2024—2025学年上学期长沙初中数学八年级开学模拟试卷2(含解析+考点卡片)

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名称 2024—2025学年上学期长沙初中数学八年级开学模拟试卷2(含解析+考点卡片)
格式 docx
文件大小 673.4KB
资源类型 试卷
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2024-07-07 09:09:11

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2024—2025学年上学期长沙初中数学八年级开学模拟试卷2
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.(3分)下列四个数中,最小的数是(  )
A.0 B.1 C.﹣2 D.
2.(3分)已知三角形两边分别为4cm和3cm,则第三边可能是(  )
A.1cm B.5cm C.7cm D.8cm
3.(3分)2021年5月22日,我国始发的火星车“祝融号”安全到达火星表面.到目前已经获取约10GB原始科学数据.当地球与火星处于最远位置时,从火星表面发出的光到达地球的时间为21分20秒.已知光速约为3×108米/秒,则地球与火星处于最远位置时的距离是(  )
A.3.84×1011米 B.3.84×108米
C.3.784×1011米 D.3.784×108米
4.(3分)点M在x轴的下方,y轴的右侧,它到x轴、y轴的距离分别为8个单位长度和5个单位长度,则点M的坐标为(  )
A.(8,5) B.(5,﹣8) C.(﹣5,8) D.(﹣8,5)
5.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,BD为△ABC的高.若∠CBD=20°,则∠BAC的度数是(  )
A.30° B.40° C.50° D.60°
6.(3分)下列调查中,最适合采用全面调查(普查)方式的是(  )
A.对渝北区初中学生对防护新冠肺炎知识的了解程度的调查
B.对“神舟十三号”飞船零部件安全性的检查
C.对某品牌手机电池待机时间的调查
D.对中央电视台2021年春节联欢晚会满意度的调查
7.(3分)为使由五根木棒组成的架子不变形,至少还要在架子上钉上的木棒根数是(  )
A.0根 B.1根 C.2根 D.5根
8.(3分)如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC.下列条件中不能判断△ABE≌△ACD的是(  )
A.BD=CE B.BE=CD C.AD=AE D.∠B=∠C
9.(3分)某班有36人参加义务植树劳动,他们分为植树和挑水两组,要求挑水人数是植树人数的2倍,设有x人挑水,y人植树,则下列方程组中正确的是(  )
A. B.
C. D.
10.(3分)运行程序如图所示,规定:从“输入一个值x”到“结果是否>47”为一次程序操作.如果程序操作进行了两次才停止,那么x的取值范围是(  )
A.x>23 B.11≤x<23 C.x≤11 D.11<x≤23
二.填空题(共5小题,满分15分,每小题3分)
11.(3分)的算术平方根为3.   (判断对错)
12.(3分)永寺双塔,又名凌霄双塔(如图1),是太原市现存最高的古建筑,均为十三层八角形楼阁式砖塔,图2所示的正八边形是塔基的平面示意图,则该正八边形内角和的度数为    .
13.(3分)若a﹣b=3,c+d=﹣1,则(a+c)﹣(b﹣d)的值是   .
14.(3分)如图,在四边形纸片ABCD中,AD∥BC,AB=10,∠B=60°,将纸片折叠,使点B落在AD边上的点G处,折痕为EF,若∠BFE=45°,则BF的长为    .
15.(3分)若不等式a≤x≤a+1中每一个x的值,都不是不等式1<x<3的解,则a的取值范围是    .
三.解答题(共9小题,满分75分)
16.(7分)|3|.
17.(7分)解不等式(组),并把它们的解集在数轴上表示出来.
(1)5(x﹣2)≤2(x+1)
(2)
18.(7分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣4,2),B(﹣2,1),C(﹣1,3),将△ABC向右平移4个单位,再向下平移3个单位得到△A1B1C1.
(1)在图上画出△A1B1C1;
(2)写出点A1,B1,C1的坐标;
(3)求出△A1B1C1的面积.
19.(8分)某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查,从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数(AQI)数据,绘制出三幅不完整的统计图表.请根据图表中提供的信息解答下列问题:
AQI指数 质量等级 天数(天)
0﹣50 优 m
51﹣100 良 44
101﹣150 轻度污染 n
151﹣200 中度污染 4
201﹣300 重度污染 2
300以上 严重污染 2
(1 )统计表中m=   ,n=   .扇形统计图中,空气质量等级为“良”的天数占   %;
(2)补全条形统计图,并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天?
(3)据调查,严重污染的2天发生在春节期间,燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因,据此,请你提出一条合理化建议.
20.(8分)如图,在△ABC中,AD、AF分别为△ABC的中线和高,BE为△ABD的角平分线.
(1)若△ABD的面积是24,AF=8则BC的长是    ;
(2)若∠BED=50°,∠BAD=30°,求∠DAF的度数.
21.(9分)某网店从服装加工厂购进A、B两款T恤.两款T恤的进货价和销售价如下表:
类别价格 A款T恤 B款T恤
进货价(元/件) 30 25
销售价(元/件) 45 37
(1)第一次网店用850元购进了A、B两款T恤共30件,求两款T恤分别购进的件数;
(2)第一次购进的T恤售完后,该网店计划再次从服装加工厂购进两款T恤共46件,且进货总价不高于第一次卖两款T恤的销售总额.应如何设计进货方案才能获得最大利润,最大利润是多少?
(3)网店第二次进货时采取了(2)中取得最大利润时的方案.当A款T恤全部售出时,B款T恤还有部分没售出,网店把剩余的B款T恤按原销售价的8折促销,这样第二次购进的两款T恤售完后,获得的利润为587元.求第二次B款T恤按原销售价售出的件数.(注:利润=销售价﹣进货价)
22.(9分)请阅读下列材料:
问题:在四边形ABCD中,M是BC边的中点,且∠AMD=90°.
