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2024—2025学年上学期上海初中数学九年级开学模拟试卷2
一.选择题(共6小题,满分24分,每小题4分)
1.(4分)在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,则cosC的值为( )
A. B. C. D.
2.(4分)已知二次函数y=﹣x2+2x+2,点A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)是其图象上两点,则下列结论正确的是( )
A.若x1+x2>2,则y1<y2 B.若x1+x2<2,则y1<y2
C.若x1+x2>﹣2,则y1>y2 D.若x1+x2<﹣2,则y1>y2
3.(4分)大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”.如图,P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB的长度为8cm,那么AP的长度是( )
A.(44)cm B.(4﹣2)cm C.(44)cm D.(4﹣4)cm
4.(4分)化简 是( )
A. B. C.0 D.
5.(4分)如图,在△ABC中,MN∥BC分别交AB,AC于点M,N.若AM=1,MB=2,BC=3,则MN的长为( )
A.1 B. C.2 D.
6.(4分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O.若S△AOD:S△BOC=1:4则S△AOD:S△ACD=( )
A.1:6 B.1:3 C.1:4 D.1:5
二.填空题(共12小题,满分48分,每小题4分)
7.(4分)服装厂生产一批西服,原计划每天生产100套,20天可以完成任务.实际每天生产125套,实际生产了 天.
8.(4分)在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,直角边AC的中点为D,点E在斜边上且AE=3,若△ADE为直角三角形,则BC的值为 .
9.(4分)在比例尺为1:5000的地图上,甲、乙两地相距20cm,则它们的实际距离为 .
10.(4分)已知△ABC∽△A′B′C′,且,S△ABC=4,则S△A′B′C′= .
11.(4分)如图,直线l1、l2、…、l6是一组等距离的平行线,过直线l1上的点A作两条射线m、n,射线m与直线l3、l6分别相交于B、C,射线n与直线l3、l6分别相交于点D、E.若BD=1,则CE的长为 .
12.(4分)已知点A(﹣2.y1),B(,y2),C(4,y3)都在二次函数y=(x﹣2)2﹣1的图象上,则y1,y2,y3的大
小关系是 .(用“>”号连接)
13.(4分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,ADBC,对角线AC与BD交于点O,设,,那么 .(结果用、表示)
14.(4分)一商场内有一座自动扶梯,小明站在自动扶梯上,当他沿着斜坡向上方向前进了13米时,他在铅垂方向升高了5米,求自动扶梯所在的斜边的坡度i是 .
15.(4分)如图,四边形ABCD是矩形,E,F分别为BC,AB的中点,若∠BCF=2∠EAB,则 .
16.(4分)AD是△ABC的中线,点G是△ABC的重心,若AB=AC=13,,则DG= .
17.(4分)如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点P是边AD上一点,连接BP,过点P作PE⊥BP,交DC于E点,将△ABP沿直线PE翻折,点B落在点B',若△B'PD为等腰三角形,则AP的长为 .
18.(4分)如图,一张矩形纸片ABCD,点E在AB边上,把△BCE沿直线CE折叠,使点B落在对角线AC上的点F处,连接DF,若点E、F、D在同一直线上,AE=2,则 .
三.解答题(共7小题,满分78分)
19.(10分)二次函数f(x)=ax2+bx+c的自变量x的取值与函数y的值列表如下:
x … ﹣2 ﹣1 0 … 2 3 4 …
y=f(x) … ﹣5 0 3 … 3 0 ﹣5 …
(1)根据表中的信息求二次函数的解析式,并用配方法求出顶点的坐标;
(2)请你写出两种平移的方法,使平移后二次函数图象的顶点落在直线y=x上,并写出平移后二次函数的解析式.
20.(10分)已知:如图,平行四边形ABCD中,点M、N分别在边DC、BC上,对角线BD分别交AM、AN于点E、F,且 DE:EF:BF=1:2:1.
(1)求证:MN∥BD;
(2)设,,请直接写出和关于、的分解式:
; .
21.(10分)如图,已知以AB为直径的半圆,圆心为O,弦AC平分∠BAD,点D在半圆上,过点C作CE⊥AD,垂足为点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:EF与半圆O相切于点C.
(2)若AO=3,BF=2,求tan∠ACE的值.
22.(10分)综合与实践
[问题情境]学习完《解直角三角形的应用》后,同学们对如何建立解直角三角形的模型测量物体的实际高度产生了浓厚的兴趣,数学老师决定开展一次主题为《测量学校旗杆高度》的数学实践活动,并为各小组准备了卷尺、测角仪等工具,要求各小组建立测高模型并测量学校旗杆的高度.
[问题探究]第一小组的同学经过讨论,制定出了如下测量实施方案:
第一步,建立测高模型,画出测量示意图(如图1),明确需要测量的数据和测量方法:用卷尺测量测角仪CD的高度和测角仪底部C与旗杆底部A之间的距离,用测角仪测量旗杆顶端B的仰角α;
第二步,进行组员分工,制作测量数据记录表;
第三步,选择不同的位置测量三次,依次记录测量数据;
第四步,整理数据,计算旗杆的高,撰写研究报告.
如表是该组同学研究报告中的数据记录和计算结果:
测量组别 CD的长(米) AC的长(米) 仰角α 计算AB的高(米)
位置1 1 14.4 40° 13.1
位置2 1 16.2 36° 12.8
位置3 1 15.9 38° 13.4
平均值 13.1
研究结论:旗杆的高为n米
(1)表中n的值为 ;该小组选择不同的位置测量三次,再以三次测量计算的旗杆高度的平均数作为研究结论,这样做的目的是 .
(2)该测量模型中,若CD=a,AC=b,仰角为α,用含a,b,α的代数式表示旗杆AB的高度为 .
[拓展应用]
(3)第二小组同学设计的是另外一种测量方案,他们画出的测量示意图如图2,测量时,固定测角仪的高度为1m,先在点C处测得旗杆顶端B的仰角α=30°,然后朝旗杆方向前进14m到达点H处,再次测得旗杆顶端B的仰角β=60°,请你帮他们求出旗杆AB的高度(结果保留根号).
