2024—2025学年上学期上海初中数学九年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期上海初中数学九年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 682.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-07 09:15:43 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期上海初中数学九年级开学模拟试卷3
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两个等边三角形相似
B．两个全等三角形相似
C．两个含30°角的等腰三角形相似
D．两个含30°角的直角三角形相似
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tanB B．cotB C．sinB D．cosB
3．（4分）已知，，且与的方向相反，下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）如图，直线l1，l2被一组平行线所截，交点分别为点A，B，C，及点D，E，F，如果DE＝2，DF＝5，BC＝4，则AB的长为（ ）
A． B． C．2 D．6
5．（4分）画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：
x … 1 2 3 4 …
y … 0 1 0 ﹣3 …
关于此函数有下列说法不正确的是（ ）
A．当x＝0时，y＝﹣3
B．当x＝2时，该函数有最大值
C．函数图象开口向下
D．在函数图象上有两点A（x1，﹣4），B，则x1＞x2
6．（4分）如图，已知抛物线y＝x2+mx+1﹣m（m为常数）恰好只经过图中网格区域（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数），则满足条件的整数m有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）计算： ．
8．（4分）若，则 ．
9．（4分）如果向量与向量方向相反，且，那么 ．
10．（4分）已知△ABC中，∠ABC＝90°，如果AC＝5，sinA，那么AB的长是 ．
11．（4分）如图，梯形ABCD中，BC∥AD，AB＝AD，P为边AB上一点，连PC，PD，CD垂直于CP且∠CPD＝∠A，BC＝4BP，则 ．
12．（4分）把函数y＝﹣2（x﹣1）2的图象旋转180°后，再向 平移 个单位就能得到顶点为原点的抛物线 ．
13．（4分）二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象与y轴的交点坐标是 ．
14．（4分）江堤的横断面如图，堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比是1：，则堤脚AC的长是 ．
15．（4分）如图，反比例函数y的图象经过点A（﹣1，﹣1），则当函数值y≥1时，自变量x的取值范围为 ．
16．（4分）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为 ．（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）
17．（4分）已知，点P是线段AB上一点，若（或），则称点P是线段AB的“黄金分割”点．显然，线段AB有两个“黄金分割”点（如图1），后人把这个数称为黄金分割”数．如图2，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为 ．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，点E是AC边上一点且CE＝2AE，将△BAE沿BE翻折得△BFE，若EF∥AD，则tan∠CBE＝ ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：|2|﹣（）0+2cos30°．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E为OC的中点，联结BE并延长，交边CD于点F．设，．
（1）填空：向量 ；
（2）填空：向量 ，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．
（注：本体结果用含向量、的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
21．（10分）已知一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y的图象都经过点A（1，﹣5），B（m，）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；并在网格中画出一次函数的图象；
（2）若点C与点A关于原点成中心对称，连接BC、AC．求△ABC的面积；
（3）根据图象，不等式ax+b的解集．
22．（10分）有一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，图1是台灯的平面示意图，其中点B，E，D均可转动，现测得AB＝BE＝ED＝CD＝18cm，经多次调试发现当点B，E都在灯座CD的垂直平分线上时（如图2所示）放置最平稳．
（1）求放置最平稳时灯座CD与灯杆ED的夹角的大小；
（2）当A点到水平桌面（CD所在直线）的距离为42cm﹣43cm时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将∠ABE调节到105°，试通过计算说明此时光线是否最佳．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.73）
23．（12分）如图，在△ABC中，点D，F，E分别在AB，BC，AC边上，DF∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDF∽△FEC．
（2）设．
①若BC＝15，求线段BF的长；
②若△FEC的面积是16，求△ABC的面积．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，对称轴为直线x＝1．已知点P（1，0），点C是y轴负半轴上一点，直线l经过P、C两点，且与抛物线交于A、B两点（点A在线段CB上）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PB＝2PC，求点A的坐标；
（3）记，判断m是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（﹣8，0），射线AC交y轴于B，点C（a，b）在射线AB上，满足：（2a+b﹣17）2+|a﹣b+5|＝0．
（1）求C的坐标；
（2）点P从点A出发沿射线AB运动，P的速度为2个单位长度/秒，运动时间为t秒，连接PO，△POB的面积为S，AB＝10，用含t的式子表示s，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，D（5，6），连接BD，过点D作DE⊥x轴于E，P开始运动的同时，动点Q从B出发以1个单位长度/秒的速度向D运动，到达D后再沿射线DE运动，△BOQ的面积等于S时，求Q的坐标．
2024—2025学年上学期上海初中数学九年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两个等边三角形相似
B．两个全等三角形相似
C．两个含30°角的等腰三角形相似
D．两个含30°角的直角三角形相似
【考点】命题与定理；相似三角形的判定；全等三角形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】利用相似多边形的判定方法分别对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、两个等边三角形是相似的，正确，是真命题，不合题意；
B、两个全等三角形相似，正确，真命题，不合题意；
C、两个含30°角的等腰三角形不一定相似，原命题错误，为假命题；
D、两个含30°角的直角三角形相似，正确，真命题，不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解对应角相等且对应边的比也相等的多边形相似，难度不大．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tanB B．cotB C．sinB D．cosB
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．
【解答】解：如图，根据勾股定理得：BC3，
tanB，
cotB，
sinB，
cosB，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握cotB是解题的关键．
3．（4分）已知，，且与的方向相反，下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】*平面向量．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】先表示出两个向量的模的关系，再根据方向相反可得答案．
【解答】解：∵，，
∴，
∵与的方向相反，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是掌握相反向量的概念．
4．（4分）如图，直线l1，l2被一组平行线所截，交点分别为点A，B，C，及点D，E，F，如果DE＝2，DF＝5，BC＝4，则AB的长为（ ）
A． B． C．2 D．6
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，即，
解得AB．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5．（4分）画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：
x … 1 2 3 4 …
y … 0 1 0 ﹣3 …
关于此函数有下列说法不正确的是（ ）
A．当x＝0时，y＝﹣3
B．当x＝2时，该函数有最大值
C．函数图象开口向下
D．在函数图象上有两点A（x1，﹣4），B，则x1＞x2
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】先由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小，得到函数图象开口向下；利用y＝0时，x＝1或x＝3，得到函数的对称轴，再结合开口方向得到函数的增减性；利用对称轴为直线x＝2和函数的增减性进行分析判断．
【解答】解：由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小，
