF，所以△ACF是等腰直角三角形；
（2）作AI⊥CD于点I，AH⊥FB于点H，由△ADC≌△ABF，得CD＝FB，由S△ADC＝S△ABF得CD AIFB AH，则AI＝AH，再证明Rt△AIE≌Rt△AHE，得∠AEI＝∠AEH，所以AE平分∠DEF．
【解答】证明：（1）∵AD⊥AB于点A，AF⊥AC，
∴∠BAD＝∠CAF＝90°（垂直定义），
∴∠DAC＝∠BAF＝90°+∠BAC，
∵BF⊥CD于点E，
∴∠BED＝90°（垂直定义），
∴∠D+∠AGD＝180°，∠ABF+∠EGB＝180°（直角三角形的两个锐角互余），
∵BF交CD于点G，
∴∠AGD＝∠EGB（对顶角相等），
∴∠D＝∠ABF（等角的余角相等），
在△ADC和△ABF中，
，
∴△ADC≌△ABF（SAS），
∴AC＝AF，
∴△ACF是等腰直角三角形．
（2）作AI⊥CD于点I，AH⊥FB于点H，
∴∠AIE＝∠AHE＝90°（垂直定义），
∵△ADC≌△ABF，
∴CD＝FB（全等三角形的对应边相等），
∵S△ADC＝S△ABF（全等三角形的面积相等），
∴CD AIFB AH（三角形的面积公式），
∴AI＝AH，
在Rt△AIE和Rt△AHE中，
，
∴Rt△AIE≌Rt△AHE（HL），
∴∠AEI＝∠AEH（全等三角形的对应角相等），
∴AE平分∠DEF（角平分线定义）．
【点评】此题重点考查等角的余角相等、全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的定义等知识，证明△ADC≌△ABF是解题的关键．
22．某公司准备用36万购进A、B两种货物，预计直接销售完后共可获利6万元，其进价和售价如下表：
进价（元/吨） 售价（元/吨）
A种货物 1200 1380
B种货物 1000 1200
（1）求购进的A、B两种货物各多少吨？
（2）若将该批货物运往某地销售可增加利润．现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将A、B货物全部运往该地．已知甲种货车可装A种货物40吨和B种货物10吨，乙种货车可装A种货物和B种货物各20吨．则该公司有哪几种租车方案？请你帮忙设计出来．
（3）在第（2）问的条件下，将该批货物运往某地销售可增加20%的利润，如果甲种货车每辆需付运输费400元，乙种货车每辆需付运输费360元．该公司应选择哪种方案可使利润最大？最大利润是多少元？
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】方程与不等式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）题中有两个等量关系：购买A种商品进价+购买B种商品进价＝36000，出售A种商品利润+出售B种商品利润＝6000，由此可以列出二元一次方程组解决问题．
（2）设租用甲种货车x辆，租用乙种货车（8﹣x）辆，根据不等式组即可解决问题；
（3）乙种货车每辆的运费比较便宜，尽量多租乙种车，选择方案一，根据利润＝360000×20%﹣运输费用，计算即可；
【解答】解：（1）设商场购进A种商品x吨，B种商品y吨，根据题意得：
，
解得：．
答：该商场购进A种商品200吨，B种商品120吨．
（2）设租用甲种货车x辆，租用乙种货车（8﹣x）辆，
由题意：，
解得2≤x≤4，
∴有三种方案租用甲种货车2辆，方案一：租用乙种货车6辆，
方案二：租用甲种货车3辆，租用乙种货车5辆，
方案三：租用甲种货车4辆，租用乙种货车4辆；
（3）∵甲种货车每辆需付运输费400元，乙种货车每辆需付运输费360元，
又360＜400，
∴方案一的运费最小，利润最大，最大利润＝360000×20%﹣2×400﹣6×360＝69040（元）．
【点评】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，找出等量关系，列方程求解．
23．解不等式或方程（组）
（1）3x﹣2＝5x+6；
（2）；
（3）；
（4）|2x﹣1|﹣2＝9；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）4（x﹣2）﹣3（x+3）＞﹣x；
（9）；
（10）．
【考点】解一元一次不等式组；绝对值；解一元一次方程；二元一次方程组的解；解二元一次方程组；解三元一次方程组；解一元一次不等式．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝﹣4；
（2）x；
（3）x＝9；
（4）x＝6或﹣5；
（5）；
（6）；
（7）x≤﹣4；
（8）x；
（9）﹣2≤x≤6；
（10）﹣1＜x＜1．
【分析】（1）（2）（3）根据解一元一次方程的基本步骤求解即可；
（4）方程整理后，根据绝对值的性质去绝对值符号，再解方程即可；
（5）方程组利用加减消元分求解即可；
（6）由x：y：z＝2：3：5，可得yx，zx，再代入第二个方程求解即可；
（7）（8）根据解一元一次不等式的基本步骤求解即可；
（9）首先分别求出两个不等式组的解集，再根据“大小小大中间找”可得不等式组的解集，再找出符合条件的整数即可；
（10）首先分别求出三个不等式组的解集，再根据“大小小大中间找”可得不等式组的解集，再找出符合条件的整数即可．
【解答】解：（1）3x﹣2＝5x+6，
移项，得3x﹣5x＝6+2，
合并同类项，得﹣2x＝8，
系数化为1，得x＝﹣4；
（2），
去分母，得3x﹣（x﹣1）＝6，
去括号，得3x﹣x+1＝6，
移项，得3x﹣x＝6﹣1，
合并同类项，得2x＝5，
系数化为1，得x；
（3），
方程整理，得，
去分母，得6（4x+9）﹣10（3+2x）＝15（x﹣5），
去括号，得24x+54﹣30﹣20x＝15x﹣75，
移项，得24x﹣20x﹣15x＝30﹣54﹣75，
合并同类项，得﹣11x＝﹣99，
系数化为1，得x＝9；
（4）|2x﹣1|﹣2＝9，
|2x﹣1|＝11，
2x﹣1＝±11，
2x﹣1＝11或2x﹣1＝﹣11，
解得x＝6或﹣5；
（5），
①×3+②，得11x＝11，
解得x＝1，
把x＝1代入①，得y＝1，
故原方程组的解为；
（6），
由x：y：z＝2：3：5，得yx，zx，
把yx，zx代入方程2x+3y﹣z＝16，得：
2xxx＝16，
4x＝16，
解得x＝4，
∴y6，z10，
故原方程组的解为；
（7），
去分母，得2（x﹣1）﹣10≥5x，
去括号，得2x﹣2﹣10≥5x，
移项，得2x﹣5x≥2+10，
合并同类项，得﹣3x≥12，
不等式两边同时除以﹣3，得x≤﹣4；
（8）4（x﹣2）﹣3（x+3）＞﹣x，
去括号，得4x﹣8﹣3x﹣9＞﹣x，
移项，得4x﹣3x+x＞8+9，
合并同类项，得2x＞17，
不等式两边同时除以2，得x；
（9），
解不等式2﹣3（x﹣1）≤2x+15，得x≥﹣2，
解不等式，得x≤6，
故原不等式组的解为﹣2≤x≤6；
（10），
