2024—2025学年上学期武汉初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期武汉初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 476.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-07 09:23:24 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期武汉初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）一元二次方程x2﹣3x+2＝0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）
A．1，3，2 B．1，﹣3，2 C．0，3，2 D．0，﹣3，2
2．（3分）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+3＝0 B．（x+1）2＝0
C．x2+2x＝0 D．（x+3）（x﹣1）＝0
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+11＝0，此方程可化为（ ）
A．（x﹣4）2＝5 B．（x+4）2＝5 C．（x﹣4）2＝27 D．（x+4）2＝27
4．（3分）现有A、B、C三种不同的矩形纸片若干张（边长如图），小智要用这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取A纸片9张，再取B纸片1张，还需取C纸片的张数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（3分）如果在二次函数的表达式y＝2x2+bx+c中，b＞0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象向右平移1个单位，得到的图象对应的函数表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+1 B．y＝（x﹣3）2+1
C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x﹣2）2+2
7．（3分）以下是某风景区旅游信息：
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费80元
超过30人 增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于50元
根据以上信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元，从中可以推算出该公司参加旅游的人数为（ ）
A．38 B．40 C．42 D．44
8．（3分）已知抛物线y＝3（x﹣1）2+1上有三点A（1.5，y1），B（2，y2），C（﹣5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
9．（3分）关于二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+5的最大值，下列说法正确的是（ ）
A．最大值是3 B．最大值是﹣3
C．最大值是5 D．最大值是﹣5
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：
①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图象经过点（1，3）时，方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+3x2＝0，其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）写出一个大于﹣2且小于0的无理数 ．
12．（3分）经文化和旅游部数据中心测算，2023年春节期间全国国内旅游出游3.08亿人次，国内多个热门景区再现游客“爆满”的景象．据统计，某景区的游客人数在春节假期第一天为4万人，第三天为5.76万人．设平均每天的增长率为x，则可列方程为 ．
13．（3分）一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，围成的鸡舍面积最大是 平方米．
14．（3分）已知二次函数y＝a（x+1）2+c（a≠0）的图象上有两点A（2，4）、B（m，4），那么m的值等于 ．
15．（3分）已知关于x的方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝﹣1，则另一根为 ．
16．（3分）如图，点D是等边△ABC中AB边上一点，连接CD，点E在CD上，连接AE，BE，若∠AED＝60°，AE＝6，BE＝2，则CE＝ ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解下列方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）2x（x﹣3）＝（x﹣3）．
18．（8分）如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．
（1）若纸盒的高是4cm，求纸盒底面长方形的长和宽．
（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．
19．（8分）已知关于x的方程：x2+（2a﹣3）x+a2＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
（2）若方程的两个根是x1，x2，且x1+x2＝x1 x2，求a的值．
20．（8分）在如图的网格中，只利用直尺作图：
（1）将△ABC向左平移3个单位后的图形△A1B1C1；
（2）作点P，使P到AB、BC的距离相等，且PB＝PC；
（3）点Q在y轴上，当QA+QB最小时，点Q的坐标为 ．
21．（8分）已知抛物线y＝ax2与直线y＝3x﹣11都经过点P（1，b）．
（1）求a、b的值；
（2）指出该抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）当x在什么范围内时，二次函数y＝ax2中的y随x的增大而增大？
22．（10分）为抗击疫情，人们众志成城，响应号召，口罩成了生活必需品，某药店销售普通口罩现在的售价为每包12元，每星期可卖出100包，市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出50包，已知普通口罩的进价为每包8元，如何定价才能使利润最大？
23．（10分）在正方形ABCD中，点M是边CD上一点，点N是边AD上一点，连接BM，CN相交于点P，且CM＝DN．
（1）如图1，请判断线段BM与CN的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，延长CN到点Q，连接DQ，且∠CQD＝45°．
①请直接写出BP，CP，CQ之间的数量关系为 ；
②连接AC，AQ，当BP＝2CP，△ACQ的面积是6时，请直接写出NQ的长为 ；
（3）点E在线段CN上，连接BE，DE，当AB，∠BED＝135°，BEDE＝3时，请直接写出NE的长为 ．
24．（12分）如图，直线yx+2与坐标轴的交点分别为点B和点C，抛物线ybx+c经过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点P是线段BC上的动点，连接AP，在AP上方作∠APE＝∠ABC，PE交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当PE平分∠APC时，求PE的长；
（3）已知点D在x轴上，且DB＝DC，连接DC交PE于点F，若，求点P的坐标．