(1)如图(1),若AB与CD不平行,试判断AB+CD与AD之间的数量关系;
小雪同学的思路是:延长DM至E使DM=ME,连接AE,BE,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.请你参考小雪的思路,在图1中把图形补充完整,并直接写出上面问题:AB+CD与AD之间的数量关系;
(2)如图(2),若在原条件的基础上,增加AM平分∠BAD,(1)中结论还成立吗?若不成立,写出AB+CD与AD之间的数量关系,并证明.
23.(10分)我们约定:若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内,则称该一元一次方程为该不等式组的“美美与共方程”,例如:方程x﹣2=2的解为x=4,而不等式组的解集为3<x<5,不难发现x=4在3<x<5的范围内,所以方程x﹣2=2是不等式组的“美美与共方程”.
(1)在一元一次方程①6x﹣7=4x﹣5;②2x+5=3(x﹣1);③中,不等式组的“美美与共方程”是    ;(填序号)
(2)若关于x的方程是不等式组的“美美与共方程”,求k的取值范围;
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“美美与共方程”,且此时该不等式组有7个整数解,若M=2m+3n﹣p,3m﹣n+p=4,m+n+p=6,求M的取值范围.
24.(10分)在△ABC中,∠ACB=90°,BE是AC边上的中线,点D在射线BC上.
探究:如图①,点D在BC边上,BD:BC=2:3,AD与BE相交于点P,过点A作AF∥BC,交BE的延长线于点F,求的值.
应用:如图②,点D在BC的延长线上,AD与BE的延长线交于点P,CD:BC=1:2,若CD=2,AC=6,则PE=   .
2024—2025学年上学期长沙初中数学八年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.(3分)下列四个数中,最小的数是(  )
A.0 B.1 C.﹣2 D.
【考点】实数大小比较;算术平方根.
【专题】实数;推理能力.
【答案】C
【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,据此判断即可.
【解答】解:∵﹣2<0<1,
∴所给的四个数中,最小的数是﹣2.
故选:C.
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法,解答此题的关键是要明确:正实数>0>负实数,两个负实数绝对值大的反而小.
2.(3分)已知三角形两边分别为4cm和3cm,则第三边可能是(  )
A.1cm B.5cm C.7cm D.8cm
【考点】三角形三边关系.
【专题】三角形;推理能力.
【答案】B
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.即可求解.
【解答】解:设第三边长为x cm,根据三角形的三边关系可得:
4﹣3<x<4+3,
解得:1<x<7,
只有B选项在范围内.
故选:B.
【点评】本题考查了三角形的三边关系,关键是掌握第三边的范围是:大于已知的两边的差,而小于两边的和.
3.(3分)2021年5月22日,我国始发的火星车“祝融号”安全到达火星表面.到目前已经获取约10GB原始科学数据.当地球与火星处于最远位置时,从火星表面发出的光到达地球的时间为21分20秒.已知光速约为3×108米/秒,则地球与火星处于最远位置时的距离是(  )
A.3.84×1011米 B.3.84×108米
C.3.784×1011米 D.3.784×108米
【考点】科学记数法—原数;科学记数法—表示较大的数.
【专题】实数;数感.
【答案】A
【分析】先计算地球与火星的距离,再根据科学记数法的形式选择即可.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数;当原数的绝对值<1时,n是负整数.
【解答】解:21分20秒=1280秒=1.28×103秒,
3×108×1.28×103=3.84×1011米(米),
故选:A.
【点评】本题考查了科学记数法,掌握科学记数法的形式a×10n是解题的关键.
4.(3分)点M在x轴的下方,y轴的右侧,它到x轴、y轴的距离分别为8个单位长度和5个单位长度,则点M的坐标为(  )
A.(8,5) B.(5,﹣8) C.(﹣5,8) D.(﹣8,5)
【考点】点的坐标.
【专题】平面直角坐标系;符号意识.
【答案】B
【分析】根据点M位于x轴下方、y轴右侧,可得点位于第四象限,根据点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值,点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值,可得答案.
【解答】解:由点M位于x轴下方、y轴右侧,它到x轴、y轴的距离分别为8个单位长度和5个单位长度,那么点M的坐标为(5,﹣8),
故选:B.
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(﹣,+);第三象限(﹣,﹣);第四象限(+,﹣).
5.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,BD为△ABC的高.若∠CBD=20°,则∠BAC的度数是(  )
A.30° B.40° C.50° D.60°
【考点】等腰三角形的性质;三角形内角和定理.
【专题】等腰三角形与直角三角形;推理能力.
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论.
【解答】解:∵BD为△ABC的高,
∴∠BDC=90°.
∵∠CBD=20°,
∴∠C=90°﹣∠CBD=90°﹣20°=70°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC=70°,
又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°.
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB
=180°﹣70°﹣70°=40°.
故选:B.
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质,解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题,此题难度一般.
6.(3分)下列调查中,最适合采用全面调查(普查)方式的是(  )
A.对渝北区初中学生对防护新冠肺炎知识的了解程度的调查
B.对“神舟十三号”飞船零部件安全性的检查
C.对某品牌手机电池待机时间的调查
D.对中央电视台2021年春节联欢晚会满意度的调查
【考点】全面调查与抽样调查.
【专题】数据的收集与整理;数据分析观念.
【答案】B
【分析】根据调查对象的特点,结合普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果接近准确数值,从而可得答案.