解不等式3+x＜2+2（1+x），得x＞﹣1，
解不等式5x﹣3＜4x﹣1，得x＜2，
解不等式7+2x＞6+3x，得x＜1，
故原不等式组的解为﹣1＜x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，掌握解一元一次方程的基本步骤，解一元一次不等式的基本步骤，加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．
24．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 24秒 秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】动点型；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）①△BPD≌△CQP；理由见解答；
②vQ＝1.5cm/s；
（2）经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．
【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，根据SAS判定两个三角形全等．
②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；
（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个边长．
【解答】解：（1）①△BPD≌△CQP，理由如下：
∵t＝1秒，
∴BP＝CQ＝1×1＝1cm，
∵AB＝6cm，点D为AB的中点，
∴BD＝3cm．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝4cm，
∴PC＝4﹣1＝3cm，
∴PC＝BD．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△BPD≌△CQP；
②假设△BPD≌△CQP，
∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CQP，∠B＝∠C，则BP＝CP＝2，BD＝CQ＝3，
∴点P，点Q运动的时间t2秒，
∴vQ1.5cm/s；
（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得 1.5x＝x+2×6，
解得x＝24，
∴点P共运动了24s×1cm/s＝24cm．
∵24×1.5＝36，
∴点P、点Q在AC边上相遇，
∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．
【点评】此题主要是运用了路程＝速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
3．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
4．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
5．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
6．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
7．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
8．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
9．解三元一次方程组
（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
10．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
11．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
12．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
13．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
14．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
15．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
16．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
17．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
18．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
19．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
20．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
21．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
22．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
23．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
24．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
25．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
26．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
27．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
28．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
29．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
30．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
31．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
32．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
2024—2025学年上学期长沙初中数学八年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题）
