2024—2025学年上学期上海初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+知识卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期上海初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+知识卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 439.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-07 09:16:59 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期上海初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．3a3b的系数是3
C．位似图形必定相似 D．若|a|＝|b|，则a＝b
2．（4分）已知如图①②中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图②中AB，CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A．都相似 B．都不相似 C．只有①相似 D．只有②相似
3．（4分）如图，D，E是△ABC边AB，AC边上的两点，且DE∥BC，若S△ADE：S△ABC＝1：16，则△ADE与△ABC的周长之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：16
4．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G，设，，那么向量用向量、表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）已知函数y＝x2﹣2x﹣2的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使y≤1成立的x取值范围是（ ）
A．﹣3≤x≤1 B．﹣1≤x≤3 C．x≥﹣3 D．x≤﹣1或x≥3
6．（4分）如图所示，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，当线段EF最小时，cos∠EFD的值等于（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）若，则 ．
8．（4分）已知向量关系式26（），那么向量 （用向量与向量表示）．
9．（4分）请你写出一个抛物线使它满足以下条件：（1）开口向下，（2）顶点坐标为（1，3），则这个抛物线的表达式是 ．
10．（4分）抛物线yx2+2，当﹣1≤x≤5时，y的取值范围是 ．
11．（4分）在平面直角坐标系中，与x轴正半轴所成的锐角α的终边经过点P（x，2），点P到坐标原点的距离r，则sinα＝ ，cosα＝ ，tanα＝ ．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点D是斜边AB的中点，点G为△ABC的重心，GD，则BC＝ ．
13．（4分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如果△ABC中，AB＝AC，那么顶角A的正对记作sadA，这时sadA．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果∠A的正弦函数为，那么sadA的值为 ．
14．（4分）在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果S△ABC：S四边形ABCD＝2：3，那么S△AOD：S△BOC＝ ．
15．（4分）学校准备建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米，设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃的面积为y平方米，写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若，DE＝6，则BC等于 ．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan∠BAC，BC．将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB'C'，则图中阴影部分的面积是 ．
18．（4分）二次函数y＝（x+1）2+6的图象的开口方向为 ，顶点坐标为 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：2sin30°﹣3tan45° sin245°+cos60°．
20．（10分）定义：在平面直角坐标系中，若两条抛物线的顶点关于原点成中心对称，且二次项系数之积等于﹣2．我们就称其中一条抛物线是另一条抛物线的逆对抛物线．
（1）写出抛物线y＝x2+2x﹣3的顶点坐标，并写出它的逆对抛物线；
（2）已知抛物线y2＝ax2+bx+c是抛物线y1＝mx2+4mx+3m的逆对抛物线．
①当抛物线y1经过点（﹣2，﹣1）时，求a+b+c的值；
②设抛物线y1与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左侧），抛物线y2与x轴的交点为C（在其对称轴左侧）．若这三点依次排列后，点B恰好是A，C两点连线的中点，求此时m的值．
21．（10分）已知：如图，AM是△ABC的中线，点G是重心，点D、E分别在边AB和BC上，四边形BEGD是平行四边形．
（1）求证DE∥AC；
（2）设，，用向量，表示 ．
22．（10分）如图，有两座建筑物AB，CD，建筑物AB的高为30m，从A点测得D点的俯角为30°，从C点测得A点的仰角为45°．
（1）求建筑物AB与建筑物CD间的水平距离BC；
（2）求建筑物CD的高．（结果精确到0.1，1.414，1.732）
23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝10，AF＝7，求AE的长．
24．（12分）如图所示，平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x+2k）（x﹣k）图象与x轴交于A、B两点，抛物线对称轴为直线x＝﹣2；
（1）求k的值；
（2）点C为抛物线上一点，连接BC、AC，作CD⊥x轴于D，当∠BCA＝90°时，设CD长度为d，求d与a的函数关系式；
（3）抛物线顶点为S，作ST垂直AB于T，点Q为第一象限抛物线上一点，连接AQ交ST于点P，过B作x轴的垂线交AQ延长线于点E，连接OE交BQ于点G，过O作OE的垂线交AQ于点F，若OF＝OG，tan∠ABQ＝2时，连接SQ，求证：SQ＝SP．
25．（14分）探索发现：如图1，等边△ABC中，G为BC的中点，D，E分别是BC、AC上的两点，BD＝CE．
（1）求证：∠BAD＝∠CBE；
（2）H为EF上一点，若∠BHG+∠AFH＝90°，求的值；
迁移拓展：（3）如图2，等腰Rt△ABC中，G为斜边BC的中点，D为BG中点，BD＝1，E是AC上的点，CEBD，H为EF上一点，若∠BHG+∠AFH＝90°，直接写出HG的长．
2024—2025学年上学期上海初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．3a3b的系数是3
C．位似图形必定相似 D．若|a|＝|b|，则a＝b
【考点】命题与定理；相似图形；绝对值；单项式；线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】根据线段的性质、单项式、相似图形和绝对值进行判断解答．
【解答】解：A、两点之间，线段最短，是真命题；
B、3a3b的系数是3，是真命题；
C、位似图形必定相似，是真命题；
D、若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，原命题是假命题；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．（4分）已知如图①②中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图②中AB，CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A．都相似 B．都不相似 C．只有①相似 D．只有②相似
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理、相似三角形的判定解决此题．
【解答】解：图①：左边的三角形的三个内角的度数分别为35°、75°、70°；右边的三角形的三个内角的度数分别为35°、75°、70°；所以这两个三角形相似．
图②：由图可知，∠AOC＝∠DOB．
∵，
∴．
∴△AOC∽△DOB．
∴图②中两个三角形相似．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理、相似三角形的判定，熟练掌握三角形内角和定理、相似三角形的判定是解决本题的关键．
3．（4分）如图，D，E是△ABC边AB，AC边上的两点，且DE∥BC，若S△ADE：S△ABC＝1：16，则△ADE与△ABC的周长之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：16
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】由平行易证△ADE∽△ABC，由面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△ABC
∵S△ADE：S△ABC＝1：16
∴△ADE与△ABC周长之比为1：4，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键．
4．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G，设，，那么向量用向量、表示为（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形的重心；*平面向量．
【专题】特定专题；推理能力．
【答案】A
【分析】利用三角形的法则求出，再根据三角形重心的性质解决问题即可．
【解答】解：∵，，
∴，
∵AD，BE是△ABC的中线，
∴G是△ABC的重心，
∴BGBE，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的重心，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（4分）已知函数y＝x2﹣2x﹣2的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使y≤1成立的x取值范围是（ ）
A．﹣3≤x≤1 B．﹣1≤x≤3 C．x≥﹣3 D．x≤﹣1或x≥3