23.(12分)如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰三角形,BC、EF为底边,点D在BA的延长线上,点E是BC的中点,EF交AC于点G.
(1)求证:∠BDE=∠CEG;
(2)连接DG,且DG=DA.
①求证:DE⊥AC;
②若EG=1,求FG的长.
24.(12分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线顶点A的坐标为(﹣2,4),且经过坐标原点,与x轴负半轴交于点B.
(1)求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标;
(2)过点A作AC⊥x轴于点C,若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点(点D与点A不重合),过点D作DE⊥x轴于点E,连接AO,DO,当以A,O,C为顶点的三角形与以D,O,E为顶点的三角形相似时,求点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,当点D在第二象限时,在平面内存在一条直线,这条直线与抛物线在第二象限交于点F,在第三象限交于点G,且点A,点B,点D,到直线FG的距离都相等,请直接写出线段FG的长.
25.(14分)如图,∠EAD是圆的内接四边形ABCD的外角,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,AC,BD相交于点P.求证:
(1)△DBC为等腰三角形;
(2)AB:BD=PB:PC.
2024—2025学年上学期上海初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一.选择题(共6小题,满分24分,每小题4分)
1.(4分)在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,则cosC的值为( )
A. B. C. D.
【考点】锐角三角函数的定义.
【专题】计算题;解直角三角形及其应用.
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出斜边AC的长,再根据余弦函数的定义求解可得.
【解答】解:∵Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,
∴AC5,
∴cosC,
故选:A.
【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义,解题的关键是掌握余弦函数的定义与勾股定理.
2.(4分)已知二次函数y=﹣x2+2x+2,点A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)是其图象上两点,则下列结论正确的是( )
A.若x1+x2>2,则y1<y2 B.若x1+x2<2,则y1<y2
C.若x1+x2>﹣2,则y1>y2 D.若x1+x2<﹣2,则y1>y2
【考点】二次函数的性质;二次函数图象上点的坐标特征.
【专题】二次函数图象及其性质;应用意识.
【答案】B
【分析】由二次函数y=﹣x2+2x+2可知对称轴为x=1,当x1+x2<2时,点A与点B在对称轴的左边,或点A在左侧,点B在对称轴的右侧,且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离小,再结合抛物线开口方向,即可判断.
【解答】解:∵二次函数y=﹣x2+2x+2,
∴抛物线开口向下,对称轴为x=1,
∵x1<x2,
∴当x1+x2<2时,点A与点B在对称轴的左边,或点A在左侧,点B在对称轴的右侧,且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大,
∴y1<y2,
故选:B.
【点评】本题考查了二次函数的性质,灵活应用x1+x2与2的关系确定点A、点B与对称轴的关系是解决本题的关键.
3.(4分)大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”.如图,P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB的长度为8cm,那么AP的长度是( )
A.(44)cm B.(4﹣2)cm C.(44)cm D.(4﹣4)cm
【考点】黄金分割.
【专题】线段、角、相交线与平行线;运算能力.
【答案】A
【分析】根据黄金分割的定义,可得APAB,然后进行计算即可解答.
【解答】解:∵P为AB的黄金分割点(AP>PB),AB=8cm,
∴APAB8=(44)cm,
故选:A.
【点评】本题考查了黄金分割,熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.
4.(4分)化简 是( )
A. B. C.0 D.
【考点】*平面向量.
【专题】计算题;推理能力.
【答案】D
【分析】根据平面向量的加减运算法则化简即可求解.
【解答】解:
,
故选:D.
【点评】本题考查了平面向量的加减运算,熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键.
5.(4分)如图,在△ABC中,MN∥BC分别交AB,AC于点M,N.若AM=1,MB=2,BC=3,则MN的长为( )
A.1 B. C.2 D.
【考点】相似三角形的判定与性质.
【专题】图形的相似;推理能力.
【答案】A
【分析】首先判定△AMN∽△ABC,根据相似三角形的性质可得,然后再代入相应数据可得答案.
【解答】解:∵MN∥BC,
∴△AMN∽△ABC,
∴,
∵AM=1,MB=2,BC=3,
∴,
∴MN=1,
故选:A.
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质,关键是掌握相似三角形对应边成比例.
6.(4分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O.若S△AOD:S△BOC=1:4则S△AOD:S△ACD=( )
A.1:6 B.1:3 C.1:4 D.1:5
【考点】相似三角形的判定与性质.
【专题】图形的相似;推理能力.
【答案】B
【分析】先根据面积之比得出高的比,再根据高之比即可求出面积之比.
【解答】解:∵AD∥BC,
设△AOD中AD边上的高为h1,△BOC中BC边上的高为h2,AD、BC间的距离为h,则
h=h1+h2,
∵S△AOD:S△BOC=1:4,
∴,
∴,即,
∴.
故选:B.
【点评】本题考查相似三角形的性质与判定即三角形的面积,熟悉性质是解题关键.
二.填空题(共12小题,满分48分,每小题4分)
7.(4分)服装厂生产一批西服,原计划每天生产100套,20天可以完成任务.实际每天生产125套,实际生产了 16 天.
【考点】比例的基本性质.
【专题】计算题;运算能力.
【答案】16.
【分析】可设实际生产了x天,根据西服的数量是一定的,列出方程计算即可求解.
【解答】解:设实际生产了x天,
依题意有:,
解得x=16.
故实际生产了16天.
故答案为:16.
【点评】本题考查了用比例的性质解应用题,解题的关键是找准等量关系,正确列出式子.
8.(4分)在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,直角边AC的中点为D,点E在斜边上且AE=3,若△ADE为直角三角形,则BC的值为 3或4 .
【考点】特殊角的三角函数值.
【专题】等腰三角形与直角三角形;运算能力.
【答案】3或4.
【分析】分情况讨论,当∠EDA=90°时,利用中位线的性质即可得到结论,当∠AED=90°时,利用特殊角的锐角三角函数求解,即可得结论.
【解答】解:①当∠EDA=90°时,
∵AE=3,∠A=30°,
∴AD,
∵AC的中点为D,
∴BC=3;
②当∠AED=90°,
∵AE=3,∠A=30°,
∴AD=2,
∵Rt△ABC的直角边AC的中点为D,
∴AC=2AD=4,
∴BC=4.