1．在下列调查中，适宜采用普查的是（ ）
A．了解我省中学生的视力情况
B．了解某校七（1）班学生校服的尺码情况
C．检测一批电灯泡的使用寿命
D．调查达州（达州全搜索）栏目的收视率
2．下列各对x，y的值是方程3x﹣2y＝7的解是（ ）
A． B． C． D．
3．已知a＞b，则下列不等式不成立的是（ ）
A．a+2＞b+2 B．a﹣3＞b﹣3 C．﹣4a＞﹣4b D．
4．不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC与∠ACB，∠A＝80°，则∠BOC的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．160°
6．到y轴的距离等于3的点是（ ）
A．（0，0） B．（3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）
7．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有94只脚，问鸡和兔各有几只？设有x只兔子，y只鸡，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．在三角形全等的条件中，下列哪一个不属于三角形全等的条件（ ）
A．AAS B．SAS C．SSA D．SSS
9．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2BD，BE＝EC，AE和CD相交于点M，△ADM比△CEM的面积大2，则△ABC的面积为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．如图，AD平分∠CAB，BD平分∠ABF，DE⊥AC于E，BF∥AC交ED的延长线于点F．给出以下三个结论：①AB＝AC；②AD⊥BC；③DE＝DF，其中正确的结论共有（ ）
A．0个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题（共5小题）
11．在平面直角坐标系中，点P的坐标是（﹣3，5），则点P关于x轴对称的对称点的坐标是 ．
12．已知方程组，则x+y+z的值为 ．
13．不等式6﹣3x≤0的解集是 ．
14．如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，AE平分∠BAD，且∠AED＝90°，若CD＝2AB，AD＝18，则AB＝ ．
15．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥BC，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数是 ．
三．解答题（共9小题）
16．解下列方程组
（1）
（2）．
17．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）AC边上的高是线段 ，BC边上的高是线段 ；
（2）画出AB边上的高CD，并表示出此时图中所有的直角三角形；
（3）若CB＝5，AC＝12，AB＝13，求CD的长．
19．八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图．
请根据图中信息解决下列问题：
（1）共有 名同学参与问卷调查；
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少．
20．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1∠ABC，∠2∠ACB，
∴∠1+∠2（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）＝90°∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A．
（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
（2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）
（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）
21．（此题需要写出括号内的定理理由，已知、已证、已作、等量代换、等式性质这五条理由不需要写）如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，作AD⊥AB且AD＝AB，联结CD，过点B作CD的垂线（垂足为点E），与过点A作AC的垂线交于点F，联结CF．
（1）求证：△ACF是等腰直角三角形；
（2）联结AE，求证：AE平分∠DEF．
22．某公司准备用36万购进A、B两种货物，预计直接销售完后共可获利6万元，其进价和售价如下表：
进价（元/吨） 售价（元/吨）
A种货物 1200 1380
B种货物 1000 1200
（1）求购进的A、B两种货物各多少吨？
（2）若将该批货物运往某地销售可增加利润．现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将A、B货物全部运往该地．已知甲种货车可装A种货物40吨和B种货物10吨，乙种货车可装A种货物和B种货物各20吨．则该公司有哪几种租车方案？请你帮忙设计出来．
（3）在第（2）问的条件下，将该批货物运往某地销售可增加20%的利润，如果甲种货车每辆需付运输费400元，乙种货车每辆需付运输费360元．该公司应选择哪种方案可使利润最大？最大利润是多少元？
23．解不等式或方程（组）
（1）3x﹣2＝5x+6；
（2）；
（3）；
（4）|2x﹣1|﹣2＝9；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）4（x﹣2）﹣3（x+3）＞﹣x；
（9）；
（10）．
24．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）
2024—2025学年上学期长沙初中数学八年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在下列调查中，适宜采用普查的是（ ）
A．了解我省中学生的视力情况
B．了解某校七（1）班学生校服的尺码情况
C．检测一批电灯泡的使用寿命
D．调查达州（达州全搜索）栏目的收视率
【考点】全面调查与抽样调查．
【专题】常规题型；数据的收集与整理．
【答案】B
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【解答】解：A、了解我省中学生的视力情况，调查范围广，适合抽样调查，故A错误；
B、了解九（1）班学生校服的尺码情况适合普查，故B正确；