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力；应用意识．
【答案】B
【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的顶点坐标、对称轴，然后令y＝1求出相应的x的值，然后即可写出使y≤1成立的x取值范围．
【解答】解：∵函数y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1，当x＝1取得最小值﹣3，
当y＝1时，1＝x2﹣2x﹣2，得x1＝3，x2＝﹣1，
∴使y≤1成立的x取值范围是﹣1≤x≤3，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
6．（4分）如图所示，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，当线段EF最小时，cos∠EFD的值等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】矩形的判定与性质；解直角三角形；垂线段最短．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】连接CD，判断出四边形CEDF是矩形，再根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，然后根据垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，利用勾股定理求出AB，根据矩形的性质可得∠EFD＝∠ECD，再根据同角的余角相等求出∠ECD＝∠A，从而得到∠EFD＝∠A，然后根据锐角三角函数的定义列式计算即可得解．
【解答】解：如图，连接CD，
∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB5，
∵四边形CEDF是矩形，
∴∠EFD＝∠ECD，
∵∠ECD+∠ACD＝90°，
∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ECD＝∠A，
∴∠EFD＝∠A，
∴cos∠EFD＝cos∠A，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，锐角三角函数的定义，熟记性质与判定方法并确定出EF最短时的位置是解题的关键．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）若，则 ．
【考点】比例的性质．
【专题】分式；运算能力．
【答案】．
【分析】根据多项式除以单项式法则得出1，再求出答案即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴1，
∴1，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果ad＝bc，那么．
8．（4分）已知向量关系式26（），那么向量 （用向量与向量表示）．
【考点】*平面向量．
【专题】计算题；运算能力；应用意识．
【答案】．
【分析】在已知关系式中，求出x即可解决问题．
【解答】解：∵26（），
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．（4分）请你写出一个抛物线使它满足以下条件：（1）开口向下，（2）顶点坐标为（1，3），则这个抛物线的表达式是 y＝﹣x2+2x+2（答案不唯一） ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】y＝﹣x2+2x+2（答案不唯一）．
【分析】由开口向下可知二次项系数小于0，根据顶点坐标公式可设其为顶点式，可求得答案．
【解答】解：∵顶点坐标为（1，3），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3，
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∴可取a＝﹣1，
∴抛物线解析式可以为y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣x2+2x+2，
故答案为：y＝﹣x2+2x+2（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
10．（4分）抛物线yx2+2，当﹣1≤x≤5时，y的取值范围是 y≤2 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】y≤2．
【分析】根据二次函数的性质，当x＞0时，y随x的增大而减小，然后把x的值代入进行计算即可得解．
【解答】解：∵a0，
∴x＞0时，y随x的增大而减小，
∵﹣1≤x≤5，
∴x＝0时，y的最大值＝2；
当x＝5时，y最小52+2．
∴y的取值范围是y≤2．
故答案为：y≤2．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．
11．（4分）在平面直角坐标系中，与x轴正半轴所成的锐角α的终边经过点P（x，2），点P到坐标原点的距离r，则sinα＝ ，cosα＝ ，tanα＝ ．
【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】；；．
【分析】先利用勾股定理和点p的位置计算x，再利用直角三角形的边角间关系求出a的正弦、余弦和正切值．
【解答】解：∵p（x，2），r，
∴x3．
∴sinα，
cosa，
tana．
故答案为：；；．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点D是斜边AB的中点，点G为△ABC的重心，GD，则BC＝ 8 ．
【考点】三角形的重心；直角三角形斜边上的中线．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】8．
【分析】根据三角形的重心性质求得CD的长度，再由直角三角形斜边上的中线性质求得AB，由勾股定理求得BC．
【解答】解：∵点G为△ABC的重心，GD，
∴CD＝3GD＝5，
∵∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，
∴AB＝2CD＝10，
∵AC＝6，
∴BC，
故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形的重心定理，直角三角形斜边上的中线定理，勾股定理，根据重心定理求得CD是解题的关键．
13．（4分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如果△ABC中，AB＝AC，那么顶角A的正对记作sadA，这时sadA．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果∠A的正弦函数为，那么sadA的值为 ．
【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】过点C作CD⊥AB，利用sinA设出CD、AC的长，根据勾股定理求出AD，利用线段的和差关系求出BD，利用勾股定理再求出BC，最后根据sadA的规定求值即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．
∵sinA，设CD的长为3k，则AC的长为5k．
∴AD4k．
∵AB＝AC＝5k，
∴BD＝k．
∴BC
k．
∴sadA．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理、直角三角形的边角间关系及新定义运算的规定是解决本题的关键．
14．（4分）在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果S△ABC：S四边形ABCD＝2：3，那么S△AOD：S△BOC＝ 1：4 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】计算题；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据S△ABC：S四边形ABCD＝2：3可得S△ACD：S△ABC＝1：2，可得AD：BC＝1：2；然后根据相似三角形的面积的比的等于它们的相似比的平方，求出S△AOD：S△BOC是多少即可．
【解答】解：∵S△ABC：S四边形ABCD＝2：3，S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，
∴S△ACD：S△ABC＝1：2，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AD：BC＝1：2；
∴△AOD∽△BOC，
∴S△AOD：S△BOC＝1：4．
故答案为：1：4．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
15．（4分）学校准备建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米，设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃的面积为y平方米，写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 y＝﹣2x2+30x（6≤x＜15） ．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】y＝﹣2x2+30x，6≤x＜15．
【分析】利用矩形的面积公式，列出面积y关于x的函数解析式，即可求解
【解答】解：由题意可得，y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，
即y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+30x；
∵墙的长度为18，
∴0＜30﹣2x≤18，
解得，6≤x＜15，
即x的取值范围是6≤x＜15；
故答案为：y＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）．
【点评】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．
16．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若，DE＝6，则BC等于 8 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】8．
【分析】利用平行线的性质和“A”字模型的方法解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴．
∵，DE＝6，
∴，
∴BC＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan∠BAC，BC．将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB'C'，则图中阴影部分的面积是 ．
