人教版高中数学选择性必修第一册-空间向量及其线性运算-课时作业【含解析】

第一章　空间向量与立体几何
课时作业1　空间向量及其线性运算【原卷版】
时间：45分钟
一、选择题
1．在长方体ABCD A′B′C′D′中，＋＋＝(　)
A. B.
C. D.
2．已知三棱锥A BCD中，E是BC的中点，则－(＋)＝(　　)
A. B.
C. D.
3.如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，M是D1D的中点，点N是AC1上的点，且＝，用a，b，c表示向量的结果是(　　)
A.a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a－b－c D.a－b－c
4．在四面体ABCD中，P在平面ABC内，Q在平面BCD内，且满足＝x＋y，＝s＋t＋μ，若＝，则线段AQ与DP的位置关系是(　)
A．AQ与DP所在直线是异面直线
B．AQ与DP所在的直线平行
C．线段AQ与DP必相交
D．线段AQ与DP延长后相交
5．如图，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A．－a－b－c
B.a＋b－c
C.a－b－c
D．－a＋b－c
6．在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋＋λ，若，，共面，则λ＝(　　)
A. B.
C. D.
.
7．如图，已知正方体ABCD A′B′C′D′中，E是CC′的中点，a＝，b＝，c＝，＝xa＋yb＋zc，则(　　)
A．x＝1，y＝2，z＝3
B．x＝，y＝1，z＝1
C．x＝1，y＝2，z＝2
D．x＝，y＝1，z＝
8．(多选题)在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是(　　)
A.－＋ B.＋＋
C.－＋ D.＋＋
二、填空题
9．在空间四边形ABCD中，若△BCD是正三角形，且E为其中心，连接DE，则＋－－的化简结果为
10.在正三棱柱ABC A1B1C1中，M为△A1B1C1的重心，若＝a，＝b，＝c，则＝ ，＝.
11．已知点P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有＝－2＋＋λ，则λ＝2.
三、解答题
12.如图，已知平行六面体ABCD A′B′C′D′中，点E在AC′上，且AE?EC′＝1?2，点F，G分别是B′D′和BD′的中点，试用，，表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3).
13.如图，已知ABCD A1B1C1D1是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．
14．如图，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，则下列选项中与向量相等的是(　　)
A．－a－b－c
B.a＋b＋c
C.a－b－c
D.a＋b－c
15．(多选题)若向量a，b，c不共面，则下列选项中三个向量共面的是(　　)
A．b－c，b，b＋c B．a＋b，c，a＋b＋c
C．a＋b，a－b，c D．a－b，a＋b，a
16.如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为△ABC的重心，
试证：(1)＋＋＝0；
(2)＝(＋＋)．
第一章　空间向量与立体几何
课时作业1　空间向量及其线性运算【解析版】
时间：45分钟
一、选择题
1．在长方体ABCD A′B′C′D′中，＋＋＝(　B　)
A. B.
C. D.
解析：＋＋＝＋＋＝.故选B.
2．已知三棱锥A BCD中，E是BC的中点，则－(＋)＝(　D　)
A. B.
C. D.
解析：如图，取CD的中点F，连接AF，EF，∵三棱锥A BCD中，E是BC的中点，∴－(＋)＝－＝＝.故选D.
3.如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，M是D1D的中点，点N是AC1上的点，且＝，用a，b，c表示向量的结果是(　D　)
A.a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a－b－c D.a－b－c
解析：∵M是D1D的中点，＝，∴＝＋＋＝－－＋＝－－＋(＋＋)＝－－＝a－b－c.故选D.
4．在四面体ABCD中，P在平面ABC内，Q在平面BCD内，且满足＝x＋y，＝s＋t＋μ，若＝，则线段AQ与DP的位置关系是(　C　)
A．AQ与DP所在直线是异面直线
B．AQ与DP所在的直线平行
C．线段AQ与DP必相交
D．线段AQ与DP延长后相交
解析：∵＝，∴＝，不妨设＝＝λ，则s＝λx，t＝λy.∴＝s＋t＋μ＝λx＋λy＋μ＝λ(x＋y)＋μ＝λ＋μ，即＝λ＋μ.∴A，P，D，Q四点共面．又AQ与DP不平行．∴线段AQ与线段DP相交．故选C.