2024—2025学年上学期武汉初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）一元二次方程x2﹣3x+2＝0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）
A．1，3，2 B．1，﹣3，2 C．0，3，2 D．0，﹣3，2
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】常规题型．
【答案】B
【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；b是一次项系数，c叫做常数项进行分析即可．
【解答】解：x2﹣3x+2＝0的二次项系数是1，一次项系数是﹣3，常数项是2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握判断二次项系数，一次项系数，常数项时要先化成一般式．
2．（3分）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+3＝0 B．（x+1）2＝0
C．x2+2x＝0 D．（x+3）（x﹣1）＝0
【考点】根的判别式．
【答案】B
【分析】通过根的判别式来判断A、C两个选项中方程根的情况，通过解方程来判断B、D两个选项中方程根的情况，由此即可得出结论．
【解答】解：A、x2+3＝0，
∵Δ＝0﹣4×1×3＝﹣12＜0，
∴该方程无实数根；
B、（x+1）2＝0，即x+1＝0，
解得：x＝﹣1，
∴该方程有两个相等的实数根；
C、x2+2x＝0，
∵Δ＝22﹣4×1×0＝4＞0，
∴该方程有两个不等的实数根；
D、（x+3）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣3或x＝1，
∴该方程有两个不等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是分析四个选项中方程根得情况．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号得出根的个数是关键．
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+11＝0，此方程可化为（ ）
A．（x﹣4）2＝5 B．（x+4）2＝5 C．（x﹣4）2＝27 D．（x+4）2＝27
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先移项，再配方，变形后即可得出选项．
【解答】解：x2﹣8x+11＝0，
移项，得x2﹣8x＝﹣11，
配方，得x2﹣8x+16＝﹣11+16，
即（x﹣4）2＝5，
故选：A．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
4．（3分）现有A、B、C三种不同的矩形纸片若干张（边长如图），小智要用这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取A纸片9张，再取B纸片1张，还需取C纸片的张数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】完全平方式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意列出关系式，利用完全平方公式判断即可．
【解答】解：根据题意得：9a2+b2+6ab＝（3a+b）2，
则还需取C纸片的张数是6张．
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．（3分）如果在二次函数的表达式y＝2x2+bx+c中，b＞0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】由a＝2，b＞0，c＜0，推出0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴，由此即可判断．
【解答】解：∵a＝2，b＞0，c＜0，
∴0，
∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．（3分）二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象向右平移1个单位，得到的图象对应的函数表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+1 B．y＝（x﹣3）2+1
C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x﹣2）2+2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】直接运用平移规律“左加右减，上加下减”解答．
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是y＝（x﹣2﹣1）2+1，即y＝（x﹣3）2+1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
7．（3分）以下是某风景区旅游信息：
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费80元
超过30人 增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于50元
根据以上信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元，从中可以推算出该公司参加旅游的人数为（ ）
A．38 B．40 C．42 D．44
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】应用题；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】首先确定是否超过三十人，然后设参加这次旅游的人数为x人，根据总费用为2800元列出一元二次方程求解即可．
【解答】解：因为30×80＝2400＜2800，所以人数超过30人；
设参加这次旅游的人数为x人，依题意可知：x[80﹣（x﹣30）]＝2800，
解之得，x＝40或x＝70，
当x＝70时，80﹣（x﹣30）＝80﹣40＝40＜50，故应舍去，
即：参加这次旅游的人数为40人．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
8．（3分）已知抛物线y＝3（x﹣1）2+1上有三点A（1.5，y1），B（2，y2），C（﹣5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；模型思想；应用意识．
【答案】D
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，增减性和对称性综合判断即可．
【解答】解：抛物线y＝3（x﹣1）2+1的开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，1），其大致图象如图所示，
点A（1.5，y1），B（2，y2）在对称轴x＝1的右侧，
由增减性可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，因此有y2＞y1，
由对称性，增减性可知，y3＞y2，
因此有y3＞y2＞y1，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，图象法比较直观形象．
9．（3分）关于二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+5的最大值，下列说法正确的是（ ）
A．最大值是3 B．最大值是﹣3
C．最大值是5 D．最大值是﹣5
【考点】二次函数的最值．
【专题】函数及其图象．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：因为a＝﹣2＜0，