【考点】扇形面积的计算；旋转的性质；解直角三角形．
【专题】与圆有关的计算；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】由图可知，阴影部分的面积＝扇形ABB'的面积﹣△ADB'的面积，然后根据题目中的条件，可以计算出AD、DE、AB'的长，从而可以解答本题．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan∠BAC，BC，
∴∠BAC＝60°，AC＝1，AB＝2，
∵△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB'C'，
∴∠CAC'＝30°，∠BAB'＝30°，AC＝AC'＝1，AB＝AB'＝2，
∴∠C'AB＝30°，
∴AD，
∴DE＝AD sin30°，
∴图中阴影部分的面积是：，
故答案为：．
【点评】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．（4分）二次函数y＝（x+1）2+6的图象的开口方向为 向上 ，顶点坐标为 （﹣1，6） ．
【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】向上；（﹣1，6）．
【分析】根据二次函数顶点式求解．
【解答】解：∵y＝（x+1）2+6，
∵a＞0，
∴开口向上，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，6），
故答案为：向上；（﹣1，6）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：2sin30°﹣3tan45° sin245°+cos60°．
【考点】特殊角的三角函数值．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】0．
【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，计算即可．
【解答】解：原式＝23×1×（）2
＝1
＝0．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．（10分）定义：在平面直角坐标系中，若两条抛物线的顶点关于原点成中心对称，且二次项系数之积等于﹣2．我们就称其中一条抛物线是另一条抛物线的逆对抛物线．
（1）写出抛物线y＝x2+2x﹣3的顶点坐标，并写出它的逆对抛物线；
（2）已知抛物线y2＝ax2+bx+c是抛物线y1＝mx2+4mx+3m的逆对抛物线．
①当抛物线y1经过点（﹣2，﹣1）时，求a+b+c的值；
②设抛物线y1与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左侧），抛物线y2与x轴的交点为C（在其对称轴左侧）．若这三点依次排列后，点B恰好是A，C两点连线的中点，求此时m的值．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．
【专题】新定义；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣2（x﹣1）2+4；
（2）①﹣1，②±．
【分析】（1）将抛物线y＝x2+2x﹣3配方，求出顶点坐标为（﹣1，﹣4），进而它的逆对抛物线的顶点坐标，进而求出它的逆对抛物线；
（2）①将点（﹣2，﹣1）代入抛物线y1＝mx2+4mx+3m求出m的值，进而求出它的逆对抛物线的解析式，即可求解；
②根据抛物线y2＝ax2+bx+c是抛物线y1＝mx2+4mx+3m的逆对抛物线求出y2的解析式，根据y1＝mx2+4mx+3m的解析式求出A，B的坐标，根据点B恰好是A，C两点连线的中点，求出点C的坐标，将C点坐标代入y2（x﹣2）2+m即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∵（﹣1，﹣4）关于原点的对称点是（1，4），
∴它的逆对抛物线为y＝﹣2（x﹣1）2+4；
（2）①∵抛物线y1经过点（﹣2，﹣1），
∴4m﹣8m+3m＝﹣1，
∴m＝1，
∴y1＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
∴抛物线y1＝mx2+4mx+3m的顶点坐标为（﹣2，﹣1），
∵抛物线y2＝ax2+bx+c是抛物线y1＝mx2+4mx+3m的逆对抛物线，
∴抛物线y2＝ax2+bx+c的顶点为（2，1），
∴抛物线y2＝﹣2（x﹣2）2+1＝﹣2x2+8x﹣7，
∴a＝﹣2，b＝8，c＝﹣7，
∴a+b+c＝﹣2+8+（﹣7）＝﹣1，
②由题意得，抛物线y1＝mx2+4mx+3m的顶点坐标为（﹣2，﹣m），
∵抛物线y2＝ax2+bx+c是抛物线y1＝mx2+4mx+3m的逆对抛物线，
∴a，抛物线y2＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，m），
∴y2（x﹣2）2+m，
令y1＝0，
即mx2+4mx+3m＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，
∴抛物线y1与x轴的两个交点为A（﹣3，0），B（﹣1，0），
当点B恰好是A，C两点连线的中点时，点C的坐标为（1，0），
∴m＝0，
即m＝±．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的性质等，是一道新定义题目，解题的关键是根据新定义求出抛物线的解析式．
21．（10分）已知：如图，AM是△ABC的中线，点G是重心，点D、E分别在边AB和BC上，四边形BEGD是平行四边形．
（1）求证DE∥AC；
（2）设，，用向量，表示 （） ．
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心；平行四边形的性质；*平面向量．
【专题】三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（）．
【分析】（1）由三角形重心的性质得到AG＝2GM，由平行四边形的性质得到GE∥AB，DG∥BM，推出BE：EM＝AG：GM，得到BEMB，而MBBC，得到BEBC，由DG∥BM，推出BD：AD＝MG：AG，得到BDBA，因此BD：BA＝BE：BC，而∠DBE＝∠ABC，推出△BDE∽△BAC，得到∠BDE＝∠BAC，即可证明DE∥AC；
（2）由平面向量的运算法则，即可求解．
【解答】（1）证明：∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2GM，
∵四边形BEGD是平行四边形，
∴GE∥AB，DG∥BM，
∴BE：EM＝AG：GM，
∴BE＝2ME，
∴BEMB，
∵AM是△ABC的中线，
∴MBBC，
∴BEBC，
∵DG∥BM，
∴BD：AD＝MG：AG，
∵G是△ABC的重心，
∴MGAG，
∴BDAD，
∴BDBA，
∴BD：BA＝BE：BC，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴△BDE∽△BAC，
∴∠BDE＝∠BAC，
∴DE∥AC；
（2）解：∵，，
∴，
∵△BDE∽△BAC，
∴DE：AC＝BD：BA＝1：3，
∴DEAC，
∵DE∥AC，
∴（）．
故答案为：（）．
【点评】本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量，关键是证明△BDE∽△BAC，掌握平面向量的运算法则．
22．（10分）如图，有两座建筑物AB，CD，建筑物AB的高为30m，从A点测得D点的俯角为30°，从C点测得A点的仰角为45°．
（1）求建筑物AB与建筑物CD间的水平距离BC；
（2）求建筑物CD的高．（结果精确到0.1，1.414，1.732）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）建筑物AB与建筑物CD间的水平距离BC为30m；
（2）建筑物CD的高约为12.7m．
【分析】（1）根据题意可得：AB⊥BC，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答；
（2）过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，根据题意可得：AB＝CE＝30m，AE＝BC＝30m，然后在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出ED的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：AB⊥BC，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝30m，
∴BC30（m），
∴建筑物AB与建筑物CD间的水平距离BC为30m；
（2）过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，
由题意得：AB＝CE＝30m，AE＝BC＝30m，
在Rt△AED中，∠EAD＝30°，
∴ED＝AE tan30°＝3010（m），
∴CD＝CE﹣ED＝30﹣1012.7（m），
∴建筑物CD的高约为12.7m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝10，AF＝7，求AE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）．
【分析】（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF＝∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）根据平行四边形的性质可得出CD＝AB＝8，根据相似三角形的性质可得出，代入各线段长度可求出DE的长度，再在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°；
∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，AD＝10，AF＝7，
∴DC＝AB＝8，BC＝AD＝10，
∵△ADF∽△DEC，
∴，即，
∴DE．
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD．
在Rt△ADE中，∠EAD＝90°，DE，AD＝10，
∴AE．
【点评】此题主要考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是熟记判定三角形相似的各种方法和各种性质．
24．（12分）如图所示，平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x+2k）（x﹣k）图象与x轴交于A、B两点，抛物线对称轴为直线x＝﹣2；
（1）求k的值；
（2）点C为抛物线上一点，连接BC、AC，作CD⊥x轴于D，当∠BCA＝90°时，设CD长度为d，求d与a的函数关系式；
