2024—2025学年上学期武汉初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+知识卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期武汉初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+知识卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 868.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-07 09:11:53 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期武汉初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若关于x的方程2x2+mx＝4x+2中不含一次项，则m＝（ ）
A．0 B．4 C．﹣4 D．±4
2．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点坐标是P（3，﹣1），则令函数y随自变量x的增大而减少的x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞1 D．x＜1
3．（3分）如图，在下面的扑克牌中，牌面是中心对称图形的有（ ）
A．2张 B．3张 C．4张 D．5张
4．（3分）在平面直角坐标系中，若直线y＝2x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．0或1个 C．2个 D．1或2个
5．（3分）方程（x﹣1）2＝0的根是（ ）
A．x＝﹣1 B．x1＝x2＝1
C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣1
6．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 ……
y …… 4 4 m 0 ……
则下列结论中：①抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；②m；③当﹣4＜x＜2时，y＜0；④方程ax2+bx+c﹣4＝0的两根分别是x1＝﹣2，x2＝0，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）对于实数a、b，定义运算“*”：a*b，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，那么x1*x2＝（ ）
A．42 B．﹣42 C．43 D．42或﹣42
8．（3分）如图，一个万花筒图案，其中平行四边形FJKG变成平行四边形FDAC，如果看成是经过以点F为旋转中心、旋转角为α的旋转移动得到的，那么α的度数为（ ）
A．60° B．120°
C．180° D．以上答案都不对
9．（3分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②正方形A1B1C1O绕点O旋转时，四边形OEBF的面积始终等于正方形ABCD的；③当正方形ABCD的边长为2时，△BEF周长的最小值为2；④AE2+CF2＝2OB2，正确的结论序号有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
10．（3分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1≤m≤0 B．2≤m≤4 C．2≤m D．m
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在x2+（ ）+16＝0的括号内添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根，则这个一次项可以是 ．
12．（3分）如图，在⊙O中AB是直径，CD⊥AB，∠BAC＝30°，OD＝2，那么DC的长等于 ．
13．（3分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3，当x≥﹣2时，y的取值范围为 ．
14．（3分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m＝ ．
15．（3分）如果抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向下，那么a的取值范围是 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，将矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形EFCG，点M、O、N分别在边EF、CD、CG上，且OC＝OD＝OM＝ON，OM⊥EF，则NG的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x2＝3x；
（2）2x2+5x+1＝0．
18．（8分）已知x＝﹣1是方程x2+bx＝﹣9的一个根，求常数b的值及该方程的另一根．
19．（8分）十一黄金周期间，某旅行社为吸引市民组团去大洪山风景区旅游，推出了如图所示的收费标准：
某中学组织老师去大洪山风景区旅游，共支付给该旅行社27000元．请问：该中学这次共有多少名老师去大洪山风景区旅游？
20．（8分）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．
（1）方程ax2+bx+c＝0的根为 ；
（2）方程ax2+bx+c＝﹣3的根为 ；
（3）方程ax2+bx+c＝﹣4的根为 ；
21．（10分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（﹣4，﹣2），请直接写出直线l的函数解析式．
22．（10分）科学研究表明：一般情况下，在一节45分钟的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，在0≤x≤8时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间x（分钟）满足关系y＝2x+68，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x（分钟）的图象呈抛物线形，到第16分钟时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束．
（1）当x＝8时，注意力指数y为 ，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x（分钟）的函数关系式是 ；
（2）若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）
（3）现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到1分钟）（参考数据：
23．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，BD＝10．
（1）如图1，AB＝BD，
①当时，求△ABD的面积；
②当△AOD为等腰三角形时，求∠AOD的正切值；
（2）如图2，分别将△ABD，△ACD沿BD、AC翻折，点A、D分别落到A′、D′的位置，BA′与CD'交于点E．若AC＝6，AB＞AD，求CE：BE的值．
24．（10分）如图1，已知正方形ABCO的边长为2，D、N分别是OA、AB的中点，连接AM．
（1）①线段ON与线段CD的位置关系是 ；②∠AMN＝ ；
（2）将正方形ABCO放入平面直角坐标系中，如图2所示，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？
2024—2025学年上学期武汉初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若关于x的方程2x2+mx＝4x+2中不含一次项，则m＝（ ）
A．0 B．4 C．﹣4 D．±4
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；符号意识；运算能力．
【答案】B
【分析】首先要把方程化成一般形式．不含x的一次项，即是一次项系数为0，再解答即可．
【解答】解：2x2+mx＝4x+2，
2x2+（m﹣4）x﹣2＝0，
不含x的一次项，
则m﹣4＝0，
解得m＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．本题关键是明白不含x的一次项，即是一次项系数为0．
2．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点坐标是P（3，﹣1），则令函数y随自变量x的增大而减少的x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞1 D．x＜1
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】A
【分析】由a＜0知，抛物线开口向下，图象在对称轴的右侧时，函数y随自变量x的增大而减小，由已知求出函数的对称轴为x＝3即可．
【解答】解：由a＜0知，抛物线开口向下，图象在对称轴的右侧时，函数y随自变量x的增大而减小，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点坐标是P（3，﹣1），
∴函数的对称轴为直线x＝3，
∴x＞3时，函数y随自变量x的增大而减小，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
3．（3分）如图，在下面的扑克牌中，牌面是中心对称图形的有（ ）
A．2张 B．3张 C．4张 D．5张
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的概念和扑克牌的花色求解．
【解答】解：由于黑桃9与梅花3、黑桃8中间的图形旋转180°后无法与原来重合，故不是中心对称图形；
只有红桃2，方片J是中心对称图形，共2张．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
4．（3分）在平面直角坐标系中，若直线y＝2x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．0或1个 C．2个 D．1或2个
【考点】根的判别式；一次函数的性质；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】先根据一次函数的性质得到a≤0，再计算根的判别式的意义得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵直线y＝2x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
∴Δ＝22﹣4a＝4﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
当a＝0时，方程ax2+2x+1＝0为2x+1＝0，实数根的个数为1个．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
5．（3分）方程（x﹣1）2＝0的根是（ ）
A．x＝﹣1 B．x1＝x2＝1
C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣1
