2024—2025学年上学期福建初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期福建初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 462.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-07 09:07:35 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期福建初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）当a满足条件（ ）时，式子在实数范围内有意义（ ）
A．a＜﹣3 B．a≤﹣3 C．a＞﹣3 D．a≥﹣3
2．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．a＝1，b，c＝2
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．a：b：c：：
3．（4分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝（2x﹣1）2 B．y＝（x+1）2﹣x2
C．y＝ax2 D．y＝2x+3
4．（4分）在学校开展的劳动实践活动中，生物兴趣小组7个同学采摘到西红柿的质量（单位：kg）分别是：5，9，5，6，4，5，7，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．4，6 B．5，6 C．5，5 D．6，6
5．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形ABCD是矩形（ ）
A．AD⊥AB B．AB＝BC C．AB∥CD D．∠A＝∠C
6．（4分）下列各式中，正确的是（ ）
A．2 B．2 C．±2 D．±2
7．（4分）在△ABC中，若底边长是a，底边上的高为h，则△ABC的面积Sah，当高h为定值时，下列说法正确的是（ ）
A．S，a是变量，，h是常量
B．S，a，h是变量，是常量
C．a，h是变量，S是常量
D．S是变量，，a，h是常量
8．（4分）如图，在 ABCD中，AE⊥CD，若∠B＝70°，则∠DAE的度数是（ ）
A．70° B．30° C．20° D．15°
9．（4分）某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（ ）
A．50（1+x）2＝175
B．50+50（1+x）2＝175
C．50（1+x）+50（1+x）2＝175
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175
10．（4分）对于一次函数y＝﹣x﹣2的相关性质，下列描述错误的是（ ）
A．函数图象经过第二、三、四象限
B．函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）
C．y随x的增大而减小
D．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为2
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）观察：1，11，111，……可猜想 ．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为 ．
13．（4分）如图是甲、乙两人5次足球点球测试（每次点球10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作、，则 （填“＞”“＝”或“＜”）．
14．（4分）若一元二次方程x2﹣kx﹣1＝0的两根互为相反数，则k的值为 ．
15．（4分）如果一个直角三角形的两条边的长分别为5、4，那么第三边的长等于 ．
16．（4分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，C（0，3），动点P在射线AB上，且∠QPB＝∠CAB，当AP＝PQ时，则OQ+BQ的最小值为 ．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算下列各小题：
（1）；
（2）（2．
18．（4分）解方程：2（x2﹣1）＝3x+3．
19．（10分）如图所示，平行四边形ABCD对角线交于点O，过点O作EF⊥AC分别交CD，AB于F，E两点，求证四边形AECF为菱形．
20．（10分）已知关于x的方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为1，求m的值．
21．（11分）如图所示，在数轴上画一个边长为1的正方形OABC，然后以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧交数轴于点D．
（1）点D表示的数是 ，这个数是 （填“有理数”或“无理数”）；
（2）通过画图说明了无理数 （填“能”或“不能”）用数轴上的点表示；
（3）请你画出数轴，并在数轴上画出表示的点M，说出你的画法．
22．（10分）某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为26元/千克，那么每天可获利2090元．经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天要获得利润1250元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定于多少元？
23．（11分）实施乡村振兴计划以来，农村经济发展进入了快车道．为了解某村今年一季度经济发展状况，从该村360户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元）
0.69 0.73 0.74 0.80 0.81 0.98 0.93 0.81 0.89 0.69
0.74 0.99 0.98 0.78 0.80 0.89 0.83 0.89 0.94 0.89
整理数据：
分组 0.65≤x＜0.70 0.70≤x＜0.75 0.75≤x＜0.80 0.80≤x＜0.85 0.85≤x＜0.90 0.90≤x＜0.95 0.95≤x＜1.00
频数 2 a 1 5 b 2 3
（1）表格中：a＝ ，b＝ ；
（2）试估计今年一季度该村家庭人均收入不低于0.85万元的户数；
（3）该村小明家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象为直线l1，且经过点A（0，1）和点，一次函数y2＝mx﹣m﹣2（m≠0）的图象为直线l2．
（1）求直线l1的解析式；
（2）过点O作OH⊥l2，垂足为H，求线段OH的最大值；
（3）对于一次函数y1，y2，当x＞0时，都有y1＞y2，请直接写出m的取值范围．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点A（﹣6，8），点C在x轴正半轴上，对角线AC交y轴于点M，边AB交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动．
（1）求点B的坐标；
（2）设动点P的运动时间为t秒，连接PM、BM，△PBM的面积为S，请用含t的式子表示S；
（3）在（2）的条件下，当点P运动到线段BC上时，连接MB、MP，若∠ABM＝2∠PMC，过P作PD⊥AC于D，连接BD，过点P作PF∥BD，且PF＝BD，设MB的延长线交PF于点E，求EF的长．
2024—2025学年上学期福建初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）当a满足条件（ ）时，式子在实数范围内有意义（ ）
A．a＜﹣3 B．a≤﹣3 C．a＞﹣3 D．a≥﹣3
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】常规题型；二次根式．
【答案】D
【分析】根据二次根式的意义即可求得答案．
【解答】解：根据题意知，要使在实数范围内有意义，
则a+3≥0，
解得：a≥﹣3，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的意义，掌握二次根式中被开方数为非负数是解题的关键．
2．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．a＝1，b，c＝2
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．a：b：c：：
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵a2+b2＝12+（）2＝4，c2＝22＝4，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°90°，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a：b：c：：，
∴设ak，则bk，ck，
∵a2+b2＝（k）2+（k）2k2，c2＝（k）2k2，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
3．（4分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝（2x﹣1）2 B．y＝（x+1）2﹣x2
C．y＝ax2 D．y＝2x+3
【考点】二次函数的定义．
【专题】二次函数图象及其性质；符号意识；运算能力．
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义选择正确的选项即可．
【解答】解：A、y＝（2x﹣1）2＝4x2﹣4x﹣1是二次函数，故本选项符合题意；
B、y＝（x+1）2﹣x2＝x2+2x+1﹣x2＝2x+1，是一次函数，故本选项不合题意；
C、y＝ax2当a等于0时，它不是二次函数，故本选项不合题意；
D、y＝2x+3是一次函数，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
