2024—2025学年上学期长沙初中数学八年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期长沙初中数学八年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B．
C． D．3.3030030003
2．（3分）如图，已知a，则a在数轴上对应的点可能是（　　）
A．A B．B C．C D．D
3．（3分）要调查下面几个问题，你认为不应做抽样调查的是（　　）
A．调查某电视剧的收视率
B．调查“神舟七号”飞船重要零部件的产品质量
C．调查一批炮弹的杀伤力
D．调查一片森林的树木有多少棵
4．（3分）若a＞2b＞0，则（　　）
A．a﹣1≥b B．b+1≥a C．a+1＞b﹣1 D．a﹣1＞b+1
5．（3分）根据下列表述，能确定位量的是（　　）
A．东经116°，北纬42°
B．学校教学楼的南面
C．学校操场的北偏东30°方向
D．七（2）班教室第2排
6．（3分）以下命题是真命题的是（　　）
A．相等的两个角一定是对顶角
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角互补
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
7．（3分）一等腰三角形的两边长分别为10和5，那么该等腰三角形的周长为（　　）
A．25 B．20 C．20或25 D．都不正确
8．（3分）如图，点D在BC的延长线上，∠A＝30°，∠B＝45°，则∠1的度数为（　　）
A．65° B．70° C．75° D．80°
9．（3分）一批零件共500个，如果甲先做2天后，乙加入合作，那么再做6天完成；如果乙先做3天后，甲加入合作，那么再做7天才能完成，求甲、乙两人每天各做多少个？设甲每天做x个，乙每天做y个，则下列方程组错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）在平面直角坐标系中，由点A（a，2），B（a﹣2，2），C（b，﹣2）组成的三角形ABC的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）平面直角坐标系中，点（2，﹣1）所在的象限是第 　 　象限．
12．（3分）若m＜2m+1，且m为整数，则m＝　 　．
13．（3分）如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的每个内角都相等，则一个内角大小为 　 　．
14．（3分）如图，把一张上下两边平行的纸条沿EF折叠，若∠2＝132°，则∠1＝　 　．
15．（3分）为了解学生每天自主学习时间，某校抽取了50名学生每天的自主学习时间作为样本进行调查，在这个问题中，样本容量是　 　．
16．（3分）不等式组的最大整数解是　 　．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（1）计算：；
（2）解方程：．
18．（6分）求一元一次不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上．
19．（6分）阅读并填空：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°．
请说明∠GDB＝∠C的理由．
解：因为AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
所以∠ADC＝∠EFC＝90°（ 　 　）．
所以EF∥AD（ 　 　）．
所以∠1+∠2＝180°（ 　 　）．
又因为∠2+∠3＝180°（已知），
所以∠1＝∠3（同角的补角相等）．
所以 　 　∥　 　（内错角相等，两直线平行）．
所以∠GDB＝∠C（ 　 　）．
20．（8分）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长为1个的单位长度，△ABC的顶点都在格点上．
（1）画出ABC先向右平移6格，再向上平移1格所得的△A'B'C′；
（2）请以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系（在图中画出），然后分别写出点A'、B′、C′的坐标．
（3）求△ABC的面积．
21．（8分）为了检测疫情期间的学习效果，某班依据学校要求进行了测试，并将成绩分成A、B、C、D、E五个等级，依据相关数据绘制如下不完整统计图表如图，请解答问题：
（1）该班参与测试的人数为　 　；
（2）B、D等级的人数之比为2：3，依据数据补全统计图；
（3）扇形图中，C等级人数所对应的扇形图中的圆心角为　 　；
（4）若全年级共有1400人，请估计年级部测试等级在D等级以上（包括D级）的学生人数．
22．（9分）如图，三角形ABC中，∠ACB＝120°．请依次解决下列问题：
（1）作CD⊥CB交AB于点D，作AE⊥CB于点E；
（2）∠ACD＝　 　度；AE与DC的位置关系是 　 　．
（3）点A到直线BC的距离是图中线段 　 　的长度．
23．（9分）六（1）班、六（2）班的人数相同，在30人到50人之间，两个班都有一些同学参与课外天文小组，（1）班参加的人数是（2）班没有参加的，（2）班参加的人数是（1）班没有参加的．问这两个班没有参加天文小组各多少人？
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”例如，点P（1，4）的“3级关联点”为Q（3×1+4，1+3×4），即Q（7，13）．
（1）已知点A（﹣2，6）的“级关联点”是点A1，求点A1的坐标．
（2）已知点M（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”M′位于y轴上．求点M′的坐标．
25．（10分）如图，△ABC中，AC＝BC，AC⊥BC，D是AC边上一动点，作BE⊥BD，且BE＝BD，连AE交BC于F．
（1）求证：AF＝EF；
（2）探究AD与CF的数量关系，并证明你的结论：　 　．
（3）若AD＝2CD，直接写出的值为 　 　．
2024—2025学年上学期长沙初中数学八年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B．
C． D．3.3030030003
【考点】无理数；算术平方根；立方根．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【解答】解：∵3，2，
∴，，3.3030030003是有理数，是无理数；
故选：C．
【点评】本题考查的是无理数，涉及到算术平方根及立方根，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2．（3分）如图，已知a，则a在数轴上对应的点可能是（　　）
A．A B．B C．C D．D
【考点】算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】直接利用算术平方根的性质得出的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵12，