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】两边直接开平方即可．
【解答】解：∵（x﹣1）2＝0，
∴x﹣1＝0，
则x1＝x2＝1，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，能够根据方程的特点选用合适的方法是解题的关键．
6．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 ……
y …… 4 4 m 0 ……
则下列结论中：①抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；②m；③当﹣4＜x＜2时，y＜0；④方程ax2+bx+c﹣4＝0的两根分别是x1＝﹣2，x2＝0，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【答案】C
【分析】①函数的对称轴为：x＝﹣1，此时y，即可求解；
②函数的对称轴为：x＝﹣1，则m和对应，即可求解；
③x＝2，y＝0，根据函数的对称性，x＝﹣4，y＝0，而当﹣4＜x＜2时，y＞0，即可求解；
④方程ax2+bx+c﹣4＝0的两根，相等于y＝ax2+bx+c和y＝x的加点，即可求解．
【解答】解：①函数的对称轴为：x＝﹣1，此时y，故①符合题意；
②函数的对称轴为：x＝﹣1，则m和对应，故②符合题意；
③x＝2，y＝0，根据函数的对称性，x＝﹣4，y＝0，而当﹣4＜x＜2时，y＞0，故③不符合题意；
④方程ax2+bx+c﹣4＝0的两根，相等于y＝ax2+bx+c和y＝x的加点，故④符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
7．（3分）对于实数a、b，定义运算“*”：a*b，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，那么x1*x2＝（ ）
A．42 B．﹣42 C．43 D．42或﹣42
【考点】根与系数的关系；实数的运算．
【专题】新定义；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】由题意可求得一元二次方程的两个根是﹣1或6，再根据新定义的运算进行求解即可．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，
∴（x﹣6）（x+1）＝0，
解得：x＝6或x＝﹣1，
∴当x1＝6，x2＝﹣1时，
x1*x2
＝62﹣6×（﹣1）
＝36+6
＝42；
当x1＝﹣1，x2＝6时，
x1*x2
＝（﹣1）×6﹣62
＝﹣6﹣36
＝﹣42；
综上所述，其结果为42或﹣42．
故选：D．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是理解清楚新定义的运算．
8．（3分）如图，一个万花筒图案，其中平行四边形FJKG变成平行四边形FDAC，如果看成是经过以点F为旋转中心、旋转角为α的旋转移动得到的，那么α的度数为（ ）
A．60° B．120°
C．180° D．以上答案都不对
【考点】生活中的旋转现象；平行四边形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】根据万花筒图案中的三角形都是等边三角形，可知∠CFG＝120°，可看成是平行四边形FJKG以点F为旋转中心，逆时针旋转120°变成平行四边形FDAC的．
【解答】解：根据图形可知∠CFG＝120°，
所以可看成是平行四边形FJKG以点F为旋转中心，逆时针旋转120°变成平行四边形FDAC的，
所以α的度数为120°．
故选：B．
【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
9．（3分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②正方形A1B1C1O绕点O旋转时，四边形OEBF的面积始终等于正方形ABCD的；③当正方形ABCD的边长为2时，△BEF周长的最小值为2；④AE2+CF2＝2OB2，正确的结论序号有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】根据△AOE与△BOF全等，可对①②作出判断，BE+BF可转化为AE+BE，即为正方形的边长，EF为OF的倍，据此可判断③的正误，将AE2+CF2转化为BF2+CF2，再根据BF+CF＝BC即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠AOB＝90°，∠OAE＝∠OBF＝45°．
又∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴∠EOF＝90°，
∴∠AOE+∠BOE＝∠BOF+∠BOE，
∴∠AOE＝∠BOF．
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴OE＝OF，
又∵∠EOF＝90°，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°．
故①正确．
由上述证明过程可知，
S△AOE＝S△BOF，
∴S四边形OEBF＝S△OBF+S△OBE．
故②正确．
∵△AOE≌△BOF，
∴AE＝BF，
∴C△BEF＝BE+EF+BF＝BE+AE+EF＝AB+EF．
又∵当OE⊥AB时，OE取得最小值，
此时OE，
∴EF的最小值为，
∴C△BEF的最小值为2．
故③正确．
∵AE＝BF，
∴（AE+CF）2＝BC2，
又∵BC2＝2OB2，
即AE2+2AE CF+CF2＝2OB2．
故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质及正方形的性质，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
10．（3分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1≤m≤0 B．2≤m≤4 C．2≤m D．m
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】代数综合题；数形结合；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由完美点的概念可得：ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由只有一个完美点可得判别式Δ＝9﹣4ac＝0，得方程根为，从而求得a＝﹣1，c，所以函数y＝ax2+4x+cx2+4x﹣3，由此解析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数值，可求得x的取值范围．
【解答】解：令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，
由题意可得，图象上有且只有一个完美点，
∴式△＝9﹣4ac＝0，则4ac＝9．
又方程根为x，
∴a＝﹣1，c．
∴函数y＝ax2+4x+cx2+4x﹣3，
该二次函数图象如图所示，顶点坐标为（2，1），
与y轴交点为（0，﹣3），根据对称规律，
点（4，﹣3）也是该二次函数图象上的点．
在x＝2左侧，y随x的增大而增大；在x＝2右侧，y随x的增大而减小；且当0≤x≤m 时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最大值为1，最小值为﹣3，则2≤m≤4．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式的知识，利用数形结合和分类讨论是解题关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在x2+（ ）+16＝0的括号内添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根，则这个一次项可以是 8x或﹣8x ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】8x或﹣8x．
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，填写一次项使根的判别式等于0即可．
【解答】解：在x2+（ ）+16＝0的括号内添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根，则这个一次项可以是8x或﹣8x．
故答案为：8x或﹣8x．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
12．（3分）如图，在⊙O中AB是直径，CD⊥AB，∠BAC＝30°，OD＝2，那么DC的长等于 2 ．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】2．
【分析】由垂径定理推出，DH＝CH，由圆周角定理得到∠BOD＝2∠A＝60°，求出∠D＝90°﹣∠BOD＝30°，因此OHOD＝1，由勾股定理求出DH，即可得到CD＝2DH＝2．
【解答】解：∵AB是直径，CD⊥AB，
∴，DH＝CH，
∴∠BOD＝2∠A＝2×30°＝60°，
∴∠D＝90°﹣∠BOD＝30°，
∴OHOD2＝1，
∴DH，
∴CD＝2DH＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，关键是由圆周角定理推出∠BOD＝60°．
13．（3分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3，当x≥﹣2时，y的取值范围为 y≥﹣4 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】y≥﹣4．
【分析】根据函数中的解析式，先化为顶点式，从而可以得到当x≥﹣2时，y的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∴当x≥﹣2时，y≥﹣4．
故答案为：y≥﹣4．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是关键．
14．（3分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m＝ ﹣1 ．
【考点】二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．
【专题】规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1＝A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果．
【解答】解：∵y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），
∴配方可得y＝﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，1），
∴A1坐标为（2，0）
∵C2由C1旋转得到，
∴OA1＝A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；
照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；
C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；
C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；