4．（4分）在学校开展的劳动实践活动中，生物兴趣小组7个同学采摘到西红柿的质量（单位：kg）分别是：5，9，5，6，4，5，7，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．4，6 B．5，6 C．5，5 D．6，6
【考点】众数；中位数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据中位数、众数的定义进行解答即可．
【解答】解：这组数据中，出现次数最多的是5，共出现3次，因此众数是5，
将这组数据从小到大排列：4、5、5、5、6、7、9，处在中间位置的一个数是5，因此中位数是5，
故选：C．
【点评】本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义是解决问题的关键．
5．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形ABCD是矩形（ ）
A．AD⊥AB B．AB＝BC C．AB∥CD D．∠A＝∠C
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；应用意识．
【答案】A
【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形；且AD⊥AB，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：A．
【点评】本题考查矩形的判定，掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形的概念是解题关键．
6．（4分）下列各式中，正确的是（ ）
A．2 B．2 C．±2 D．±2
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：A、2，故原题计算错误；
B、2，故原题计算正确；
C、2，故原题计算错误；
D、2，故原题计算错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握|a|．
7．（4分）在△ABC中，若底边长是a，底边上的高为h，则△ABC的面积Sah，当高h为定值时，下列说法正确的是（ ）
A．S，a是变量，，h是常量
B．S，a，h是变量，是常量
C．a，h是变量，S是常量
D．S是变量，，a，h是常量
【考点】常量与变量．
【专题】函数及其图象；三角形；模型思想．
【答案】A
【分析】根据常量与变量的定义即可得到结论．
【解答】解：∵三角形面积Sah，
∴当高h为定值时，
在此式中S、a是变量，，h是常量；
故选：A．
【点评】本题考查了常量与变量，函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作y＝f（x）；变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量．
8．（4分）如图，在 ABCD中，AE⊥CD，若∠B＝70°，则∠DAE的度数是（ ）
A．70° B．30° C．20° D．15°
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质可得∠B＝∠D＝70°，由余角的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝70°，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝90°﹣∠D＝20°，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质．本题利用了平行四边形对角相等的性质求得∠D的度数．
9．（4分）某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（ ）
A．50（1+x）2＝175
B．50+50（1+x）2＝175
C．50（1+x）+50（1+x）2＝175
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，则二月份的产值为：50（1+x），三月份的产值为：50（1+x）（1+x）＝50（1+x）2，
根据题意得：50+50（1+x）+50（1+x）2＝175．
故选：D．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
10．（4分）对于一次函数y＝﹣x﹣2的相关性质，下列描述错误的是（ ）
A．函数图象经过第二、三、四象限
B．函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）
C．y随x的增大而减小
D．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为2
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与直线的交点以及三角形面积公式进行分析判断．
【解答】解：A、由于一次函数y＝﹣x﹣2中的k＝﹣1＜0，b＝﹣2＜0，所以函数图象经过第二、三、四象限，故A正确，不符合题意；
B、直线y＝﹣x﹣2，令y＝0可得﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2，函数图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），故B错误，符合题意；
C、由于一次函数y＝﹣x﹣2中的k＝﹣1＜0，所以y随x的增大而减小，故C正确，不符合题意；
D、直线y＝﹣x﹣2，令x＝0可得y＝﹣2，函数图象与坐标轴围成的三角形面积为：2×2＝2，故D正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，掌握一次函数的增减性、与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）观察：1，11，111，……可猜想 11111 ．
【考点】算术平方根．
【专题】二次根式；数感．
【答案】11111．
【分析】直接利用数字变化规律得出1的个数与数字组成中最大数相同，进而得出答案．
【解答】解：∵1，11，111，……
∴可猜想11111．
故答案为：11111．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确得出数字变化规律是解题关键．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为 6 ．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】6．
【分析】利用三角形中位线定理求出CD，再利用直角三角形斜边中线的性质求出AB，利用勾股定理求出BC即可．
【解答】解：∵CB＝BE，DF＝FE，
∴CD＝2BF＝6，
∵AD＝DB，∠ACB＝90°，
∴AB＝2CD＝12，
∴BC6，
故答案为：6．
【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是求出AB的长，再利用勾股定理求解．
13．（4分）如图是甲、乙两人5次足球点球测试（每次点球10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作、，则 ＜ （填“＞”“＝”或“＜”）．
【考点】方差．
【专题】统计的应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】＜．
【分析】从统计图中分别获取甲、乙两人测试成绩，利用方差公式计算即可．
【解答】解：由统计图可知：
甲的成绩为：6，5，6，4，7；
乙的成绩为：5，2，5，7，3，
∴5.6，
1.04；
4.4，
3.04，
∵1.04＜3.04，
∴，
故答案为：＜．
【点评】本题考查方差的计算，熟悉方差的计算公式是解题的关键．本题也可直接根据方差的意义，通过观察统计图数据的判断波动情况作出判断．
14．（4分）若一元二次方程x2﹣kx﹣1＝0的两根互为相反数，则k的值为 0 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】0．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+1＝0的两根互为相反数，
∴x1+x2＝0，
即k＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，有x1+x2，x1x2．
15．（4分）如果一个直角三角形的两条边的长分别为5、4，那么第三边的长等于 3或 ．
【考点】勾股定理．
【专题】计算题；分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题有两种情况，一是当这个直角三角形的斜边的长为5时，求另一条直角边的长；二是当这个直角三角形两条直角边的长分别为5、4时，求斜边的长．然后根据勾股定理即可求得答案．
【解答】解：当这个直角三角形的斜边的长为5时，
第三边的长等于3；
当这个直角三角形两条直角边的长分别为5、4时，
第三边的长等于．
故答案为：3或．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，解答此题的关键是运用运用分类讨论的思想，分析该题有两种情况．
16．（4分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，C（0，3），动点P在射线AB上，且∠QPB＝∠CAB，当AP＝PQ时，则OQ+BQ的最小值为 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】取AC的中点D，连接DQ，AQ，可得△OAD是等边三角形，然后可以得到点O与点D关于AQ对称，根据轴对称的性质即可得到当D、Q、B在 一条直线上时，OQ+BQ的值最小，最小值为BD的长，然后利用勾股定理计算．
【解答】解：取AC的中点D，连接DQ，AQ，
∵ C（0，3），
∴，，OC＝3，
∴，，
∴△OAD是等边三角形，
又∵∠QPB＝∠CAB，
