人教版高中数学选择性必修第一册-空间向量的数量积运算-课时作业（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册-空间向量的数量积运算-课时作业（含解析） |  | |
| 格式 | DOC | ||
| 文件大小 | 372.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-07 20:30:11 | ||
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文档简介
课时作业2 空间向量的数量积运算【原卷版】
时间：45分钟
一、选择题
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，棱长为1，则·等于( )
A．0 B．1
C. D．－1
2．已知m，n是异面直线，且m⊥n，e1，e2分别为取自直线m，n上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
3．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( )
A. B．97
C. D．61
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③与的夹角为60°.
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
5．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是( )
A．垂直 B．共线
C．不垂直 D．以上都可能
6.如图所示，在三棱锥A BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则·等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
7．已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则〈a，b〉等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
8．(多选题)在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列结论正确的是( )
A．四边形ABC1D1的面积为||||
B.与的夹角为60°
C．(＋＋)2＝32
D.·(－)＝0
二、填空题
9．已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3，若·＋·＝7，则与的夹角的余弦值等于
11．已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为
三、解答题
12.如图所示，三棱柱ABC A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
13．在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量与所成角的余弦值．
14．(多选题)下列命题中不正确的是( )
A．|a|－|b|<|a＋b|是向量a，b不共线的充要条件
B．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝0
C．在棱长为1的正四面体ABCD中，·＝
D．设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面
15．等边三角形ABC中，P在线段AB上，且＝λ，若·＝·，则实数λ的值为
16.如图，已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
(1)求证：CC1⊥BD.
(2)试求当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD
课时作业2 空间向量的数量积运算【解析版】
时间：45分钟
一、选择题
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，棱长为1，则·等于( B )
A．0 B．1
C. D．－1
解析：·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋2＋·＝0＋0＋1＋0＝1.故选B.
2．已知m，n是异面直线，且m⊥n，e1，e2分别为取自直线m，n上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( B )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
解析：∵m⊥n，∴e1⊥e2，即e1·e2＝0，由a⊥b，得a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.故选B.
3．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( C )
A. B．97
C. D．61
解析：|2a－3b|2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×22－12×2×3×cos60°＋9×32＝61，∴|2a－3b|＝.故选C.
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③与的夹角为60°.
其中真命题的个数为( B )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：①②正确；∵与的夹角为120°，∴③不正确．故选B.
5．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是( A )
A．垂直 B．共线
C．不垂直 D．以上都可能
解析：由题意知|a|＝|b|，∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．故选A.
6.如图所示，在三棱锥A BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则·等于( A )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：∵·＝(＋)·(－)＝
(－＋－)·(－)＝
(－2＋)·(－)＝
·－2－·＋·＋2－·，
又易知·＝0，·＝0，·＝0，||＝||，
∴·＝0.故选A.
7．已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则〈a，b〉等于( B )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：根据a·(2b－a)＝0，即2a·b＝|a|2＝4，解得a·b＝2，又cos〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝45°.故选B.
8．(多选题)在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列结论正确的是( ACD )
A．四边形ABC1D1的面积为||||
B.与的夹角为60°
C．(＋＋)2＝32
D.·(－)＝0
解析：如图．由AB⊥平面BB1C1C得AB⊥BC1，所以四边形ABC1D1的面积为||·||，故A正确；
∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又∵A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与的夹角为120°，故B错误；
由向量加法的运算法则可以得＋＋＝，∵2＝32，∴(＋＋)2＝32，故C正确；由向量运算可得－＝，∵在正方体ABCD A1B1C1D中，D1B1⊥平面AA1C1C，∴D1B1⊥A1C，∴·＝0，故D正确．故选ACD.
二、填空题
9．已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝.
解析：cos〈a，b〉＝＝－，
∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
10.如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3，若·＋·＝7，则与的夹角的余弦值等于.
解析：由题意可得2＝9＝(－)2＝2＋2－2·＝9＋4－2·，∴·＝2.由·＋·＝7，可得·(＋)＋·(＋)＝2＋·＋·＋·＝4＋·(－)＋2＋·＝6＋·(－)＝6＋·＝7.∴·＝2，即4×3×cos〈，〉＝2，
∴cos〈，〉＝.
11．已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为－.
解析：由题意知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×5×＝－15，由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
即|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18－15(λ＋1)＋25λ＝0.解得λ＝－.