C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．
15．（3分）如果抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向下，那么a的取值范围是 a＞1 ．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；模型思想；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，则a＜0，利用不等式求解即可．
【解答】解：∵抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向下，
∴1﹣a＜0，解得，a＞1，
故答案为：a＞1．
【点评】考查二次函数的图象和性质，明确a、b、c的值确定抛物线的位置是关键．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，将矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形EFCG，点M、O、N分别在边EF、CD、CG上，且OC＝OD＝OM＝ON，OM⊥EF，则NG的长为 1 ．
【考点】旋转的性质；矩形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】1．
【分析】过点O作OH⊥CG于H，先证明四边形MFCH为矩形，再由旋转性质得OH＝4﹣2.5＝1.5，再用勾股定理求出CH，由NG＝5﹣2CH即可得到答案．
【解答】解：如图，过点O作OH⊥CG于H，
∵OC＝ON，
∴CH＝NH，
∵OM⊥EF，
∴M，O，H共线，
∵∠F＝∠FCH＝∠CHM＝∠HMF＝90°，
∴四边形MFCH为矩形，
∴MH＝CF，
∵AB＝5，BC＝4，结合旋转性质得：
∴CF＝4，
∵OC＝OD＝OM＝ON＝2.5，
∴OH＝4﹣2.5＝1.5，
∴CH2，
∴NG＝5﹣2CH＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，过点O作OH⊥CG且求出OH＝1.5是解决此题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x2＝3x；
（2）2x2+5x+1＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝0，x2＝3；
（2）．
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据公式法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）x2＝3x，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x1＝0，x2＝3；
（2）2x2+5x+1＝0，
∵a＝2，b＝5，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝17，
，
．
【点评】本题考查因式分解法和公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．
18．（8分）已知x＝﹣1是方程x2+bx＝﹣9的一个根，求常数b的值及该方程的另一根．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】10，﹣9．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝﹣1代入关于x的一元二次方程x2+bx＝﹣9，求得b的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为x2．
∵关于x的一元二次方程x2+bx＝﹣9的一个根是﹣1，
∴x＝﹣1满足关于x的一元二次方程x2+bx＝﹣9，
∴（﹣1）2﹣b+9＝0，
解得b＝10；
又由韦达定理知﹣1×x2＝9，
解得x2＝﹣9．
即方程的另一根是﹣9．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
19．（8分）十一黄金周期间，某旅行社为吸引市民组团去大洪山风景区旅游，推出了如图所示的收费标准：
某中学组织老师去大洪山风景区旅游，共支付给该旅行社27000元．请问：该中学这次共有多少名老师去大洪山风景区旅游？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】该中学这次共有30名老师去大洪山风景区旅游．
【分析】设该中学这次共有x名老师去大洪山风景区旅游，求出25＜x＜35，再利用总费用＝人均费用×人数，列出一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设该中学这次共有x名老师去大洪山风景区旅游，
∵1000×25＝25000（元），25000＜27000＜28000，
∴25＜x＜35，
由题意得：x[1000﹣20（x﹣25）]＝27000，
整理得：x2﹣75x+1350＝0，
解得：x1＝30，x2＝45（不符合题意，舍去），
答：该中学这次共有30名老师去大洪山风景区旅游．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（8分）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．
（1）方程ax2+bx+c＝0的根为 x＝﹣1和x＝3 ；
（2）方程ax2+bx+c＝﹣3的根为 x＝1 ；
（3）方程ax2+bx+c＝﹣4的根为 无解 ；
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）x＝﹣1和x＝3；（2）x＝1；（3）无解．
【分析】（1）找到图象与x轴的交点坐标即可确定答案；
（2）找到图象与直线y＝﹣3的交点坐标即可确定方程的解；
（3）找到图象与直线y＝﹣4的交点坐标即可确定方程的解．
【解答】解：（1）观察图象知：函数与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），
所以方程ax2+bx+c＝0的根为x＝﹣1和x＝3，
故答案为：x＝﹣1和x＝3；
（2）观察图象知：函数与直线y＝﹣3交于点（1，﹣3），
所以方程ax2+bx+c＝﹣3的根为x＝1，
故答案为：x＝1；
（3）观察图象知：函数与直线y＝﹣4无交点
所以方程ax2+bx+c＝﹣4无解，
故答案为：无解．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题的知识，根据抛物线与x轴的交点求出一元二次方程的两个根是解答此题的关键，此题难度不大．
21．（10分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（﹣4，﹣2），请直接写出直线l的函数解析式．
【考点】作图﹣旋转变换；待定系数法求一次函数解析式；作图﹣轴对称变换；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；网格型；平移、旋转与对称．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将三个顶点分别向左平移4个单位，再顺次连接即可得；
（2）分别作出三顶点绕原点O顺时针旋转90°后得到的对应点，再顺次连接即可得；
（3）连接AA3，作此线段的中垂线即可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为（﹣1，2）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（2，﹣3）；
（3）直线l的解析式为y＝﹣x．
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换与平移变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义与性质．
22．（10分）科学研究表明：一般情况下，在一节45分钟的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，在0≤x≤8时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间x（分钟）满足关系y＝2x+68，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x（分钟）的图象呈抛物线形，到第16分钟时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束．
（1）当x＝8时，注意力指数y为 84 ，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x（分钟）的函数关系式是 yx2+4x+60 ；
（2）若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）
（3）现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到1分钟）（参考数据：
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；数据分析观念；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）84，yx2+4x+60；
（2）在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟；
（3）教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大．
【分析】（1）根据题意把x＝8代入y＝2x+8即可得出答案，由题意可设出抛物线的顶点解析式为：y＝a（x﹣16）2+92，再把（8，84）代入即可解出答案；
（2）根据y≥80，可列出2x+68≥80和x2+4x+60≥80两种情况，在自变量的取值范围下解出不等式，即可求出答案；
（3）设出未知数，根据题中条件可列出方程：2t+68（t+24﹣16）2+92，解出方程的解即可．
【解答】解：（1）根据题意，把x＝8代入y＝2x+68可得：y＝84，
由题意可知，抛物线的顶点坐标为（16，92），
∴可设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣16）2+92，
把（8，84）代入可得：64a+92＝84，
解得：a，
∴y（x﹣16）2+92x2+4x+60，
故答案为：84，yx2+4x+60；
（2）由学生的注意力指数不低于80，即y≥80，
当0≤x≤8时，由2x+68≥80可得：6≤x≤8；
当8＜x≤45是，则x2+4x+60≥80，即（x﹣16）2+92≥80，
整理得：（x﹣16）2≤96，解得：8＜x≤16+4，
∴16+46＝10+420（分钟），
答：在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟；
（3）设教师上课后从第t分钟开始讲解这道题，
∵10+424，
∴0≤t＜6，
要使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，
则当x＝t和当x＝t+24时对应的函数值相同，
即2t+68（t+24﹣16）2+92，整理得：（t+16）2＝384，
解得：，（舍），
∴t≈4，