∴∠QPB＝∠CAB＝60°，
又∵AP＝PQ，
∴，
∴点O与点D关于AQ对称，
∴QD＝OQ，
连接BD，即当D、Q、B在一条直线上时，OQ+BQ 的值最小，最小值为BD的长，过点D作 DE⊥AO于点E，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴ ，
∴，
∴BD．
【点评】本题考查最短路径问题，勾股定理，等边三角形的判定和性质，利用勾股定理计算是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算下列各小题：
（1）；
（2）（2．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）．
（2）9﹣7．
【分析】（1）先算乘法与除法，算出的结果化为最简二次根式后，合并同类二次根式即可．
（2）先展开完全平方式，再进行加减运算即可．
【解答】解：（1）
．
（2）（3）2
＝2﹣69﹣2
＝（2+9﹣2）+（﹣6﹣1）
＝9﹣7．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练运用运算法则是解题关键．
18．（4分）解方程：2（x2﹣1）＝3x+3．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1，x2＝﹣1．
【分析】方程整理后利用公式法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：2x2﹣3x﹣5＝0，
这里a＝2，b＝﹣3，c＝﹣5，
∵Δ＝b2﹣4ac
＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）
＝9+40
＝49＞0，
∴x，
解得：x1，x2＝﹣1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
19．（10分）如图所示，平行四边形ABCD对角线交于点O，过点O作EF⊥AC分别交CD，AB于F，E两点，求证四边形AECF为菱形．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】证明见解析．
【分析】证△CFO≌△AEO（AAS），得FO＝EO，再证四边形AECF为平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AB∥CD，
∴∠FCO＝∠EAO，∠CFO＝∠AEO，
∴△CFO≌△AEO（AAS），
∴FO＝EO，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF为菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
20．（10分）已知关于x的方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为1，求m的值．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）m＝±1．
【分析】（1）先求出Δ的值，再判断出其符号即可；
（2）把x＝1代入方程，求出m的值即可．
【解答】（1）证明：方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0中，
∵a＝1，b＝﹣（2m+2），c＝m2+2m，
∴Δ＝[﹣（2m+2）]2﹣4×1×（m2+2m）＝4＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有一个根为1，
∴12﹣（2m+2）×1+m2+2m＝0，即m2﹣1＝0，
∴m＝±1．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．
21．（11分）如图所示，在数轴上画一个边长为1的正方形OABC，然后以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧交数轴于点D．
（1）点D表示的数是 ，这个数是 无理数 （填“有理数”或“无理数”）；
（2）通过画图说明了无理数 能 （填“能”或“不能”）用数轴上的点表示；
（3）请你画出数轴，并在数轴上画出表示的点M，说出你的画法．
【考点】作图—复杂作图；无理数；实数与数轴；勾股定理．
【专题】实数；尺规作图；几何直观；应用意识．
【答案】（1）；无理数．
（2）能．
（3）见解答．
【分析】（1）由勾股定理得，OB，则可得点D表示的数是，这个数是无理数．
（2）由题意知，无理数能用数轴上的点表示．
（3）在数轴上画一个长方形OABC，使OA在数轴上，点A在原点右侧，点B在数轴的上方，且OA＝2，AB＝1；以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，在原点右侧交数轴于点D；以原点D为圆心，OB的长为半径画弧，在点D的右侧交数轴于点M．则点M即为所求，即可得出答案．
【解答】解：（1）由勾股定理得，OB，
∴OD＝OB，
∴点D表示的数是，这个数是无理数．
故答案为：；无理数．
（2）通过画图说明了无理数能用数轴上的点表示．
故答案为：能．
（3），画法如下：
①在数轴上画一个长方形OABC，使OA在数轴上，点A在原点右侧，点B在数轴的上方，且OA＝2，AB＝1；
②以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，在原点右侧交数轴于点D；
③以原点D为圆心，OB的长为半径画弧，在点D的右侧交数轴于点M．
则点M即为所求．
如图所示．
【点评】本题考查作图—复杂作图、勾股定理、实数与数轴、无理数，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为26元/千克，那么每天可获利2090元．经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天要获得利润1250元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定于多少元？
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．
【专题】应用题；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣10x+450；
（2）20．
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；
（2）销售单价应定为x元/千克，根据每天的销售量×每千克的利润＝1250，列出方程解方程，再根据要让消费者得到实惠确定x的值．
【解答】解：（1）∵每天销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，
∴设y＝kx+b，
∵x＝20时，y＝250，x＝26时，y，
则，
解得：，
∴y关于x的一次函数关系式：y＝﹣10x+450；
（2）设销售单价应定为x元/千克，
由题意得：（x﹣15）（﹣10x+450）＝1250，
解得：x＝20或x＝40，
∵要让消费者得到实惠，
∴x＝40不合题意，
∴x＝20，
答：销售单价应定为20元/千克．
【点评】本题考查一次函数的应用以及解一元二次方程，关键是根据毛利润＝销售量×每千克的利润列出函数关系式．
23．（11分）实施乡村振兴计划以来，农村经济发展进入了快车道．为了解某村今年一季度经济发展状况，从该村360户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元）
0.69 0.73 0.74 0.80 0.81 0.98 0.93 0.81 0.89 0.69
0.74 0.99 0.98 0.78 0.80 0.89 0.83 0.89 0.94 0.89
整理数据：
分组 0.65≤x＜0.70 0.70≤x＜0.75 0.75≤x＜0.80 0.80≤x＜0.85 0.85≤x＜0.90 0.90≤x＜0.95 0.95≤x＜1.00
频数 2 a 1 5 b 2 3
（1）表格中：a＝ 3 ，b＝ 4 ；
（2）试估计今年一季度该村家庭人均收入不低于0.85万元的户数；
（3）该村小明家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．
【考点】算术平均数；用样本估计总体；频数（率）分布表．
【专题】统计的应用；概率及其应用；运算能力．
【答案】（1）3，4；
（2）162户；
（3）明家今年第一季度人均收入超过村里一半家庭，理由见解析．
【分析】（1）根据题干中的数据求出a和b的值即可；
（2）用360乘以样本中今年一季度该村家庭人均收入不低于0.85万元的户数所占的百分比求解即可；
（3）根据中位数的性质求解即可．
【解答】解：（1）根据题意可得，一季度家庭人均收入在0.70≤x＜0.75的有3户，
∴a＝3，
在0.85≤x＜0.90的有4户，
∴b＝4，
故答案为：3，4；
（2）
答：该村家庭人均收入不低于0.85万元为162户．
（3）选择中位数，
将20户家庭人均收入的数据从小到大排列为：
0.69，0.69，0.73，0.74，0.74，0.78，0.80，0.80，0.81，0.81，0.83，0.89，0.89，0.89，0.89，0.93，0.94，0.98，0.98，0.99，
∴中位数，
说明该村有一半以上家庭人均收入达到0.82万元，
而0.83万元＞0.82万元，说明小明家今年第一季度人均收入超过村里一半家庭．
【点评】本题考查了频数统计表，中位数的应用，样本估计总体，解题的关键是理解统计数据得到相应结论．
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象为直线l1，且经过点A（0，1）和点，一次函数y2＝mx﹣m﹣2（m≠0）的图象为直线l2．
（1）求直线l1的解析式；
（2）过点O作OH⊥l2，垂足为H，求线段OH的最大值；
（3）对于一次函数y1，y2，当x＞0时，都有y1＞y2，请直接写出m的取值范围．
【考点】一次函数与一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）一次函数的解析式为y＝2x+1．