故答案为:3或4.
【点评】本题考查锐角三角函数.正确记忆相关知识点是解题关键.
9.(4分)在比例尺为1:5000的地图上,甲、乙两地相距20cm,则它们的实际距离为 1000cm .
【考点】比例线段.
【专题】线段、角、相交线与平行线;应用意识.
【答案】1000cm.
【分析】根据比例尺=图上距离:实际距离,列比例式即可求得甲乙两地的实际距离.要注意统一单位.
【解答】解:设甲乙两地的实际距离为x cm,则
1:5000=20:x,
解得x=100000,
100000cm=1000m.
即它们的实际距离为1000m.
故答案为:1000cm.
【点评】考查了比例线段,熟练运用比例尺进行计算,注意单位的转换.
10.(4分)已知△ABC∽△A′B′C′,且,S△ABC=4,则S△A′B′C′= 16 .
【考点】相似三角形的性质.
【专题】图形的相似;运算能力.
【答案】16.
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.
【解答】解:∵△ABC∽△A′B′C′,,
∴()2=1:4,
∵S△ABC=4,
∴S△A′B′C′=16.
故答案为:16.
【点评】本题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
11.(4分)如图,直线l1、l2、…、l6是一组等距离的平行线,过直线l1上的点A作两条射线m、n,射线m与直线l3、l6分别相交于B、C,射线n与直线l3、l6分别相交于点D、E.若BD=1,则CE的长为 .
【考点】平行线分线段成比例.
【专题】图形的相似.
【答案】见试题解答内容
【分析】由直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线,得到△ABD∽△ACE,推出比例式求得结果.
【解答】解:∵l3∥l6,
∴BD∥CE,
∴△ABD∽△ACE,
∴,
∵BD=1,
∴CE.
故答案为:.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,平行线等分线段定理,熟记定理是解题的关键.
12.(4分)已知点A(﹣2.y1),B(,y2),C(4,y3)都在二次函数y=(x﹣2)2﹣1的图象上,则y1,y2,y3的大
小关系是 y1>y3>y2 .(用“>”号连接)
【考点】二次函数图象上点的坐标特征.
【专题】二次函数图象及其性质;推理能力.
【答案】y1>y3>y2.
【分析】根据函数解析式的特点,其对称轴为x=2,图象开口向上,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,据二次函数图象的对称性可知,点(0,y3)与(4,y3)关于对称轴对称,可判断y1>y3>y2.
【解答】解:∵y=(x﹣2)2﹣1,
∴抛物线开口向上,对称轴为x=2,
∴C(4,y3)关于对称轴的对称点为(0,y3),
∵﹣2<0,
∴y1>y3>y2,
故答案为:y1>y3>y2.
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的性质等知识点的理解和掌握,能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键.
13.(4分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,ADBC,对角线AC与BD交于点O,设,,那么 .(结果用、表示)
【考点】*平面向量;平行线的性质;梯形.
【专题】线段、角、相交线与平行线;梯形;运算能力;推理能力.
【答案】.
【分析】由AB∥CD,即可证得△AOD∽△OBC,又由ADBC,即可求得与,即可求得.
【解答】解:∵AD∥BC,ADBC,
∴△AOD∽△OBC,
∴,
∴,,
∴
,
故答案为:.
【点评】本题考查向量的知识与相似三角形的判定与性质,掌握数形结合思想的应用,还要注意向量是有方向的是解题的关键.
14.(4分)一商场内有一座自动扶梯,小明站在自动扶梯上,当他沿着斜坡向上方向前进了13米时,他在铅垂方向升高了5米,求自动扶梯所在的斜边的坡度i是 1:2.4 .
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.
【专题】解直角三角形及其应用;应用意识.
【答案】1:2.4.
【分析】根据在一个斜面上前进13米,铅锤方向上升了5米,可以计算出此时的水平距离,水平高度与水平距离的比值即为坡度,从而可以解答本题.
【解答】解:设在自动扶梯上前进13米,在铅锤方向上升了5米,此时水平距离为x米,
根据勾股定理,得x2+52=132,
解得,x=12(舍去负值),
故该斜坡坡度i=5:12=1:2.4.
故答案为:1:2.4.
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,解题的关键是明确坡度的定义.
15.(4分)如图,四边形ABCD是矩形,E,F分别为BC,AB的中点,若∠BCF=2∠EAB,则 .
【考点】矩形的性质;相似三角形的判定与性质.
【专题】矩形 菱形 正方形;图形的相似;推理能力.
【答案】.
【分析】先求出BF,BH的长,通过证明△ABE∽△HBF,可得,即可求解.
【解答】解:如图,延长BC至H,使FC=CH,连接FH,
设,则CD=mAD=AB,
∵E,F分别为BC,AB的中点,
∴BFABCDmAD,BEBCAD,
∴CFAD,
∵CF=CHAD,
∴∠CFH=∠CHF,BH=ADAD,
∴∠BCF=2∠CHF,
∵∠BCF=2∠EAB,
∴∠BAE=∠CHF,
又∵∠B=∠B,
∴△ABE∽△HBF,
∴,
∴,
∴m2或0(舍去),
∴m(负值舍去),
故答案为:.
【点评】本题考查了矩形的性质,相似三角形的判定和性质,添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键.
16.(4分)AD是△ABC的中线,点G是△ABC的重心,若AB=AC=13,,则DG= 4 .
【考点】三角形的重心;等腰三角形的性质;解直角三角形.
【专题】等腰三角形与直角三角形;解直角三角形及其应用;运算能力;推理能力.
【答案】4.
【分析】根据等腰三角形的三线合一性质得AD⊥BC,再解直角三角形求得AD,进而根据重心定理得DG便可求得结果.
【解答】解:∵AB=AC,AD是△ABC的中线,
∴AD⊥BC,
∵,
∴,
设AD=12x,则BD=5x,
∵AB=13,AD2+BD2=AB2,
∴(12x)2+(5x)2=132,
解得x=﹣1(舍)或x=1,
∴AD=12x=12,
∵点G是△ABC的重心,
∴DG4.
故答案为:4.