【解答】解:A.对渝北区初中学生对防护新冠肺炎知识的了解程度的调查,适合采取抽样调查,因此选项A不符合题意;
B.对“神舟十三号”飞船零部件安全性的检查,适合采用全面调查方式,因此选项B符合题意;
C.对某品牌手机电池待机时间的调查,适合采取抽样调查,因此选项C不符合题意;
D.对中央电视台2021年春节联欢晚会满意度的调查,适合采取抽样调查,因此选项D不符合题意;
故选:B.
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查,选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用.一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大,应选择抽样调查;对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查.
7.(3分)为使由五根木棒组成的架子不变形,至少还要在架子上钉上的木棒根数是(  )
A.0根 B.1根 C.2根 D.5根
【考点】三角形的稳定性.
【专题】三角形;几何直观.
【答案】C
【分析】根据三角形的稳定性解答即可.
【解答】解:如图所示,
根据三角形具有稳定性,
所以至少还要在架子上钉上的木棒根数是2,
故选:C.
【点评】此题考查三角形稳定性,关键是根据三角形具有稳定性解答.
8.(3分)如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC.下列条件中不能判断△ABE≌△ACD的是(  )
A.BD=CE B.BE=CD C.AD=AE D.∠B=∠C
【考点】全等三角形的判定.
【专题】图形的全等;几何直观;推理能力.
【答案】B
【分析】判定全等三角形时,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.
【解答】解:若BD=CE,则依据AB=AC,可得AD=AE,
由AB=AC,∠A=∠A,AE=AD,可得△ABE≌△ACD(SAS),
故A选项能判断△ABE≌△ACD;
若BE=CD,则不能得到△ABE≌△ACD,
故B选项不能判断△ABE≌△ACD;
若AD=AE,则可得△ABE≌△ACD(SAS),
故C选项能判断△ABE≌△ACD;
若∠B=∠C,则由∠B=∠C,AB=AC,∠A=∠A,可得△ABE≌△ACD(ASA),
故D选项能判断△ABE≌△ACD;
故选:B.
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定,全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.
9.(3分)某班有36人参加义务植树劳动,他们分为植树和挑水两组,要求挑水人数是植树人数的2倍,设有x人挑水,y人植树,则下列方程组中正确的是(  )
A. B.
C. D.
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组.
【答案】C
【分析】根据此题的等量关系:①共36人;②挑水人数是植树人数的2倍列出方程解答即可.
【解答】解:设有x人挑水,y人植树,可得:,
故选:C.
【点评】此题考查方程组的应用问题,根据实际问题中的条件列方程组时,要注意抓住题目中的一些关键性词语,找出等量关系,列出方程组.
10.(3分)运行程序如图所示,规定:从“输入一个值x”到“结果是否>47”为一次程序操作.如果程序操作进行了两次才停止,那么x的取值范围是(  )
A.x>23 B.11≤x<23 C.x≤11 D.11<x≤23
【考点】一元一次不等式组的应用.
【专题】一元一次不等式(组)及应用;应用意识.
【答案】D
【分析】根据程序操作进行了两次才停止,可列出关于x的一元一次不等式组,解之即可得出x的取值范围.
【解答】解:根据题意得:,
解得:11<x≤23.
故选:D.
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用,根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组是解题的关键.
二.填空题(共5小题,满分15分,每小题3分)
11.(3分)的算术平方根为3. × (判断对错)
【考点】算术平方根.
【专题】实数;运算能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】根据算术平方根的定义求解即可求得答案.
【解答】解:,
∴的算术平方根为.
故答案为:×.
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义,解决本题的关键是明确一个正数的算术平方根就是其正的平方根.
12.(3分)永寺双塔,又名凌霄双塔(如图1),是太原市现存最高的古建筑,均为十三层八角形楼阁式砖塔,图2所示的正八边形是塔基的平面示意图,则该正八边形内角和的度数为  1080° .
【考点】多边形内角与外角.
【专题】多边形与平行四边形;推理能力.
【答案】1080°.
【分析】根据多边形的内角和公式(n﹣2) 180°,列式进行计算即可得解.
【解答】解:正八边形的内角和为(8﹣2) 180°=1080°.
故答案为:1080°.
【点评】本题考查了多边形的内角和,熟记内角和公式是解题的关键.
13.(3分)若a﹣b=3,c+d=﹣1,则(a+c)﹣(b﹣d)的值是 2 .
【考点】整式的加减—化简求值.
【专题】整式;运算能力.
【答案】2.
【分析】首先去括号,然后再代入a﹣b=3,c+d=﹣1即可.
【解答】解:(a+c)﹣(b﹣d)
=a+c﹣b+d
=a﹣b+c+d
=3﹣1
=2.
故答案为:2.
【点评】此题主要考查了整式的化简求值,关键是掌握去括号法则.
14.(3分)如图,在四边形纸片ABCD中,AD∥BC,AB=10,∠B=60°,将纸片折叠,使点B落在AD边上的点G处,折痕为EF,若∠BFE=45°,则BF的长为  5 .
【考点】翻折变换(折叠问题);平行线的性质.
【专题】线段、角、相交线与平行线;平移、旋转与对称;运算能力;推理能力;应用意识.
【答案】5.
【分析】根据翻折的性质可知,∠BFE=∠GFE=45°,BF=GF,进而得出GF⊥BC,再根据平行线之间的距离相等得出AM=FG,在直角三角形ABM中,由锐角三角函数求出AM即可.
【解答】解:过点A作AM⊥BC于M,
由翻折的性质可知,∠BFE=∠GFE=45°,BF=GF,
∴∠BFG=45°+45°=90°,
即GF⊥BC,
又∵AD∥BC,
∴AM=GF,
在Rt△ABM中,∠ABM=60°,AB=10,
∴AM10=5GF=BF,
故答案为:5.