（2）线段OH的最大值为；
（3）﹣3≤m≤2．
【分析】（1）将A，B的坐标代入一次函数解析式中，求出k，b的值，得出一次函数解析式；
（2）由于一次函数y2＝mx﹣m﹣2（m≠0）的图象过定点（1，﹣2），所以当点H与点（1，﹣2）重合时，OH最大，利用勾股定理求得即可；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）依题意，得，解得，
∴一次函数的解析式为y＝2x+1．
（2）一次函数y2＝mx﹣m﹣2＝（x﹣1）m﹣2，
当x＝1时，y＝﹣2．
∴函数图象过定点（1，﹣2）．
∵OH⊥l2，垂足为H，
∴当点H与点（1，﹣2）重合时，OH最大．
此时OH．
（3）令﹣m﹣2＝1，解得m＝﹣3，
∴对于一次函数y1，y2，当x＞0时，都有y1＞y2，则m的取值范围是﹣3≤m≤2．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合是求解本题的关键．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点A（﹣6，8），点C在x轴正半轴上，对角线AC交y轴于点M，边AB交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动．
（1）求点B的坐标；
（2）设动点P的运动时间为t秒，连接PM、BM，△PBM的面积为S，请用含t的式子表示S；
（3）在（2）的条件下，当点P运动到线段BC上时，连接MB、MP，若∠ABM＝2∠PMC，过P作PD⊥AC于D，连接BD，过点P作PF∥BD，且PF＝BD，设MB的延长线交PF于点E，求EF的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）B（4，8）；
（2）S＝15﹣3t（0≤t＜5）或S＝5t﹣25（5＜t≤10）；
（3）或．
【分析】（1）由点A坐标可得AH＝6、OH＝8，由勾股定理可得AO＝10，根据菱形的性质可得AB＝OC＝AO＝10，然后再运用线段的和差求得BH的长即可；
（2）分两种情形：如图2﹣1中，当0≤t＜5时，如图2﹣2中，当5＜t≤10时，连接BM．分别求解即可；
（3）当点F在BP下方时先说明△BMP是等腰直角三角形，进而得到四边形BDPF为平行四边形，易得FB⊥AC；如图：延长FB交AC于点L，然后运用勾股定理等知识说明△OFC是等腰直角三角形，再过点F作FN⊥y轴于N，运用勾股定理ON的长，进而确定F（5，10），P（7，4），M（0，5），B（4，8）；然后再确定直线BM、FP的解析式，进而求得E的坐标，然后用勾股定理即可确定E点坐标；当点F在BP上方时同法可得结论．
【解答】解：（1）∵A（﹣6，8），
∴OA10，
∵四边形AOCB是菱形，
∴AB＝OA＝10，AB∥OC，
∵AH＝6，
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，
∴B（4，8）；
（2）如图2﹣1中，当0≤t＜5时，
∵A（﹣6，8），C（10，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
则有，
解得，
∴直线AC的解析式为yx+5，
∴M（0，5），
∴OM＝5，
∵OH＝8，
∴MH＝OH﹣OM＝8﹣5＝3，
∴S PB MH（10﹣2t）×3＝15﹣3t．
如图2﹣2中，当5＜t≤10时，连接BM．
∵四边形AOCB是菱形，
∴∠OCM＝∠BCM，
∵CO＝CB，CM＝CM，
∴△OCM≌△BCM（SAS），
∴∠MOC＝∠MBC＝90°，
∴MB⊥BC，
∴S BP MB（2t﹣10）×5＝5t﹣25，
综上所述，S；
（3）当点F在BP下方，
∵∠ABM＝2∠PMC，
∴设∠PMC＝α，
∴∠ABM＝2α，
∴∠ABC＝90°+2α，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°﹣α，
∴∠BMC＝45°+α，
∵∠CMP＝α，
∴∠BPM＝45°，
∴∠BMP＝45°，
∴∠BMP＝∠BPM，
∴BM＝BP，
∵∠MBP＝90°，∠PDM＝90°，
∴∠MBP+∠PDM＝180°，
∴B，M，D，P四点共圆，
∴∠BDM＝∠BPM＝45°，∠BDP＝∠BMP＝45°，
过B作BG⊥BD交AC于点G，
∴∠BGD＝45°，
∴∠BGD＝∠BDG，
∴BG＝BD，
∵∠GBD＝∠MBP＝90°，
∴∠MBG＝∠PBD，
∴△BMG≌△BPD（SAS），
∴DP＝MG，∠DBP＝∠GBM＝∠PMD＝α，
∴∠ABG＝α＝∠MBG，
∴BG平分∠ABM，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵HM＝3，BH＝4，∠MHB＝90°，
∴BM＝BP＝5，
∴MPBM＝5，
∴DM3，
∴DG＝MG+MD＝4，
∴BDDG＝2，
∵PF∥BD且PF＝BD，
∴四边形BDFP是平行四边形，
∴，
过M作MN⊥BG，则，
∴BN，
过M作MQ⊥BM交BG于点Q，
∵∠NMQ+∠NMB＝90°，∠NMB+∠MBN＝90°，
∴∠NMQ＝∠MBN，
∵∠MNQ＝∠MNB＝90°，
∴△MNQ∽△BNM，
∴，
∴NQ，
∴BQ＝NQ+BN，
∵∠MBQ＝∠DBP＝∠BPE，∠BMQ＝∠PBE＝90°，BM＝BP，
∴△BMQ≌△PBE（ASA），
∴，
∴．
当点F在PB的上方时，同法可得EF．
综上所述，或．
【点评】本题查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线以及掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．
考点卡片
1．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
2．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
3．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
4．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
5．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
6．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
8．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
9．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
10．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
11．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
12．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
13．常量与变量
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量．
14．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
15．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
16．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
17．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x．
18．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
19．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
20．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
21．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
22．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
23．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
24．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
25．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
26．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
27．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
28．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
29．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
30．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
31．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
32．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
33．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
34．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
35．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