【点评】本题考查了三角形的重心,等腰三角形的性质,解直角三角形,勾股定理,关键是综合应用这些知识解题.
17.(4分)如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点P是边AD上一点,连接BP,过点P作PE⊥BP,交DC于E点,将△ABP沿直线PE翻折,点B落在点B',若△B'PD为等腰三角形,则AP的长为 或1 .
【考点】相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;勾股定理;矩形的性质;翻折变换(折叠问题).
【专题】推理填空题;数形结合;分类讨论;方程思想;一次方程(组)及应用;一元二次方程及应用;图形的全等;矩形 菱形 正方形;运算能力;推理能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】若△B'PD为等腰三角形,则需分以下三种情况进行讨论:①若B'P=PD,即BP=PD;根据BP=PD列出方程即可解出;②若B'P=B'D,过点B'作B'F⊥AD,交AD于点F,证明△ABP≌△FB'P(AAS),根据等腰三角形的性质得出PF=DF(3﹣x),再结合全等三角形的性质得到AP=PF,列出方程求解即可;③若PD=B'D,过点B'作B'F⊥AD交AD于点F,在Rt△FB'D中运用勾股定理列出方程求解即可.
【解答】解:设AP=x,则PD=3﹣x,
∵PE⊥BP,
∴将△ABP沿直线PE翻折后PE⊥BB',
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,AB=2,
∴BP,
①若B'P=PD,即BP=PD,
∴3﹣x,
解得:x;
②若B'P=B'D,
过点B'作B'F⊥AD,交AD于点F,如图所示,
则PF=DF(3﹣x),
又∵B'P=BP,∠A=∠B'FP,∠APB=∠B'PF,
∴△ABP≌△FB'P(AAS),
∴AP=PF,
即x(3﹣x),
解得:x=1;
③若PD=B'D,
过点B'作B'F⊥AD交AD于点F,如②中图形所示,
∵B'P=BP,∠A=∠B'FP,∠APB=∠B'PF,
∴△ABP≌△FB'P(AAS),
∴PF=AP=x,B'F=AB=2,
∴FD=3﹣2x,PD=B'D=3﹣x,
在Rt△FB'D中,B'D2=B'F2+FD2,
即(3﹣x)2=(3﹣2x)2+4,
整理得:3x2﹣6x+4=0,Δ=36﹣4×3×4<0
∴此方程无解,故不存在这种情况.
综上所述:AP的长为或1.
故答案为:或1.
【点评】本题考查了矩形与折叠的问题,涉及到了全等三角形和等腰三角形的判定与性质,解题的关键是通过数形结合思想,根据几何图形的性质列出方程,注意分类讨论思想的运用.
18.(4分)如图,一张矩形纸片ABCD,点E在AB边上,把△BCE沿直线CE折叠,使点B落在对角线AC上的点F处,连接DF,若点E、F、D在同一直线上,AE=2,则 .
【考点】翻折变换(折叠问题);相似三角形的判定与性质;矩形的性质.
【专题】矩形 菱形 正方形;平移、旋转与对称;图形的相似;运算能力;推理能力.
【答案】.
【分析】根据矩形的性质得到AD=BC,∠ADC=∠B=∠DAE=90°,根据折叠的性质得到CF=BC,∠CFE=∠B=90°,EF=BE,根据全等三角形的性质得到DF=AE=2;根据相似三角形的性质即可得到结论.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠ADC=∠B=∠DAE=90°,
∵把△BCE沿直线CE对折,使点B落在对角线AC上的点F处,
∴CF=BC,∠CFE=∠B=90°,EF=BE,
∴CF=AD,∠CFD=90°,
∴∠ADE+∠CDF=∠CDF+∠DCF=90°,
∴∠ADF=∠DCF,
∴△ADE≌△FCD(ASA),
∴DF=AE=2;
∵∠AFE=∠CFD=90°,
∴∠AFE=∠DAE=90°,
∵∠AEF=∠DEA,
∴△AEF∽△DEA,
∴,
∴,
∴EF1(负值舍去),
∴BE=EF1,
∴.
故答案为:.
【点评】本题考查了翻折变换(折叠问题),全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,矩形的性质,正确的识别图形是解题的关键.
三.解答题(共7小题,满分78分)
19.(10分)二次函数f(x)=ax2+bx+c的自变量x的取值与函数y的值列表如下:
x … ﹣2 ﹣1 0 … 2 3 4 …
y=f(x) … ﹣5 0 3 … 3 0 ﹣5 …
(1)根据表中的信息求二次函数的解析式,并用配方法求出顶点的坐标;
(2)请你写出两种平移的方法,使平移后二次函数图象的顶点落在直线y=x上,并写出平移后二次函数的解析式.
【考点】二次函数图象与几何变换;待定系数法求二次函数解析式;二次函数的三种形式;一次函数图象上点的坐标特征;二次函数的性质;二次函数图象上点的坐标特征.
【专题】二次函数图象及其性质;运算能力;应用意识.
【答案】(1)该二次函数的解析式为:y=﹣x2+2x+3,顶点的坐标为(1,4);
(2)y=﹣(x﹣4)2+4或y=﹣(x﹣1)2+1.
【分析】(1)利用待定系数法求得解析式,然后化成顶点式即可求得顶点坐标;
(2)根据“左加右减,上加下减”得出抛物线的解析式为y=﹣(x﹣4)2+4或y=﹣(x﹣1)2+1,即可得出答案.
【解答】解:(1)把(﹣1,0),(0,3),(3,0)分别代入y=ax2+bx+c(a≠0)中,得.
解得.
则该二次函数的解析式为:y=﹣x2+2x+3,
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴顶点的坐标为(1,4);
(2)∵二次函数f(x)=ax2+bx+c的顶点坐标(1,4);
∴二次函数图象向右平移3个单位后抛物线的顶点为(4,4)或向下平移3个单位后抛物线的顶点为(1,1)落在直线y=x上,则此时抛物线的解析式为:y=﹣(x﹣4)2+4或y=﹣(x﹣1)2+1.
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,二次函数的性质以及二次函数图象与几何变换,根据平移性质得出平移后解析式是解题关键.