（3）抛物线顶点为S，作ST垂直AB于T，点Q为第一象限抛物线上一点，连接AQ交ST于点P，过B作x轴的垂线交AQ延长线于点E，连接OE交BQ于点G，过O作OE的垂线交AQ于点F，若OF＝OG，tan∠ABQ＝2时，连接SQ，求证：SQ＝SP．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；函数思想；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）k＝4；
（2）d；
（3）证明见解答．
【分析】（1）根据抛物线y＝a（x+2k）（x﹣k）与x轴交于A、B两点，可得A（﹣2k，0），B（k，0），利用对称轴x＝﹣2即可求出k；
（2）先证明△CAD∽△BCD，可得CD2＝AD BD，设C（x，y），则D（x，0），AD＝x﹣（﹣8）＝x+8，BD＝4﹣x，d＝CD＝y＝a（x+8）（x﹣4），建立方程求解即可；
（3）过点F作FM⊥AB于点M，过点G作GN⊥AB于点N，过点Q作QH⊥AB于点H，设Q（t，a（t+8）（t﹣4）），则BH＝4﹣t，QH＝a（t+8）（t﹣4），根据tan∠ABQ＝2，可求得t，即可得Q（，），运用待定系数法分别求出直线AQ、直线OE、直线BQ的解析式，联立直线OE与直线BQ的解析式，可求得点G的坐标，再证明△OFM≌△GON，即可得点F的坐标，将F坐标代入直线AQ解析式即可求得a的值，将a的值代入计算即可证得结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x+2k）（x﹣k）与x轴交于A、B两点，
∴A（﹣2k，0），B（k，0），
∵对称轴为直线x＝﹣2，
∴2，
∴k＝4；
（2）如图1，设C（x，y），则D（x，0），
由（1）知，k＝4，y＝a（x+8）（x﹣4），
∴A（﹣8，0），B（4，0），
∴AD＝x﹣（﹣8）＝x+8，BD＝4﹣x，d＝CD＝y＝a（x+8）（x﹣4），
∵CD⊥x轴于D，∠BCA＝90°，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠ACD+∠BCD＝∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCD，
∴△CAD∽△BCD，
∴，
∴CD2＝AD BD，
∴[a（x+8）（x﹣4）]2＝（x+8）（4﹣x），
∴（x+8）（x﹣4）[a2（x+8）（x﹣4）+1]＝0，
∵点C不与A、B重合，
∴（x+8）（x﹣4）≠0，
∴a2（x+8）（x﹣4）+1＝0，
∴（x+8）（x﹣4），
∴d＝a（x+8）（x﹣4）＝a×（），
∴d与a的函数关系式为：d；
（3）如图3，过点F作FM⊥AB于点M，过点G作GN⊥AB于点N，过点Q作QH⊥AB于点H，
设Q（t，a（t+8）（t﹣4）），则BH＝4﹣t，QH＝a（t+8）（t﹣4），
∵tan∠ABQ＝2，
∴2，即QH＝2BH，
∴a（t+8）（t﹣4）＝2（4﹣t），
∴（t﹣4）（at+8a+2）＝0，
∴t＝4（舍去）或t，
∴Q（，），
设直线AQ解析式为y＝k1x+b1，将A（﹣8，0），Q（，）分别代入，
得：，
解得：，
∴直线AQ解析式为y＝（﹣12a﹣2）x﹣96a﹣16，
∴P（﹣2，﹣72a﹣12），E（4，﹣144a﹣24），
设直线OE解析式为y＝mx，则4m＝﹣144a﹣24，
∴m＝﹣36a﹣6，
∴直线OE解析式为y＝（﹣36a﹣6）x，
设直线BQ解析式为y＝k2x+b2，
∴，
解得：，
∴直线BQ解析式为y＝﹣2x+8，
联立直线OE与直线BQ的解析式，得，
解得：，
∴G（，），
∵OE⊥OF，FM⊥AB，GN⊥AB，
∴∠EOF＝∠OMF＝∠ONG＝90°，
∵∠FOM+∠GON＝∠FOM+∠OFM＝90°，
∴∠OFM＝∠GON，
∵OF＝OG，
∴△OFM≌△GON（AAS），
∴OM＝GN，FM＝ON，
∴F（，），
∵点F在直线AQ上，
∴（﹣12a﹣2）×（）﹣96a﹣16，
解得：a，
∴抛物线解析式为y（x+8）（x﹣4）（x+2）2，
∴S（﹣2，），
∵直线AQ解析式为yx+4，
∴P（﹣2，3），
∴SP3，
∵Q（，），
∴SQ，
∴SQ＝SP．
【点评】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法，一次函数图象交点坐标，两点间距离公式，三角函数定义，全等三角形判定和性质等，中考压轴题，综合性强，难度大，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，添加辅助线构造全等三角形．
25．（14分）探索发现：如图1，等边△ABC中，G为BC的中点，D，E分别是BC、AC上的两点，BD＝CE．
（1）求证：∠BAD＝∠CBE；
（2）H为EF上一点，若∠BHG+∠AFH＝90°，求的值；
迁移拓展：（3）如图2，等腰Rt△ABC中，G为斜边BC的中点，D为BG中点，BD＝1，E是AC上的点，CEBD，H为EF上一点，若∠BHG+∠AFH＝90°，直接写出HG的长．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）2；
（3）．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，证明△ABD≌△BCE（SAS），由全等三角形的性质得出∠BAD＝∠CBE；
（2）连接AH，AG，由（1）得∠AFH＝60°，证明△AMB∽△HMG，由相似三角形的性质得出，证明△AMH∽△BMG，得出AH⊥BE，则可得出结论；
（3）连接AH，AG，证明△BCE∽△ABD，由相似三角形的性质得出∠CBE＝∠BAD，证明△FBD∽△BAD，得出，求出AD的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE；
（2）解：连接AH，AG，
由（1）得∠AFH＝60°，
∵∠BHG+∠AFH＝90°，
∴∠BHG＝30°，
∵△ABC是等边三角形，G为BC中点，
∴∠BAG＝30°，AG⊥BC，
∴∠BHG＝∠BAG，
又∵∠AMB＝∠GMH，
∴△AMB∽△HMG，
∴，
∵，
又∵∠AMH＝∠BMG，
∴△AMH∽△BMG，
∴AH⊥BE，
∴∠FAH＝30°，
∴AF＝2FH，
∴；
（3）解：连接AH，AG，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，，
∵CEBD，
∴，
∴△BCE∽△ABD，
∴∠CBE＝∠BAD，
∴∠AFE＝45°，
∵∠BHG+∠AFH＝90°，
∠BHG＝45°，
∴GH∥FD，
又∵DG＝BD，
∴GH＝2DF，
∵∠BAD＝∠DBF，∠ADB＝∠BDF，
∴△FBD∽△BAD，
∴，
∴BD2＝DF DA，
∵AG＝2，DG＝1，
∴AD，
∴DF，
∴．
【点评】本题是相似形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
3．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
4．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
5．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
6．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
7．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
9．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
10．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
11．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
12．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
13．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
14．三角形的重心
（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．
（2）重心的性质：
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）
15．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
16．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
17．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
18．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
19．*平面向量
平面向量是在二维平面内既有方向（direction）又有大小（magnitude）的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）．平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示．
20．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
21．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
22．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
23．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若，则ad＝bc．
②合比性质．若，则．
③分比性质．若，则．
④合分比性质．若，则．
⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则．
24．相似图形
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
25．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
26．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
27．相似形综合题
主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大．
28．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°； cos30°；tan30°；
sin45°；cos45°；tan45°＝1；
sin60°；cos60°； tan60°；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