【点评】本题翻折变换,平行线的性质,理解平行线之间的距离相等以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提.
15.(3分)若不等式a≤x≤a+1中每一个x的值,都不是不等式1<x<3的解,则a的取值范围是  a≥3或a≤0 .
【考点】不等式的解集.
【专题】一元一次不等式(组)及应用;运算能力.
【答案】a≥3或a≤0.
【分析】根据题意得到:a≥3或a+1≤1.解不等式即可.
【解答】解:根据题意得到:a≥3或a+1≤1.
所以a≥3或a≤0.
故答案为:a≥3或a≤0.
【点评】本题主要考查了不等式的解集,解题的关键是根据题意得到关于a的不等式.
三.解答题(共9小题,满分75分)
16.(7分)|3|.
【考点】实数的运算.
【专题】计算题;运算能力.
【答案】0.
【分析】结合立方根的计算,绝对值的化简,算术平方根的定义可以求出结果.
【解答】解:原式=2+(3)﹣5
=2+35
=0.
【点评】本题是一道简单的计算题,主要考查学生对于平方根,立方根和绝对值化简的灵活应用.在做题的时候需要注意的是绝对值化简结果的正负和添括号与去括号.
17.(7分)解不等式(组),并把它们的解集在数轴上表示出来.
(1)5(x﹣2)≤2(x+1)
(2)
【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式.
【专题】一元一次不等式(组)及应用;运算能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)不等式去括号,移项合并,把x系数化为1,即可求出解集;
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出两解集的公共部分即可.
【解答】解:(1)5(x﹣2)≤2(x+1),
去括号得:5x﹣10≤2x+2,
移项合并得:3x≤12,
解得:x≤4;
(2),
由①得:x<5,
由②得:x>﹣2,
则不等式组的解集为﹣2<x<5.
【点评】此题考查了解一元一次不等式组,在数轴上表示不等式的解集,以及解一元一次不等式,熟练掌握各自的解法是解本题的关键.
18.(7分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣4,2),B(﹣2,1),C(﹣1,3),将△ABC向右平移4个单位,再向下平移3个单位得到△A1B1C1.
(1)在图上画出△A1B1C1;
(2)写出点A1,B1,C1的坐标;
(3)求出△A1B1C1的面积.
【考点】坐标与图形变化﹣平移;三角形的面积.
【专题】网格型;平移、旋转与对称;几何直观.
【答案】(1)见解析;(2)点A1的坐标为(0,﹣1),B1的坐标为(2,﹣2),C1的坐标为(3,0);(3)2.5.
【分析】(1)分别将点A、B、C向右平移4个单位,再向下平移3个单位得到其对应点,再首尾顺次连接即可;
(2)根据图形可得答案;
(3)用矩形的面积减去三个小三角形的面积即可.
【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)由图知,点A1的坐标为(0,﹣1),B1的坐标为(2,﹣2),C1的坐标为(3,0).
(3)S=3×21×21×23×1=2.5.
【点评】本题主要考查作图—平移变换,解题的关键是掌握平移变换的定义与性质,并据此得出变换后的对应点.
19.(8分)某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查,从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数(AQI)数据,绘制出三幅不完整的统计图表.请根据图表中提供的信息解答下列问题:
AQI指数 质量等级 天数(天)
0﹣50 优 m
51﹣100 良 44
101﹣150 轻度污染 n
151﹣200 中度污染 4
201﹣300 重度污染 2
300以上 严重污染 2
(1 )统计表中m= 20 ,n= 8 .扇形统计图中,空气质量等级为“良”的天数占 55 %;
(2)补全条形统计图,并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天?
(3)据调查,严重污染的2天发生在春节期间,燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因,据此,请你提出一条合理化建议.
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)由A占25%,即可求得m的值,继而求得n的值,然后求得空气质量等级为“良”的天数占的百分比;
(2)首先由(1)补全统计图,然后利用样本估计总体的知识求解即可求得答案;
(3)提出合理建议,比如不燃放烟花爆竹或少燃放烟花爆竹等.
【解答】解:(1)∵m=80×25%=20,n=80﹣20﹣44﹣4﹣2﹣2=8,
∴空气质量等级为“良”的天数占:100%=55%.
故答案为:20,8,55;
(2)估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共:365×(25%+55%)=292(天),
答:估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共292天;
补全统计图:
(3)建议不要燃放烟花爆竹.
【点评】此题考查了条形图与扇形图的知识.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.
20.(8分)如图,在△ABC中,AD、AF分别为△ABC的中线和高,BE为△ABD的角平分线.
(1)若△ABD的面积是24,AF=8则BC的长是  12 ;
(2)若∠BED=50°,∠BAD=30°,求∠DAF的度数.
【考点】角平分线的性质;含30度角的直角三角形.
【专题】三角形;几何直观;运算能力.
【答案】(1)12;
(2)20°.
【分析】(1)根据△ABD的面积是24得1/2BD×AF=24,进而得BD=6,再根据AD为△ABC的中线可得BC的长;
(1)先根据三角形外角定理得∠ABE=∠BED﹣∠BAD=20°,进而根据角平分线定义得∠ABD=2∠ABE=40°,然后在Rt△ABF中可求出∠BAF=50°,继而可得∠DAF的度数.
【解答】解:(1)∵AF为△ABC的高,△ABD的面积是24,AF=8,
∴BD×AF=24,
即BD×8=24,
∴BD=6,
∵AD为△ABC的中线,
∴BC=2BD=12,
故答案为:12.