C、检测一批电灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故C错误；
D、调查达州（达州全搜索）栏目的收视率，调查范围广，适合抽样调查，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2．下列各对x，y的值是方程3x﹣2y＝7的解是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二元一次方程的解．
【专题】计算题；推理填空题．
【答案】C
【分析】把选项中各对x、y的值代入方程3x﹣2y＝7，逐一验证，判断出哪对x，y的值是方程3x﹣2y＝7的解即可．
【解答】解：当时，
3×1﹣2×2＝﹣1≠7，
∴不是方程3x﹣2y＝7的解．
当时，
3×3﹣2×（﹣1）＝11≠7，
∴不是方程3x﹣2y＝7的解．
当时，
3×（﹣1）﹣2×（﹣5）＝7，
∴是方程3x﹣2y＝7的解．
当时，
3×5﹣2×（﹣4）＝23≠7，
∴不是方程3x﹣2y＝7的解．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的解，要熟练掌握，采用代入法即可．
3．已知a＞b，则下列不等式不成立的是（ ）
A．a+2＞b+2 B．a﹣3＞b﹣3 C．﹣4a＞﹣4b D．
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴a+2＞b+2，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴a﹣3＞b﹣3，故本选项不符合题意；
C．∵a＞b，
∴﹣4a＜﹣4b，故本选项符合题意；
D．∵a＞b，
∴，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【答案】D
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则可得答案．
【解答】解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣3，
解不等式x﹣2≤0，得：x≤2，
∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．已知如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC与∠ACB，∠A＝80°，则∠BOC的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．160°
【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．
【答案】B
【分析】因为∠A＝80°，由三角形内角和定理可知∠ABC+∠ACB＝100°，又因为BO、CO分别平分∠ABC与∠ACB，则∠1+∠2＝50°，故∠BOC的度数可求．
【解答】解：∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°．
∵BO、CO分别平分∠ABC与∠ACB，
∴∠1+∠2＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝130°．
故选：B．
【点评】此题把角平分线的性质和三角形内角和定理结合求解．有利于培养同学们的发散思维能力．
6．到y轴的距离等于3的点是（ ）
A．（0，0） B．（3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）
【考点】点的坐标．
【答案】B
【分析】根据距离的意义逐个分析四个答案，可得出结果．
【解答】解：A（0，0）在y轴上，到y轴的距离为0；
B（3，0）到y轴的距离为3；
C（0，3）在y轴上，到y轴的距离为0；
D（0，﹣3）在y轴上，到y轴的距离为0；
故选：B．
【点评】解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号及距离的概念．
7．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有94只脚，问鸡和兔各有几只？设有x只兔子，y只鸡，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有94只脚，可以列出相应的方程组．
【解答】解：设有x只兔子，y只鸡，
由一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，可得方程x+y＝35，
由下面数共有94只脚，可得方程4x+2y＝94，
故可列方程组，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
8．在三角形全等的条件中，下列哪一个不属于三角形全等的条件（ ）
A．AAS B．SAS C．SSA D．SSS
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定定理分析判断即可．
【解答】解：全等三角形的判定定理分别为：（1）判定定理1：SSS：三条边分别对应相等的两个三角形全等，故D不符合题意；
（2）判定定理2：SAS：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．故B不符合题意；
（3）判定定理3：ASA：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．故A不符合题意；
（5）判定定理5：HL：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
故C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．
9．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2BD，BE＝EC，AE和CD相交于点M，△ADM比△CEM的面积大2，则△ABC的面积为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【考点】三角形的面积．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】如图：连接BM，设S△CEM＝x，则S△ADM＝x+2，然后再根据三角形的等分线的性质表示出S△CEM＝S△BEM＝x、S△ABE＝S△ACE、S△ACD＝2S△BCD、，进而表示出、、S△ABC＝5x+6，再根据S△ACD＝2S△BCD列出关于x的方程并求解，最后将x的值代入计算即可．
【解答】解：如图：连接BM，
设S△CEM＝x，则S△ADM＝x+2，
∵BE＝EC，
∴S△CEM＝S△BEM＝x，S△ABE＝S△ACE，
∵AD＝2BD，