答：教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，解题关键：一是利用顶点式求出解析式，二是利用条件列出不等式，三是求出根据当x＝t和当x＝t+24时对应的函数值相同求出t的值．
23．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，BD＝10．
（1）如图1，AB＝BD，
①当时，求△ABD的面积；
②当△AOD为等腰三角形时，求∠AOD的正切值；
（2）如图2，分别将△ABD，△ACD沿BD、AC翻折，点A、D分别落到A′、D′的位置，BA′与CD'交于点E．若AC＝6，AB＞AD，求CE：BE的值．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；压轴题；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）①S△ABD＝30；
②∠AOD的正切值为或；
（2）CE：BE的值为．
【分析】（1）①过点A作AF⊥BD于F，利用解直角三角形可得AF＝AB sin∠ABD＝6，再根据三角形面积公式即可得出答案；
②分三种情况：当OA＝AD时，当OA＝OD时，当OD＝AD时，分别利用解直角三角形即可求得答案；
（2）过点O作OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，OH⊥CD′于H，OJ⊥BA′于J，可证得△BOE∽△OCE，得出，再运用平行四边形的性质即可求得答案．
【解答】解：（1）①如图（1），过点A作AF⊥BD于F，
．
在Rt△ABF中，AB＝BD＝10，AF＝AB sin∠ABD＝106，
∴S△ABDBD AF10×6＝30；
②当OA＝AD时，
∵AF⊥BD，
∴OF＝DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝ODBD，
∴BFBD，
∵AB＝BD，
∴AFBD，
∴tan∠AOD；
当OA＝OD时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OA，BD＝2OD，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＞AB，与AB＝BD矛盾，故OA＝OD不成立；
当OD＝AD时，设AD＝x，则AB＝BD＝2x，
如图（1′），过点B作BM⊥AD于M，过点A作AF⊥BD于F，
∵AB＝BD，BM⊥AD，
∴AM＝DMx，
∴BMx，
∵S△ABDAD BMBD AF，
∴xx2x AF，
∴AFx，
在Rt△ABF中，BFx，
∴OF＝BF﹣OBx﹣xx，
∴tan∠AOD；
综上所述，∠AOD的正切值为或；
（2）如图（2），过点O作OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，OH⊥CD′于H，OJ⊥BA′于J，
则OF＝OG，
由翻折得：∠ACD′＝∠ACD，∠A′BD＝∠ABD，
∴OH＝OG，OF＝OJ，
∴OH＝OJ，
∵OH⊥ED′，OJ⊥EA′，
∴∠OEH＝∠OEJ，
∴∠EOC+∠ACD′＝∠A′BD+∠EOB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵∠EOB+∠EOC＝∠ABD+∠BAC＝∠A′BD+∠ACD′，
∴∠A′BD＝∠EOC，∠EOB＝∠ACD′，
∴△BOE∽△OCE，
∴，
∵ ABCD中，AC＝6，BD＝10，
∴OCAC＝3，OBBD＝5，
∴，
∴BEOE，CEOE，
∴；
∴CE：BE的值为．
【点评】本题考查四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形和矩形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
24．（10分）如图1，已知正方形ABCO的边长为2，D、N分别是OA、AB的中点，连接AM．
（1）①线段ON与线段CD的位置关系是 垂直 ；②∠AMN＝ 45° ；
（2）将正方形ABCO放入平面直角坐标系中，如图2所示，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；三角形；图形的全等；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①垂直；②45°；
（2）；
（3）t＝1或．
【分析】（1）①由题意证明△COD≌△OAN，得到∠OCD＝∠AON，再由∠OCD+∠ODC＝90°，∠AON+∠ODC＝90°，可得∠OMD＝90°，则问题可解；
②过点A做AE⊥OA于点E，由（1）中条件证明△COM≌△OAE，得到OM＝AE；再由平行线分线段成比例定理，证明OM＝ME，进而得到AE＝ME，则问题可证；
（2）过点E作EG⊥x轴于G点，根据一线三垂直模型证明△ODC≌△GDE，得到点E的坐标为（3，1），可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+k，（a≠0），将C，E点的坐标代入解析式，求出a和k，化成一般式即可；
（3）①若△DFP∽△COD时，易得PD∥OC，进而证明四边形PDOC是矩形，则PC＝OD＝1，解得t＝1；②若△PFD∽△COD时，则∠DPF＝∠OCD，，据此证明PC＝PD，，由勾股定理求得，，由解得，则，问题可解．
【解答】解：（1）①∵四边形OABC是正方形，
∴OC＝OA＝AB，∠COD＝∠OAN．
∵D、N分别是OA、AB的中点，
∴OD＝AN．
∴△COD≌△OAN（SAS）．
∴∠OCD＝∠AON．
∵∠OCD+∠ODC＝90°，
∴∠AON+∠ODC＝90°．
∴∠OMD＝90°．
∴ON⊥CD．
故答案为：垂直．
②过点A做AE⊥OA于点E，
∴由①∠CMO＝∠OEA＝90°．
∴CD∥EA．
∵∠OCD＝∠AON，OC＝OA，
∴△COM≌△OAE（AAS）．
∴OM＝AE．
∵CD∥EA，D是OA的中点，
∴
即OM＝ME．
∴AE＝ME．
∴∠AMN＝45°．
故答案为：45°．
（2）过点E作EG⊥x轴于G点，
∵四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点，
∴OA＝OC＝2，OD＝1，∠AOC＝90°．
∵EG⊥x轴，
∴∠DGE＝90°，
∴∠AOC＝∠DGE＝90°．
∵∠CDE＝90°，
∴∠ODC+∠GDE＝90°．
∴∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠OCD＝∠GDE．
在△ODC和△GDE中，
∠AOC＝∠DGE，∠OCD＝∠GDE，DC＝DE．
∴△ODC≌△GDE，
∴EG＝OD＝1，DG＝OC＝2，
∴OG＝OD+DG＝1+2＝3，
∴点C的坐标为（0，2），点E的坐标为（3，1）．
∴抛物线的对称轴为直线AB即直线x＝2，
∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+k，（a≠0），
将C，E点的坐标代入解析式，得：
，
解得：
，
∴抛物线的解析式为．
（3）①若△DFP∽△COD，则∠PDF＝∠DCO，
∴PD∥OC，
∴∠PDO＝∠OCP＝∠AOC＝90°，
∴四边形PDOC是矩形，
∴PC＝OD＝1，
∴t＝1．
②若△PFD∽△COD，
则∠DPF＝∠OCD，，
∴∠PCF＝90°﹣∠DCO＝90°﹣∠DPF＝∠PDF，
∴PC＝PD，
∴，
∵CD2＝OD2+OC2＝22+12＝5，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
综上所述，t＝1或时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似．
【点评】本题综合考查全等三角形的性质与判定、正方形的性质、相似三角形的性质以及用待定系数法求二次函数的解析式，解答关键是充分利用三角形全等或者相似求得数据或构造方程．
考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
3．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
4．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
5．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
6．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
7．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
9．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
10．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
11．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
12．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
13．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
14．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
15．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
16．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
17．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
18．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
19．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
20．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
22．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
23．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
24．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
25．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
26．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
27．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
28．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
29．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
30．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
31．生活中的旋转现象
（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．