∴函数图象开口向下，故C正确，不符合题意；
∵y＝0时，x＝1或x＝3，
∴函数的对称轴为直线x＝2，
∵开口向下，
∴当x＝2时，该函数有最大值1，故B正确，不符合题意；
∵对称轴为直线x＝2，x＝4时，y＝﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，故A正确，不符合题意；
在函数图象上有两点A（x1，﹣4），B（x2，，
∴当A、B在对称轴右侧时，x1＞x2，当A在对称轴右侧、B在对称轴左侧时，x1＞x2，当A在对称轴左侧、B在对称轴左侧时，x1＜x2，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
6．（4分）如图，已知抛物线y＝x2+mx+1﹣m（m为常数）恰好只经过图中网格区域（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数），则满足条件的整数m有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】首先求得抛物线经过定点（1，2），然后结合图象分类讨论抛物线经过3个格点时求m的值．
【解答】解：当x＝1时，y＝x2+mx+1﹣m＝1+m+1﹣m＝2，
∴抛物线经过定点（1，2），
①当点（1，2）是抛物线顶点时，那么抛物线对称轴为直线 x＝1，
解得m＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3，
如图，当（1，2）为抛物线顶点，抛物线经过（1，2），（0，3），（2，3），
∴m＝﹣2，
②当（1，2）不是抛物线的顶点，而是抛物线上关于 x ＝2对称的其中的一个点，那么抛物线也应经过点（3，2），如图，当抛物线经过（1，2），（2，1），（3，2）时，
抛物线对称轴为直线x2，
解得m＝﹣4，
③当（1，2）不是抛物线的顶点，也在图中找不到对应格点时，要想抛物线 L 恰好只经过网格区域（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数），抛物线应经过（2，0），（3，0），如图，
此时抛物线对称轴为直线x，
解得m＝﹣5，
∴满足条件的m有3个，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，通过数形结合，分类讨论求解是解题的关键．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）计算： ﹣1 ．
【考点】负整数指数幂；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】先根据零指数幂和负整数指数幂进行计算，再算加法即可．
【解答】解：（π﹣3.14）0+（）﹣1
＝1+（﹣2）
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的定义，能熟记零指数幂和负整数指数幂的定义是解此题的关键，注意：a0＝1（a≠0），a﹣p（a≠0，p为正整数）．
8．（4分）若，则 ．
【考点】比例的性质．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】．
【分析】根据比例的性质求出2x＝3y，再根据比例的性质求出答案即可．
【解答】解：∵，
∴3x＝2（x+y），
∴x＝2y，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质是解此题的关键，注意：如果，那么ad＝bc．
9．（4分）如果向量与向量方向相反，且，那么 ．
【考点】*平面向量．
【专题】其他问题；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据共线向量的定义解答．
【解答】解：∵向量与向量方向相反，且，
∴．
∴．
故答案为：．
【点评】考查了平面向量，根据题意得到的解题的突破口．
10．（4分）已知△ABC中，∠ABC＝90°，如果AC＝5，sinA，那么AB的长是 4 ．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA，求出BC，再根据勾股定理求出AB即可．
【解答】解：
∵∠ABC＝90°，AC＝5，sinA，
∴，
解得：BC＝3，
由勾股定理得：AB4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
11．（4分）如图，梯形ABCD中，BC∥AD，AB＝AD，P为边AB上一点，连PC，PD，CD垂直于CP且∠CPD＝∠A，BC＝4BP，则 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．
【专题】计算题；梯形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】以C为圆心，CB为半径画弧交AB的延长线于点E，连接CE，过点C作CF⊥BE于点E，设∠A＝∠CPD＝α，证明△ECP∽△APD，得出，设BP＝a，AD＝b，EF＝x，则CE＝BC＝4a，PA＝b﹣a，则，得出，解得：3b＝31a，可求出cosα的值即可．
【解答】解：以C为圆心，CB为半径画弧交AB的延长线于点E，连接CE，过点C作CF⊥BE于点E，设∠A＝∠CPD＝α，
则CE＝BC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵BC∥AD，
∴∠A＝∠CBE，
∴∠A＝∠CEB＝∠CPD＝α，
∴∠CPE+∠DPA＝180°﹣α，
又∵∠PDA+∠DPA＝180°﹣α，
∴∠CPE＝∠PDA，
∴△ECP∽△APD，
∴，
在Rt△CDP中，cosα，
∴cosα，
设BP＝a，AD＝b，EF＝x，
∵BC＝4BP，AB＝AD，
∴CE＝BC＝4a，PA＝b﹣a，
∴，
解得：3b＝31a，
∴cosα．
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质及方程思想是解题的关键．
12．（4分）把函数y＝﹣2（x﹣1）2的图象旋转180°后，再向 左 平移 一 个单位就能得到顶点为原点的抛物线 y＝2x2 ．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】左；一；y＝2x2．
【分析】直接利用二次函数绕原点旋转180°后的解析式各项都改变符号，进而利用上下平移规律得出答案．
【解答】解：∵将函数y＝﹣2（x﹣1）2的图象先绕顶点（1，0）旋转180°，
∴得到的解析式为：y＝2（x﹣1）2，
此时抛物线的顶点坐标仍是（1，0）．
∵再向左平移1个单位长度，即为原点（0，0）．
∴得到的抛物线对应的函数表达式是：y＝2x2．
故答案为：左；一；y＝2x2．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．
13．（4分）二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象与y轴的交点坐标是 （0，1） ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（0，1）．
【分析】令x＝0，求得函数y的值即可求得．
【解答】解：把x＝0代入y＝ax2﹣2x+1得，y＝1，
∴二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象与y轴的交点坐标是（0，1），
故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
14．（4分）江堤的横断面如图，堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比是1：，则堤脚AC的长是 10米 ．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】推理填空题；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比是铅直高度BC和水平宽度AC的比值，据此即可求解．
【解答】解：根据题意得：BC：AC＝1：，
解得：ACBC＝10（米）．
故答案为：10米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，理解坡度坡角定义是关键．
15．（4分）如图，反比例函数y的图象经过点A（﹣1，﹣1），则当函数值y≥1时，自变量x的取值范围为 0＜x≤1 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】0＜x≤1．
【分析】首先利用待定系数法求得k的值；然后求得当y＝1时x的值；最后由函数图象直接填空．
【解答】解：∵反比例函数y的图象经过点A（﹣1．﹣1），
∴k＝1，
∴当y＝1时，x1，
∴根据图象知，当y≥1时，0＜x≤1．
故答案为：0＜x≤1．
【点评】本题考查了反比例函数的图象．对于反比例函数y，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
16．（4分）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为 37m ．（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】37m
【分析】根据题意可得：AB⊥BC，CD＝70m，设BD＝x m，则BC＝（x+70）m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：AB⊥BC，CD＝70m，
设BD＝x m，则BC＝CD+BD＝（x+70）m，
在Rt△ABD中，∠ADB＝58°，
∴AB＝BD tan58°≈1.6x（m），
在Rt△ABC中，∠ACB＝22°，
∴AB＝BC tan22°≈0.4（x+70）m，
∴1.6x＝0.4（x+70），
解得：x，
∴AB＝1.6x≈37（m），
故答案为：37m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．（4分）已知，点P是线段AB上一点，若（或），则称点P是线段AB的“黄金分割”点．显然，线段AB有两个“黄金分割”点（如图1），后人把这个数称为黄金分割”数．如图2，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为 10﹣4 ．
【考点】黄金分割；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】10﹣4．
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，根据勾股定理可得AF，再根据黄金分割得到DE的长度，最后由三角形的面积公式可得答案．
【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB＝AC＝3，BC＝4，
∴BFCB＝2，AF．
∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴BE＝CD BC 4＝2（），