∴S△ADM＝2S△BDM，S△ACD＝2S△BCD，
∴，
∴，
，
∵S△ACD＝2S△BCD，
∴，
解得：x＝1.2，
∴S△ABC＝5x+6＝5×1.2+6＝12．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的等分线、一元一次方程的应用等知识点，根据等分线的知识，明确各角间的关系是解答本题的关键．
10．如图，AD平分∠CAB，BD平分∠ABF，DE⊥AC于E，BF∥AC交ED的延长线于点F．给出以下三个结论：①AB＝AC；②AD⊥BC；③DE＝DF，其中正确的结论共有（ ）
A．0个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】几何图形．
【答案】B
【分析】①根据平行线性质和角平分线得结论；
②根据等腰三角形的性质三线合一得到BD＝CD，AD⊥BC，可判断②③；
④通过△CDE≌△DBF，得到DE＝DF，可判断④．
【解答】解：①∵AC∥BF，
∴∠C＝∠CBF，
∵BD平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠C＝∠ABC，
∴AB＝AC；
故①正确；
②∵AB＝AC，AD平分∠CAB，
∴AD⊥BC；
故②正确；
③∵AB＝AC，AD平分∠CAB，
∴BD＝CD，
在△CED和△BFD中，
∵，
∴△CED≌△BFD（ASA），
∴DE＝DF，
故③正确，
本题正确的结论有：①②③；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．在平面直角坐标系中，点P的坐标是（﹣3，5），则点P关于x轴对称的对称点的坐标是 （﹣3，﹣5） ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；数感．
【答案】（﹣3，﹣5）．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点P的坐标是（﹣3，5），
∴点P关于x轴对称的对称点的坐标是（﹣3，﹣5）．
故答案为：（﹣3，﹣5）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
12．已知方程组，则x+y+z的值为 5 ．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】5．
【分析】三个方程相加即可得到x+y+z的值．
【解答】解：方程组，
三个方程相加得2x+2y+2z＝10，
所以，x+y+z＝5，
故答案为5．
【点评】本题考查三元一次方程组的解，解得关键是明确解三元一次方程组的解答方法．
13．不等式6﹣3x≤0的解集是 x≥2 ．
【考点】解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】x≥2．
【分析】根据解一元一次不等式的方法可以求得所求不等式的解集．
【解答】解：6﹣3x≤0，
移项，得
6≤3x，
系数化为1，得
2≤x
即不等式6﹣3x≤0的解集是x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
14．如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，AE平分∠BAD，且∠AED＝90°，若CD＝2AB，AD＝18，则AB＝ 6 ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】6．
【分析】在AD边上截取AF＝AB，连接EF，证明△ABE≌△AFE，得BE＝FE＝CE，再证明△DEF≌△DEC（SAS），得DF＝DC，进而利用线段的和差即可解决问题．
【解答】解：∵E是边BC的中点，
∴BE＝CE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
如图，在AD边上截取AF＝AB，连接EF，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（SAS），
∴BE＝FE，
∴BE＝FE＝CE，
∵∠AED＝90°，
∴∠AEF+∠DEF＝∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠DEF＝∠DEC，
在△DEF和△DEC中，
，
∴△DEF≌△DEC（SAS），
∴DF＝DC，
∵CD＝2AB，AD＝18，
∴AD＝DF+AF＝2AB+AB＝3AB＝18，
∴AB＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABE≌△AFE．
15．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥BC，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数是 180° ．
【考点】多边形内角与外角；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】180°．
【分析】根据多边形的外角和减去∠A和∠B的外角的和即可确定四个外角的和．
【解答】解：∵AF∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠A与∠B的外角和为180°，
∵六边形ABCDEF的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°．
故答案为：180°．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理、平行线的性质，解题的关键是发现∠A和∠B的外角的和为180°，难度中等．
三．解答题（共9小题）
16．解下列方程组
（1）
（2）．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
把①代入②得：6y+y+7＝0，即y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①得：x＝﹣3，
则方程组的解为；
（2），
②﹣①×2得：7y＝35，即y＝5，
把y＝5代入①得：x＝2，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
17．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣2＜x≤2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2（x+1）＞﹣2，得x＞﹣2，
解不等式3x≤x+4，得x≤2，
∴不等式组的解集是﹣2＜x≤2，
解集在数轴上表示如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）AC边上的高是线段 BC ，BC边上的高是线段 AC ；