20.(10分)已知:如图,平行四边形ABCD中,点M、N分别在边DC、BC上,对角线BD分别交AM、AN于点E、F,且 DE:EF:BF=1:2:1.
(1)求证:MN∥BD;
(2)设,,请直接写出和关于、的分解式:
; .
【考点】*平面向量;平行四边形的性质.
【专题】数形结合;多边形与平行四边形;几何直观;推理能力.
【答案】,.
【分析】(1)根据平行四边形的性质,以及DE:EF:BF=1:2:1.推出 即可得出结论;
(2)根据三角形计算法则得出,由(1)的结论得出,即可得出结果.
【解答】(1)证明:在平行四边形ABCD中,AB=CD,AB∥CD.
∵DE:EF:BF=1:2:1,
∴,
∵AB∥CD,
,
又∵AB=CD,
∴,
同理可得 ,
∴,
∴MN∥BD;
(2)解:∵,,
∴,
∵MN∥BD,
∴,
∴BD,
∴.
故答案为:,.
【点评】本题考查了平面向量,平行四边形的性质,数据平面向量的三角形运算法则是解题的关键.
21.(10分)如图,已知以AB为直径的半圆,圆心为O,弦AC平分∠BAD,点D在半圆上,过点C作CE⊥AD,垂足为点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:EF与半圆O相切于点C.
(2)若AO=3,BF=2,求tan∠ACE的值.
【考点】解直角三角形;勾股定理;相似三角形的判定与性质.
【专题】圆的有关概念及性质;图形的相似;解直角三角形及其应用;运算能力;推理能力.
【答案】(1)证明过程见解答;
(2)tan∠ACE的值为2.
【分析】(1)根据垂直定义可得∠E=90°,再利用角平分线和等腰三角形的性质可证AE∥OC,然后利用平行线的性质可求出∠OCF=90°,即可解答;
(2)根据已知可求出OF=5,AF=8,再在Rt△OCF中,利用勾股定理求出CF=4,然后证明A字模型相似三角形△FCO∽△FEA,从而利用相似三角形的性质求出AE,EF的长,最后在Rt△ACE中,利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.
【解答】(1)证明:∵CE⊥AD,
∴∠E=90°,
∵AC平分∠BAD,
∴∠EAC=∠CAO,
∵OA=OC,
∴∠CAO=∠ACO,
∴∠EAC=∠ACO,
∴AE∥OC,
∴∠E=∠OCF=90°,
∵OC是半⊙O的半径,
∴EF与半圆O相切于点C;
(2)∵AO=3,BF=2,
∴OF=OB+BF=5,OC=3,
∴AF=OF+OA=8,
∵∠OCF=90°,
∴CF4,
∵∠E=∠OCF=90°,∠F=∠F,
∴△FCO∽△FEA,
∴,
∴,
∴EA,EF,
∴CE=EF﹣CF,
在Rt△ACE中,tan∠ACE2,
∴tan∠ACE的值为2.
【点评】本题考查了切线的判定,相似三角形的判定与性质,解直角三角形,勾股定理,熟练掌握切线的判定,以及相似三角形的判定与性质是解题的关键.
22.(10分)综合与实践
[问题情境]学习完《解直角三角形的应用》后,同学们对如何建立解直角三角形的模型测量物体的实际高度产生了浓厚的兴趣,数学老师决定开展一次主题为《测量学校旗杆高度》的数学实践活动,并为各小组准备了卷尺、测角仪等工具,要求各小组建立测高模型并测量学校旗杆的高度.
[问题探究]第一小组的同学经过讨论,制定出了如下测量实施方案:
第一步,建立测高模型,画出测量示意图(如图1),明确需要测量的数据和测量方法:用卷尺测量测角仪CD的高度和测角仪底部C与旗杆底部A之间的距离,用测角仪测量旗杆顶端B的仰角α;
第二步,进行组员分工,制作测量数据记录表;
第三步,选择不同的位置测量三次,依次记录测量数据;
第四步,整理数据,计算旗杆的高,撰写研究报告.
如表是该组同学研究报告中的数据记录和计算结果:
测量组别 CD的长(米) AC的长(米) 仰角α 计算AB的高(米)
位置1 1 14.4 40° 13.1
位置2 1 16.2 36° 12.8
位置3 1 15.9 38° 13.4
平均值 13.1
研究结论:旗杆的高为n米
(1)表中n的值为 13.1 ;该小组选择不同的位置测量三次,再以三次测量计算的旗杆高度的平均数作为研究结论,这样做的目的是 减小误差 .
(2)该测量模型中,若CD=a,AC=b,仰角为α,用含a,b,α的代数式表示旗杆AB的高度为 btanα+a .
[拓展应用]
(3)第二小组同学设计的是另外一种测量方案,他们画出的测量示意图如图2,测量时,固定测角仪的高度为1m,先在点C处测得旗杆顶端B的仰角α=30°,然后朝旗杆方向前进14m到达点H处,再次测得旗杆顶端B的仰角β=60°,请你帮他们求出旗杆AB的高度(结果保留根号).
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题;列代数式.
【专题】解直角三角形及其应用;运算能力.
【答案】(1)13.1;减小误差;
(2)btanα+a;
(3)旗杆AB的高度为(1+7)m.
【分析】(1)n的值应该取平均值,这样做的目的是减小误差,即可解答;
(2)根据题意可得:∠DEB=90°,CD=AE=a,DE=AC=b,然后在Rt△BDE中,利用锐角三角函数的定义求出BE的长,再利用线段的和差关系,进行计算即可解答;
(3)根据题意可得:DC=FH=AE=1m,DF=CH=14m,∠DEB=90°,∠BFE=60°,∠BDF=30°,先利用三角形的外角性质可得∠BDF=∠DBF=30°,从而可得FD=FB=14m,然后在Rt△BFE中,利用锐角三角函数的定义求出BE的长,再利用线段的和差关系,进行计算即可解答.