∴DE＝BE+CD﹣BC＝4（）﹣4＝48，
∴△ADE的面积为（48）10﹣4．
故答案为：10﹣4．
【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果线段上一点P把线段分割为两条线段PA，PB，当PA2＝PB AB，即PA≈0.618AB时，则称点P是线段AB的黄金分割点．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，点E是AC边上一点且CE＝2AE，将△BAE沿BE翻折得△BFE，若EF∥AD，则tan∠CBE＝ ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】．
【分析】延长EF交BC于H，由AB＝AC，D是BC边的中点，可得CH＝2DH，设DH＝x，AE＝EF＝y，FH＝a，则CE＝2y，AC＝AB＝3y＝BF，在Rt△BFH中，有（4x）2+a2＝（3y）2①，在Rt△CEH中，有（y+a）2+（2x）2＝（2y）2②，即可解得xa，y＝3a，从而BH＝4a，EH＝EF+FH＝4a，故tan∠CBE．
【解答】解：延长EF交BC于H，如图：
∵AB＝AC，D是BC边的中点，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∵EF∥AD，
∴EH⊥BC，，
∵CE＝2AE，
∴CH＝2DH，
设DH＝x，则CH＝2x，
∴CD＝BD＝3x，
∴BH＝BD+DH＝4x，
设AE＝EF＝y，FH＝a，则CE＝2y，AC＝AB＝3y＝BF，
在Rt△BFH中，BH2+FH2＝BF2，
∴（4x）2+a2＝（3y）2①，
在Rt△CEH中，CH2+EH2＝CE2，
∴（y+a）2+（2x）2＝（2y）2②，
由①②联立方程组，解得xa，y＝3a，
∴BH＝4x＝4a，EH＝EF+FH＝y+a＝4a，
∴tan∠CBE，
故答案为：．
【点评】本题考查等腰三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：|2|﹣（）0+2cos30°．
【考点】分数指数幂；零指数幂；特殊角的三角函数值；实数的运算．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据零指数幂、绝对值、三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝3+2
＝51
＝4．
【点评】本题考查了零指数幂、绝对值、三角函数值，掌握零指数幂、绝对值、三角函数值是解题的关键．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E为OC的中点，联结BE并延长，交边CD于点F．设，．
（1）填空：向量 ；
（2）填空：向量 ，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．
（注：本体结果用含向量、的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
【考点】作图—复杂作图；三角形中位线定理；平行四边形的性质；*平面向量．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）．
（2）．作图见解析部分．
【分析】（1）利用三角形法则求出，再证明AEAC即可解决问题．
（2）利用平行线分线段成比例定理，求出，再利用三角形法则即可解决问题．
【解答】解：（1）∵，，．
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵OE＝EC，
∴AEAC，
∴．
故答案为：．
（2）∵CF∥AB，
∴CF：AB＝EC：AE＝1：3，
∴CFBA，
∴，
∴．
在向量和方向上的分向量分别为和．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平四边形的性质，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（10分）已知一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y的图象都经过点A（1，﹣5），B（m，）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；并在网格中画出一次函数的图象；
（2）若点C与点A关于原点成中心对称，连接BC、AC．求△ABC的面积；
（3）根据图象，不等式ax+b的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】函数的综合应用；运算能力．
【答案】（1）yx，y，图象见解答；
（2）；
（3）x≥1或﹣3≤x＜0．
【分析】（1）由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数的表达式，由点B的纵坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，再根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（2）先求得C的坐标，然后根据面积差可得S△ABC的值即可；
（3）观察两函数图象的上下位置关系，即可找出不等式ax+b的解集．
【解答】解：（1）∵点A（1，﹣5））和B（m，）在反比例函数y的图象上，
∴k＝1×（﹣5）m＝﹣5，
∴反比例函数的表达式为y，m＝﹣3；
∴点B的坐标为（﹣3，）．
将A（1，﹣5），B（﹣3，）代入y＝ax+b，得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为yx；
图象如图1所示：
（2）如图2，∵点A的坐标为（1，﹣5），点C与点A关于原点成中心对称，
∴点C的坐标为（﹣1，5），
∵点B的坐标为（﹣3，），
∴S△ABC＝4×104×（5）2×10．
（3）观察函数图象，可知：当x≥1或﹣3≤x＜0时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，
∴不等式ax+b的解集是x≥1或﹣3≤x＜0．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征及待定系数法，求出函数的表达式；（2）利用分割法求解；（3）由两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集．
22．（10分）有一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，图1是台灯的平面示意图，其中点B，E，D均可转动，现测得AB＝BE＝ED＝CD＝18cm，经多次调试发现当点B，E都在灯座CD的垂直平分线上时（如图2所示）放置最平稳．
（1）求放置最平稳时灯座CD与灯杆ED的夹角的大小；
（2）当A点到水平桌面（CD所在直线）的距离为42cm﹣43cm时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将∠ABE调节到105°，试通过计算说明此时光线是否最佳．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.73）
【考点】解直角三角形的应用；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）放置最平稳时灯座CD与灯杆ED的夹角为60°；
（2）此时光线不是最佳，理由见解答．
【分析】（1）连接EC，根据线段垂直平分线的性质可得CE＝DE＝18cm，从而可得CE＝DE＝CD＝18cm，进而可得△CED是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得∠D＝60°，即可解答；
（2）延长BE交CD于点F，过点A作AH⊥DC，交DC的延长线于点H，过点B作BG⊥AH，垂足为G，根据题意可得：BF⊥CD，∠GBF＝90°，GH＝BF，从而可得∠ABG＝15°，然后在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，再在Rt△EFD中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而求出GH的长，最后利用线段的和差关系求出AH的长，即可解答．
【解答】解：（1）连接EC，
∵点E在灯座CD的垂直平分线上，
∴CE＝DE＝18cm，
∵CD＝DE＝18cm，
∴CE＝DE＝CD＝18cm，
∴△CED是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴放置最平稳时灯座CD与灯杆ED的夹角为60°；
（2）此时光线不是最佳，
理由：延长BE交CD于点F，过点A作AH⊥DC，交DC的延长线于点H，过点B作BG⊥AH，垂足为G，
由题意得：BF⊥CD，∠GBF＝90°，GH＝BF，
∵∠ABE＝105°，
∴∠ABG＝∠ABE﹣∠GBF＝15°，
在Rt△ABG中，AB＝18cm，
∴AG＝AB sin15°≈18×0.26＝4.68（cm），
在Rt△EFD中，∠D＝60°，DE＝18cm，
∴EF＝DE sin60°＝189（cm），
∵BE＝18cm，
∴GH＝BF＝BE+EF＝（18+9）cm，
∴AH＝AG+GH＝4.68+18+938.25（cm），
∴A点到水平桌面（CD所在直线）的距离约为38.25cm，
∵A点到水平桌面（CD所在直线）的距离为42cm﹣43cm，
∴此时光线不是最佳．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（12分）如图，在△ABC中，点D，F，E分别在AB，BC，AC边上，DF∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDF∽△FEC．
（2）设．
①若BC＝15，求线段BF的长；
②若△FEC的面积是16，求△ABC的面积．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）①5；
②36．
【分析】（1）由平行线性质可得到∠BED＝∠C，∠B＝∠FEC，则△BDE∽△EFC；
（2）①由EF∥AB，根据平行线分线段对应成比例可得，故可求得BE；
②证明△EFC∽△BAC，可得（）2，从而可得S△ABC．
【解答】（ 1）证明：∵DF∥AC，
∴∠BFD＝∠C，
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠EFC，
∴△BDF∽△FEC；
（2）解：①∵EF∥AB，
∴，
∵BC＝15，
∴，
∴BF＝5；
②∵，
∴，
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠B，
∵∠C＝∠C．
∴△EFC∽△BAC，
∴（）2，
∵S△EFC＝16，