（2）画出AB边上的高CD，并表示出此时图中所有的直角三角形；
（3）若CB＝5，AC＝12，AB＝13，求CD的长．
【考点】作图—复杂作图；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．
【专题】尺规作图；推理能力．
【答案】（1）BC，AC；
（2）画图见解析，△ACD，△BCD，△ABC；
（3）．
【分析】（1）根据高的定义判断线段即可；
（2）过C作CD⊥AB，垂足为D即可，根据垂直得到图中的直角三角形；
（3）根据三角形的面积列出等式，从而求出CD．
【解答】解：（1）AC边上的高是线段BC，BC边上的高是线段AC，
故答案为：BC，AC；
（2）作高CD，如图所示：
其中图中的直角三角形有△ACD，△BCD，△ABC；
（3）根据三角形面积可得：，
∴，
∴．
【点评】本题考查了三角形的高及画法，直角三角形，三角形的面积，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．
19．八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图．
请根据图中信息解决下列问题：
（1）共有 100 名同学参与问卷调查；
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】常规题型；统计的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由读书1本的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以读4本的百分比求得其人数，减去男生人数即可得出女生人数，用读2本的人数除以总人数可得对应百分比；
（3）总人数乘以样本中读2本人数所占比例．
【解答】解：（1）参与问卷调查的学生人数为（8+2）÷10%＝100（名），
故答案为：100；
（2）读4本的女生人数为100×15%﹣10＝5（名），
读2本人数所占百分比为100%＝38%，
补全图形如下：
（3）1500×38%＝570（人），
答：估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为570人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1∠ABC，∠2∠ACB，
∴∠1+∠2（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）＝90°∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A．
（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
（2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）
（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）
【考点】三角形的外角性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．
【专题】探究型；整体思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据角平分线的定义表示出∠OBC，∠OCD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC和∠BCE，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
（3）根据四边形内角和等于360°求出∠ABC+∠BCD，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解．
【解答】解：（1）探究2结论：∠BOC∠A．
理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠OBC∠ABC，∠OCD∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠OCD（∠A+∠ABC）∠A∠ABC∠A+∠OBC，
又∵∠OCD是△BOC的一个外角，
∴∠BOC＝∠OCD﹣∠OBC∠A+∠OBC﹣∠OBC∠A；
（2）探究3：结论∠BOC＝90°∠A．
根据三角形的外角性质，∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，
∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，
∴∠OBC∠DBC，∠OCB∠BCE，
∴∠OBC+∠OCB（∠DBC+∠BCE）（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°∠A，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A；
（3）拓展：结论∠BOC（∠A+∠D）．
在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝（360°﹣∠A﹣∠D），
∵O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠BCD，
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠BCD）（360°﹣∠A﹣∠D），
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（360°﹣∠A﹣∠D）（∠A+∠D），
即∠BOC（∠A+∠D）．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
21．（此题需要写出括号内的定理理由，已知、已证、已作、等量代换、等式性质这五条理由不需要写）如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，作AD⊥AB且AD＝AB，联结CD，过点B作CD的垂线（垂足为点E），与过点A作AC的垂线交于点F，联结CF．
（1）求证：△ACF是等腰直角三角形；
（2）联结AE，求证：AE平分∠DEF．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答．
【分析】（1）由AD⊥AB于点A，AF⊥AC，得∠BAD＝∠CAF＝90°，则∠DAC＝∠BAF＝90°+∠BAC，由BF⊥CD于点E，得∠BED＝90°，可根据“等角的余角相等”推导出∠D＝∠ABF，而AD＝AB，即可证明△ADC≌△ABF，得AC＝AF，所以△ACF是等腰直角三角形；