29．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA，cosA，tanA．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
30．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
2024—2025学年上学期上海初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．3a3b的系数是3
C．位似图形必定相似 D．若|a|＝|b|，则a＝b
2．（4分）已知如图①②中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图②中AB，CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A．都相似 B．都不相似 C．只有①相似 D．只有②相似
3．（4分）如图，D，E是△ABC边AB，AC边上的两点，且DE∥BC，若S△ADE：S△ABC＝1：16，则△ADE与△ABC的周长之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：16
4．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G，设，，那么向量用向量、表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）已知函数y＝x2﹣2x﹣2的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使y≤1成立的x取值范围是（ ）
A．﹣3≤x≤1 B．﹣1≤x≤3 C．x≥﹣3 D．x≤﹣1或x≥3
6．（4分）如图所示，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，当线段EF最小时，cos∠EFD的值等于（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）若，则 ．
8．（4分）已知向量关系式26（），那么向量 （用向量与向量表示）．
9．（4分）请你写出一个抛物线使它满足以下条件：（1）开口向下，（2）顶点坐标为（1，3），则这个抛物线的表达式是 ．
10．（4分）抛物线yx2+2，当﹣1≤x≤5时，y的取值范围是 ．
11．（4分）在平面直角坐标系中，与x轴正半轴所成的锐角α的终边经过点P（x，2），点P到坐标原点的距离r，则sinα＝ ，cosα＝ ，tanα＝ ．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点D是斜边AB的中点，点G为△ABC的重心，GD，则BC＝ ．
13．（4分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如果△ABC中，AB＝AC，那么顶角A的正对记作sadA，这时sadA．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果∠A的正弦函数为，那么sadA的值为 ．
14．（4分）在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果S△ABC：S四边形ABCD＝2：3，那么S△AOD：S△BOC＝ ．
15．（4分）学校准备建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米，设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃的面积为y平方米，写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若，DE＝6，则BC等于 ．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan∠BAC，BC．将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB'C'，则图中阴影部分的面积是 ．
18．（4分）二次函数y＝（x+1）2+6的图象的开口方向为 ，顶点坐标为 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：2sin30°﹣3tan45° sin245°+cos60°．
20．（10分）定义：在平面直角坐标系中，若两条抛物线的顶点关于原点成中心对称，且二次项系数之积等于﹣2．我们就称其中一条抛物线是另一条抛物线的逆对抛物线．
（1）写出抛物线y＝x2+2x﹣3的顶点坐标，并写出它的逆对抛物线；
（2）已知抛物线y2＝ax2+bx+c是抛物线y1＝mx2+4mx+3m的逆对抛物线．
①当抛物线y1经过点（﹣2，﹣1）时，求a+b+c的值；
②设抛物线y1与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左侧），抛物线y2与x轴的交点为C（在其对称轴左侧）．若这三点依次排列后，点B恰好是A，C两点连线的中点，求此时m的值．
21．（10分）已知：如图，AM是△ABC的中线，点G是重心，点D、E分别在边AB和BC上，四边形BEGD是平行四边形．
（1）求证DE∥AC；
（2）设，，用向量，表示 ．
22．（10分）如图，有两座建筑物AB，CD，建筑物AB的高为30m，从A点测得D点的俯角为30°，从C点测得A点的仰角为45°．
（1）求建筑物AB与建筑物CD间的水平距离BC；
（2）求建筑物CD的高．（结果精确到0.1，1.414，1.732）
23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝10，AF＝7，求AE的长．
24．（12分）如图所示，平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x+2k）（x﹣k）图象与x轴交于A、B两点，抛物线对称轴为直线x＝﹣2；
（1）求k的值；
（2）点C为抛物线上一点，连接BC、AC，作CD⊥x轴于D，当∠BCA＝90°时，设CD长度为d，求d与a的函数关系式；
（3）抛物线顶点为S，作ST垂直AB于T，点Q为第一象限抛物线上一点，连接AQ交ST于点P，过B作x轴的垂线交AQ延长线于点E，连接OE交BQ于点G，过O作OE的垂线交AQ于点F，若OF＝OG，tan∠ABQ＝2时，连接SQ，求证：SQ＝SP．
25．（14分）探索发现：如图1，等边△ABC中，G为BC的中点，D，E分别是BC、AC上的两点，BD＝CE．
（1）求证：∠BAD＝∠CBE；
（2）H为EF上一点，若∠BHG+∠AFH＝90°，求的值；
迁移拓展：（3）如图2，等腰Rt△ABC中，G为斜边BC的中点，D为BG中点，BD＝1，E是AC上的点，CEBD，H为EF上一点，若∠BHG+∠AFH＝90°，直接写出HG的长．
2024—2025学年上学期上海初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．3a3b的系数是3
C．位似图形必定相似 D．若|a|＝|b|，则a＝b
【考点】命题与定理；相似图形；绝对值；单项式；线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】根据线段的性质、单项式、相似图形和绝对值进行判断解答．
【解答】解：A、两点之间，线段最短，是真命题；
B、3a3b的系数是3，是真命题；
C、位似图形必定相似，是真命题；
D、若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，原命题是假命题；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．（4分）已知如图①②中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图②中AB，CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A．都相似 B．都不相似 C．只有①相似 D．只有②相似
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理、相似三角形的判定解决此题．
【解答】解：图①：左边的三角形的三个内角的度数分别为35°、75°、70°；右边的三角形的三个内角的度数分别为35°、75°、70°；所以这两个三角形相似．
图②：由图可知，∠AOC＝∠DOB．
∵，
∴．
∴△AOC∽△DOB．
∴图②中两个三角形相似．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理、相似三角形的判定，熟练掌握三角形内角和定理、相似三角形的判定是解决本题的关键．
3．（4分）如图，D，E是△ABC边AB，AC边上的两点，且DE∥BC，若S△ADE：S△ABC＝1：16，则△ADE与△ABC的周长之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：16
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】由平行易证△ADE∽△ABC，由面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△ABC
∵S△ADE：S△ABC＝1：16
∴△ADE与△ABC周长之比为1：4，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键．
4．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G，设，，那么向量用向量、表示为（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形的重心；*平面向量．
【专题】特定专题；推理能力．
【答案】A
【分析】利用三角形的法则求出，再根据三角形重心的性质解决问题即可．
【解答】解：∵，，
∴，
∵AD，BE是△ABC的中线，
∴G是△ABC的重心，
∴BGBE，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的重心，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（4分）已知函数y＝x2﹣2x﹣2的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使y≤1成立的x取值范围是（ ）
A．﹣3≤x≤1 B．﹣1≤x≤3 C．x≥﹣3 D．x≤﹣1或x≥3
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力；应用意识．
【答案】B
【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的顶点坐标、对称轴，然后令y＝1求出相应的x的值，然后即可写出使y≤1成立的x取值范围．
【解答】解：∵函数y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1，当x＝1取得最小值﹣3，