32．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
33．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
34．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
2024—2025学年上学期武汉初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若关于x的方程2x2+mx＝4x+2中不含一次项，则m＝（ ）
A．0 B．4 C．﹣4 D．±4
2．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点坐标是P（3，﹣1），则令函数y随自变量x的增大而减少的x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞1 D．x＜1
3．（3分）如图，在下面的扑克牌中，牌面是中心对称图形的有（ ）
A．2张 B．3张 C．4张 D．5张
4．（3分）在平面直角坐标系中，若直线y＝2x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．0或1个 C．2个 D．1或2个
5．（3分）方程（x﹣1）2＝0的根是（ ）
A．x＝﹣1 B．x1＝x2＝1
C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣1
6．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 ……
y …… 4 4 m 0 ……
则下列结论中：①抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；②m；③当﹣4＜x＜2时，y＜0；④方程ax2+bx+c﹣4＝0的两根分别是x1＝﹣2，x2＝0，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）对于实数a、b，定义运算“*”：a*b，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，那么x1*x2＝（ ）
A．42 B．﹣42 C．43 D．42或﹣42
8．（3分）如图，一个万花筒图案，其中平行四边形FJKG变成平行四边形FDAC，如果看成是经过以点F为旋转中心、旋转角为α的旋转移动得到的，那么α的度数为（ ）
A．60° B．120°
C．180° D．以上答案都不对
9．（3分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②正方形A1B1C1O绕点O旋转时，四边形OEBF的面积始终等于正方形ABCD的；③当正方形ABCD的边长为2时，△BEF周长的最小值为2；④AE2+CF2＝2OB2，正确的结论序号有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
10．（3分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1≤m≤0 B．2≤m≤4 C．2≤m D．m
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在x2+（ ）+16＝0的括号内添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根，则这个一次项可以是 ．
12．（3分）如图，在⊙O中AB是直径，CD⊥AB，∠BAC＝30°，OD＝2，那么DC的长等于 ．
13．（3分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3，当x≥﹣2时，y的取值范围为 ．
14．（3分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m＝ ．
15．（3分）如果抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向下，那么a的取值范围是 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，将矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形EFCG，点M、O、N分别在边EF、CD、CG上，且OC＝OD＝OM＝ON，OM⊥EF，则NG的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x2＝3x；
（2）2x2+5x+1＝0．
18．（8分）已知x＝﹣1是方程x2+bx＝﹣9的一个根，求常数b的值及该方程的另一根．
19．（8分）十一黄金周期间，某旅行社为吸引市民组团去大洪山风景区旅游，推出了如图所示的收费标准：
某中学组织老师去大洪山风景区旅游，共支付给该旅行社27000元．请问：该中学这次共有多少名老师去大洪山风景区旅游？
20．（8分）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．
（1）方程ax2+bx+c＝0的根为 ；
（2）方程ax2+bx+c＝﹣3的根为 ；
（3）方程ax2+bx+c＝﹣4的根为 ；
21．（10分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（﹣4，﹣2），请直接写出直线l的函数解析式．
22．（10分）科学研究表明：一般情况下，在一节45分钟的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，在0≤x≤8时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间x（分钟）满足关系y＝2x+68，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x（分钟）的图象呈抛物线形，到第16分钟时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束．
（1）当x＝8时，注意力指数y为 ，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x（分钟）的函数关系式是 ；
（2）若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）
（3）现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到1分钟）（参考数据：
23．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，BD＝10．
（1）如图1，AB＝BD，
①当时，求△ABD的面积；
②当△AOD为等腰三角形时，求∠AOD的正切值；
（2）如图2，分别将△ABD，△ACD沿BD、AC翻折，点A、D分别落到A′、D′的位置，BA′与CD'交于点E．若AC＝6，AB＞AD，求CE：BE的值．
24．（10分）如图1，已知正方形ABCO的边长为2，D、N分别是OA、AB的中点，连接AM．
（1）①线段ON与线段CD的位置关系是 ；②∠AMN＝ ；
（2）将正方形ABCO放入平面直角坐标系中，如图2所示，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？
2024—2025学年上学期武汉初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若关于x的方程2x2+mx＝4x+2中不含一次项，则m＝（ ）
A．0 B．4 C．﹣4 D．±4
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；符号意识；运算能力．
【答案】B
【分析】首先要把方程化成一般形式．不含x的一次项，即是一次项系数为0，再解答即可．
【解答】解：2x2+mx＝4x+2，
2x2+（m﹣4）x﹣2＝0，
不含x的一次项，
则m﹣4＝0，
解得m＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．本题关键是明白不含x的一次项，即是一次项系数为0．
2．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点坐标是P（3，﹣1），则令函数y随自变量x的增大而减少的x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞1 D．x＜1
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】A
【分析】由a＜0知，抛物线开口向下，图象在对称轴的右侧时，函数y随自变量x的增大而减小，由已知求出函数的对称轴为x＝3即可．
【解答】解：由a＜0知，抛物线开口向下，图象在对称轴的右侧时，函数y随自变量x的增大而减小，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点坐标是P（3，﹣1），
∴函数的对称轴为直线x＝3，
∴x＞3时，函数y随自变量x的增大而减小，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
3．（3分）如图，在下面的扑克牌中，牌面是中心对称图形的有（ ）
A．2张 B．3张 C．4张 D．5张
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的概念和扑克牌的花色求解．
【解答】解：由于黑桃9与梅花3、黑桃8中间的图形旋转180°后无法与原来重合，故不是中心对称图形；
只有红桃2，方片J是中心对称图形，共2张．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
4．（3分）在平面直角坐标系中，若直线y＝2x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．0或1个 C．2个 D．1或2个
【考点】根的判别式；一次函数的性质；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】先根据一次函数的性质得到a≤0，再计算根的判别式的意义得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵直线y＝2x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
∴Δ＝22﹣4a＝4﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
当a＝0时，方程ax2+2x+1＝0为2x+1＝0，实数根的个数为1个．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
5．（3分）方程（x﹣1）2＝0的根是（ ）
A．x＝﹣1 B．x1＝x2＝1
C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣1
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】两边直接开平方即可．
【解答】解：∵（x﹣1）2＝0，
∴x﹣1＝0，
则x1＝x2＝1，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，能够根据方程的特点选用合适的方法是解题的关键．
6．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 ……