∴a在数轴上对应的点可能是C．
故选：C．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确得出的取值范围是解题关键．
3．（3分）要调查下面几个问题，你认为不应做抽样调查的是（　　）
A．调查某电视剧的收视率
B．调查“神舟七号”飞船重要零部件的产品质量
C．调查一批炮弹的杀伤力
D．调查一片森林的树木有多少棵
【考点】全面调查与抽样调查．
【专题】常规题型；数据的收集与整理．
【答案】B
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、调查某电视剧的收视率适合抽样调查；
B、调查“神舟七号”飞船重要零部件的产品质量适合全面调查；
C、调查一批炮弹的杀伤力适合抽样调查；
D、调查一片森林的树木有多少棵适合抽样调查；
故选：B．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．（3分）若a＞2b＞0，则（　　）
A．a﹣1≥b B．b+1≥a C．a+1＞b﹣1 D．a﹣1＞b+1
【考点】不等式的性质．
【专题】整式；推理能力．
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可．
【解答】解：若a＞2b＞0，
A．不妨设a＝0.3，b＝0.1，
则a﹣1＜b，故本命选项不符合题意；
B．不妨设a＝3，b＝1，
则b+1＜a，故本命选项不符合题意；
C．∵a＞2b＞0，
∴a+1＞2b+1，
∴a+1＞b+1，
∴a+1＞b﹣1，故本选项符合题意；
D．不妨设a＝3，b＝1，
则a﹣1＝b+1，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
5．（3分）根据下列表述，能确定位量的是（　　）
A．东经116°，北纬42°
B．学校教学楼的南面
C．学校操场的北偏东30°方向
D．七（2）班教室第2排
【考点】坐标确定位置．
【专题】常规题型；平面直角坐标系．
【答案】A
【分析】根据有序数对，坐标，可确定点的位置．
【解答】解：A、东经116°，北纬42°能确定具体位置；
B、学校教学楼的南面范围太大，故不能确定位置；
C、学校操场的北偏东30°方向，还需要具体距离，故不能确定位置；
D、七（2）班教室第2排，还需要所在列数，故不能确定位置；
故选：A．
【点评】本题考查了坐标确定位置，利用有序数对确定位置，坐标确定位置，单独一个数据无法确定位置．
6．（3分）以下命题是真命题的是（　　）
A．相等的两个角一定是对顶角
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角互补
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
【考点】命题与定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】利用对顶角的定义、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，符合题意；
C、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：B．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、平行线的性质等知识，难度不大．
7．（3分）一等腰三角形的两边长分别为10和5，那么该等腰三角形的周长为（　　）
A．25 B．20 C．20或25 D．都不正确
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】A
【分析】分两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可．
【解答】解：①当10为腰长时，三角形的三边长为：10、10、5，满足三角形的三边关系，其周长为10+10+5＝25；
②当5为腰长时，三角形的三边长为：5、5、10，此时10＝5+5，不满足三角形的三边关系，不合题意．
综上所述，该等腰三角形的周长为25．
故选：A．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行判定是解题的关键．
8．（3分）如图，点D在BC的延长线上，∠A＝30°，∠B＝45°，则∠1的度数为（　　）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【考点】三角形的外角性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据三角形的外角性质即可解答．
【解答】解：根据三角形的外角性质可得∠1＝∠A+∠B＝30°+45°＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的外角性质，掌握三角形的外角性质是解题的关键．
9．（3分）一批零件共500个，如果甲先做2天后，乙加入合作，那么再做6天完成；如果乙先做3天后，甲加入合作，那么再做7天才能完成，求甲、乙两人每天各做多少个？设甲每天做x个，乙每天做y个，则下列方程组错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据甲先做2天后，乙加入合作，那么再做6天完成；乙先做3天后，甲加入合作，那么再做7天才能完成，可以写出相应的方程组，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由题意可得，
或或，
故选项A、B、C不符合题意，D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程组．
10．（3分）在平面直角坐标系中，由点A（a，2），B（a﹣2，2），C（b，﹣2）组成的三角形ABC的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】三角形的面积；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；三角形；应用意识．
【答案】A
【分析】根据A和B两点的纵坐标相等，可得线段AB的长，再根据点C的纵坐标，可得以AB为底的△ABC的高，从而△ABC的面积可求．
【解答】解：由点A（a，2），B（a﹣2，2），得AB＝2，
点C在直线y＝﹣2上，AB与直线y＝﹣2平行，且平行线间的距离为4，
∴S△ABC2×4＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的面积计算，明确平面直角坐标系中的点的坐标特点及如何求相应线段的长，是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）平面直角坐标系中，点（2，﹣1）所在的象限是第 　四　象限．