三、解答题
12.如图所示，三棱柱ABC A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
解：(1)＝＋＋＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c.
(2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，∴|a＋b＋c|＝，∴||＝|a＋b＋c|＝，即MN＝.
13．在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量与所成角的余弦值．
解：∵＝－，
∴·＝·－·＝||·||·cos〈，〉－||·||·cos〈，〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16，
∴cos〈，〉＝＝＝.
14．(多选题)下列命题中不正确的是( ACD )
A．|a|－|b|<|a＋b|是向量a，b不共线的充要条件
B．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝0
C．在棱长为1的正四面体ABCD中，·＝
D．设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面
解析：由|a|－|b|<|a＋b|，知向量a，b可能共线，比如共线向量a，b的模分别是2,3，故A错误；在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(＋)·－·－·＝·(－)＋·(－)＝·＋·＝0，故B正确；·＝||||cos〈，〉＝1×1×cos120°＝－，故C错误；由＋＋1＝2≠1可知P，A，B，C四点不共面，故D错误．故选ACD.
15．等边三角形ABC中，P在线段AB上，且＝λ，若·＝·，则实数λ的值为1－.
解析：如图，＝－＋＝－＋λ，
故·＝(λ－)·＝
λ||2－||||cos A
·＝(－λ)·(1－λ)＝
λ(λ－1)||2，
设||＝a(a＞0)，则a2λ－a2＝λ(λ－1)a2，
解得λ＝1－.
16.如图，已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
(1)求证：CC1⊥BD.
(2)试求当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD
解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c.
由题意得|a|＝|b|，＝－＝a－b.
，，两两夹角的大小相等，设为θ，
于是·＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝
|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ＝0，∴CC1⊥BD.
(2)要使A1C⊥平面C1BD，只需A1C⊥BD，A1C⊥DC1.
由·＝(＋)·(－)＝(a＋b＋c)·(a－c)＝a2－a·c＋a·b－b·c＋c·a－c2＝
|a|2－|c|2＋|a|·|b|cosθ－|b|·|c|cosθ＝
(|a|－|c|)(|a|＋|c|＋|b|cosθ)＝0，
得当|c|＝|a|时，A1C⊥DC1.
而由(1)知CC1⊥BD，又BD⊥AC，CC1∩AC＝C，
∴BD⊥平面ACC1A1，∴A1C⊥BD.
综上可得，当＝1时，A1C⊥平面C1BD.
时间：45分钟
一、选择题
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，棱长为1，则·等于( )
A．0 B．1
C. D．－1
2．已知m，n是异面直线，且m⊥n，e1，e2分别为取自直线m，n上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
3．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( )
A. B．97
C. D．61
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③与的夹角为60°.
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
5．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是( )
A．垂直 B．共线
C．不垂直 D．以上都可能
6.如图所示，在三棱锥A BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则·等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
7．已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则〈a，b〉等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
8．(多选题)在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列结论正确的是( )
A．四边形ABC1D1的面积为||||
B.与的夹角为60°
C．(＋＋)2＝32
D.·(－)＝0
二、填空题
9．已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3，若·＋·＝7，则与的夹角的余弦值等于
11．已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为
三、解答题
12.如图所示，三棱柱ABC A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
13．在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量与所成角的余弦值．
14．(多选题)下列命题中不正确的是( )
A．|a|－|b|<|a＋b|是向量a，b不共线的充要条件
B．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝0
C．在棱长为1的正四面体ABCD中，·＝
D．设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面
15．等边三角形ABC中，P在线段AB上，且＝λ，若·＝·，则实数λ的值为
16.如图，已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
(1)求证：CC1⊥BD.
(2)试求当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD
课时作业2 空间向量的数量积运算【解析版】
时间：45分钟
一、选择题
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，棱长为1，则·等于( B )
A．0 B．1
C. D．－1
解析：·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋2＋·＝0＋0＋1＋0＝1.故选B.
2．已知m，n是异面直线，且m⊥n，e1，e2分别为取自直线m，n上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( B )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
解析：∵m⊥n，∴e1⊥e2，即e1·e2＝0，由a⊥b，得a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.故选B.
3．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( C )
A. B．97
C. D．61
解析：|2a－3b|2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×22－12×2×3×cos60°＋9×32＝61，∴|2a－3b|＝.故选C.
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③与的夹角为60°.
其中真命题的个数为( B )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：①②正确；∵与的夹角为120°，∴③不正确．故选B.