y …… 4 4 m 0 ……
则下列结论中：①抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；②m；③当﹣4＜x＜2时，y＜0；④方程ax2+bx+c﹣4＝0的两根分别是x1＝﹣2，x2＝0，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【答案】C
【分析】①函数的对称轴为：x＝﹣1，此时y，即可求解；
②函数的对称轴为：x＝﹣1，则m和对应，即可求解；
③x＝2，y＝0，根据函数的对称性，x＝﹣4，y＝0，而当﹣4＜x＜2时，y＞0，即可求解；
④方程ax2+bx+c﹣4＝0的两根，相等于y＝ax2+bx+c和y＝x的加点，即可求解．
【解答】解：①函数的对称轴为：x＝﹣1，此时y，故①符合题意；
②函数的对称轴为：x＝﹣1，则m和对应，故②符合题意；
③x＝2，y＝0，根据函数的对称性，x＝﹣4，y＝0，而当﹣4＜x＜2时，y＞0，故③不符合题意；
④方程ax2+bx+c﹣4＝0的两根，相等于y＝ax2+bx+c和y＝x的加点，故④符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
7．（3分）对于实数a、b，定义运算“*”：a*b，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，那么x1*x2＝（ ）
A．42 B．﹣42 C．43 D．42或﹣42
【考点】根与系数的关系；实数的运算．
【专题】新定义；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】由题意可求得一元二次方程的两个根是﹣1或6，再根据新定义的运算进行求解即可．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，
∴（x﹣6）（x+1）＝0，
解得：x＝6或x＝﹣1，
∴当x1＝6，x2＝﹣1时，
x1*x2
＝62﹣6×（﹣1）
＝36+6
＝42；
当x1＝﹣1，x2＝6时，
x1*x2
＝（﹣1）×6﹣62
＝﹣6﹣36
＝﹣42；
综上所述，其结果为42或﹣42．
故选：D．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是理解清楚新定义的运算．
8．（3分）如图，一个万花筒图案，其中平行四边形FJKG变成平行四边形FDAC，如果看成是经过以点F为旋转中心、旋转角为α的旋转移动得到的，那么α的度数为（ ）
A．60° B．120°
C．180° D．以上答案都不对
【考点】生活中的旋转现象；平行四边形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】根据万花筒图案中的三角形都是等边三角形，可知∠CFG＝120°，可看成是平行四边形FJKG以点F为旋转中心，逆时针旋转120°变成平行四边形FDAC的．
【解答】解：根据图形可知∠CFG＝120°，
所以可看成是平行四边形FJKG以点F为旋转中心，逆时针旋转120°变成平行四边形FDAC的，
所以α的度数为120°．
故选：B．
【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
9．（3分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②正方形A1B1C1O绕点O旋转时，四边形OEBF的面积始终等于正方形ABCD的；③当正方形ABCD的边长为2时，△BEF周长的最小值为2；④AE2+CF2＝2OB2，正确的结论序号有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】根据△AOE与△BOF全等，可对①②作出判断，BE+BF可转化为AE+BE，即为正方形的边长，EF为OF的倍，据此可判断③的正误，将AE2+CF2转化为BF2+CF2，再根据BF+CF＝BC即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠AOB＝90°，∠OAE＝∠OBF＝45°．
又∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴∠EOF＝90°，
∴∠AOE+∠BOE＝∠BOF+∠BOE，
∴∠AOE＝∠BOF．
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴OE＝OF，
又∵∠EOF＝90°，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°．
故①正确．
由上述证明过程可知，
S△AOE＝S△BOF，
∴S四边形OEBF＝S△OBF+S△OBE．
故②正确．
∵△AOE≌△BOF，
∴AE＝BF，
∴C△BEF＝BE+EF+BF＝BE+AE+EF＝AB+EF．
又∵当OE⊥AB时，OE取得最小值，
此时OE，
∴EF的最小值为，
∴C△BEF的最小值为2．
故③正确．
∵AE＝BF，
∴（AE+CF）2＝BC2，
又∵BC2＝2OB2，
即AE2+2AE CF+CF2＝2OB2．
故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质及正方形的性质，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
10．（3分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1≤m≤0 B．2≤m≤4 C．2≤m D．m
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】代数综合题；数形结合；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由完美点的概念可得：ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由只有一个完美点可得判别式Δ＝9﹣4ac＝0，得方程根为，从而求得a＝﹣1，c，所以函数y＝ax2+4x+cx2+4x﹣3，由此解析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数值，可求得x的取值范围．
【解答】解：令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，
由题意可得，图象上有且只有一个完美点，
∴式△＝9﹣4ac＝0，则4ac＝9．
又方程根为x，
∴a＝﹣1，c．
∴函数y＝ax2+4x+cx2+4x﹣3，
该二次函数图象如图所示，顶点坐标为（2，1），
与y轴交点为（0，﹣3），根据对称规律，
点（4，﹣3）也是该二次函数图象上的点．
在x＝2左侧，y随x的增大而增大；在x＝2右侧，y随x的增大而减小；且当0≤x≤m 时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最大值为1，最小值为﹣3，则2≤m≤4．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式的知识，利用数形结合和分类讨论是解题关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在x2+（ ）+16＝0的括号内添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根，则这个一次项可以是 8x或﹣8x ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】8x或﹣8x．
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，填写一次项使根的判别式等于0即可．
【解答】解：在x2+（ ）+16＝0的括号内添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根，则这个一次项可以是8x或﹣8x．
故答案为：8x或﹣8x．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
12．（3分）如图，在⊙O中AB是直径，CD⊥AB，∠BAC＝30°，OD＝2，那么DC的长等于 2 ．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】2．
【分析】由垂径定理推出，DH＝CH，由圆周角定理得到∠BOD＝2∠A＝60°，求出∠D＝90°﹣∠BOD＝30°，因此OHOD＝1，由勾股定理求出DH，即可得到CD＝2DH＝2．
【解答】解：∵AB是直径，CD⊥AB，
∴，DH＝CH，
∴∠BOD＝2∠A＝2×30°＝60°，
∴∠D＝90°﹣∠BOD＝30°，
∴OHOD2＝1，
∴DH，
∴CD＝2DH＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，关键是由圆周角定理推出∠BOD＝60°．
13．（3分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3，当x≥﹣2时，y的取值范围为 y≥﹣4 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】y≥﹣4．
【分析】根据函数中的解析式，先化为顶点式，从而可以得到当x≥﹣2时，y的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∴当x≥﹣2时，y≥﹣4．
故答案为：y≥﹣4．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是关键．
14．（3分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m＝ ﹣1 ．
【考点】二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．
【专题】规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1＝A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果．
【解答】解：∵y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），
∴配方可得y＝﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，1），
∴A1坐标为（2，0）
∵C2由C1旋转得到，
∴OA1＝A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；
照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；
C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；
C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；
C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．
15．（3分）如果抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向下，那么a的取值范围是 a＞1 ．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；模型思想；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，则a＜0，利用不等式求解即可．