∴S△ABC＝1636．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段对应成比例，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，对称轴为直线x＝1．已知点P（1，0），点C是y轴负半轴上一点，直线l经过P、C两点，且与抛物线交于A、B两点（点A在线段CB上）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PB＝2PC，求点A的坐标；
（3）记，判断m是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）yx2﹣x；
（2）A（，）；
（3）m存在最小值，当k＝1时，m的最小值为4．
【分析】（1）把（0，0）代入可得c＝0，再根据抛物线对称轴x，可求得b＝﹣1，即可得出答案；
（2）过点B作BH⊥x轴于H，可证得△PBH∽△PCO，得出，由PB＝2PC，可得2，进而求得点B（3，），再运用待定系数法可得直线PB的解析式为yx，联立方程组求解即可求得点A的坐标；
（3）先根据题意得出直线l的解析式为y＝kx﹣k，与抛物线解析式联立得x2﹣（2+2k）x+2k＝0，设A（xA，yA），B（xB，yB），则xA+xB＝2+2k，xA xB＝2k，进而可得AB＝2（1+k2），OC＝k，得出m2（k）＝24，即m的最小值为4．
【解答】解：（1）∵抛物线经过原点，
∴c＝0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴1，
解得：b＝﹣1，
∴该抛物线的解析式为yx2﹣x；
（2）如图1，过点B作BH⊥x轴于H，
则∠BHP＝∠COP＝90°，
∵∠BPH＝∠CPO，
∴△PBH∽△PCO，
∴，
∵PB＝2PC，P（1，0），
∴PO＝1，2，
∴PH＝2，
∴H（3，0），
当x＝3时，yx2﹣x32﹣3，
∴点B（3，），
设直线PB的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线PB的解析式为yx，
联立方程组，得，
解得：，，
∴A（，）；
（3）设直线l的解析式为y＝kx+d，把P（1，0）代入得：k+d＝0，
∴d＝﹣k，
∴直线l的解析式为y＝kx﹣k，
联立，得：x2﹣x＝kx﹣k，
整理得：x2﹣（2+2k）x+2k＝0，
如图2，设A（xA，yA），B（xB，yB），
则xA+xB＝2+2k，xA xB＝2k，
过点A作AM∥x轴，过点B作BM∥y轴，
则AM＝xB﹣xA，BM＝yB﹣yA＝（kxB﹣k）﹣（kxA﹣k）＝k（xB﹣xA），
∵AB2＝AM2+BM2＝（xB﹣xA）2+[k（xB﹣xA）]2＝（1+k2）（xB﹣xA）2＝（1+k2）[（xA+xB）2﹣4xA xB]＝（1+k2）[（2+2k）2﹣4×2k]＝4（1+k2）2，
∴AB＝2（1+k2），
∵C（0，﹣k），
∴OC＝k，
∴m2（k）＝224，
∴m存在最小值，当k＝1时，m的最小值为4．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根与系数关系，二次函数的性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（﹣8，0），射线AC交y轴于B，点C（a，b）在射线AB上，满足：（2a+b﹣17）2+|a﹣b+5|＝0．
（1）求C的坐标；
（2）点P从点A出发沿射线AB运动，P的速度为2个单位长度/秒，运动时间为t秒，连接PO，△POB的面积为S，AB＝10，用含t的式子表示s，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，D（5，6），连接BD，过点D作DE⊥x轴于E，P开始运动的同时，动点Q从B出发以1个单位长度/秒的速度向D运动，到达D后再沿射线DE运动，△BOQ的面积等于S时，求Q的坐标．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）C（4，9）；
（2）S；
（3）点Q坐标为（，8）或（5，）．
【分析】（1）利用非负数的性质构建方程组求出a，b的值，可得结论；
（2）分两种情形：当0≤t＜5时，当t＞5时，分别求解即可；
（3）分两种情形：当0≤t＜5时，当t＞5时，分别构建方程求解．
【解答】解：（1）∵（2a+b﹣17）2+|a﹣b+5|＝0．
∴，
解得，
∴C（4，9）；
（2）连接OC．过点O作OH⊥AB于点H．
∵A（﹣8，0），C（4，9），
∴△ABC的面积8×9OB×12，
∴OB＝6，
∵△AOB的面积 AB OH6×8，
∴OH，
当0≤t＜5时，S（10﹣2t）24t．
当t＞5时，S（2t﹣10）t﹣24．
综上所述，S；
（3）当0≤t＜5时，24t6×t，
解得，t，此时Q（，8）．
当t＞5时，t﹣248×5，
解得，t．此时Q（5，）．
综上所述，满足条件的点Q坐标为（，8）或（5，）．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，动点问题等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题．
考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．分数指数幂
分数指数幂是正分数指数幂和负分数指数幂的统称．分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式．负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法，是高中代数的重点．
3．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
4．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
5．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
6．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
7．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点．
8．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
9．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
10．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
11．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
12．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
13．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
14．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
15．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
16．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
17．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
18．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
19．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
20．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
21．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
22．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
23．梯形
（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
24．*平面向量
平面向量是在二维平面内既有方向（direction）又有大小（magnitude）的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）．平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示．
25．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
26．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
27．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
28．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若，则ad＝bc．
②合比性质．若，则．
③分比性质．若，则．
④合分比性质．若，则．
⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则．
29．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
30．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
31．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
32．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
33．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A的邻边除以斜边．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
34．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°； cos30°；tan30°；
sin45°；cos45°；tan45°＝1；
sin60°；cos60°； tan60°；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
35．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA，cosA，tanA．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
36．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