5．如图，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设＝a，＝b，＝c，则＝(　D　)
A．－a－b－c
B.a＋b－c
C.a－b－c
D．－a＋b－c
解析：＝＋，＝，＝＋，∴＝－＋(－＋)＝－c－a＋b.故选D.
6．在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋＋λ，若，，共面，则λ＝(　D　)
A. B.
C. D.
解析：由，，共面知，＋＋λ＝1，解得λ＝.故选D.
7．如图，已知正方体ABCD A′B′C′D′中，E是CC′的中点，a＝，b＝，c＝，＝xa＋yb＋zc，则(　A　)
A．x＝1，y＝2，z＝3
B．x＝，y＝1，z＝1
C．x＝1，y＝2，z＝2
D．x＝，y＝1，z＝
解析：＝＋＋＝＋＋
∵a＝，b＝，c＝，
∴＝a＋2b＋3c，∴x＝1，y＝2，z＝3.
8．(多选题)在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是(　BCD　)
A.－＋ B.＋＋
C.－＋ D.＋＋
解析：如图，－＋＝－＋＝＋＝，故选项A错误；
＋＋＝＋＝，故选项B正确；
－＋＝＋－＝－＝，故选C正确；
＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝，故选项D正确．
二、填空题
9．在空间四边形ABCD中，若△BCD是正三角形，且E为其中心，连接DE，则＋－－的化简结果为0.
解析：延长DE，交BC于点F，则F为BC的中点，∴＝，＝，
∴＋－－＝＋＋＋＝0.
10.在正三棱柱ABC A1B1C1中，M为△A1B1C1的重心，若＝a，＝b，＝c，则＝b＋c，＝c＋－.
解析：∵在正三棱柱ABC A1B1C1中，M为△A1B1C1的重心，＝a，＝b，＝c，∴＝＋＝b＋c，＝＋＝c＋＝c＋×(＋)＝c＋(－b＋－)＝
c＋(－b＋a－b)＝c＋－.
11．已知点P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有＝－2＋＋λ，则λ＝2.
解析：＝－＝－3＋＋λ，＝－＝
－2＋λ，＝－＝－2＋＋(λ－1)，∵P，A，B，C四点共面，
∴存在m，n∈R使得＝m＋n，
∴解得
三、解答题
12.如图，已知平行六面体ABCD A′B′C′D′中，点E在AC′上，且AE?EC′＝1?2，点F，G分别是B′D′和BD′的中点，试用，，表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3).
解：(1)＝＋＋＝－＋＋，
∵AE?EC′＝1?2，
∴＝＝－＋＋.
(2)∵F是B′D′的中点，∴＝＋＝ ＋(＋＋)＝＋＋.
(3)∵点F，G分别是B′D′和BD′的中点，∴＝.
13.如图，已知ABCD A1B1C1D1是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．
解：∵＝＋＝＋＝
(－)＋(－)＝
－＋(＋)＝＋＋，
又＝α＋β＋γ，∴α＝，β＝，γ＝.
14．如图，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，则下列选项中与向量相等的是(　B　)
A．－a－b－c
B.a＋b＋c
C.a－b－c
D.a＋b－c
解析：∵平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，∴a＋b＋c＝(＋)＋＝＋＝.故选B.
15．(多选题)若向量a，b，c不共面，则下列选项中三个向量共面的是(　ABD　)
A．b－c，b，b＋c B．a＋b，c，a＋b＋c
C．a＋b，a－b，c D．a－b，a＋b，a
解析：向量a，b，c不共面，则A.b－c与b＋c共面，进而得出三个向量共面．B.a＋b＋c＝(a＋b)＋c，因此三个向量共面．C.三个向量不共面．D.不含有c，三个向量一定共面．故选ABD.
16.如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为△ABC的重心，
试证：(1)＋＋＝0；
(2)＝(＋＋)．
证明：(1)∵O为△ABC的重心，
∴＝－(＋)，①
＝－(＋)，②
＝－(＋)，③
∴①＋②＋③得：＋＋＝－(＋)－(＋)－(＋)＝0.
(2)∵＝＋，④
＝＋，⑤
＝＋，⑥
且由(1)得：＋＋＝0.
∴④＋⑤＋⑥得：3＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋，即＝(＋＋)．