（2）作AI⊥CD于点I，AH⊥FB于点H，由△ADC≌△ABF，得CD＝FB，由S△ADC＝S△ABF得CD AIFB AH，则AI＝AH，再证明Rt△AIE≌Rt△AHE，得∠AEI＝∠AEH，所以AE平分∠DEF．
【解答】证明：（1）∵AD⊥AB于点A，AF⊥AC，
∴∠BAD＝∠CAF＝90°（垂直定义），
∴∠DAC＝∠BAF＝90°+∠BAC，
∵BF⊥CD于点E，
∴∠BED＝90°（垂直定义），
∴∠D+∠AGD＝180°，∠ABF+∠EGB＝180°（直角三角形的两个锐角互余），
∵BF交CD于点G，
∴∠AGD＝∠EGB（对顶角相等），
∴∠D＝∠ABF（等角的余角相等），
在△ADC和△ABF中，
，
∴△ADC≌△ABF（SAS），
∴AC＝AF，
∴△ACF是等腰直角三角形．
（2）作AI⊥CD于点I，AH⊥FB于点H，
∴∠AIE＝∠AHE＝90°（垂直定义），
∵△ADC≌△ABF，
∴CD＝FB（全等三角形的对应边相等），
∵S△ADC＝S△ABF（全等三角形的面积相等），
∴CD AIFB AH（三角形的面积公式），
∴AI＝AH，
在Rt△AIE和Rt△AHE中，
，
∴Rt△AIE≌Rt△AHE（HL），
∴∠AEI＝∠AEH（全等三角形的对应角相等），
∴AE平分∠DEF（角平分线定义）．
【点评】此题重点考查等角的余角相等、全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的定义等知识，证明△ADC≌△ABF是解题的关键．
22．某公司准备用36万购进A、B两种货物，预计直接销售完后共可获利6万元，其进价和售价如下表：
进价（元/吨） 售价（元/吨）
A种货物 1200 1380
B种货物 1000 1200
（1）求购进的A、B两种货物各多少吨？
（2）若将该批货物运往某地销售可增加利润．现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将A、B货物全部运往该地．已知甲种货车可装A种货物40吨和B种货物10吨，乙种货车可装A种货物和B种货物各20吨．则该公司有哪几种租车方案？请你帮忙设计出来．
（3）在第（2）问的条件下，将该批货物运往某地销售可增加20%的利润，如果甲种货车每辆需付运输费400元，乙种货车每辆需付运输费360元．该公司应选择哪种方案可使利润最大？最大利润是多少元？
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】方程与不等式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）题中有两个等量关系：购买A种商品进价+购买B种商品进价＝36000，出售A种商品利润+出售B种商品利润＝6000，由此可以列出二元一次方程组解决问题．
（2）设租用甲种货车x辆，租用乙种货车（8﹣x）辆，根据不等式组即可解决问题；
（3）乙种货车每辆的运费比较便宜，尽量多租乙种车，选择方案一，根据利润＝360000×20%﹣运输费用，计算即可；
【解答】解：（1）设商场购进A种商品x吨，B种商品y吨，根据题意得：
，
解得：．
答：该商场购进A种商品200吨，B种商品120吨．
（2）设租用甲种货车x辆，租用乙种货车（8﹣x）辆，
由题意：，
解得2≤x≤4，
∴有三种方案租用甲种货车2辆，方案一：租用乙种货车6辆，
方案二：租用甲种货车3辆，租用乙种货车5辆，
方案三：租用甲种货车4辆，租用乙种货车4辆；
（3）∵甲种货车每辆需付运输费400元，乙种货车每辆需付运输费360元，
又360＜400，
∴方案一的运费最小，利润最大，最大利润＝360000×20%﹣2×400﹣6×360＝69040（元）．
【点评】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，找出等量关系，列方程求解．
23．解不等式或方程（组）
（1）3x﹣2＝5x+6；
（2）；
（3）；
（4）|2x﹣1|﹣2＝9；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）4（x﹣2）﹣3（x+3）＞﹣x；
（9）；
（10）．
【考点】解一元一次不等式组；绝对值；解一元一次方程；二元一次方程组的解；解二元一次方程组；解三元一次方程组；解一元一次不等式．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝﹣4；
（2）x；
（3）x＝9；
（4）x＝6或﹣5；
（5）；
（6）；
（7）x≤﹣4；
（8）x；
（9）﹣2≤x≤6；
（10）﹣1＜x＜1．
【分析】（1）（2）（3）根据解一元一次方程的基本步骤求解即可；
（4）方程整理后，根据绝对值的性质去绝对值符号，再解方程即可；
（5）方程组利用加减消元分求解即可；
（6）由x：y：z＝2：3：5，可得yx，zx，再代入第二个方程求解即可；
（7）（8）根据解一元一次不等式的基本步骤求解即可；
（9）首先分别求出两个不等式组的解集，再根据“大小小大中间找”可得不等式组的解集，再找出符合条件的整数即可；
（10）首先分别求出三个不等式组的解集，再根据“大小小大中间找”可得不等式组的解集，再找出符合条件的整数即可．
【解答】解：（1）3x﹣2＝5x+6，
移项，得3x﹣5x＝6+2，
合并同类项，得﹣2x＝8，
系数化为1，得x＝﹣4；
（2），
去分母，得3x﹣（x﹣1）＝6，
去括号，得3x﹣x+1＝6，
移项，得3x﹣x＝6﹣1，
合并同类项，得2x＝5，
系数化为1，得x；
（3），
方程整理，得，
去分母，得6（4x+9）﹣10（3+2x）＝15（x﹣5），
去括号，得24x+54﹣30﹣20x＝15x﹣75，
移项，得24x﹣20x﹣15x＝30﹣54﹣75，
合并同类项，得﹣11x＝﹣99，
系数化为1，得x＝9；
（4）|2x﹣1|﹣2＝9，
|2x﹣1|＝11，
2x﹣1＝±11，
2x﹣1＝11或2x﹣1＝﹣11，
解得x＝6或﹣5；
（5），
①×3+②，得11x＝11，
解得x＝1，
把x＝1代入①，得y＝1，
故原方程组的解为；
（6），
由x：y：z＝2：3：5，得yx，zx，
把yx，zx代入方程2x+3y﹣z＝16，得：
2xxx＝16，
4x＝16，
解得x＝4，
∴y6，z10，
故原方程组的解为；
（7），
去分母，得2（x﹣1）﹣10≥5x，
去括号，得2x﹣2﹣10≥5x，
移项，得2x﹣5x≥2+10，
合并同类项，得﹣3x≥12，
不等式两边同时除以﹣3，得x≤﹣4；
（8）4（x﹣2）﹣3（x+3）＞﹣x，
去括号，得4x﹣8﹣3x﹣9＞﹣x，
移项，得4x﹣3x+x＞8+9，
合并同类项，得2x＞17，
不等式两边同时除以2，得x；
（9），
解不等式2﹣3（x﹣1）≤2x+15，得x≥﹣2，
解不等式，得x≤6，
故原不等式组的解为﹣2≤x≤6；
（10），
解不等式3+x＜2+2（1+x），得x＞﹣1，