37．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
38．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
2024—2025学年上学期上海初中数学九年级开学模拟试卷3
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两个等边三角形相似
B．两个全等三角形相似
C．两个含30°角的等腰三角形相似
D．两个含30°角的直角三角形相似
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tanB B．cotB C．sinB D．cosB
3．（4分）已知，，且与的方向相反，下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）如图，直线l1，l2被一组平行线所截，交点分别为点A，B，C，及点D，E，F，如果DE＝2，DF＝5，BC＝4，则AB的长为（ ）
A． B． C．2 D．6
5．（4分）画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：
x … 1 2 3 4 …
y … 0 1 0 ﹣3 …
关于此函数有下列说法不正确的是（ ）
A．当x＝0时，y＝﹣3
B．当x＝2时，该函数有最大值
C．函数图象开口向下
D．在函数图象上有两点A（x1，﹣4），B，则x1＞x2
6．（4分）如图，已知抛物线y＝x2+mx+1﹣m（m为常数）恰好只经过图中网格区域（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数），则满足条件的整数m有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）计算： ．
8．（4分）若，则 ．
9．（4分）如果向量与向量方向相反，且，那么 ．
10．（4分）已知△ABC中，∠ABC＝90°，如果AC＝5，sinA，那么AB的长是 ．
11．（4分）如图，梯形ABCD中，BC∥AD，AB＝AD，P为边AB上一点，连PC，PD，CD垂直于CP且∠CPD＝∠A，BC＝4BP，则 ．
12．（4分）把函数y＝﹣2（x﹣1）2的图象旋转180°后，再向 平移 个单位就能得到顶点为原点的抛物线 ．
13．（4分）二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象与y轴的交点坐标是 ．
14．（4分）江堤的横断面如图，堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比是1：，则堤脚AC的长是 ．
15．（4分）如图，反比例函数y的图象经过点A（﹣1，﹣1），则当函数值y≥1时，自变量x的取值范围为 ．
16．（4分）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为 ．（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）
17．（4分）已知，点P是线段AB上一点，若（或），则称点P是线段AB的“黄金分割”点．显然，线段AB有两个“黄金分割”点（如图1），后人把这个数称为黄金分割”数．如图2，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为 ．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，点E是AC边上一点且CE＝2AE，将△BAE沿BE翻折得△BFE，若EF∥AD，则tan∠CBE＝ ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：|2|﹣（）0+2cos30°．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E为OC的中点，联结BE并延长，交边CD于点F．设，．
（1）填空：向量 ；
（2）填空：向量 ，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．
（注：本体结果用含向量、的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
21．（10分）已知一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y的图象都经过点A（1，﹣5），B（m，）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；并在网格中画出一次函数的图象；
（2）若点C与点A关于原点成中心对称，连接BC、AC．求△ABC的面积；
（3）根据图象，不等式ax+b的解集．
22．（10分）有一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，图1是台灯的平面示意图，其中点B，E，D均可转动，现测得AB＝BE＝ED＝CD＝18cm，经多次调试发现当点B，E都在灯座CD的垂直平分线上时（如图2所示）放置最平稳．
（1）求放置最平稳时灯座CD与灯杆ED的夹角的大小；
（2）当A点到水平桌面（CD所在直线）的距离为42cm﹣43cm时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将∠ABE调节到105°，试通过计算说明此时光线是否最佳．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.73）
23．（12分）如图，在△ABC中，点D，F，E分别在AB，BC，AC边上，DF∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDF∽△FEC．
（2）设．
①若BC＝15，求线段BF的长；
②若△FEC的面积是16，求△ABC的面积．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，对称轴为直线x＝1．已知点P（1，0），点C是y轴负半轴上一点，直线l经过P、C两点，且与抛物线交于A、B两点（点A在线段CB上）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PB＝2PC，求点A的坐标；
（3）记，判断m是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（﹣8，0），射线AC交y轴于B，点C（a，b）在射线AB上，满足：（2a+b﹣17）2+|a﹣b+5|＝0．
（1）求C的坐标；
（2）点P从点A出发沿射线AB运动，P的速度为2个单位长度/秒，运动时间为t秒，连接PO，△POB的面积为S，AB＝10，用含t的式子表示s，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，D（5，6），连接BD，过点D作DE⊥x轴于E，P开始运动的同时，动点Q从B出发以1个单位长度/秒的速度向D运动，到达D后再沿射线DE运动，△BOQ的面积等于S时，求Q的坐标．
2024—2025学年上学期上海初中数学九年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两个等边三角形相似
B．两个全等三角形相似
C．两个含30°角的等腰三角形相似
D．两个含30°角的直角三角形相似
【考点】命题与定理；相似三角形的判定；全等三角形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】利用相似多边形的判定方法分别对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、两个等边三角形是相似的，正确，是真命题，不合题意；
B、两个全等三角形相似，正确，真命题，不合题意；
C、两个含30°角的等腰三角形不一定相似，原命题错误，为假命题；
D、两个含30°角的直角三角形相似，正确，真命题，不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解对应角相等且对应边的比也相等的多边形相似，难度不大．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tanB B．cotB C．sinB D．cosB
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．
【解答】解：如图，根据勾股定理得：BC3，
tanB，
cotB，
sinB，
cosB，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握cotB是解题的关键．
3．（4分）已知，，且与的方向相反，下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】*平面向量．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】先表示出两个向量的模的关系，再根据方向相反可得答案．
【解答】解：∵，，
∴，
∵与的方向相反，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是掌握相反向量的概念．
4．（4分）如图，直线l1，l2被一组平行线所截，交点分别为点A，B，C，及点D，E，F，如果DE＝2，DF＝5，BC＝4，则AB的长为（ ）
A． B． C．2 D．6
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，即，
解得AB．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5．（4分）画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：
x … 1 2 3 4 …
y … 0 1 0 ﹣3 …
关于此函数有下列说法不正确的是（ ）
A．当x＝0时，y＝﹣3
B．当x＝2时，该函数有最大值
C．函数图象开口向下
D．在函数图象上有两点A（x1，﹣4），B，则x1＞x2
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】先由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小，得到函数图象开口向下；利用y＝0时，x＝1或x＝3，得到函数的对称轴，再结合开口方向得到函数的增减性；利用对称轴为直线x＝2和函数的增减性进行分析判断．
【解答】解：由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小，
∴函数图象开口向下，故C正确，不符合题意；
∵y＝0时，x＝1或x＝3，
∴函数的对称轴为直线x＝2，
∵开口向下，
∴当x＝2时，该函数有最大值1，故B正确，不符合题意；
∵对称轴为直线x＝2，x＝4时，y＝﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，故A正确，不符合题意；