(2)∵∠BED是△ABE的外角,
∴∠BED=∠BAD+∠ABE,
∵∠BED=50°,∠BAD=30°,
∴∠ABE=∠BED﹣∠BAD=50°﹣30°=20°,
∵BE为△ABD的角平分线,
∴∠ABD=2∠ABE=40°,
在Rt△ABF中,∠AFB=90°,
∴∠BAF=90°﹣∠ABD=50°,
∴∠DAF=∠BAF﹣∠BAD=50°﹣30°=20°.
【点评】此题主要考查了三角形的中线、高和角平分线,三角形的内角定理和外角定理,理解三角形的中线、高和角平分线,熟练掌握三角形的内角定理和外角定理是解决问题的关键.
21.(9分)某网店从服装加工厂购进A、B两款T恤.两款T恤的进货价和销售价如下表:
类别价格 A款T恤 B款T恤
进货价(元/件) 30 25
销售价(元/件) 45 37
(1)第一次网店用850元购进了A、B两款T恤共30件,求两款T恤分别购进的件数;
(2)第一次购进的T恤售完后,该网店计划再次从服装加工厂购进两款T恤共46件,且进货总价不高于第一次卖两款T恤的销售总额.应如何设计进货方案才能获得最大利润,最大利润是多少?
(3)网店第二次进货时采取了(2)中取得最大利润时的方案.当A款T恤全部售出时,B款T恤还有部分没售出,网店把剩余的B款T恤按原销售价的8折促销,这样第二次购进的两款T恤售完后,获得的利润为587元.求第二次B款T恤按原销售价售出的件数.(注:利润=销售价﹣进货价)
【考点】一元一次不等式组的应用;一元一次方程的应用;二元一次方程组的应用.
【专题】一次方程(组)及应用;一元一次不等式(组)及应用;运算能力;应用意识.
【答案】(1)购进A款T恤20件,则购进B款T恤为10件.
(2)购进A款T恤24件,购进B款T恤22件,可获得最大利润624元.
(3)17.
【分析】(1)设第一次网店购进A款T恤x件,则购进B款T恤为(30﹣x)件,根据题意列出一元一次方程,则可得出答案;
(2)设第二次网店购进A款T恤t件,则购进B款T恤为(46﹣t)件.由题意列出一元一次不等式,解不等式得出t的取值范围,设第二次的利润为y元,根据题意得y=(45﹣30)t+(37﹣25)(46﹣t).由一次函数的性质可求出答案;
(3)设第二次B款T恤按照原卖价销售的有m件,则根据题意列出一元一次方程,则可得出答案.
【解答】解:(1)设第一次网店购进A款T恤x件,则购进B款T恤为(30﹣x)件,根据题意得,
30x+25(30﹣x)=850.
解得x=20.
∴30﹣x=10.
答:第一次网店购进A款T恤20件,则购进B款T恤为10件.
(2)设第二次网店购进A款T恤t件,则购进B款T恤为(46﹣t)件.
根据题意,得30t+25(46﹣t)≤20×45+10×37,
解得t≤24.
∴46﹣t≥22.
设第二次的利润为y元,根据题意得y=(45﹣30)t+(37﹣25)(46﹣t).
即y=3t+552,y随t的增大而增大.
∴当t=24时,利润y有最大值,最大值为y=3×24+552=624(元).
答:网店应购进A款T恤24件,购进B款T恤22件,可获得最大利润624元.
(3)设第二次B款T恤按照原卖价销售的有m件,则根据题意可得,
(45﹣30)×24+(37﹣25)m+(37×0.8﹣25)(46﹣24﹣m)=587.
解得m=17.
答:第二次B款T恤按照原销售价销售的有17件.
【点评】本题考查一元一次方程,一次函数及一元一次不等式的应用,解题的关键是读懂题意,列出方程和不等式.
22.(9分)请阅读下列材料:
问题:在四边形ABCD中,M是BC边的中点,且∠AMD=90°.
(1)如图(1),若AB与CD不平行,试判断AB+CD与AD之间的数量关系;
小雪同学的思路是:延长DM至E使DM=ME,连接AE,BE,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.请你参考小雪的思路,在图1中把图形补充完整,并直接写出上面问题:AB+CD与AD之间的数量关系;
(2)如图(2),若在原条件的基础上,增加AM平分∠BAD,(1)中结论还成立吗?若不成立,写出AB+CD与AD之间的数量关系,并证明.
【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;等腰三角形的性质.
【专题】证明题;等腰三角形与直角三角形;推理能力.
【答案】(1)AB+CD>AD;证明过程见解答.
(2)AD=AB+CD.证明过程见解答.
【分析】(1)延长DM至E,使DM=ME,连接AE,BE,证明△CDM≌△BEM(SAS),得出CD=BE,由三角形三边关系可得出答案;
(2)延长DM,AB交于点F,证明△AMD≌△AMF(ASA),得出DM=MF,AD=AF,证明△BMF≌△CMD(SAS),得出CD=BF,则可得出结论.
【解答】解:(1)AB+CD>AD.
理由:延长DM至E,使DM=ME,连接AE,BE,
∵∠AMD=90°,
∴AM⊥DE,
∴AD=AE,
∵M是BC的中点,
∴CM=BM.
在△CDM和△BEM中,

∴△CDM≌△BEM(SAS),
∴CD=BE,
∵AB+BE>AE,
∴AB+CD>AD;
(2)(1)中的结论不成立,AB+CD=AD.