36．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
37．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
2024—2025学年上学期福建初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）当a满足条件（ ）时，式子在实数范围内有意义（ ）
A．a＜﹣3 B．a≤﹣3 C．a＞﹣3 D．a≥﹣3
2．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．a＝1，b，c＝2
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．a：b：c：：
3．（4分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝（2x﹣1）2 B．y＝（x+1）2﹣x2
C．y＝ax2 D．y＝2x+3
4．（4分）在学校开展的劳动实践活动中，生物兴趣小组7个同学采摘到西红柿的质量（单位：kg）分别是：5，9，5，6，4，5，7，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．4，6 B．5，6 C．5，5 D．6，6
5．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形ABCD是矩形（ ）
A．AD⊥AB B．AB＝BC C．AB∥CD D．∠A＝∠C
6．（4分）下列各式中，正确的是（ ）
A．2 B．2 C．±2 D．±2
7．（4分）在△ABC中，若底边长是a，底边上的高为h，则△ABC的面积Sah，当高h为定值时，下列说法正确的是（ ）
A．S，a是变量，，h是常量
B．S，a，h是变量，是常量
C．a，h是变量，S是常量
D．S是变量，，a，h是常量
8．（4分）如图，在 ABCD中，AE⊥CD，若∠B＝70°，则∠DAE的度数是（ ）
A．70° B．30° C．20° D．15°
9．（4分）某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（ ）
A．50（1+x）2＝175
B．50+50（1+x）2＝175
C．50（1+x）+50（1+x）2＝175
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175
10．（4分）对于一次函数y＝﹣x﹣2的相关性质，下列描述错误的是（ ）
A．函数图象经过第二、三、四象限
B．函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）
C．y随x的增大而减小
D．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为2
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）观察：1，11，111，……可猜想 ．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为 ．
13．（4分）如图是甲、乙两人5次足球点球测试（每次点球10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作、，则 （填“＞”“＝”或“＜”）．
14．（4分）若一元二次方程x2﹣kx﹣1＝0的两根互为相反数，则k的值为 ．
15．（4分）如果一个直角三角形的两条边的长分别为5、4，那么第三边的长等于 ．
16．（4分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，C（0，3），动点P在射线AB上，且∠QPB＝∠CAB，当AP＝PQ时，则OQ+BQ的最小值为 ．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算下列各小题：
（1）；
（2）（2．
18．（4分）解方程：2（x2﹣1）＝3x+3．
19．（10分）如图所示，平行四边形ABCD对角线交于点O，过点O作EF⊥AC分别交CD，AB于F，E两点，求证四边形AECF为菱形．
20．（10分）已知关于x的方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为1，求m的值．
21．（11分）如图所示，在数轴上画一个边长为1的正方形OABC，然后以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧交数轴于点D．
（1）点D表示的数是 ，这个数是 （填“有理数”或“无理数”）；
（2）通过画图说明了无理数 （填“能”或“不能”）用数轴上的点表示；
（3）请你画出数轴，并在数轴上画出表示的点M，说出你的画法．
22．（10分）某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为26元/千克，那么每天可获利2090元．经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天要获得利润1250元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定于多少元？
23．（11分）实施乡村振兴计划以来，农村经济发展进入了快车道．为了解某村今年一季度经济发展状况，从该村360户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元）
0.69 0.73 0.74 0.80 0.81 0.98 0.93 0.81 0.89 0.69
0.74 0.99 0.98 0.78 0.80 0.89 0.83 0.89 0.94 0.89
整理数据：
分组 0.65≤x＜0.70 0.70≤x＜0.75 0.75≤x＜0.80 0.80≤x＜0.85 0.85≤x＜0.90 0.90≤x＜0.95 0.95≤x＜1.00
频数 2 a 1 5 b 2 3
（1）表格中：a＝ ，b＝ ；
（2）试估计今年一季度该村家庭人均收入不低于0.85万元的户数；
（3）该村小明家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象为直线l1，且经过点A（0，1）和点，一次函数y2＝mx﹣m﹣2（m≠0）的图象为直线l2．
（1）求直线l1的解析式；
（2）过点O作OH⊥l2，垂足为H，求线段OH的最大值；
（3）对于一次函数y1，y2，当x＞0时，都有y1＞y2，请直接写出m的取值范围．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点A（﹣6，8），点C在x轴正半轴上，对角线AC交y轴于点M，边AB交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动．
（1）求点B的坐标；
（2）设动点P的运动时间为t秒，连接PM、BM，△PBM的面积为S，请用含t的式子表示S；
（3）在（2）的条件下，当点P运动到线段BC上时，连接MB、MP，若∠ABM＝2∠PMC，过P作PD⊥AC于D，连接BD，过点P作PF∥BD，且PF＝BD，设MB的延长线交PF于点E，求EF的长．
2024—2025学年上学期福建初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）当a满足条件（ ）时，式子在实数范围内有意义（ ）
A．a＜﹣3 B．a≤﹣3 C．a＞﹣3 D．a≥﹣3
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】常规题型；二次根式．
【答案】D
【分析】根据二次根式的意义即可求得答案．
【解答】解：根据题意知，要使在实数范围内有意义，
则a+3≥0，
解得：a≥﹣3，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的意义，掌握二次根式中被开方数为非负数是解题的关键．
2．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．a＝1，b，c＝2
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．a：b：c：：
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵a2+b2＝12+（）2＝4，c2＝22＝4，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°90°，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a：b：c：：，
∴设ak，则bk，ck，
∵a2+b2＝（k）2+（k）2k2，c2＝（k）2k2，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
3．（4分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝（2x﹣1）2 B．y＝（x+1）2﹣x2
C．y＝ax2 D．y＝2x+3
【考点】二次函数的定义．
【专题】二次函数图象及其性质；符号意识；运算能力．
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义选择正确的选项即可．
【解答】解：A、y＝（2x﹣1）2＝4x2﹣4x﹣1是二次函数，故本选项符合题意；
B、y＝（x+1）2﹣x2＝x2+2x+1﹣x2＝2x+1，是一次函数，故本选项不合题意；
C、y＝ax2当a等于0时，它不是二次函数，故本选项不合题意；
D、y＝2x+3是一次函数，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
4．（4分）在学校开展的劳动实践活动中，生物兴趣小组7个同学采摘到西红柿的质量（单位：kg）分别是：5，9，5，6，4，5，7，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．4，6 B．5，6 C．5，5 D．6，6