【解答】解：∵抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向下，
∴1﹣a＜0，解得，a＞1，
故答案为：a＞1．
【点评】考查二次函数的图象和性质，明确a、b、c的值确定抛物线的位置是关键．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，将矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形EFCG，点M、O、N分别在边EF、CD、CG上，且OC＝OD＝OM＝ON，OM⊥EF，则NG的长为 1 ．
【考点】旋转的性质；矩形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】1．
【分析】过点O作OH⊥CG于H，先证明四边形MFCH为矩形，再由旋转性质得OH＝4﹣2.5＝1.5，再用勾股定理求出CH，由NG＝5﹣2CH即可得到答案．
【解答】解：如图，过点O作OH⊥CG于H，
∵OC＝ON，
∴CH＝NH，
∵OM⊥EF，
∴M，O，H共线，
∵∠F＝∠FCH＝∠CHM＝∠HMF＝90°，
∴四边形MFCH为矩形，
∴MH＝CF，
∵AB＝5，BC＝4，结合旋转性质得：
∴CF＝4，
∵OC＝OD＝OM＝ON＝2.5，
∴OH＝4﹣2.5＝1.5，
∴CH2，
∴NG＝5﹣2CH＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，过点O作OH⊥CG且求出OH＝1.5是解决此题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x2＝3x；
（2）2x2+5x+1＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝0，x2＝3；
（2）．
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据公式法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）x2＝3x，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x1＝0，x2＝3；
（2）2x2+5x+1＝0，
∵a＝2，b＝5，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝17，
，
．
【点评】本题考查因式分解法和公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．
18．（8分）已知x＝﹣1是方程x2+bx＝﹣9的一个根，求常数b的值及该方程的另一根．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】10，﹣9．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝﹣1代入关于x的一元二次方程x2+bx＝﹣9，求得b的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为x2．
∵关于x的一元二次方程x2+bx＝﹣9的一个根是﹣1，
∴x＝﹣1满足关于x的一元二次方程x2+bx＝﹣9，
∴（﹣1）2﹣b+9＝0，
解得b＝10；
又由韦达定理知﹣1×x2＝9，
解得x2＝﹣9．
即方程的另一根是﹣9．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
19．（8分）十一黄金周期间，某旅行社为吸引市民组团去大洪山风景区旅游，推出了如图所示的收费标准：
某中学组织老师去大洪山风景区旅游，共支付给该旅行社27000元．请问：该中学这次共有多少名老师去大洪山风景区旅游？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】该中学这次共有30名老师去大洪山风景区旅游．
【分析】设该中学这次共有x名老师去大洪山风景区旅游，求出25＜x＜35，再利用总费用＝人均费用×人数，列出一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设该中学这次共有x名老师去大洪山风景区旅游，
∵1000×25＝25000（元），25000＜27000＜28000，
∴25＜x＜35，
由题意得：x[1000﹣20（x﹣25）]＝27000，
整理得：x2﹣75x+1350＝0，
解得：x1＝30，x2＝45（不符合题意，舍去），
答：该中学这次共有30名老师去大洪山风景区旅游．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（8分）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．
（1）方程ax2+bx+c＝0的根为 x＝﹣1和x＝3 ；
（2）方程ax2+bx+c＝﹣3的根为 x＝1 ；
（3）方程ax2+bx+c＝﹣4的根为 无解 ；
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）x＝﹣1和x＝3；（2）x＝1；（3）无解．
【分析】（1）找到图象与x轴的交点坐标即可确定答案；
（2）找到图象与直线y＝﹣3的交点坐标即可确定方程的解；
（3）找到图象与直线y＝﹣4的交点坐标即可确定方程的解．
【解答】解：（1）观察图象知：函数与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），
所以方程ax2+bx+c＝0的根为x＝﹣1和x＝3，
故答案为：x＝﹣1和x＝3；
（2）观察图象知：函数与直线y＝﹣3交于点（1，﹣3），
所以方程ax2+bx+c＝﹣3的根为x＝1，
故答案为：x＝1；
（3）观察图象知：函数与直线y＝﹣4无交点
所以方程ax2+bx+c＝﹣4无解，
故答案为：无解．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题的知识，根据抛物线与x轴的交点求出一元二次方程的两个根是解答此题的关键，此题难度不大．
21．（10分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（﹣4，﹣2），请直接写出直线l的函数解析式．
【考点】作图﹣旋转变换；待定系数法求一次函数解析式；作图﹣轴对称变换；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；网格型；平移、旋转与对称．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将三个顶点分别向左平移4个单位，再顺次连接即可得；
（2）分别作出三顶点绕原点O顺时针旋转90°后得到的对应点，再顺次连接即可得；
（3）连接AA3，作此线段的中垂线即可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为（﹣1，2）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（2，﹣3）；
（3）直线l的解析式为y＝﹣x．
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换与平移变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义与性质．
22．（10分）科学研究表明：一般情况下，在一节45分钟的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，在0≤x≤8时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间x（分钟）满足关系y＝2x+68，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x（分钟）的图象呈抛物线形，到第16分钟时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束．
（1）当x＝8时，注意力指数y为 84 ，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x（分钟）的函数关系式是 yx2+4x+60 ；
（2）若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）
（3）现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到1分钟）（参考数据：
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；数据分析观念；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）84，yx2+4x+60；
（2）在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟；
（3）教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大．
【分析】（1）根据题意把x＝8代入y＝2x+8即可得出答案，由题意可设出抛物线的顶点解析式为：y＝a（x﹣16）2+92，再把（8，84）代入即可解出答案；
（2）根据y≥80，可列出2x+68≥80和x2+4x+60≥80两种情况，在自变量的取值范围下解出不等式，即可求出答案；
（3）设出未知数，根据题中条件可列出方程：2t+68（t+24﹣16）2+92，解出方程的解即可．
【解答】解：（1）根据题意，把x＝8代入y＝2x+68可得：y＝84，
由题意可知，抛物线的顶点坐标为（16，92），
∴可设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣16）2+92，
把（8，84）代入可得：64a+92＝84，
解得：a，
∴y（x﹣16）2+92x2+4x+60，
故答案为：84，yx2+4x+60；
（2）由学生的注意力指数不低于80，即y≥80，
当0≤x≤8时，由2x+68≥80可得：6≤x≤8；
当8＜x≤45是，则x2+4x+60≥80，即（x﹣16）2+92≥80，
整理得：（x﹣16）2≤96，解得：8＜x≤16+4，
∴16+46＝10+420（分钟），
答：在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟；
（3）设教师上课后从第t分钟开始讲解这道题，
∵10+424，
∴0≤t＜6，
要使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，
则当x＝t和当x＝t+24时对应的函数值相同，
即2t+68（t+24﹣16）2+92，整理得：（t+16）2＝384，
解得：，（舍），
∴t≈4，
答：教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，解题关键：一是利用顶点式求出解析式，二是利用条件列出不等式，三是求出根据当x＝t和当x＝t+24时对应的函数值相同求出t的值．
23．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，BD＝10．
（1）如图1，AB＝BD，
①当时，求△ABD的面积；
②当△AOD为等腰三角形时，求∠AOD的正切值；