在函数图象上有两点A（x1，﹣4），B（x2，，
∴当A、B在对称轴右侧时，x1＞x2，当A在对称轴右侧、B在对称轴左侧时，x1＞x2，当A在对称轴左侧、B在对称轴左侧时，x1＜x2，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
6．（4分）如图，已知抛物线y＝x2+mx+1﹣m（m为常数）恰好只经过图中网格区域（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数），则满足条件的整数m有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】首先求得抛物线经过定点（1，2），然后结合图象分类讨论抛物线经过3个格点时求m的值．
【解答】解：当x＝1时，y＝x2+mx+1﹣m＝1+m+1﹣m＝2，
∴抛物线经过定点（1，2），
①当点（1，2）是抛物线顶点时，那么抛物线对称轴为直线 x＝1，
解得m＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3，
如图，当（1，2）为抛物线顶点，抛物线经过（1，2），（0，3），（2，3），
∴m＝﹣2，
②当（1，2）不是抛物线的顶点，而是抛物线上关于 x ＝2对称的其中的一个点，那么抛物线也应经过点（3，2），如图，当抛物线经过（1，2），（2，1），（3，2）时，
抛物线对称轴为直线x2，
解得m＝﹣4，
③当（1，2）不是抛物线的顶点，也在图中找不到对应格点时，要想抛物线 L 恰好只经过网格区域（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数），抛物线应经过（2，0），（3，0），如图，
此时抛物线对称轴为直线x，
解得m＝﹣5，
∴满足条件的m有3个，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，通过数形结合，分类讨论求解是解题的关键．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）计算： ﹣1 ．
【考点】负整数指数幂；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】先根据零指数幂和负整数指数幂进行计算，再算加法即可．
【解答】解：（π﹣3.14）0+（）﹣1
＝1+（﹣2）
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的定义，能熟记零指数幂和负整数指数幂的定义是解此题的关键，注意：a0＝1（a≠0），a﹣p（a≠0，p为正整数）．
8．（4分）若，则 ．
【考点】比例的性质．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】．
【分析】根据比例的性质求出2x＝3y，再根据比例的性质求出答案即可．
【解答】解：∵，
∴3x＝2（x+y），
∴x＝2y，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质是解此题的关键，注意：如果，那么ad＝bc．
9．（4分）如果向量与向量方向相反，且，那么 ．
【考点】*平面向量．
【专题】其他问题；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据共线向量的定义解答．
【解答】解：∵向量与向量方向相反，且，
∴．
∴．
故答案为：．
【点评】考查了平面向量，根据题意得到的解题的突破口．
10．（4分）已知△ABC中，∠ABC＝90°，如果AC＝5，sinA，那么AB的长是 4 ．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA，求出BC，再根据勾股定理求出AB即可．
【解答】解：
∵∠ABC＝90°，AC＝5，sinA，
∴，
解得：BC＝3，
由勾股定理得：AB4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
11．（4分）如图，梯形ABCD中，BC∥AD，AB＝AD，P为边AB上一点，连PC，PD，CD垂直于CP且∠CPD＝∠A，BC＝4BP，则 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．
【专题】计算题；梯形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】以C为圆心，CB为半径画弧交AB的延长线于点E，连接CE，过点C作CF⊥BE于点E，设∠A＝∠CPD＝α，证明△ECP∽△APD，得出，设BP＝a，AD＝b，EF＝x，则CE＝BC＝4a，PA＝b﹣a，则，得出，解得：3b＝31a，可求出cosα的值即可．
【解答】解：以C为圆心，CB为半径画弧交AB的延长线于点E，连接CE，过点C作CF⊥BE于点E，设∠A＝∠CPD＝α，
则CE＝BC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵BC∥AD，
∴∠A＝∠CBE，
∴∠A＝∠CEB＝∠CPD＝α，
∴∠CPE+∠DPA＝180°﹣α，
又∵∠PDA+∠DPA＝180°﹣α，
∴∠CPE＝∠PDA，
∴△ECP∽△APD，
∴，
在Rt△CDP中，cosα，
∴cosα，
设BP＝a，AD＝b，EF＝x，
∵BC＝4BP，AB＝AD，
∴CE＝BC＝4a，PA＝b﹣a，
∴，
解得：3b＝31a，
∴cosα．
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质及方程思想是解题的关键．
12．（4分）把函数y＝﹣2（x﹣1）2的图象旋转180°后，再向 左 平移 一 个单位就能得到顶点为原点的抛物线 y＝2x2 ．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】左；一；y＝2x2．
【分析】直接利用二次函数绕原点旋转180°后的解析式各项都改变符号，进而利用上下平移规律得出答案．
【解答】解：∵将函数y＝﹣2（x﹣1）2的图象先绕顶点（1，0）旋转180°，
∴得到的解析式为：y＝2（x﹣1）2，
此时抛物线的顶点坐标仍是（1，0）．
∵再向左平移1个单位长度，即为原点（0，0）．
∴得到的抛物线对应的函数表达式是：y＝2x2．
故答案为：左；一；y＝2x2．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．
13．（4分）二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象与y轴的交点坐标是 （0，1） ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（0，1）．
【分析】令x＝0，求得函数y的值即可求得．
【解答】解：把x＝0代入y＝ax2﹣2x+1得，y＝1，
∴二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象与y轴的交点坐标是（0，1），
故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
14．（4分）江堤的横断面如图，堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比是1：，则堤脚AC的长是 10米 ．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】推理填空题；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比是铅直高度BC和水平宽度AC的比值，据此即可求解．
【解答】解：根据题意得：BC：AC＝1：，
解得：ACBC＝10（米）．
故答案为：10米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，理解坡度坡角定义是关键．
15．（4分）如图，反比例函数y的图象经过点A（﹣1，﹣1），则当函数值y≥1时，自变量x的取值范围为 0＜x≤1 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】0＜x≤1．
【分析】首先利用待定系数法求得k的值；然后求得当y＝1时x的值；最后由函数图象直接填空．
【解答】解：∵反比例函数y的图象经过点A（﹣1．﹣1），
∴k＝1，
∴当y＝1时，x1，
∴根据图象知，当y≥1时，0＜x≤1．
故答案为：0＜x≤1．
【点评】本题考查了反比例函数的图象．对于反比例函数y，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
16．（4分）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为 37m ．（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】37m
【分析】根据题意可得：AB⊥BC，CD＝70m，设BD＝x m，则BC＝（x+70）m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：AB⊥BC，CD＝70m，
设BD＝x m，则BC＝CD+BD＝（x+70）m，
在Rt△ABD中，∠ADB＝58°，
∴AB＝BD tan58°≈1.6x（m），
在Rt△ABC中，∠ACB＝22°，
∴AB＝BC tan22°≈0.4（x+70）m，
∴1.6x＝0.4（x+70），
解得：x，
∴AB＝1.6x≈37（m），
故答案为：37m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．（4分）已知，点P是线段AB上一点，若（或），则称点P是线段AB的“黄金分割”点．显然，线段AB有两个“黄金分割”点（如图1），后人把这个数称为黄金分割”数．如图2，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为 10﹣4 ．
【考点】黄金分割；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】10﹣4．
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，根据勾股定理可得AF，再根据黄金分割得到DE的长度，最后由三角形的面积公式可得答案．
【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB＝AC＝3，BC＝4，
∴BFCB＝2，AF．
∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴BE＝CD BC 4＝2（），
∴DE＝BE+CD﹣BC＝4（）﹣4＝48，
∴△ADE的面积为（48）10﹣4．
故答案为：10﹣4．