【考点】众数；中位数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据中位数、众数的定义进行解答即可．
【解答】解：这组数据中，出现次数最多的是5，共出现3次，因此众数是5，
将这组数据从小到大排列：4、5、5、5、6、7、9，处在中间位置的一个数是5，因此中位数是5，
故选：C．
【点评】本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义是解决问题的关键．
5．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形ABCD是矩形（ ）
A．AD⊥AB B．AB＝BC C．AB∥CD D．∠A＝∠C
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；应用意识．
【答案】A
【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形；且AD⊥AB，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：A．
【点评】本题考查矩形的判定，掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形的概念是解题关键．
6．（4分）下列各式中，正确的是（ ）
A．2 B．2 C．±2 D．±2
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：A、2，故原题计算错误；
B、2，故原题计算正确；
C、2，故原题计算错误；
D、2，故原题计算错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握|a|．
7．（4分）在△ABC中，若底边长是a，底边上的高为h，则△ABC的面积Sah，当高h为定值时，下列说法正确的是（ ）
A．S，a是变量，，h是常量
B．S，a，h是变量，是常量
C．a，h是变量，S是常量
D．S是变量，，a，h是常量
【考点】常量与变量．
【专题】函数及其图象；三角形；模型思想．
【答案】A
【分析】根据常量与变量的定义即可得到结论．
【解答】解：∵三角形面积Sah，
∴当高h为定值时，
在此式中S、a是变量，，h是常量；
故选：A．
【点评】本题考查了常量与变量，函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作y＝f（x）；变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量．
8．（4分）如图，在 ABCD中，AE⊥CD，若∠B＝70°，则∠DAE的度数是（ ）
A．70° B．30° C．20° D．15°
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质可得∠B＝∠D＝70°，由余角的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝70°，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝90°﹣∠D＝20°，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质．本题利用了平行四边形对角相等的性质求得∠D的度数．
9．（4分）某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（ ）
A．50（1+x）2＝175
B．50+50（1+x）2＝175
C．50（1+x）+50（1+x）2＝175
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，则二月份的产值为：50（1+x），三月份的产值为：50（1+x）（1+x）＝50（1+x）2，
根据题意得：50+50（1+x）+50（1+x）2＝175．
故选：D．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
10．（4分）对于一次函数y＝﹣x﹣2的相关性质，下列描述错误的是（ ）
A．函数图象经过第二、三、四象限
B．函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）
C．y随x的增大而减小
D．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为2
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与直线的交点以及三角形面积公式进行分析判断．
【解答】解：A、由于一次函数y＝﹣x﹣2中的k＝﹣1＜0，b＝﹣2＜0，所以函数图象经过第二、三、四象限，故A正确，不符合题意；
B、直线y＝﹣x﹣2，令y＝0可得﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2，函数图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），故B错误，符合题意；
C、由于一次函数y＝﹣x﹣2中的k＝﹣1＜0，所以y随x的增大而减小，故C正确，不符合题意；
D、直线y＝﹣x﹣2，令x＝0可得y＝﹣2，函数图象与坐标轴围成的三角形面积为：2×2＝2，故D正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，掌握一次函数的增减性、与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）观察：1，11，111，……可猜想 11111 ．
【考点】算术平方根．
【专题】二次根式；数感．
【答案】11111．
【分析】直接利用数字变化规律得出1的个数与数字组成中最大数相同，进而得出答案．
【解答】解：∵1，11，111，……
∴可猜想11111．
故答案为：11111．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确得出数字变化规律是解题关键．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为 6 ．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】6．
【分析】利用三角形中位线定理求出CD，再利用直角三角形斜边中线的性质求出AB，利用勾股定理求出BC即可．
【解答】解：∵CB＝BE，DF＝FE，
∴CD＝2BF＝6，
∵AD＝DB，∠ACB＝90°，
∴AB＝2CD＝12，
∴BC6，
故答案为：6．
【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是求出AB的长，再利用勾股定理求解．
13．（4分）如图是甲、乙两人5次足球点球测试（每次点球10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作、，则 ＜ （填“＞”“＝”或“＜”）．
【考点】方差．
【专题】统计的应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】＜．
【分析】从统计图中分别获取甲、乙两人测试成绩，利用方差公式计算即可．
【解答】解：由统计图可知：
甲的成绩为：6，5，6，4，7；
乙的成绩为：5，2，5，7，3，
∴5.6，
1.04；
4.4，
3.04，
∵1.04＜3.04，
∴，
故答案为：＜．
【点评】本题考查方差的计算，熟悉方差的计算公式是解题的关键．本题也可直接根据方差的意义，通过观察统计图数据的判断波动情况作出判断．
14．（4分）若一元二次方程x2﹣kx﹣1＝0的两根互为相反数，则k的值为 0 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】0．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+1＝0的两根互为相反数，
∴x1+x2＝0，
即k＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，有x1+x2，x1x2．
15．（4分）如果一个直角三角形的两条边的长分别为5、4，那么第三边的长等于 3或 ．
【考点】勾股定理．
【专题】计算题；分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题有两种情况，一是当这个直角三角形的斜边的长为5时，求另一条直角边的长；二是当这个直角三角形两条直角边的长分别为5、4时，求斜边的长．然后根据勾股定理即可求得答案．
【解答】解：当这个直角三角形的斜边的长为5时，
第三边的长等于3；
当这个直角三角形两条直角边的长分别为5、4时，
第三边的长等于．
故答案为：3或．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，解答此题的关键是运用运用分类讨论的思想，分析该题有两种情况．
16．（4分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，C（0，3），动点P在射线AB上，且∠QPB＝∠CAB，当AP＝PQ时，则OQ+BQ的最小值为 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】取AC的中点D，连接DQ，AQ，可得△OAD是等边三角形，然后可以得到点O与点D关于AQ对称，根据轴对称的性质即可得到当D、Q、B在 一条直线上时，OQ+BQ的值最小，最小值为BD的长，然后利用勾股定理计算．
【解答】解：取AC的中点D，连接DQ，AQ，
∵ C（0，3），
∴，，OC＝3，
∴，，
∴△OAD是等边三角形，
又∵∠QPB＝∠CAB，
∴∠QPB＝∠CAB＝60°，
又∵AP＝PQ，
∴，
∴点O与点D关于AQ对称，
∴QD＝OQ，
连接BD，即当D、Q、B在一条直线上时，OQ+BQ 的值最小，最小值为BD的长，过点D作 DE⊥AO于点E，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴ ，