解不等式5x﹣3＜4x﹣1，得x＜2，
解不等式7+2x＞6+3x，得x＜1，
故原不等式组的解为﹣1＜x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，掌握解一元一次方程的基本步骤，解一元一次不等式的基本步骤，加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．
24．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 24秒 秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】动点型；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）①△BPD≌△CQP；理由见解答；
②vQ＝1.5cm/s；
（2）经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．
【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，根据SAS判定两个三角形全等．
②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；
（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个边长．
【解答】解：（1）①△BPD≌△CQP，理由如下：
∵t＝1秒，
∴BP＝CQ＝1×1＝1cm，
∵AB＝6cm，点D为AB的中点，
∴BD＝3cm．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝4cm，
∴PC＝4﹣1＝3cm，
∴PC＝BD．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△BPD≌△CQP；
②假设△BPD≌△CQP，
∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CQP，∠B＝∠C，则BP＝CP＝2，BD＝CQ＝3，
∴点P，点Q运动的时间t2秒，
∴vQ1.5cm/s；
（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得 1.5x＝x+2×6，
解得x＝24，
∴点P共运动了24s×1cm/s＝24cm．
∵24×1.5＝36，
∴点P、点Q在AC边上相遇，
∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．
【点评】此题主要是运用了路程＝速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
3．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
4．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
5．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
6．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
7．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
8．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
9．解三元一次方程组
（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
10．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
11．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
12．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
13．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
14．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
15．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
16．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
17．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
18．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
19．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
20．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
21．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
22．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
23．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
24．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
25．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
26．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
27．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
28．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
29．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
30．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
31．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
32．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
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