【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果线段上一点P把线段分割为两条线段PA，PB，当PA2＝PB AB，即PA≈0.618AB时，则称点P是线段AB的黄金分割点．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，点E是AC边上一点且CE＝2AE，将△BAE沿BE翻折得△BFE，若EF∥AD，则tan∠CBE＝ ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】．
【分析】延长EF交BC于H，由AB＝AC，D是BC边的中点，可得CH＝2DH，设DH＝x，AE＝EF＝y，FH＝a，则CE＝2y，AC＝AB＝3y＝BF，在Rt△BFH中，有（4x）2+a2＝（3y）2①，在Rt△CEH中，有（y+a）2+（2x）2＝（2y）2②，即可解得xa，y＝3a，从而BH＝4a，EH＝EF+FH＝4a，故tan∠CBE．
【解答】解：延长EF交BC于H，如图：
∵AB＝AC，D是BC边的中点，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∵EF∥AD，
∴EH⊥BC，，
∵CE＝2AE，
∴CH＝2DH，
设DH＝x，则CH＝2x，
∴CD＝BD＝3x，
∴BH＝BD+DH＝4x，
设AE＝EF＝y，FH＝a，则CE＝2y，AC＝AB＝3y＝BF，
在Rt△BFH中，BH2+FH2＝BF2，
∴（4x）2+a2＝（3y）2①，
在Rt△CEH中，CH2+EH2＝CE2，
∴（y+a）2+（2x）2＝（2y）2②，
由①②联立方程组，解得xa，y＝3a，
∴BH＝4x＝4a，EH＝EF+FH＝y+a＝4a，
∴tan∠CBE，
故答案为：．
【点评】本题考查等腰三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：|2|﹣（）0+2cos30°．
【考点】分数指数幂；零指数幂；特殊角的三角函数值；实数的运算．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据零指数幂、绝对值、三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝3+2
＝51
＝4．
【点评】本题考查了零指数幂、绝对值、三角函数值，掌握零指数幂、绝对值、三角函数值是解题的关键．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E为OC的中点，联结BE并延长，交边CD于点F．设，．
（1）填空：向量 ；
（2）填空：向量 ，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．
（注：本体结果用含向量、的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
【考点】作图—复杂作图；三角形中位线定理；平行四边形的性质；*平面向量．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）．
（2）．作图见解析部分．
【分析】（1）利用三角形法则求出，再证明AEAC即可解决问题．
（2）利用平行线分线段成比例定理，求出，再利用三角形法则即可解决问题．
【解答】解：（1）∵，，．
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵OE＝EC，
∴AEAC，
∴．
故答案为：．
（2）∵CF∥AB，
∴CF：AB＝EC：AE＝1：3，
∴CFBA，
∴，
∴．
在向量和方向上的分向量分别为和．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平四边形的性质，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（10分）已知一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y的图象都经过点A（1，﹣5），B（m，）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；并在网格中画出一次函数的图象；
（2）若点C与点A关于原点成中心对称，连接BC、AC．求△ABC的面积；
（3）根据图象，不等式ax+b的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】函数的综合应用；运算能力．
【答案】（1）yx，y，图象见解答；
（2）；
（3）x≥1或﹣3≤x＜0．
【分析】（1）由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数的表达式，由点B的纵坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，再根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（2）先求得C的坐标，然后根据面积差可得S△ABC的值即可；
（3）观察两函数图象的上下位置关系，即可找出不等式ax+b的解集．
【解答】解：（1）∵点A（1，﹣5））和B（m，）在反比例函数y的图象上，
∴k＝1×（﹣5）m＝﹣5，
∴反比例函数的表达式为y，m＝﹣3；
∴点B的坐标为（﹣3，）．
将A（1，﹣5），B（﹣3，）代入y＝ax+b，得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为yx；
图象如图1所示：
（2）如图2，∵点A的坐标为（1，﹣5），点C与点A关于原点成中心对称，
∴点C的坐标为（﹣1，5），
∵点B的坐标为（﹣3，），
∴S△ABC＝4×104×（5）2×10．
（3）观察函数图象，可知：当x≥1或﹣3≤x＜0时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，
∴不等式ax+b的解集是x≥1或﹣3≤x＜0．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征及待定系数法，求出函数的表达式；（2）利用分割法求解；（3）由两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集．
22．（10分）有一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，图1是台灯的平面示意图，其中点B，E，D均可转动，现测得AB＝BE＝ED＝CD＝18cm，经多次调试发现当点B，E都在灯座CD的垂直平分线上时（如图2所示）放置最平稳．
（1）求放置最平稳时灯座CD与灯杆ED的夹角的大小；
（2）当A点到水平桌面（CD所在直线）的距离为42cm﹣43cm时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将∠ABE调节到105°，试通过计算说明此时光线是否最佳．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.73）
【考点】解直角三角形的应用；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）放置最平稳时灯座CD与灯杆ED的夹角为60°；
（2）此时光线不是最佳，理由见解答．
【分析】（1）连接EC，根据线段垂直平分线的性质可得CE＝DE＝18cm，从而可得CE＝DE＝CD＝18cm，进而可得△CED是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得∠D＝60°，即可解答；
（2）延长BE交CD于点F，过点A作AH⊥DC，交DC的延长线于点H，过点B作BG⊥AH，垂足为G，根据题意可得：BF⊥CD，∠GBF＝90°，GH＝BF，从而可得∠ABG＝15°，然后在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，再在Rt△EFD中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而求出GH的长，最后利用线段的和差关系求出AH的长，即可解答．
【解答】解：（1）连接EC，
∵点E在灯座CD的垂直平分线上，
∴CE＝DE＝18cm，
∵CD＝DE＝18cm，
∴CE＝DE＝CD＝18cm，
∴△CED是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴放置最平稳时灯座CD与灯杆ED的夹角为60°；
（2）此时光线不是最佳，
理由：延长BE交CD于点F，过点A作AH⊥DC，交DC的延长线于点H，过点B作BG⊥AH，垂足为G，
由题意得：BF⊥CD，∠GBF＝90°，GH＝BF，
∵∠ABE＝105°，
∴∠ABG＝∠ABE﹣∠GBF＝15°，
在Rt△ABG中，AB＝18cm，
∴AG＝AB sin15°≈18×0.26＝4.68（cm），
在Rt△EFD中，∠D＝60°，DE＝18cm，
∴EF＝DE sin60°＝189（cm），
∵BE＝18cm，
∴GH＝BF＝BE+EF＝（18+9）cm，
∴AH＝AG+GH＝4.68+18+938.25（cm），
∴A点到水平桌面（CD所在直线）的距离约为38.25cm，
∵A点到水平桌面（CD所在直线）的距离为42cm﹣43cm，
∴此时光线不是最佳．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（12分）如图，在△ABC中，点D，F，E分别在AB，BC，AC边上，DF∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDF∽△FEC．
（2）设．
①若BC＝15，求线段BF的长；
②若△FEC的面积是16，求△ABC的面积．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）①5；
②36．
【分析】（1）由平行线性质可得到∠BED＝∠C，∠B＝∠FEC，则△BDE∽△EFC；
（2）①由EF∥AB，根据平行线分线段对应成比例可得，故可求得BE；
②证明△EFC∽△BAC，可得（）2，从而可得S△ABC．
【解答】（ 1）证明：∵DF∥AC，
∴∠BFD＝∠C，
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠EFC，
∴△BDF∽△FEC；
（2）解：①∵EF∥AB，
∴，
∵BC＝15，
∴，
∴BF＝5；
②∵，
∴，
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠B，
∵∠C＝∠C．
∴△EFC∽△BAC，
∴（）2，
∵S△EFC＝16，
∴S△ABC＝1636．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段对应成比例，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，对称轴为直线x＝1．已知点P（1，0），点C是y轴负半轴上一点，直线l经过P、C两点，且与抛物线交于A、B两点（点A在线段CB上）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PB＝2PC，求点A的坐标；