证明:延长DM,AB交于点F,
∵AM平分∠BAD,
∴∠DAM=∠FAM,
∵∠AMD=90°,
∴∠AMD=∠AMF,
在△AMD和△AMF中,

∴△AMD≌△AMF(ASA),
∴DM=MF,AD=AF,
在△BMF和△CMD中,

∴△BMF≌△CMD(SAS),
∴CD=BF,
∴AF=AD=AB+BF=AB+CD.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,三角形三边关系,等腰三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
23.(10分)我们约定:若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内,则称该一元一次方程为该不等式组的“美美与共方程”,例如:方程x﹣2=2的解为x=4,而不等式组的解集为3<x<5,不难发现x=4在3<x<5的范围内,所以方程x﹣2=2是不等式组的“美美与共方程”.
(1)在一元一次方程①6x﹣7=4x﹣5;②2x+5=3(x﹣1);③中,不等式组的“美美与共方程”是  ①③ ;(填序号)
(2)若关于x的方程是不等式组的“美美与共方程”,求k的取值范围;
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“美美与共方程”,且此时该不等式组有7个整数解,若M=2m+3n﹣p,3m﹣n+p=4,m+n+p=6,求M的取值范围.
【考点】一元一次不等式组的整数解;一元一次方程的解;解三元一次方程组;解一元一次不等式组.
【专题】新定义;一次方程(组)及应用;一元一次不等式(组)及应用;运算能力.
【答案】(1)①③;(2)k;(3)19≤M≤26.
【分析】(1)先分别求出3个一元一次方程的解以及不等式组的解集,再根据“美美与共方程”的定义即可判断;
(2)解方程得x=2k+1,解不等式组得x,根据“美美与共方程”的定义得出2k+1,即可求出k的取值范围;
(3)由“美美与共方程”的定义以及该不等式组有7个整数解得出3≤m≤4;再解方程组,得出,即可求出19≤M≤26.
【解答】解:(1)①6x﹣7=4x﹣5,
解得x=1,
②2x+5=3(x﹣1),
解得x=8,
③,
解得x,
解不等式组,得x≤4,
由题:①③是不等式组的“美美与共方程”.
故答案为:①③;
(2)解关于x的方程,得x=2k+1,
解不等式组,得x,
由题意得:2k+1,
解得:k.
故k的取值范围是k;
(3)解方程,得x=2m﹣1,
解不等式组,得,
由题意得: ①,
且 ②,
解不等式①得:,
解不等式②得:3≤m<5,
∴3≤m≤4;

解得,
∴,
解得:19≤M≤26.
故M的取值范围是19≤M≤26.
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解,解一元一次不等式组,解一元一次方程,解三元一次方程组,以及新定义,理解新定义并掌握解不等式组以及解方程组的一般步骤是解题的关键.
24.(10分)在△ABC中,∠ACB=90°,BE是AC边上的中线,点D在射线BC上.
探究:如图①,点D在BC边上,BD:BC=2:3,AD与BE相交于点P,过点A作AF∥BC,交BE的延长线于点F,求的值.
应用:如图②,点D在BC的延长线上,AD与BE的延长线交于点P,CD:BC=1:2,若CD=2,AC=6,则PE= 1 .
【考点】三角形综合题.
【专题】几何综合题;图形的相似;运算能力;推理能力.
【答案】探究:;
应用:1.
【分析】探究:如图①,证明△AEF∽△CEB,利用相似比得,则BD:AF=2:3,再证明△APF∽△DPB,然后利用相似比即可得到;
应用:过点A作AF∥BC,交BE的延长线于点F,如图②,设DC=k,则BC=2k,先证明△AEF∽△CEB得到,即AF=BC=2k,再证明△APF∽△DPB,从而利用相似比得出;先利用勾股定理计算出BE=5,则BF=2BE=10,再证明△APF∽△DPB,利用相似比得到,然后利用比例的性质计算BP的长,则可求出PE的长.
【解答】解:探究:如图①,
∵BE是AC边上的中线,
∴AE=CE,
∵AF∥BC,
∴△AEF∽△CEB,
∴1,
∵BD:BC=2:3,
∴BD:AF=2:3,
∵AF∥BD,
∴△APF∽△DPB,
∴;
应用:过点A作AF∥BC,交BE的延长线于点F,如图②,
设DC=k,则BC=2k,
∵AF∥BC,
∴△AEF∽△CEB,
∴1,即AF=BC=2k,
∵AF∥BD,
∴△APF∽△DPB,
∴,
∵CEAC=3,BC=2CD=4,
在Rt△BCE中,BE5,
∴BF=2BE=10,
∵AF∥BD,
∴△APF∽△DPB,
∴,
∴BPBF10=6,
∴PE=BP﹣BE=6﹣5=1.
故答案为:1.
【点评】本题是三角形综合题,考查了相似三角形的判定与性质,平行线的性质,勾股定理,三角形中线的性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
考点卡片
1.科学记数法—表示较大的数
(1)科学记数法:把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,n是正整数,这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式:a×10n,其中1≤a<10,n为正整数.】
(2)规律方法总结:
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键,由于10的指数比原来的整数位数少1;按此规律,先数一下原数的整数位数,即可求出10的指数n.
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示,实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示,只是前面多一个负号.
2.科学记数法—原数
(1)科学记数法a×10n表示的数,“还原”成通常表示的数,就是把a的小数点向右移动n位所得到的数.若科学记数法表示较小的数a×10﹣n,还原为原来的数,需要把a的小数点向左移动n位得到原数.
(2)把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程,这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法.
3.算术平方根
(1)算术平方根的概念:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.记为.
(2)非负数a的算术平方根a有双重非负性:①被开方数a是非负数;②算术平方根a本身是非负数.
(3)求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算,在求一个非负数的算术平方根时,可以借助乘方运算来寻找.
4.实数大小比较
实数大小比较
(1)任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数比大小,绝对值大的反而小.
(2)利用数轴也可以比较任意两个实数的大小,即在数轴上表示的两个实数,右边的总比左边的大,在原点左侧,绝对值大的反而小.