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据各象限内点的坐标的符号，进行判断即可得出答案．
【解答】解：∵2＞0，﹣1＜0，
∴点A（2，﹣1）在第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解本题的关键．四个象限内点的坐标符号特点分别是：第一象限（正，正）；第二象限（负，正）；第三象限（负，负）；第四象限（正，负）．
12．（3分）若m＜2m+1，且m为整数，则m＝　5　．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】二次根式；运算能力；应用意识．
【答案】5．
【分析】估计2的大小范围，进而确定m的值．
【解答】解：2，
∵，
∴5＜26，
又∵m＜2m+1，
∴m＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查无理数的估算，理解2介在哪两个整数之间是正确求解的关键．
13．（3分）如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的每个内角都相等，则一个内角大小为 　140°　．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】计算题；多边形与平行四边形．
【答案】140°．
【分析】根据内角和定理列式计算．
【解答】解：根据题意得：（9﹣2）×180°÷9＝140°；
故答案为：140°．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，熟练掌握本题考查多边形的内角和的应用是解题关键．
14．（3分）如图，把一张上下两边平行的纸条沿EF折叠，若∠2＝132°，则∠1＝　84°　．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据平行线的性质得出∠3＝180°﹣∠2＝48°，∠1＝∠4．再根据折叠的性质，得∠AEB＝2∠3＝96°，由邻补角定义求出∠4，等量代换得到∠1．
【解答】解：∵AF∥BE，∠2＝132°，
∴∠3＝180°﹣∠2＝48°，∠1＝∠4．
根据折叠的性质，得∠AEB＝2∠3＝96°，
∴∠4＝180°﹣∠AEB＝84°，
∴∠1＝84°．
故答案为：84°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，折叠的性质，邻补角定义，熟知图形翻折不变性是解答此题的关键．
15．（3分）为了解学生每天自主学习时间，某校抽取了50名学生每天的自主学习时间作为样本进行调查，在这个问题中，样本容量是　50　．
【考点】总体、个体、样本、样本容量．
【专题】数据的收集与整理；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据样本容量则是指样本中个体的数目，可得答案．
【解答】解：为了解学生每天自主学习时间，某校抽取了50名学生每天的自主学习时间作为样本进行调查，在这个问题中，样本容量是50．
故答案为：50．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
16．（3分）不等式组的最大整数解是　2　．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其最大整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①得，x，
解不等式②得，x＜3，
所以，不等式组的解集是x＜3．
则最大整数解是2．
故答案为2．
【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（1）计算：；
（2）解方程：．
【考点】解二元一次方程组；实数的运算．
【专题】实数；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）1；
（2）．
【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，算术平方根、立方根性质计算即可求出值；
（2）方程组利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：（1）原式1+21；
（2），
把①代入②得：3x+2（2x﹣3）＝8，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝1，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
18．（6分）求一元一次不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x≤1．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式﹣3（x﹣2）≥4﹣x，得：x≤1，
解不等式x﹣1，得：x＜4，
∴不等式组的解集为x≤1，
数轴表示如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（6分）阅读并填空：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°．
请说明∠GDB＝∠C的理由．
解：因为AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
所以∠ADC＝∠EFC＝90°（ 　垂直的定义　）．
所以EF∥AD（ 　同位角相等，两直线平行　）．
所以∠1+∠2＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　）．
又因为∠2+∠3＝180°（已知），
所以∠1＝∠3（同角的补角相等）．
所以 　AC　∥　DG　（内错角相等，两直线平行）．
所以∠GDB＝∠C（ 　两直线平行，同位角相等　）．
【考点】平行线的判定与性质；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识一一解答即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADC＝∠EFC＝90°（垂直的定义），
∴EF∥AD （同位角相等，两直线平行），
∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3 （同角的补角相等），
∴AC∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠GDC＝∠BC（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；AC；DG；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”、“两直线平行，同旁内角互补”、“两直线平行，同位角相等”．