∴，
∴BD．
【点评】本题考查最短路径问题，勾股定理，等边三角形的判定和性质，利用勾股定理计算是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算下列各小题：
（1）；
（2）（2．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）．
（2）9﹣7．
【分析】（1）先算乘法与除法，算出的结果化为最简二次根式后，合并同类二次根式即可．
（2）先展开完全平方式，再进行加减运算即可．
【解答】解：（1）
．
（2）（3）2
＝2﹣69﹣2
＝（2+9﹣2）+（﹣6﹣1）
＝9﹣7．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练运用运算法则是解题关键．
18．（4分）解方程：2（x2﹣1）＝3x+3．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1，x2＝﹣1．
【分析】方程整理后利用公式法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：2x2﹣3x﹣5＝0，
这里a＝2，b＝﹣3，c＝﹣5，
∵Δ＝b2﹣4ac
＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）
＝9+40
＝49＞0，
∴x，
解得：x1，x2＝﹣1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
19．（10分）如图所示，平行四边形ABCD对角线交于点O，过点O作EF⊥AC分别交CD，AB于F，E两点，求证四边形AECF为菱形．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】证明见解析．
【分析】证△CFO≌△AEO（AAS），得FO＝EO，再证四边形AECF为平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AB∥CD，
∴∠FCO＝∠EAO，∠CFO＝∠AEO，
∴△CFO≌△AEO（AAS），
∴FO＝EO，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF为菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
20．（10分）已知关于x的方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为1，求m的值．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）m＝±1．
【分析】（1）先求出Δ的值，再判断出其符号即可；
（2）把x＝1代入方程，求出m的值即可．
【解答】（1）证明：方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0中，
∵a＝1，b＝﹣（2m+2），c＝m2+2m，
∴Δ＝[﹣（2m+2）]2﹣4×1×（m2+2m）＝4＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有一个根为1，
∴12﹣（2m+2）×1+m2+2m＝0，即m2﹣1＝0，
∴m＝±1．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．
21．（11分）如图所示，在数轴上画一个边长为1的正方形OABC，然后以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧交数轴于点D．
（1）点D表示的数是 ，这个数是 无理数 （填“有理数”或“无理数”）；
（2）通过画图说明了无理数 能 （填“能”或“不能”）用数轴上的点表示；
（3）请你画出数轴，并在数轴上画出表示的点M，说出你的画法．
【考点】作图—复杂作图；无理数；实数与数轴；勾股定理．
【专题】实数；尺规作图；几何直观；应用意识．
【答案】（1）；无理数．
（2）能．
（3）见解答．
【分析】（1）由勾股定理得，OB，则可得点D表示的数是，这个数是无理数．
（2）由题意知，无理数能用数轴上的点表示．
（3）在数轴上画一个长方形OABC，使OA在数轴上，点A在原点右侧，点B在数轴的上方，且OA＝2，AB＝1；以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，在原点右侧交数轴于点D；以原点D为圆心，OB的长为半径画弧，在点D的右侧交数轴于点M．则点M即为所求，即可得出答案．
【解答】解：（1）由勾股定理得，OB，
∴OD＝OB，
∴点D表示的数是，这个数是无理数．
故答案为：；无理数．
（2）通过画图说明了无理数能用数轴上的点表示．
故答案为：能．
（3），画法如下：
①在数轴上画一个长方形OABC，使OA在数轴上，点A在原点右侧，点B在数轴的上方，且OA＝2，AB＝1；
②以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，在原点右侧交数轴于点D；
③以原点D为圆心，OB的长为半径画弧，在点D的右侧交数轴于点M．
则点M即为所求．
如图所示．
【点评】本题考查作图—复杂作图、勾股定理、实数与数轴、无理数，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为26元/千克，那么每天可获利2090元．经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天要获得利润1250元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定于多少元？
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．
【专题】应用题；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣10x+450；
（2）20．
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；
（2）销售单价应定为x元/千克，根据每天的销售量×每千克的利润＝1250，列出方程解方程，再根据要让消费者得到实惠确定x的值．
【解答】解：（1）∵每天销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，
∴设y＝kx+b，
∵x＝20时，y＝250，x＝26时，y，
则，
解得：，
∴y关于x的一次函数关系式：y＝﹣10x+450；
（2）设销售单价应定为x元/千克，
由题意得：（x﹣15）（﹣10x+450）＝1250，
解得：x＝20或x＝40，
∵要让消费者得到实惠，
∴x＝40不合题意，
∴x＝20，
答：销售单价应定为20元/千克．
【点评】本题考查一次函数的应用以及解一元二次方程，关键是根据毛利润＝销售量×每千克的利润列出函数关系式．
23．（11分）实施乡村振兴计划以来，农村经济发展进入了快车道．为了解某村今年一季度经济发展状况，从该村360户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元）
0.69 0.73 0.74 0.80 0.81 0.98 0.93 0.81 0.89 0.69
0.74 0.99 0.98 0.78 0.80 0.89 0.83 0.89 0.94 0.89
整理数据：
分组 0.65≤x＜0.70 0.70≤x＜0.75 0.75≤x＜0.80 0.80≤x＜0.85 0.85≤x＜0.90 0.90≤x＜0.95 0.95≤x＜1.00
频数 2 a 1 5 b 2 3
（1）表格中：a＝ 3 ，b＝ 4 ；
（2）试估计今年一季度该村家庭人均收入不低于0.85万元的户数；
（3）该村小明家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．
【考点】算术平均数；用样本估计总体；频数（率）分布表．
【专题】统计的应用；概率及其应用；运算能力．
【答案】（1）3，4；
（2）162户；
（3）明家今年第一季度人均收入超过村里一半家庭，理由见解析．
【分析】（1）根据题干中的数据求出a和b的值即可；
（2）用360乘以样本中今年一季度该村家庭人均收入不低于0.85万元的户数所占的百分比求解即可；
（3）根据中位数的性质求解即可．
【解答】解：（1）根据题意可得，一季度家庭人均收入在0.70≤x＜0.75的有3户，
∴a＝3，
在0.85≤x＜0.90的有4户，
∴b＝4，
故答案为：3，4；
（2）
答：该村家庭人均收入不低于0.85万元为162户．
（3）选择中位数，
将20户家庭人均收入的数据从小到大排列为：
0.69，0.69，0.73，0.74，0.74，0.78，0.80，0.80，0.81，0.81，0.83，0.89，0.89，0.89，0.89，0.93，0.94，0.98，0.98，0.99，
∴中位数，
说明该村有一半以上家庭人均收入达到0.82万元，
而0.83万元＞0.82万元，说明小明家今年第一季度人均收入超过村里一半家庭．
【点评】本题考查了频数统计表，中位数的应用，样本估计总体，解题的关键是理解统计数据得到相应结论．
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象为直线l1，且经过点A（0，1）和点，一次函数y2＝mx﹣m﹣2（m≠0）的图象为直线l2．
（1）求直线l1的解析式；
（2）过点O作OH⊥l2，垂足为H，求线段OH的最大值；
（3）对于一次函数y1，y2，当x＞0时，都有y1＞y2，请直接写出m的取值范围．
【考点】一次函数与一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）一次函数的解析式为y＝2x+1．
（2）线段OH的最大值为；
（3）﹣3≤m≤2．
【分析】（1）将A，B的坐标代入一次函数解析式中，求出k，b的值，得出一次函数解析式；