5.实数的运算
(1)实数的运算和在有理数范围内一样,值得一提的是,实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算,又可以进行开方运算,其中正实数可以开平方.
(2)在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行.
另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用.
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1.运算法则:乘方和开方运算、幂的运算、指数(特别是负整数指数,0指数)运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.
2.运算顺序:先乘方,再乘除,后加减,有括号的先算括号里面的,在同一级运算中要从左到右依次运算,无论何种运算,都要注意先定符号后运算.
3.运算律的使用:使用运算律可以简化运算,提高运算速度和准确度.
6.整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值,求整式的值的问题,一般要先化简,再把给定字母的值代入计算,得出整式的值,不能把数值直接代入整式中计算.
7.一元一次方程的解
定义:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.
把方程的解代入原方程,等式左右两边相等.
8.一元一次方程的应用
(一)一元一次方程解应用题的类型有:
(1)探索规律型问题;
(2)数字问题;
(3)销售问题(利润=售价﹣进价,利润率100%);(4)工程问题(①工作量=人均效率×人数×时间;②如果一件工作分几个阶段完成,那么各阶段的工作量的和=工作总量);
(5)行程问题(路程=速度×时间);
(6)等值变换问题;
(7)和,差,倍,分问题;
(8)分配问题;
(9)比赛积分问题;
(10)水流航行问题(顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度﹣水流速度).
(二)利用方程解决实际问题的基本思路如下:首先审题找出题中的未知量和所有的已知量,直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量,找出之间的相等关系列方程、求解、作答,即设、列、解、答.
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1.审:仔细审题,确定已知量和未知量,找出它们之间的等量关系.
2.设:设未知数(x),根据实际情况,可设直接未知数(问什么设什么),也可设间接未知数.
3.列:根据等量关系列出方程.
4.解:解方程,求得未知数的值.
5.答:检验未知数的值是否正确,是否符合题意,完整地写出答句.
9.由实际问题抽象出二元一次方程组
(1)由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的相等关系.
(2)一般来说,有几个未知量就必须列出几个方程,所列方程必须满足:①方程两边表示的是同类量;②同类量的单位要统一;③方程两边的数值要相符.
(3)找等量关系是列方程组的关键和难点,有如下规律和方法:
①确定应用题的类型,按其一般规律方法找等量关系.②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面,有“;”时一般“;”前后各一层,分别找出两个等量关系.③借助表格提供信息的,按横向或纵向去分别找等量关系.④图形问题,分析图形的长、宽,从中找等量关系.
10.二元一次方程组的应用
(一)列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤:
(1)审题:找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.
(2)设元:找出题中的两个关键的未知量,并用字母表示出来.
(3)列方程组:挖掘题目中的关系,找出两个等量关系,列出方程组.
(4)求解.
(5)检验作答:检验所求解是否符合实际意义,并作答.
(二)设元的方法:直接设元与间接设元.
当问题较复杂时,有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数,即为间接设元.无论怎样设元,设几个未知数,就要列几个方程.
11.解三元一次方程组
(1)三元一次方程组的定义:方程组含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.
(2)解三元一次方程组的一般步骤:
①首先利用代入法或加减法,把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组,消去两组中的同一个未知数,得到关于另外两个未知数的二元一次方程组.②然后解这个二元一次方程组,求出这两个未知数的值.③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程,得到一个关于第三个未知数的一元一次方程.④解这个一元一次方程,求出第三个未知数的值.⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可.
12.不等式的解集
(1)不等式的解的定义:
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
(2)不等式的解集:
能使不等式成立的未知数的取值范围,叫做不等式的解的集合,简称解集.
(3)解不等式的定义:
求不等式的解集的过程叫做解不等式.
(4)不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值,有无数个,用符号表示;不等式的解集是一个范围,用不等号表示.不等式的每一个解都在它的解集的范围内.
13.在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时,要注意“两定”:
一是定界点,一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意,点是实心还是空心,若边界点含于解集为实心点,不含于解集即为空心点;
二是定方向,定方向的原则是:“小于向左,大于向右”.
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x>a,其验证方法可以先将a代入原不等式,则两边相等,其次在x>a的范围内取一个数代入原不等式,则原不等式成立.
14.解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同,都有如下步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1.
以上步骤中,只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3,即可能变不等号方向,其他都不会改变不等号方向.
注意:符号“≥”和“≤”分别比“>”和“<”各多了一层相等的含义,它们是不等号与等号合写形式.
15.解一元一次不等式组
(1)一元一次不等式组的解集:几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式组的解集.
(2)解不等式组:求不等式组的解集的过程叫解不等式组.
(3)一元一次不等式组的解法:解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
方法与步骤:①求不等式组中每个不等式的解集;②利用数轴求公共部分.
解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.
16.一元一次不等式组的整数解
(1)利用数轴确定不等式组的解(整数解).
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集,然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件,再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.
(2)已知解集(整数解)求字母的取值.
一般思路为:先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等,然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式,最后解代数式即可得到答案.
17.一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题,考虑列一元一次不等式组,并求解.
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题,其一般步骤:
(1)分析题意,找出不等关系;
(2)设未知数,列出不等式组;
(3)解不等式组;
(4)从不等式组解集中找出符合题意的答案;
(5)作答.
18.点的坐标
(1)我们把有顺序的两个数a和b组成的数对,叫做有序数对,记作(a,b).
(2)平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法:在同一平面内画;两条有公共原点且垂直的数轴.
②各部分名称:水平数轴叫x轴(横轴),竖直数轴叫y轴(纵轴),x轴一般取向右为正方向,y轴一般取象上为正方向,两轴交点叫坐标系的原点.它既属于x轴,又属于y轴.