【解答】解:(1)表中n的值为13.1;该小组选择不同的位置测量三次,再以三次测量计算的旗杆高度的平均数作为研究结论,这样做的目的是减小误差,
故答案为:13.1;减小误差;
(2)由题意得:∠DEB=90°,CD=AE=a,DE=AC=b,
在Rt△BDE中,∠BDE=α,
∴BE=DE tanα=btanα,
∴AB=BE+AE=btanα+a,
故答案为:btanα+a;
(3)由题意得:DC=FH=AE=1m,DF=CH=14m,∠DEB=90°,∠BFE=60°,∠BDF=30°,
∵∠BFE是△DBF的外角,
∴∠DBF=∠BFE﹣∠BDF=30°,
∴∠BDF=∠DBF=30°,
∴FD=FB=14m,
在Rt△BFE中,BE=BF sin60°=147(m),
∴AB=BE+AE=(1+7)m,
∴旗杆AB的高度为(1+7)m.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,列代数式,熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
23.(12分)如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰三角形,BC、EF为底边,点D在BA的延长线上,点E是BC的中点,EF交AC于点G.
(1)求证:∠BDE=∠CEG;
(2)连接DG,且DG=DA.
①求证:DE⊥AC;
②若EG=1,求FG的长.
【考点】相似三角形的判定与性质.
【专题】等腰三角形与直角三角形;图形的相似;推理能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DEF,由三角形的外角性质即可得出结论;
(2)①证明△DBE∽△ECG,得出,得出,证明△DEG∽△ECG,得出∠CEG=∠EDG,证出∠BDE=∠EDG,得出DG=DA,由等腰三角形的性质即可得出结论;
②连接AE,过点D作DM⊥EC于M,由线段垂直平分线的性质得出AE=DM=EG=1,设∠DEF=∠C=∠F=α,∠EDG=∠GEC=β,则∠EGA=∠GEC+∠C=β+α,∠DGF=∠EDG+∠DEF=β+α,证明△DGM∽△FDM,得出,因此DM2=GM MF,设MF=EM=x,则GM=x﹣1,得出方程12=(x﹣1) x,解方程即可.
【解答】(1)证明:∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰三角形,BC、EF为底边,
∴∠ABC=∠DEF,
∵∠DEF+∠CEG=∠ABC+∠BDE,
∴∠BDE=∠CEG;
(2)①证明:∵△ABC是等腰三角形,
∴∠DBE=∠ECG,
∵∠BDE=∠CEG,
∴△DBE∽△ECG,
∴,
∵点E是BC的中点,
∴BE=CE,
∴,
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰三角形,
∴∠DEG=∠ECG,
∴△DEG∽△ECG,
∴∠CEG=∠EDG,
∴∠BDE=∠EDG,
∵DG=DA,
∴DE⊥AC;
②解:连接AE,过点D作DM⊥EC于M,如图所示:
则AE=DM,
由①知:DE垂直平分AG,
∴AE=DM=EG=1,
设∠DEF=∠C=∠F=α,∠EDG=∠GEC=β,
则∠EGA=∠GEC+∠C=β+α,∠DGF=∠EDG+∠DEF=β+α,
∴∠EGA=∠DGF,
∵∠DEG+∠AGE=90°,
∴∠DGF+∠F=90°,
∴∠GDF=90°,
∵DM⊥GF,
∴∠DGM+∠GDM=90°,
∵∠GDM+∠FDM=90°,
∴∠DGM=∠FDM,
∵∠GMD=∠DMF=90°,
∴△DGM∽△FDM,
∴,
∴DM2=GM MF,
设MF=EM=x,
则GM=x﹣1,
∴12=(x﹣1) x,
即:x2﹣x﹣1=0,
解得:x1,x2(不合题意舍去),
∴FG=GM+MF1.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质、三角形的外角性质等知识;熟练掌握等腰三角形的性质,证明三角形全等是解题的关键.
24.(12分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线顶点A的坐标为(﹣2,4),且经过坐标原点,与x轴负半轴交于点B.
(1)求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标;
(2)过点A作AC⊥x轴于点C,若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点(点D与点A不重合),过点D作DE⊥x轴于点E,连接AO,DO,当以A,O,C为顶点的三角形与以D,O,E为顶点的三角形相似时,求点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,当点D在第二象限时,在平面内存在一条直线,这条直线与抛物线在第二象限交于点F,在第三象限交于点G,且点A,点B,点D,到直线FG的距离都相等,请直接写出线段FG的长.
【考点】二次函数综合题.
【专题】代数几何综合题;二次函数图象及其性质;等腰三角形与直角三角形;图形的相似;解直角三角形及其应用;运算能力;推理能力.
【答案】(1)y=﹣x2﹣4x.点B(﹣4,0);
(2)点D的坐标为(﹣6,﹣12)或(,)或(,);
(3).
【分析】(1)设该抛物线解析式为y=a(x+2)2+4(a≠0),把点(0,0)代入,即可求解;
(2)根据题意得OC=2,AC=4,设点D(x,﹣x2﹣4x),则DE=|﹣x2﹣4x|,OE=﹣x,根据∠ACO=∠DEO=90°,可得当以A,O,C为顶点的三角形与以D,O,E为顶点的三角形相似时,∠AOC=∠ODE或∠AOC=∠DOE,分两种讨论,即可求解;
(3)求出直线BD的解析式yx+14,直线BD与y轴交于(0,14),可得过点A平行于BD的直线AM的解析式为yx+11,交y轴于(0,11),可得直线FG的的解析式为yx,联立方程组,得到点F.G的坐标,即可求解.
【解答】解:(1)∵抛物线顶点的坐标为(﹣2,4),
∴设抛物线解析式为y=a(x+2)2+4(a≠0),
把点(0,0)代入得:0=a(x+2)2+4.
解得:a=﹣1,
∴抛物线解析式为y=﹣(x+2)2+4=﹣x2﹣4x.