20．（8分）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长为1个的单位长度，△ABC的顶点都在格点上．
（1）画出ABC先向右平移6格，再向上平移1格所得的△A'B'C′；
（2）请以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系（在图中画出），然后分别写出点A'、B′、C′的坐标．
（3）求△ABC的面积．
【考点】作图﹣平移变换．
【专题】作图题；网格型；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）△A'B'C′即为所求；
（2）A′（2，3）、B′（6，1）、C′（7，4）．
（3）7．
【分析】（1）根据平移的性质即可画出ABC先向右平移6格，再向上平移1格所得的△A'B'C′；
（2）以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，即可写出点A'、B′、C′的坐标；
（3）根据网格即可求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C′即为所求；
（2）如图，即为建立的平面直角坐标系，
点A'、B′、C′的坐标分别为：A′（2，3）、B′（6，1）、C′（7，4）；
（3）△ABC的面积为：3×52×41×51×3＝7．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．
21．（8分）为了检测疫情期间的学习效果，某班依据学校要求进行了测试，并将成绩分成A、B、C、D、E五个等级，依据相关数据绘制如下不完整统计图表如图，请解答问题：
（1）该班参与测试的人数为　50　；
（2）B、D等级的人数之比为2：3，依据数据补全统计图；
（3）扇形图中，C等级人数所对应的扇形图中的圆心角为　144°　；
（4）若全年级共有1400人，请估计年级部测试等级在D等级以上（包括D级）的学生人数．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】统计与概率；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据D等级的人数和所占的百分比，可以求得本次测试的人数；
（2）根据D等级的人数和题意，可以得到B等级的人数和C等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出C等级人数所对应的扇形图中的圆心角的度数；
（4）根据统计图中的数据，可以得到年级部测试等级在D等级以上（包括D级）的学生人数．
【解答】解：（1）该班参与测试的人数为：12÷24%＝50，
故答案为：50；
（2）B等级人数为：，
C等级的人数为：50﹣6﹣8﹣12﹣4＝20，
补全的统计图如图所示；
（3）C等级人数所对应的扇形图中的圆心角为：，
故答案为：144°；
（4）（人），
答：年级部测试等级在D等级以上的学生有448人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（9分）如图，三角形ABC中，∠ACB＝120°．请依次解决下列问题：
（1）作CD⊥CB交AB于点D，作AE⊥CB于点E；
（2）∠ACD＝　30　度；AE与DC的位置关系是 　AE∥DC　．
（3）点A到直线BC的距离是图中线段 　AE　的长度．
【考点】平行线的判定与性质；点到直线的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）作图见解答过程；
（2）30；AE∥DC．
（3）AE．
【分析】（1）利用三角板的两条直角边作图即可；
（2）由垂直的定义可得∠BCD＝90°，进而可求出∠ACD的度数；根据垂直于同一直线的两条直线互相平行可判断AE与DC的位置关系；
（3）根据点到直线距离的定义求解即可．
【解答】解：（1）如图，
（2）∵CD⊥CB，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠ACD＝120°﹣90°＝30°．
∵CD⊥CB，AE⊥CB，
∴AE∥DC．
故答案为：30；AE∥DC．
（3）∵AE⊥CB，
∴点A到直线BC的距离是图中线段AE的长度．
故答案为：AE．
【点评】本题考查了垂线的定义及作法，角的和差，平行线的判定，以及点到直线的距离，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
23．（9分）六（1）班、六（2）班的人数相同，在30人到50人之间，两个班都有一些同学参与课外天文小组，（1）班参加的人数是（2）班没有参加的，（2）班参加的人数是（1）班没有参加的．问这两个班没有参加天文小组各多少人？
【考点】二元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力．
【答案】27人、24人或36人、32人．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以先设（1）班参加的有x人，（2）班参加的有y人，然后即可表示出（1）班和（2）班没有参加的人数，再根据题目中的数据，即可得到二元一次方程和不等式，从而可以求得这两个班没有参加天文小组各多少人．
【解答】解：设（1）班参加的有x人，（2）班参加的有y人，
∵（1）班参加的人数是（2）班没有参加的，
∴（2）班没有参加的有3x人，
∵（2）班参加的人数是（1）班没有参加的，
∴（1）班没有参加的有4y人，
∵六（1）班、六（2）班的人数相同，在30人到50人之间，
∴x+4y＝y+3x，30＜x+4y＜50，30＜y+3x＜50，
解得，，
当x＝9，y＝6时，3x＝27，4y＝24，
当x＝12，y＝8时，3x＝36，4y＝32，
答：这两个班没有参加天文小组分别为27人、24人或36人、32人．
【点评】本题考查二元一次方程的应用、不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系或不等关系，列出相应的方程和不等式．
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”例如，点P（1，4）的“3级关联点”为Q（3×1+4，1+3×4），即Q（7，13）．
（1）已知点A（﹣2，6）的“级关联点”是点A1，求点A1的坐标．
（2）已知点M（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”M′位于y轴上．求点M′的坐标．
【考点】点的坐标．
【专题】新定义；创新意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
（2）根据关联点的定义和点M（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”M′位于y轴上，即可求出M′的坐标．
【解答】解（1）因为点A（﹣2，6）的“ 级关联点”是点A1，所以A1为A1（5，1）．