当y＝1时，1＝x2﹣2x﹣2，得x1＝3，x2＝﹣1，
∴使y≤1成立的x取值范围是﹣1≤x≤3，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
6．（4分）如图所示，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，当线段EF最小时，cos∠EFD的值等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】矩形的判定与性质；解直角三角形；垂线段最短．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】连接CD，判断出四边形CEDF是矩形，再根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，然后根据垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，利用勾股定理求出AB，根据矩形的性质可得∠EFD＝∠ECD，再根据同角的余角相等求出∠ECD＝∠A，从而得到∠EFD＝∠A，然后根据锐角三角函数的定义列式计算即可得解．
【解答】解：如图，连接CD，
∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB5，
∵四边形CEDF是矩形，
∴∠EFD＝∠ECD，
∵∠ECD+∠ACD＝90°，
∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ECD＝∠A，
∴∠EFD＝∠A，
∴cos∠EFD＝cos∠A，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，锐角三角函数的定义，熟记性质与判定方法并确定出EF最短时的位置是解题的关键．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）若，则 ．
【考点】比例的性质．
【专题】分式；运算能力．
【答案】．
【分析】根据多项式除以单项式法则得出1，再求出答案即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴1，
∴1，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果ad＝bc，那么．
8．（4分）已知向量关系式26（），那么向量 （用向量与向量表示）．
【考点】*平面向量．
【专题】计算题；运算能力；应用意识．
【答案】．
【分析】在已知关系式中，求出x即可解决问题．
【解答】解：∵26（），
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．（4分）请你写出一个抛物线使它满足以下条件：（1）开口向下，（2）顶点坐标为（1，3），则这个抛物线的表达式是 y＝﹣x2+2x+2（答案不唯一） ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】y＝﹣x2+2x+2（答案不唯一）．
【分析】由开口向下可知二次项系数小于0，根据顶点坐标公式可设其为顶点式，可求得答案．
【解答】解：∵顶点坐标为（1，3），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3，
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∴可取a＝﹣1，
∴抛物线解析式可以为y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣x2+2x+2，
故答案为：y＝﹣x2+2x+2（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
10．（4分）抛物线yx2+2，当﹣1≤x≤5时，y的取值范围是 y≤2 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】y≤2．
【分析】根据二次函数的性质，当x＞0时，y随x的增大而减小，然后把x的值代入进行计算即可得解．
【解答】解：∵a0，
∴x＞0时，y随x的增大而减小，
∵﹣1≤x≤5，
∴x＝0时，y的最大值＝2；
当x＝5时，y最小52+2．
∴y的取值范围是y≤2．
故答案为：y≤2．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．
11．（4分）在平面直角坐标系中，与x轴正半轴所成的锐角α的终边经过点P（x，2），点P到坐标原点的距离r，则sinα＝ ，cosα＝ ，tanα＝ ．
【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】；；．
【分析】先利用勾股定理和点p的位置计算x，再利用直角三角形的边角间关系求出a的正弦、余弦和正切值．
【解答】解：∵p（x，2），r，
∴x3．
∴sinα，
cosa，
tana．
故答案为：；；．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点D是斜边AB的中点，点G为△ABC的重心，GD，则BC＝ 8 ．
【考点】三角形的重心；直角三角形斜边上的中线．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】8．
【分析】根据三角形的重心性质求得CD的长度，再由直角三角形斜边上的中线性质求得AB，由勾股定理求得BC．
【解答】解：∵点G为△ABC的重心，GD，
∴CD＝3GD＝5，
∵∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，
∴AB＝2CD＝10，
∵AC＝6，
∴BC，
故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形的重心定理，直角三角形斜边上的中线定理，勾股定理，根据重心定理求得CD是解题的关键．
13．（4分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如果△ABC中，AB＝AC，那么顶角A的正对记作sadA，这时sadA．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果∠A的正弦函数为，那么sadA的值为 ．
【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】过点C作CD⊥AB，利用sinA设出CD、AC的长，根据勾股定理求出AD，利用线段的和差关系求出BD，利用勾股定理再求出BC，最后根据sadA的规定求值即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．
∵sinA，设CD的长为3k，则AC的长为5k．
∴AD4k．
∵AB＝AC＝5k，
∴BD＝k．
∴BC
k．
∴sadA．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理、直角三角形的边角间关系及新定义运算的规定是解决本题的关键．
14．（4分）在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果S△ABC：S四边形ABCD＝2：3，那么S△AOD：S△BOC＝ 1：4 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】计算题；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据S△ABC：S四边形ABCD＝2：3可得S△ACD：S△ABC＝1：2，可得AD：BC＝1：2；然后根据相似三角形的面积的比的等于它们的相似比的平方，求出S△AOD：S△BOC是多少即可．
【解答】解：∵S△ABC：S四边形ABCD＝2：3，S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，
∴S△ACD：S△ABC＝1：2，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AD：BC＝1：2；
∴△AOD∽△BOC，
∴S△AOD：S△BOC＝1：4．
故答案为：1：4．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
15．（4分）学校准备建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米，设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃的面积为y平方米，写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 y＝﹣2x2+30x（6≤x＜15） ．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】y＝﹣2x2+30x，6≤x＜15．
【分析】利用矩形的面积公式，列出面积y关于x的函数解析式，即可求解
【解答】解：由题意可得，y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，
即y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+30x；
∵墙的长度为18，
∴0＜30﹣2x≤18，
解得，6≤x＜15，
即x的取值范围是6≤x＜15；
故答案为：y＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）．
【点评】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．
16．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若，DE＝6，则BC等于 8 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】8．
【分析】利用平行线的性质和“A”字模型的方法解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴．
∵，DE＝6，
∴，
∴BC＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan∠BAC，BC．将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB'C'，则图中阴影部分的面积是 ．
【考点】扇形面积的计算；旋转的性质；解直角三角形．
【专题】与圆有关的计算；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】由图可知，阴影部分的面积＝扇形ABB'的面积﹣△ADB'的面积，然后根据题目中的条件，可以计算出AD、DE、AB'的长，从而可以解答本题．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan∠BAC，BC，