（2）由于一次函数y2＝mx﹣m﹣2（m≠0）的图象过定点（1，﹣2），所以当点H与点（1，﹣2）重合时，OH最大，利用勾股定理求得即可；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）依题意，得，解得，
∴一次函数的解析式为y＝2x+1．
（2）一次函数y2＝mx﹣m﹣2＝（x﹣1）m﹣2，
当x＝1时，y＝﹣2．
∴函数图象过定点（1，﹣2）．
∵OH⊥l2，垂足为H，
∴当点H与点（1，﹣2）重合时，OH最大．
此时OH．
（3）令﹣m﹣2＝1，解得m＝﹣3，
∴对于一次函数y1，y2，当x＞0时，都有y1＞y2，则m的取值范围是﹣3≤m≤2．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合是求解本题的关键．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点A（﹣6，8），点C在x轴正半轴上，对角线AC交y轴于点M，边AB交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动．
（1）求点B的坐标；
（2）设动点P的运动时间为t秒，连接PM、BM，△PBM的面积为S，请用含t的式子表示S；
（3）在（2）的条件下，当点P运动到线段BC上时，连接MB、MP，若∠ABM＝2∠PMC，过P作PD⊥AC于D，连接BD，过点P作PF∥BD，且PF＝BD，设MB的延长线交PF于点E，求EF的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）B（4，8）；
（2）S＝15﹣3t（0≤t＜5）或S＝5t﹣25（5＜t≤10）；
（3）或．
【分析】（1）由点A坐标可得AH＝6、OH＝8，由勾股定理可得AO＝10，根据菱形的性质可得AB＝OC＝AO＝10，然后再运用线段的和差求得BH的长即可；
（2）分两种情形：如图2﹣1中，当0≤t＜5时，如图2﹣2中，当5＜t≤10时，连接BM．分别求解即可；
（3）当点F在BP下方时先说明△BMP是等腰直角三角形，进而得到四边形BDPF为平行四边形，易得FB⊥AC；如图：延长FB交AC于点L，然后运用勾股定理等知识说明△OFC是等腰直角三角形，再过点F作FN⊥y轴于N，运用勾股定理ON的长，进而确定F（5，10），P（7，4），M（0，5），B（4，8）；然后再确定直线BM、FP的解析式，进而求得E的坐标，然后用勾股定理即可确定E点坐标；当点F在BP上方时同法可得结论．
【解答】解：（1）∵A（﹣6，8），
∴OA10，
∵四边形AOCB是菱形，
∴AB＝OA＝10，AB∥OC，
∵AH＝6，
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，
∴B（4，8）；
（2）如图2﹣1中，当0≤t＜5时，
∵A（﹣6，8），C（10，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
则有，
解得，
∴直线AC的解析式为yx+5，
∴M（0，5），
∴OM＝5，
∵OH＝8，
∴MH＝OH﹣OM＝8﹣5＝3，
∴S PB MH（10﹣2t）×3＝15﹣3t．
如图2﹣2中，当5＜t≤10时，连接BM．
∵四边形AOCB是菱形，
∴∠OCM＝∠BCM，
∵CO＝CB，CM＝CM，
∴△OCM≌△BCM（SAS），
∴∠MOC＝∠MBC＝90°，
∴MB⊥BC，
∴S BP MB（2t﹣10）×5＝5t﹣25，
综上所述，S；
（3）当点F在BP下方，
∵∠ABM＝2∠PMC，
∴设∠PMC＝α，
∴∠ABM＝2α，
∴∠ABC＝90°+2α，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°﹣α，
∴∠BMC＝45°+α，
∵∠CMP＝α，
∴∠BPM＝45°，
∴∠BMP＝45°，
∴∠BMP＝∠BPM，
∴BM＝BP，
∵∠MBP＝90°，∠PDM＝90°，
∴∠MBP+∠PDM＝180°，
∴B，M，D，P四点共圆，
∴∠BDM＝∠BPM＝45°，∠BDP＝∠BMP＝45°，
过B作BG⊥BD交AC于点G，
∴∠BGD＝45°，
∴∠BGD＝∠BDG，
∴BG＝BD，
∵∠GBD＝∠MBP＝90°，
∴∠MBG＝∠PBD，
∴△BMG≌△BPD（SAS），
∴DP＝MG，∠DBP＝∠GBM＝∠PMD＝α，
∴∠ABG＝α＝∠MBG，
∴BG平分∠ABM，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵HM＝3，BH＝4，∠MHB＝90°，
∴BM＝BP＝5，
∴MPBM＝5，
∴DM3，
∴DG＝MG+MD＝4，
∴BDDG＝2，
∵PF∥BD且PF＝BD，
∴四边形BDFP是平行四边形，
∴，
过M作MN⊥BG，则，
∴BN，
过M作MQ⊥BM交BG于点Q，
∵∠NMQ+∠NMB＝90°，∠NMB+∠MBN＝90°，
∴∠NMQ＝∠MBN，
∵∠MNQ＝∠MNB＝90°，
∴△MNQ∽△BNM，
∴，
∴NQ，
∴BQ＝NQ+BN，
∵∠MBQ＝∠DBP＝∠BPE，∠BMQ＝∠PBE＝90°，BM＝BP，
∴△BMQ≌△PBE（ASA），
∴，
∴．
当点F在PB的上方时，同法可得EF．
综上所述，或．
【点评】本题查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线以及掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．
考点卡片
1．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
2．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
3．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
4．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
5．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
6．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
8．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
9．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
10．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
11．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
12．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
13．常量与变量
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量．
14．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
15．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
16．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
17．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x．
18．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
19．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
20．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
21．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
22．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
23．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
24．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
25．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
26．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
27．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
28．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
29．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
30．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
31．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
32．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
33．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
34．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
35．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
36．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
37．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
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