(3)坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面,两轴把此平面分成四部分,分别叫第一象限,第二象限,第三象限,第四象限.坐标轴上的点不属于任何一个象限.
(4)坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系.
19.平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等.
定理2:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补.
定理3:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:两直线平行,内错角相等.
2、两条平行线之间的距离处处相等.
20.三角形的面积
(1)三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半,即S△底×高.
(2)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
21.三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后,三角形的形状和大小就能唯一确定下来,故三角形具有稳定性.这一特性主要应用在实际生活中.
22.三角形三边关系
(1)三角形三边关系定理:三角形两边之和大于第三边.
(2)在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式,只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.
(3)三角形的两边差小于第三边.
(4)在涉及三角形的边长或周长的计算时,注意最后要用三边关系去检验,这是一个隐藏的定时炸弹,容易忽略.
23.三角形内角和定理
(1)三角形内角的概念:三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角,且每个内角均大于0°且小于180°.
(2)三角形内角和定理:三角形内角和是180°.
(3)三角形内角和定理的证明
证明方法,不唯一,但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起,组合成一个平角.在转化中借助平行线.
(4)三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系,用代数方法求三个角;③在直角三角形中,已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.
24.全等三角形的判定
(1)判定定理1:SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等.
(2)判定定理2:SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.
(3)判定定理3:ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.
(4)判定定理4:AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
(5)判定定理5:HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.
方法指引:全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.
25.全等三角形的判定与性质
(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.
(2)在应用全等三角形的判定时,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造三角形.
26.角平分线的性质
角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
注意:①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长;②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,有时不必证明全等;③使用该结论的前提条件是图中有角平分线,有垂直角平分线的性质语言:如图,∵C在∠AOB的平分线上,CD⊥OA,CE⊥OB∴CD=CE
27.等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
(2)等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等.【简称:等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】
(3)在①等腰;②底边上的高;③底边上的中线;④顶角平分线.以上四个元素中,从中任意取出两个元素当成条件,就可以得到另外两个元素为结论.
28.含30度角的直角三角形
(1)含30度角的直角三角形的性质:
在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.
(2)此结论是由等边三角形的性质推出,体现了直角三角形的性质,它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数.
(3)注意:①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角(30°)的特殊定理,非直角三角形或一般直角三角形不能应用;
②应用时,要注意找准30°的角所对的直角边,点明斜边.
29.三角形综合题
涉及到的知识点比较多,如全等三角形的证明,三角形的相似、解直角三角形,锐角三角函数以及与四边形的综合考查
30.多边形内角与外角
(1)多边形内角和定理:(n﹣2) 180° (n≥3且n为整数)
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出(n﹣3)条对角线,将n边形分割为(n﹣2)个三角形,这(n﹣2)个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和.除此方法之和还有其他几种方法,但这些方法的基本思想是一样的.即将多边形转化为三角形,这也是研究多边形问题常用的方法.
(2)多边形的外角和等于360°.
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角,则n边形取n个外角,无论边数是几,其外角和永远为360°.
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论:外角和=180°n﹣(n﹣2) 180°=360°.
31.翻折变换(折叠问题)
1、翻折变换(折叠问题)实质上就是轴对称变换.
2、折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
3、在解决实际问题时,对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠,这样便于找到图形间的关系.
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时,我们常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时,应认真审题,设出正确的未知数.
32.坐标与图形变化-平移
(1)平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位,坐标P(x,y) P(x+a,y)
①向左平移a个单位,坐标P(x,y) P(x﹣a,y)
①向上平移b个单位,坐标P(x,y) P(x,y+b)
①向下平移b个单位,坐标P(x,y) P(x,y﹣b)
(2)在平面直角坐标系内,把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.(即:横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移减.)
33.全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查(即普查)和抽样调查.
2、全面调查与抽样调查的优缺点:①全面调查收集的到数据全面、准确,但一般花费多、耗时长,而且某些调查不宜用全面调查.②抽样调查具有花费少、省时的特点,但抽取的样本是否具有代表性,直接关系到对总体估计的准确程度.
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定.一般来讲:通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息,但花费的时间较长,耗费大,且一些调查项目并不适合普查.其一,调查者能力有限,不能进行普查.如:个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查.其二,调查过程带有破坏性.如:调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查,而不能将整批灯泡全部用于实验.其三,有些被调查的对象无法进行普查.如:某一天,全国人均讲话的次数,便无法进行普查.
34.用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想.
1、用样本的频率分布估计总体分布:
从一个总体得到一个包含大量数据的样本,我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息.这时,我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布,从而去估计总体的分布情况.
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征(主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ).
一般来说,用样本去估计总体时,样本越具有代表性、容量越大,这时对总体的估计也就越精确.
35.扇形统计图
(1)扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数.通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.用整个圆的面积表示总数(单位1),用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数.
(2)扇形图的特点:从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系.
(3)制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数,再算出各部分圆心角的度数,公式是各部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°.  ②按比例取适当半径画一个圆;按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数;
④在各扇形内写上相应的名称及百分数,并用不同的标记把各扇形区分开来.
36.条形统计图
(1)定义:条形统计图是用线段长度表示数据,根据数量的多少画成长短不同的矩形直条,然后按顺序把这些直条排列起来.
(2)特点:从条形图可以很容易看出数据的大小,便于比较.
(3)制作条形图的一般步骤:
①根据图纸的大小,画出两条互相垂直的射线.
②在水平射线上,适当分配条形的位置,确定直条的宽度和间隔.
③在与水平射线垂直的射线上,根据数据大小的具体情况,确定单位长度表示多少.
④按照数据大小,画出长短不同的直条,并注明数量.
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