∴∠BAC＝60°，AC＝1，AB＝2，
∵△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB'C'，
∴∠CAC'＝30°，∠BAB'＝30°，AC＝AC'＝1，AB＝AB'＝2，
∴∠C'AB＝30°，
∴AD，
∴DE＝AD sin30°，
∴图中阴影部分的面积是：，
故答案为：．
【点评】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．（4分）二次函数y＝（x+1）2+6的图象的开口方向为 向上 ，顶点坐标为 （﹣1，6） ．
【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】向上；（﹣1，6）．
【分析】根据二次函数顶点式求解．
【解答】解：∵y＝（x+1）2+6，
∵a＞0，
∴开口向上，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，6），
故答案为：向上；（﹣1，6）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：2sin30°﹣3tan45° sin245°+cos60°．
【考点】特殊角的三角函数值．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】0．
【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，计算即可．
【解答】解：原式＝23×1×（）2
＝1
＝0．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．（10分）定义：在平面直角坐标系中，若两条抛物线的顶点关于原点成中心对称，且二次项系数之积等于﹣2．我们就称其中一条抛物线是另一条抛物线的逆对抛物线．
（1）写出抛物线y＝x2+2x﹣3的顶点坐标，并写出它的逆对抛物线；
（2）已知抛物线y2＝ax2+bx+c是抛物线y1＝mx2+4mx+3m的逆对抛物线．
①当抛物线y1经过点（﹣2，﹣1）时，求a+b+c的值；
②设抛物线y1与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左侧），抛物线y2与x轴的交点为C（在其对称轴左侧）．若这三点依次排列后，点B恰好是A，C两点连线的中点，求此时m的值．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．
【专题】新定义；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣2（x﹣1）2+4；
（2）①﹣1，②±．
【分析】（1）将抛物线y＝x2+2x﹣3配方，求出顶点坐标为（﹣1，﹣4），进而它的逆对抛物线的顶点坐标，进而求出它的逆对抛物线；
（2）①将点（﹣2，﹣1）代入抛物线y1＝mx2+4mx+3m求出m的值，进而求出它的逆对抛物线的解析式，即可求解；
②根据抛物线y2＝ax2+bx+c是抛物线y1＝mx2+4mx+3m的逆对抛物线求出y2的解析式，根据y1＝mx2+4mx+3m的解析式求出A，B的坐标，根据点B恰好是A，C两点连线的中点，求出点C的坐标，将C点坐标代入y2（x﹣2）2+m即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∵（﹣1，﹣4）关于原点的对称点是（1，4），
∴它的逆对抛物线为y＝﹣2（x﹣1）2+4；
（2）①∵抛物线y1经过点（﹣2，﹣1），
∴4m﹣8m+3m＝﹣1，
∴m＝1，
∴y1＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
∴抛物线y1＝mx2+4mx+3m的顶点坐标为（﹣2，﹣1），
∵抛物线y2＝ax2+bx+c是抛物线y1＝mx2+4mx+3m的逆对抛物线，
∴抛物线y2＝ax2+bx+c的顶点为（2，1），
∴抛物线y2＝﹣2（x﹣2）2+1＝﹣2x2+8x﹣7，
∴a＝﹣2，b＝8，c＝﹣7，
∴a+b+c＝﹣2+8+（﹣7）＝﹣1，
②由题意得，抛物线y1＝mx2+4mx+3m的顶点坐标为（﹣2，﹣m），
∵抛物线y2＝ax2+bx+c是抛物线y1＝mx2+4mx+3m的逆对抛物线，
∴a，抛物线y2＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，m），
∴y2（x﹣2）2+m，
令y1＝0，
即mx2+4mx+3m＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，
∴抛物线y1与x轴的两个交点为A（﹣3，0），B（﹣1，0），
当点B恰好是A，C两点连线的中点时，点C的坐标为（1，0），
∴m＝0，
即m＝±．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的性质等，是一道新定义题目，解题的关键是根据新定义求出抛物线的解析式．
21．（10分）已知：如图，AM是△ABC的中线，点G是重心，点D、E分别在边AB和BC上，四边形BEGD是平行四边形．
（1）求证DE∥AC；
（2）设，，用向量，表示 （） ．
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心；平行四边形的性质；*平面向量．
【专题】三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（）．
【分析】（1）由三角形重心的性质得到AG＝2GM，由平行四边形的性质得到GE∥AB，DG∥BM，推出BE：EM＝AG：GM，得到BEMB，而MBBC，得到BEBC，由DG∥BM，推出BD：AD＝MG：AG，得到BDBA，因此BD：BA＝BE：BC，而∠DBE＝∠ABC，推出△BDE∽△BAC，得到∠BDE＝∠BAC，即可证明DE∥AC；
（2）由平面向量的运算法则，即可求解．
【解答】（1）证明：∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2GM，
∵四边形BEGD是平行四边形，
∴GE∥AB，DG∥BM，
∴BE：EM＝AG：GM，
∴BE＝2ME，
∴BEMB，
∵AM是△ABC的中线，
∴MBBC，
∴BEBC，
∵DG∥BM，
∴BD：AD＝MG：AG，
∵G是△ABC的重心，
∴MGAG，
∴BDAD，
∴BDBA，
∴BD：BA＝BE：BC，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴△BDE∽△BAC，
∴∠BDE＝∠BAC，
∴DE∥AC；
（2）解：∵，，
∴，
∵△BDE∽△BAC，
∴DE：AC＝BD：BA＝1：3，
∴DEAC，
∵DE∥AC，
∴（）．
故答案为：（）．
【点评】本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量，关键是证明△BDE∽△BAC，掌握平面向量的运算法则．
22．（10分）如图，有两座建筑物AB，CD，建筑物AB的高为30m，从A点测得D点的俯角为30°，从C点测得A点的仰角为45°．
（1）求建筑物AB与建筑物CD间的水平距离BC；
（2）求建筑物CD的高．（结果精确到0.1，1.414，1.732）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）建筑物AB与建筑物CD间的水平距离BC为30m；
（2）建筑物CD的高约为12.7m．
【分析】（1）根据题意可得：AB⊥BC，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答；
（2）过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，根据题意可得：AB＝CE＝30m，AE＝BC＝30m，然后在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出ED的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：AB⊥BC，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝30m，
∴BC30（m），
∴建筑物AB与建筑物CD间的水平距离BC为30m；
（2）过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，
由题意得：AB＝CE＝30m，AE＝BC＝30m，
在Rt△AED中，∠EAD＝30°，
∴ED＝AE tan30°＝3010（m），
∴CD＝CE﹣ED＝30﹣1012.7（m），
∴建筑物CD的高约为12.7m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝10，AF＝7，求AE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）．
【分析】（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF＝∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）根据平行四边形的性质可得出CD＝AB＝8，根据相似三角形的性质可得出，代入各线段长度可求出DE的长度，再在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°；
∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，AD＝10，AF＝7，
∴DC＝AB＝8，BC＝AD＝10，
∵△ADF∽△DEC，
∴，即，
∴DE．
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD．
在Rt△ADE中，∠EAD＝90°，DE，AD＝10，
∴AE．
【点评】此题主要考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是熟记判定三角形相似的各种方法和各种性质．
24．（12分）如图所示，平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x+2k）（x﹣k）图象与x轴交于A、B两点，抛物线对称轴为直线x＝﹣2；
（1）求k的值；
（2）点C为抛物线上一点，连接BC、AC，作CD⊥x轴于D，当∠BCA＝90°时，设CD长度为d，求d与a的函数关系式；
（3）抛物线顶点为S，作ST垂直AB于T，点Q为第一象限抛物线上一点，连接AQ交ST于点P，过B作x轴的垂线交AQ延长线于点E，连接OE交BQ于点G，过O作OE的垂线交AQ于点F，若OF＝OG，tan∠ABQ＝2时，连接SQ，求证：SQ＝SP．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；函数思想；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）k＝4；