5．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是( A )
A．垂直 B．共线
C．不垂直 D．以上都可能
解析：由题意知|a|＝|b|，∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．故选A.
6.如图所示，在三棱锥A BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则·等于( A )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：∵·＝(＋)·(－)＝
(－＋－)·(－)＝
(－2＋)·(－)＝
·－2－·＋·＋2－·，
又易知·＝0，·＝0，·＝0，||＝||，
∴·＝0.故选A.
7．已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则〈a，b〉等于( B )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：根据a·(2b－a)＝0，即2a·b＝|a|2＝4，解得a·b＝2，又cos〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝45°.故选B.
8．(多选题)在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列结论正确的是( ACD )
A．四边形ABC1D1的面积为||||
B.与的夹角为60°
C．(＋＋)2＝32
D.·(－)＝0
解析：如图．由AB⊥平面BB1C1C得AB⊥BC1，所以四边形ABC1D1的面积为||·||，故A正确；
∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又∵A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与的夹角为120°，故B错误；
由向量加法的运算法则可以得＋＋＝，∵2＝32，∴(＋＋)2＝32，故C正确；由向量运算可得－＝，∵在正方体ABCD A1B1C1D中，D1B1⊥平面AA1C1C，∴D1B1⊥A1C，∴·＝0，故D正确．故选ACD.
二、填空题
9．已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝.
解析：cos〈a，b〉＝＝－，
∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
10.如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3，若·＋·＝7，则与的夹角的余弦值等于.
解析：由题意可得2＝9＝(－)2＝2＋2－2·＝9＋4－2·，∴·＝2.由·＋·＝7，可得·(＋)＋·(＋)＝2＋·＋·＋·＝4＋·(－)＋2＋·＝6＋·(－)＝6＋·＝7.∴·＝2，即4×3×cos〈，〉＝2，
∴cos〈，〉＝.
11．已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为－.
解析：由题意知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×5×＝－15，由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
即|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18－15(λ＋1)＋25λ＝0.解得λ＝－.
三、解答题
12.如图所示，三棱柱ABC A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
解：(1)＝＋＋＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c.
(2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，∴|a＋b＋c|＝，∴||＝|a＋b＋c|＝，即MN＝.
13．在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量与所成角的余弦值．
解：∵＝－，
∴·＝·－·＝||·||·cos〈，〉－||·||·cos〈，〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16，
∴cos〈，〉＝＝＝.
14．(多选题)下列命题中不正确的是( ACD )
A．|a|－|b|<|a＋b|是向量a，b不共线的充要条件
B．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝0
C．在棱长为1的正四面体ABCD中，·＝
D．设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面
解析：由|a|－|b|<|a＋b|，知向量a，b可能共线，比如共线向量a，b的模分别是2,3，故A错误；在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(＋)·－·－·＝·(－)＋·(－)＝·＋·＝0，故B正确；·＝||||cos〈，〉＝1×1×cos120°＝－，故C错误；由＋＋1＝2≠1可知P，A，B，C四点不共面，故D错误．故选ACD.
15．等边三角形ABC中，P在线段AB上，且＝λ，若·＝·，则实数λ的值为1－.
解析：如图，＝－＋＝－＋λ，
故·＝(λ－)·＝
λ||2－||||cos A
·＝(－λ)·(1－λ)＝
λ(λ－1)||2，
设||＝a(a＞0)，则a2λ－a2＝λ(λ－1)a2，
解得λ＝1－.
16.如图，已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
(1)求证：CC1⊥BD.
(2)试求当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD
解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c.
由题意得|a|＝|b|，＝－＝a－b.
，，两两夹角的大小相等，设为θ，
于是·＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝
|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ＝0，∴CC1⊥BD.
(2)要使A1C⊥平面C1BD，只需A1C⊥BD，A1C⊥DC1.
由·＝(＋)·(－)＝(a＋b＋c)·(a－c)＝a2－a·c＋a·b－b·c＋c·a－c2＝
|a|2－|c|2＋|a|·|b|cosθ－|b|·|c|cosθ＝
(|a|－|c|)(|a|＋|c|＋|b|cosθ)＝0，
得当|c|＝|a|时，A1C⊥DC1.
而由(1)知CC1⊥BD，又BD⊥AC，CC1∩AC＝C，
∴BD⊥平面ACC1A1，∴A1C⊥BD.
综上可得，当＝1时，A1C⊥平面C1BD.