（3）记，判断m是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）yx2﹣x；
（2）A（，）；
（3）m存在最小值，当k＝1时，m的最小值为4．
【分析】（1）把（0，0）代入可得c＝0，再根据抛物线对称轴x，可求得b＝﹣1，即可得出答案；
（2）过点B作BH⊥x轴于H，可证得△PBH∽△PCO，得出，由PB＝2PC，可得2，进而求得点B（3，），再运用待定系数法可得直线PB的解析式为yx，联立方程组求解即可求得点A的坐标；
（3）先根据题意得出直线l的解析式为y＝kx﹣k，与抛物线解析式联立得x2﹣（2+2k）x+2k＝0，设A（xA，yA），B（xB，yB），则xA+xB＝2+2k，xA xB＝2k，进而可得AB＝2（1+k2），OC＝k，得出m2（k）＝24，即m的最小值为4．
【解答】解：（1）∵抛物线经过原点，
∴c＝0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴1，
解得：b＝﹣1，
∴该抛物线的解析式为yx2﹣x；
（2）如图1，过点B作BH⊥x轴于H，
则∠BHP＝∠COP＝90°，
∵∠BPH＝∠CPO，
∴△PBH∽△PCO，
∴，
∵PB＝2PC，P（1，0），
∴PO＝1，2，
∴PH＝2，
∴H（3，0），
当x＝3时，yx2﹣x32﹣3，
∴点B（3，），
设直线PB的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线PB的解析式为yx，
联立方程组，得，
解得：，，
∴A（，）；
（3）设直线l的解析式为y＝kx+d，把P（1，0）代入得：k+d＝0，
∴d＝﹣k，
∴直线l的解析式为y＝kx﹣k，
联立，得：x2﹣x＝kx﹣k，
整理得：x2﹣（2+2k）x+2k＝0，
如图2，设A（xA，yA），B（xB，yB），
则xA+xB＝2+2k，xA xB＝2k，
过点A作AM∥x轴，过点B作BM∥y轴，
则AM＝xB﹣xA，BM＝yB﹣yA＝（kxB﹣k）﹣（kxA﹣k）＝k（xB﹣xA），
∵AB2＝AM2+BM2＝（xB﹣xA）2+[k（xB﹣xA）]2＝（1+k2）（xB﹣xA）2＝（1+k2）[（xA+xB）2﹣4xA xB]＝（1+k2）[（2+2k）2﹣4×2k]＝4（1+k2）2，
∴AB＝2（1+k2），
∵C（0，﹣k），
∴OC＝k，
∴m2（k）＝224，
∴m存在最小值，当k＝1时，m的最小值为4．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根与系数关系，二次函数的性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（﹣8，0），射线AC交y轴于B，点C（a，b）在射线AB上，满足：（2a+b﹣17）2+|a﹣b+5|＝0．
（1）求C的坐标；
（2）点P从点A出发沿射线AB运动，P的速度为2个单位长度/秒，运动时间为t秒，连接PO，△POB的面积为S，AB＝10，用含t的式子表示s，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，D（5，6），连接BD，过点D作DE⊥x轴于E，P开始运动的同时，动点Q从B出发以1个单位长度/秒的速度向D运动，到达D后再沿射线DE运动，△BOQ的面积等于S时，求Q的坐标．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）C（4，9）；
（2）S；
（3）点Q坐标为（，8）或（5，）．
【分析】（1）利用非负数的性质构建方程组求出a，b的值，可得结论；
（2）分两种情形：当0≤t＜5时，当t＞5时，分别求解即可；
（3）分两种情形：当0≤t＜5时，当t＞5时，分别构建方程求解．
【解答】解：（1）∵（2a+b﹣17）2+|a﹣b+5|＝0．
∴，
解得，
∴C（4，9）；
（2）连接OC．过点O作OH⊥AB于点H．
∵A（﹣8，0），C（4，9），
∴△ABC的面积8×9OB×12，
∴OB＝6，
∵△AOB的面积 AB OH6×8，
∴OH，
当0≤t＜5时，S（10﹣2t）24t．
当t＞5时，S（2t﹣10）t﹣24．
综上所述，S；
（3）当0≤t＜5时，24t6×t，
解得，t，此时Q（，8）．
当t＞5时，t﹣248×5，
解得，t．此时Q（5，）．
综上所述，满足条件的点Q坐标为（，8）或（5，）．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，动点问题等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题．
考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．分数指数幂
分数指数幂是正分数指数幂和负分数指数幂的统称．分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式．负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法，是高中代数的重点．
3．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
4．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
5．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
6．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
7．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点．
8．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
9．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
10．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
11．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
12．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
13．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
14．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
15．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
16．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
17．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
18．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
19．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
20．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
21．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
22．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
23．梯形
（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
24．*平面向量
平面向量是在二维平面内既有方向（direction）又有大小（magnitude）的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）．平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示．
25．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
26．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
27．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
28．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若，则ad＝bc．
②合比性质．若，则．
③分比性质．若，则．
④合分比性质．若，则．
⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则．
29．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
30．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
31．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
32．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
33．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A的邻边除以斜边．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
34．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°； cos30°；tan30°；
sin45°；cos45°；tan45°＝1；
sin60°；cos60°； tan60°；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
35．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA，cosA，tanA．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
36．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
37．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
38．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
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