（2）d；
（3）证明见解答．
【分析】（1）根据抛物线y＝a（x+2k）（x﹣k）与x轴交于A、B两点，可得A（﹣2k，0），B（k，0），利用对称轴x＝﹣2即可求出k；
（2）先证明△CAD∽△BCD，可得CD2＝AD BD，设C（x，y），则D（x，0），AD＝x﹣（﹣8）＝x+8，BD＝4﹣x，d＝CD＝y＝a（x+8）（x﹣4），建立方程求解即可；
（3）过点F作FM⊥AB于点M，过点G作GN⊥AB于点N，过点Q作QH⊥AB于点H，设Q（t，a（t+8）（t﹣4）），则BH＝4﹣t，QH＝a（t+8）（t﹣4），根据tan∠ABQ＝2，可求得t，即可得Q（，），运用待定系数法分别求出直线AQ、直线OE、直线BQ的解析式，联立直线OE与直线BQ的解析式，可求得点G的坐标，再证明△OFM≌△GON，即可得点F的坐标，将F坐标代入直线AQ解析式即可求得a的值，将a的值代入计算即可证得结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x+2k）（x﹣k）与x轴交于A、B两点，
∴A（﹣2k，0），B（k，0），
∵对称轴为直线x＝﹣2，
∴2，
∴k＝4；
（2）如图1，设C（x，y），则D（x，0），
由（1）知，k＝4，y＝a（x+8）（x﹣4），
∴A（﹣8，0），B（4，0），
∴AD＝x﹣（﹣8）＝x+8，BD＝4﹣x，d＝CD＝y＝a（x+8）（x﹣4），
∵CD⊥x轴于D，∠BCA＝90°，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠ACD+∠BCD＝∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCD，
∴△CAD∽△BCD，
∴，
∴CD2＝AD BD，
∴[a（x+8）（x﹣4）]2＝（x+8）（4﹣x），
∴（x+8）（x﹣4）[a2（x+8）（x﹣4）+1]＝0，
∵点C不与A、B重合，
∴（x+8）（x﹣4）≠0，
∴a2（x+8）（x﹣4）+1＝0，
∴（x+8）（x﹣4），
∴d＝a（x+8）（x﹣4）＝a×（），
∴d与a的函数关系式为：d；
（3）如图3，过点F作FM⊥AB于点M，过点G作GN⊥AB于点N，过点Q作QH⊥AB于点H，
设Q（t，a（t+8）（t﹣4）），则BH＝4﹣t，QH＝a（t+8）（t﹣4），
∵tan∠ABQ＝2，
∴2，即QH＝2BH，
∴a（t+8）（t﹣4）＝2（4﹣t），
∴（t﹣4）（at+8a+2）＝0，
∴t＝4（舍去）或t，
∴Q（，），
设直线AQ解析式为y＝k1x+b1，将A（﹣8，0），Q（，）分别代入，
得：，
解得：，
∴直线AQ解析式为y＝（﹣12a﹣2）x﹣96a﹣16，
∴P（﹣2，﹣72a﹣12），E（4，﹣144a﹣24），
设直线OE解析式为y＝mx，则4m＝﹣144a﹣24，
∴m＝﹣36a﹣6，
∴直线OE解析式为y＝（﹣36a﹣6）x，
设直线BQ解析式为y＝k2x+b2，
∴，
解得：，
∴直线BQ解析式为y＝﹣2x+8，
联立直线OE与直线BQ的解析式，得，
解得：，
∴G（，），
∵OE⊥OF，FM⊥AB，GN⊥AB，
∴∠EOF＝∠OMF＝∠ONG＝90°，
∵∠FOM+∠GON＝∠FOM+∠OFM＝90°，
∴∠OFM＝∠GON，
∵OF＝OG，
∴△OFM≌△GON（AAS），
∴OM＝GN，FM＝ON，
∴F（，），
∵点F在直线AQ上，
∴（﹣12a﹣2）×（）﹣96a﹣16，
解得：a，
∴抛物线解析式为y（x+8）（x﹣4）（x+2）2，
∴S（﹣2，），
∵直线AQ解析式为yx+4，
∴P（﹣2，3），
∴SP3，
∵Q（，），
∴SQ，
∴SQ＝SP．
【点评】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法，一次函数图象交点坐标，两点间距离公式，三角函数定义，全等三角形判定和性质等，中考压轴题，综合性强，难度大，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，添加辅助线构造全等三角形．
25．（14分）探索发现：如图1，等边△ABC中，G为BC的中点，D，E分别是BC、AC上的两点，BD＝CE．
（1）求证：∠BAD＝∠CBE；
（2）H为EF上一点，若∠BHG+∠AFH＝90°，求的值；
迁移拓展：（3）如图2，等腰Rt△ABC中，G为斜边BC的中点，D为BG中点，BD＝1，E是AC上的点，CEBD，H为EF上一点，若∠BHG+∠AFH＝90°，直接写出HG的长．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）2；
（3）．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，证明△ABD≌△BCE（SAS），由全等三角形的性质得出∠BAD＝∠CBE；
（2）连接AH，AG，由（1）得∠AFH＝60°，证明△AMB∽△HMG，由相似三角形的性质得出，证明△AMH∽△BMG，得出AH⊥BE，则可得出结论；
（3）连接AH，AG，证明△BCE∽△ABD，由相似三角形的性质得出∠CBE＝∠BAD，证明△FBD∽△BAD，得出，求出AD的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE；
（2）解：连接AH，AG，
由（1）得∠AFH＝60°，
∵∠BHG+∠AFH＝90°，
∴∠BHG＝30°，
∵△ABC是等边三角形，G为BC中点，
∴∠BAG＝30°，AG⊥BC，
∴∠BHG＝∠BAG，
又∵∠AMB＝∠GMH，
∴△AMB∽△HMG，
∴，
∵，
又∵∠AMH＝∠BMG，
∴△AMH∽△BMG，
∴AH⊥BE，
∴∠FAH＝30°，
∴AF＝2FH，
∴；
（3）解：连接AH，AG，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，，
∵CEBD，
∴，
∴△BCE∽△ABD，
∴∠CBE＝∠BAD，
∴∠AFE＝45°，
∵∠BHG+∠AFH＝90°，
∠BHG＝45°，
∴GH∥FD，
又∵DG＝BD，
∴GH＝2DF，
∵∠BAD＝∠DBF，∠ADB＝∠BDF，
∴△FBD∽△BAD，
∴，
∴BD2＝DF DA，
∵AG＝2，DG＝1，
∴AD，
∴DF，
∴．
【点评】本题是相似形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
3．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
4．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
5．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
6．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
7．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
9．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
10．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
11．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
12．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
13．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
14．三角形的重心
（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．
（2）重心的性质：
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）
15．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
16．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
17．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
18．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
19．*平面向量
平面向量是在二维平面内既有方向（direction）又有大小（magnitude）的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）．平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示．
20．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
21．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
22．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
23．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若，则ad＝bc．
②合比性质．若，则．
③分比性质．若，则．
④合分比性质．若，则．
⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则．
24．相似图形
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
25．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
26．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
27．相似形综合题
主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大．
28．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°； cos30°；tan30°；
sin45°；cos45°；tan45°＝1；
sin60°；cos60°； tan60°；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
29．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA，cosA，tanA．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
30．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
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