（2）∵点M（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”为M′（﹣3（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣3）×2m），M′位于y轴上，
∴﹣3（m﹣1）+2m＝0，
解得：m＝3
∴m﹣1+（﹣3）×2m＝﹣16，
∴M′（0，﹣16）．
【点评】本题考查点的坐标，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（10分）如图，△ABC中，AC＝BC，AC⊥BC，D是AC边上一动点，作BE⊥BD，且BE＝BD，连AE交BC于F．
（1）求证：AF＝EF；
（2）探究AD与CF的数量关系，并证明你的结论：　AD＝2CF　．
（3）若AD＝2CD，直接写出的值为 　　．
【考点】三角形综合题．
【专题】证明题；综合题；三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）AD＝2CF，证明过程见解答；
（3）．
【分析】（1）过点E作EG⊥BC于点G，根据AAS可证△BGE≌△DCB，△ACF≌△EGF，再根据全等三角形的性质即可求解；
（2）根据全等三角形的性质可得CD＝GB，CF＝GF，再根据线段的和差关系和等量关系即可求解；
（3）由（1）（2）知：AD＝2CF，CD＝GB，CF＝GF，再根据AD＝2CD，可得CD＝CF＝GF＝GB，依此即可求解．
【解答】（1）证明∵AC⊥BC，BE⊥BD，
∴∠C＝∠DBE＝90°，
∴∠CBD+∠BDC＝∠CBD+∠EBC＝90°，
∴∠BDC＝∠EBC，
过点E作EG⊥BC于点G，如图：
则∠BGE＝∠FGE＝90°＝∠C，
在△BGE与△DCB中，
，
∴△BGE≌△DCB（AAS），
∴EG＝BC，
∴AC＝BC，
∴AC＝EG，
在△ACF与△EGF中，
，
∴△ACF≌△EGF（AAS），
∴AF＝EF；
（2）解：AD＝2CF，证明如下：
∵△BGE≌△DCB，△ACF≌△EGF，
∴CD＝GB，CF＝GF，
∵AC＝BC，
∴AC﹣CD＝BC﹣GB，即AD＝CG，
∵CG＝CF+GF＝2CF，
∴AD＝2CF．
故答案为：AD＝2CF；
（3）解：由（1）（2）知：AD＝2CF，CD＝GB，CF＝GF，
∵AD＝2CD，
∴CD＝CF＝GF＝GB，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形综合题，全等三角形的判定与性质，解题的关键是AAS证明△BGE≌△DCB，△ACF≌△EGF．
考点卡片
1．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
2．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
3．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
4．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
5．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
6．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
7．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
8．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
9．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
10．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
11．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
12．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
13．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
14．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
15．坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．
16．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
17．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
18．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
19．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
20．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
21．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
22．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
23．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
24．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
25．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
26．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
27．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
28．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
29．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
30．总体、个体、样本、样本容量
（1）定义
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
（2）关于样本容量
样本容量只是个数字，没有单位．
31．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
32．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
33．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．