（2）如图2，分别将△ABD，△ACD沿BD、AC翻折，点A、D分别落到A′、D′的位置，BA′与CD'交于点E．若AC＝6，AB＞AD，求CE：BE的值．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；压轴题；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）①S△ABD＝30；
②∠AOD的正切值为或；
（2）CE：BE的值为．
【分析】（1）①过点A作AF⊥BD于F，利用解直角三角形可得AF＝AB sin∠ABD＝6，再根据三角形面积公式即可得出答案；
②分三种情况：当OA＝AD时，当OA＝OD时，当OD＝AD时，分别利用解直角三角形即可求得答案；
（2）过点O作OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，OH⊥CD′于H，OJ⊥BA′于J，可证得△BOE∽△OCE，得出，再运用平行四边形的性质即可求得答案．
【解答】解：（1）①如图（1），过点A作AF⊥BD于F，
．
在Rt△ABF中，AB＝BD＝10，AF＝AB sin∠ABD＝106，
∴S△ABDBD AF10×6＝30；
②当OA＝AD时，
∵AF⊥BD，
∴OF＝DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝ODBD，
∴BFBD，
∵AB＝BD，
∴AFBD，
∴tan∠AOD；
当OA＝OD时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OA，BD＝2OD，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＞AB，与AB＝BD矛盾，故OA＝OD不成立；
当OD＝AD时，设AD＝x，则AB＝BD＝2x，
如图（1′），过点B作BM⊥AD于M，过点A作AF⊥BD于F，
∵AB＝BD，BM⊥AD，
∴AM＝DMx，
∴BMx，
∵S△ABDAD BMBD AF，
∴xx2x AF，
∴AFx，
在Rt△ABF中，BFx，
∴OF＝BF﹣OBx﹣xx，
∴tan∠AOD；
综上所述，∠AOD的正切值为或；
（2）如图（2），过点O作OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，OH⊥CD′于H，OJ⊥BA′于J，
则OF＝OG，
由翻折得：∠ACD′＝∠ACD，∠A′BD＝∠ABD，
∴OH＝OG，OF＝OJ，
∴OH＝OJ，
∵OH⊥ED′，OJ⊥EA′，
∴∠OEH＝∠OEJ，
∴∠EOC+∠ACD′＝∠A′BD+∠EOB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵∠EOB+∠EOC＝∠ABD+∠BAC＝∠A′BD+∠ACD′，
∴∠A′BD＝∠EOC，∠EOB＝∠ACD′，
∴△BOE∽△OCE，
∴，
∵ ABCD中，AC＝6，BD＝10，
∴OCAC＝3，OBBD＝5，
∴，
∴BEOE，CEOE，
∴；
∴CE：BE的值为．
【点评】本题考查四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形和矩形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
24．（10分）如图1，已知正方形ABCO的边长为2，D、N分别是OA、AB的中点，连接AM．
（1）①线段ON与线段CD的位置关系是 垂直 ；②∠AMN＝ 45° ；
（2）将正方形ABCO放入平面直角坐标系中，如图2所示，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；三角形；图形的全等；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①垂直；②45°；
（2）；
（3）t＝1或．
【分析】（1）①由题意证明△COD≌△OAN，得到∠OCD＝∠AON，再由∠OCD+∠ODC＝90°，∠AON+∠ODC＝90°，可得∠OMD＝90°，则问题可解；
②过点A做AE⊥OA于点E，由（1）中条件证明△COM≌△OAE，得到OM＝AE；再由平行线分线段成比例定理，证明OM＝ME，进而得到AE＝ME，则问题可证；
（2）过点E作EG⊥x轴于G点，根据一线三垂直模型证明△ODC≌△GDE，得到点E的坐标为（3，1），可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+k，（a≠0），将C，E点的坐标代入解析式，求出a和k，化成一般式即可；
（3）①若△DFP∽△COD时，易得PD∥OC，进而证明四边形PDOC是矩形，则PC＝OD＝1，解得t＝1；②若△PFD∽△COD时，则∠DPF＝∠OCD，，据此证明PC＝PD，，由勾股定理求得，，由解得，则，问题可解．
【解答】解：（1）①∵四边形OABC是正方形，
∴OC＝OA＝AB，∠COD＝∠OAN．
∵D、N分别是OA、AB的中点，
∴OD＝AN．
∴△COD≌△OAN（SAS）．
∴∠OCD＝∠AON．
∵∠OCD+∠ODC＝90°，
∴∠AON+∠ODC＝90°．
∴∠OMD＝90°．
∴ON⊥CD．
故答案为：垂直．
②过点A做AE⊥OA于点E，
∴由①∠CMO＝∠OEA＝90°．
∴CD∥EA．
∵∠OCD＝∠AON，OC＝OA，
∴△COM≌△OAE（AAS）．
∴OM＝AE．
∵CD∥EA，D是OA的中点，
∴
即OM＝ME．
∴AE＝ME．
∴∠AMN＝45°．
故答案为：45°．
（2）过点E作EG⊥x轴于G点，
∵四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点，
∴OA＝OC＝2，OD＝1，∠AOC＝90°．
∵EG⊥x轴，
∴∠DGE＝90°，
∴∠AOC＝∠DGE＝90°．
∵∠CDE＝90°，
∴∠ODC+∠GDE＝90°．
∴∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠OCD＝∠GDE．
在△ODC和△GDE中，
∠AOC＝∠DGE，∠OCD＝∠GDE，DC＝DE．
∴△ODC≌△GDE，
∴EG＝OD＝1，DG＝OC＝2，
∴OG＝OD+DG＝1+2＝3，
∴点C的坐标为（0，2），点E的坐标为（3，1）．
∴抛物线的对称轴为直线AB即直线x＝2，
∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+k，（a≠0），
将C，E点的坐标代入解析式，得：
，
解得：
，
∴抛物线的解析式为．
（3）①若△DFP∽△COD，则∠PDF＝∠DCO，
∴PD∥OC，
∴∠PDO＝∠OCP＝∠AOC＝90°，
∴四边形PDOC是矩形，
∴PC＝OD＝1，
∴t＝1．
②若△PFD∽△COD，
则∠DPF＝∠OCD，，
∴∠PCF＝90°﹣∠DCO＝90°﹣∠DPF＝∠PDF，
∴PC＝PD，
∴，
∵CD2＝OD2+OC2＝22+12＝5，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
综上所述，t＝1或时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似．
【点评】本题综合考查全等三角形的性质与判定、正方形的性质、相似三角形的性质以及用待定系数法求二次函数的解析式，解答关键是充分利用三角形全等或者相似求得数据或构造方程．
考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
3．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
4．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
5．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
6．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
7．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
9．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
10．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
11．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
12．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
13．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
14．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
15．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
16．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
17．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
18．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
19．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
20．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
22．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
23．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
24．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
25．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
26．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
27．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
28．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
29．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
30．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
31．生活中的旋转现象
（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．
32．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
33．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
34．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
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