令y﹣0,则﹣x2﹣4x=0,
解得:x1=﹣4,x2=0,
∴点B(﹣4,0),
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x.点B(﹣4,0);
(2)∵AC⊥x轴,点A (﹣2,4),
∴点C(﹣2,0),
∴OC=2,AC=4,
∵∠ACO=∠DEO=90°,
∴当以A,O,C为顶点的三角形与以D,O,E为顶点的三角形相似时,∠AOC=∠ODE或∠AOC=∠DOE,
设D(x,﹣x2﹣4x),
①当∠AOC=∠ODE时,△AOC∽△ODE,如图:
∵∠AOC=∠ODE,
∴tan∠AOC=tan∠ODE,
∴2,
∴2,
∴﹣x=2(x2+4x)或﹣x=﹣2(x2+4x),
∴x1=0(舍去),x2或x3=0(舍去),x4,
∴点D的坐标为(,)或(,);
②当∠AOC=∠DOE时,△AOC∽△DOE,如图:
∵∠AOC=∠DOE,
∴tan∠AOC=tan∠DOE,
∴2,
∴2,
∴﹣2x=x2+4x或2x=x2+4x,
∴x1=0(舍去),x2=﹣6或x3=0(舍去),x4=﹣2(舍去),
∴点D的坐标为(﹣6,﹣12);
点D(﹣6,﹣12);
综上所述,当以A,O,C为顶点的三角形与以D,O,E为顶点的三角形相似时,点D的坐标为(﹣6,﹣12)或(,)或(,);
(3)∵在(2)的条件下,点D在第二象限,
∴点D的坐标为(,),
直线BD的解析式y=kx+m,
∴,解得,
∴直线BD的解析式yx+14,直线BD与y轴交于(0,14),
∴过点A平行于BD的直线AM的解析式为yx+11,交y轴于(0,11),
∵点A,点B,点D,到直线FG的距离都相等,
∴直线FG的的解析式为yx,
联立得,解得,,
∴F(,),G(﹣5,﹣5),
∴FG.
【点评】本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求函数解析式,二次函数的性质,相似三角形的性质,直角三角形的性质,三角函数,两点距离公式,运用数形结合思想和分类讨论思想,利用参数表示线段的长度是本题的关键.
25.(14分)如图,∠EAD是圆的内接四边形ABCD的外角,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,AC,BD相交于点P.求证:
(1)△DBC为等腰三角形;
(2)AB:BD=PB:PC.
【考点】相似三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质;圆内接四边形的性质;平行线分线段成比例.
【专题】证明题;数形结合;几何直观;推理能力.
【答案】(1)见解答;
(2)见解答.
【分析】(1)利用圆内接四边形的性质推出等角,再利用同弧所对的圆周角相等的性质找等角,利用角度的等量代换即可解答;
(2)利用三角形相似推出对应比例线段即可解答.
【解答】解:(1)∵AD平分∠EAC,
∴∠EAD=∠CAD,
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
又∵∠BAD+∠EAD=180°,
∴∠BCD=∠EAD,
∵∠DAC=∠DBC,
∴∠BCD=∠DBC,
∴DB=DC.
(2)∵∠ABD=∠DCA且∠APB=∠DPC,
∴△ABP~△DCP,
∴,
∵DB=DC,
∴,
即AB:BD=PB:PC.
【点评】本题考查圆的性质和相似三角形的判定和性质,熟练的应用性质是解题的关键.
考点卡片
1.列代数式
(1)定义:把问题中与数量有关的词语,用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来,就是列代数式.
(2)列代数式五点注意:①仔细辨别词义. 列代数式时,要先认真审题,抓住关键词语,仔细辩析词义.如“除”与“除以”,“平方的差(或平方差)”与“差的平方”的词义区分. ②分清数量关系.要正确列代数式,只有分清数量之间的关系. ③注意运算顺序.列代数式时,一般应在语言叙述的数量关系中,先读的先写,不同级运算的语言,且又要体现出先低级运算,要把代数式中代表低级运算的这部分括起来.④规范书写格式.列代数时要按要求规范地书写.像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写,数与数相乘必须写乘号;除法可写成分数形式,带分数与字母相乘需把代分数化为假分数,书写单位名称什么时不加括号,什么时要加括号.注意代数式括号的适当运用. ⑤正确进行代换.列代数式时,有时需将题中的字母代入公式,这就要求正确进行代换.
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1.在同一个式子或具体问题中,每一个字母只能代表一个量.
2.要注意书写的规范性.用字母表示数以后,在含有字母与数字的乘法中,通常将“×”简写作“ ”或者省略不写.
3.在数和表示数的字母乘积中,一般把数写在字母的前面,这个数若是带分数要把它化成假分数.
4.含有字母的除法,一般不用“÷”(除号),而是写成分数的形式.
2.一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y=kx+b,(k≠0,且k,b为常数)的图象是一条直线.它与x轴的交点坐标是(,0);与y轴的交点坐标是(0,b).
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b.
3.二次函数的性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(,),对称轴直线x,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:
①当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,x时,y随x的增大而减小;x时,y随x的增大而增大;x时,y取得最小值,即顶点是抛物线的最低点.
②当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x时,y随x的增大而增大;x时,y随x的增大而减小;x时,y取得最大值,即顶点是抛物线的最高点.
③抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移||个单位,再向上或向下平移||个单位得到的.
4.二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线,顶点坐标是(,).
①抛物线是关于对称轴x成轴对称,所以抛物线上的点关于对称轴对称,且都满足函数函数关系式.顶点是抛物线的最高点或最低点.
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值.
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称,设两个交点分别是(x1,0),(x2,0),则其对称轴为x.
5.二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.
6.待定系数法求二次函数解析式
(1)二次函数的解析式有三种常见形式:
①一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0); ②顶点式:y=a(x﹣h)2+k(a,h,k是常数,a≠0),其中(h,k)为顶点坐标; ③交点式:y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a,b,c是常数,a≠0);
(2)用待定系数法求二次函数的解析式.
在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.
7.二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式:
①一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是(0,c);
②顶点式:y=a(x﹣h)2+k(a,h,k是常数,a≠0),其中(h,k)为顶点坐标,该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为(h,k);
③交点式:y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a,b,c是常数,a≠0),该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标(x1,0),(x2,0).
8.二次函数综合题
(1)二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时,先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号,然后判断新的函数关系式中系数的符号,再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征,则符合所有特征的图象即为正确选项.
(2)二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题,善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,并注意挖掘题目中的一些隐含条件.
(3)二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系,建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建,建立直角坐标系下的二次函数图象,然后数形结合解决问题,需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义.
9.平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等.
定理2:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补.
定理3:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:两直线平行,内错角相等.
2、两条平行线之间的距离处处相等.
10.三角形的重心
(1)三角形的重心是三角形三边中线的交点.
(2)重心的性质:
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.
③重心到三角形3个顶点距离的和最小.(等边三角形)
11.等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
(2)等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等.【简称:等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】
(3)在①等腰;②底边上的高;③底边上的中线;④顶角平分线.以上四个元素中,从中任意取出两个元素当成条件,就可以得到另外两个元素为结论.
12.等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角,判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段.
2、在等腰三角形有关问题中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线,虽然“三线合一”,但添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同,需要具体问题具体分析.
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决,但要注意纠正不顾条件,一概依赖全等三角形的思维定势,凡可以直接利用等腰三角形的问题,应当优先选择简便方法来解决.
13.勾股定理
(1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.
如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.
(3)勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有:a,b及c.
(4)由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.
14.平行四边形的性质
(1)平行四边形的概念:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
(2)平行四边形的性质:
①边:平行四边形的对边相等.
②角:平行四边形的对角相等.
③对角线:平行四边形的对角线互相平分.
(3)平行线间的距离处处相等.
(4)平行四边形的面积:
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.
②同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等.
15.矩形的性质
(1)矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形.
(2)矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有;
②角:矩形的四个角都是直角;
③边:邻边垂直;
④对角线:矩形的对角线相等;
⑤矩形是轴对称图形,又是中心对称图形.它有2条对称轴,分别是每组对边中点连线所在的直线;对称中心是两条对角线的交点.
(3)由矩形的性质,可以得到直角三角形的一个重要性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
16.梯形
(1)梯形的定义:一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
梯形中平行的两边叫梯形的底,其中较短的底叫上底,不平行的两边叫梯形的腰,两底的距离叫梯形的高.
(2)等腰梯形:两腰相等的梯形叫做等腰梯形.
(3)直角梯形:有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.
17.*平面向量
平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量,物理学中也称作矢量,与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量).平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示,也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.
18.圆内接四边形的性质
(1)圆内接四边形的性质:
①圆内接四边形的对角互补.
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).
(2)圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据,在应用此性质时,要注意与圆周角定理结合起来.在应用时要注意是对角,而不是邻角互补.
19.翻折变换(折叠问题)
1、翻折变换(折叠问题)实质上就是轴对称变换.
2、折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
3、在解决实际问题时,对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠,这样便于找到图形间的关系.
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时,我们常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时,应认真审题,设出正确的未知数.
20.比例线段
(1)对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等,如 ab=cd(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.
(2)判定四条线段是否成比例,只要把四条线段按大小顺序排列好,判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可,求线段之比时,要先统一线段的长度单位,最后的结果与所选取的单位无关系.
21.黄金分割
(1)黄金分割的定义:
如图所示,把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点.
其中ACAB≈0.618AB,并且线段AB的黄金分割点有两个.
(2)黄金三角形:黄金三角形是一个等腰三角形,其腰与底的长度比为黄金比值.
黄金三角形分两种:①等腰三角形,两个底角为72°,顶角为36°.这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比:;②等腰三角形,两个底角为36°,顶角为108°;这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比:.
(3)黄金矩形:黄金矩形的宽与长之比确切值为.
22.平行线分线段成比例
(1)定理1:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
(2)推论1:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.
(3)推论2:平行于三角形的一边,并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
23.相似三角形的性质
相似三角形的定义:如果两个三角形的对应边的比相等,对应角相等,那么这两个三角形相似.
(1)相似三角形的对应角相等,对应边的比相等.
(2)相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比;
相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比.
(3)相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方.
24.相似三角形的判定与性质
(1)相似三角形是相似多边形的特殊情形,它沿袭相似多边形的定义,从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义;反过来,两个三角形相似也有对应角相等,对应边的比相等.
(2)三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一,在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;或依据基本图形对图形进行分解、组合;或作辅助线构造相似三角形,判定三角形相似的方法有时可单独使用,有时需要综合运用,无论是单独使用还是综合运用,都要具备应有的条件方可.
25.锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)正弦:我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦,记作sinA.
即sinA=∠A的对边除以斜边.
(2)余弦:锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦,记作cosA.
即cosA=∠A的邻边除以斜边.
(3)正切:锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切,记作tanA.
即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边.
(4)三角函数:锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
26.特殊角的三角函数值
(1)特指30°、45°、60°角的各种三角函数值.
sin30°; cos30°;tan30°;
sin45°;cos45°;tan45°=1;
sin60°;cos60°; tan60°;
(2)应用中要熟记特殊角的三角函数值,一是按值的变化规律去记,正弦逐渐增大,余弦逐渐减小,正切逐渐增大;二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记.
(3)特殊角的三角函数值应用广泛,一是它可以当作数进行运算,二是具有三角函数的特点,在解直角三角形中应用较多.
27.解直角三角形
(1)解直角三角形的定义
在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.
(2)解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系:∠A+∠B=90°;
②三边之间的关系:a2+b2=c2;
③边角之间的关系:
sinA,cosA,tanA.
(a,b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边)
28.解直角三角形的应用-坡度坡角问题
(1)坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比,又叫做坡比,它是一个比值,反映了斜坡的陡峭程度,一般用i表示,常写成i=1:m的形式.
(2)把坡面与水平面的夹角α叫做坡角,坡度i与坡角α之间的关系为:i=h/l=tanα.
(3)在解决坡度的有关问题中,一般通过作高构成直角三角形,坡角即是一锐角,坡度实际就是一锐角的正切值,水平宽度或铅直高度都是直角边,实质也是解直角三角形问题.
应用领域:①测量领域;②航空领域 ③航海领域:④工程领域等.
29.解直角三角形的应用-仰角俯角问题
(1)概念:仰角是向上看的视线与水平线的夹角;俯角是向下看的视线与水平线的夹角.
(2)解决此类问题要了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,另当问题以一个实际问题的形式给出时,要善于读懂题意,把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.
30.比例的基本性质
比例的性质是指组成比例的四个数,合分比性质、等比性质以及它们的推广.这四条性质多用于分式的计算和证明,以及三角函数、相似三角形、平行线分线段成比例定理的应用中.其中尤其以等比性质的应用最为广泛.