所以二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+5的最大值为5，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，最值解答．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：
①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图象经过点（1，3）时，方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+3x2＝0，其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x＝﹣1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的另一个交点为（﹣3，3），从而得到x1＝﹣3，x2＝1，则可对③进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
即1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝﹣1时，y有最小值，
∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），
即a﹣bt≤at2+b，所以②正确；
∵图象经过点（1，3）时，得ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的一个交点为（1，3），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的另一个交点为（﹣3，3），
即x1＝﹣3，x2＝1，
∴x1+3x2＝﹣3+3＝0，所以③正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）写出一个大于﹣2且小于0的无理数 ．
【考点】实数大小比较；无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】．（答案不唯一）
【分析】根据题意，大于﹣2且小于0的无理数一定是一个负数，而且这个负数的绝对值还要小于2，据此写出一个大于﹣2且小于0的无理数即可．
【解答】解：写出一个大于﹣2且小于0的无理数．
故答案为：．（答案不唯一）
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及无理数的特征和应用，解答此题的关键是要明确：无限不循环小数叫做无理数．
12．（3分）经文化和旅游部数据中心测算，2023年春节期间全国国内旅游出游3.08亿人次，国内多个热门景区再现游客“爆满”的景象．据统计，某景区的游客人数在春节假期第一天为4万人，第三天为5.76万人．设平均每天的增长率为x，则可列方程为 4（1+x）2＝5.76 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设平均每天的增长率为x，根据第一天为4万人，第三天为5.76万人，每月的增长率相同，可列出方程．
【解答】解：设平均每天的增长率为x，则可列方程为4（1+x）2＝5.76，
故答案为：4（1+x）2＝5.76．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键根据第一至第三天的增长率相同，表示出第三天的游客人数可列出方程．
13．（3分）一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，围成的鸡舍面积最大是 450 平方米．
【考点】二次函数的应用．
【专题】几何图形问题；数形结合；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设鸡舍面积为y平方米，AB＝xm，用含x的式子表示出AD，根据矩形面积公式得出关于x的二次函数，由二次函数的性质，可求得围成的鸡舍面积的最大值．
【解答】解：设鸡舍面积为y平方米，AB＝xm，则AD1＝（60﹣2x）m
由题意得：y＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60x
∴当x15时，围成的鸡舍面积最大，最大值为：﹣2×152+60×15＝450（平方米）
故答案为：450．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确分析图中的数量关系列出函数关系式，是解题的关键．
14．（3分）已知二次函数y＝a（x+1）2+c（a≠0）的图象上有两点A（2，4）、B（m，4），那么m的值等于 ﹣4 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】﹣4．
【分析】根据点A（2，4）、B（m，4）坐标特点可知这两个点关于对称轴对称，可求出m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+1）2+c（a≠0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵点A（2，4）、B（m，4）都在抛物线上，
∴点A、B关于直线x＝﹣1对称，
∴1，
∴m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的对称性是解决问题的关键．
15．（3分）已知关于x的方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝﹣1，则另一根为 3 ．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】常规题型；一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】设另一根为x2，根据一元二次方程根与系数的关系得出﹣1 x2＝﹣3，即可求出答案．
【解答】解：设方程的另一个根为x2，
则﹣1×x2＝﹣3，
解得：x2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，那么x1+x2，x1x2．
16．（3分）如图，点D是等边△ABC中AB边上一点，连接CD，点E在CD上，连接AE，BE，若∠AED＝60°，AE＝6，BE＝2，则CE＝ 10 ．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，延长ED，使EF＝AE，连接AF＝BF，过点E作EH⊥BF，由“SAS”可证△ACE≌△ABF，可得CE＝BF，∠AEC＝∠AFB＝120°，由直角三角形的性质和勾股定理可求解．
【解答】解：如图，延长ED，使EF＝AE，连接AF，BF，过点E作EH⊥BF，
∵∠AED＝60°，AE＝EF＝6，
∴△AEF是等边三角形，∠AEC＝120°，
∴∠AFE＝∠EAF＝60°＝∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAF，且AC＝AB，AE＝AF，
∴△ACE≌△ABF（SAS）
∴CE＝BF，∠AEC＝∠AFB＝120°，
∴∠EFB＝60°，且EH⊥BF，
∴FHEF＝3，EHFH＝3，
∴BH7，
∴CE＝BF＝FH+BH＝3+7＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线是本题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解下列方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）2x（x﹣3）＝（x﹣3）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝﹣5，x2＝1；
（2）x1＝3，x2．
【分析】（1）根据因式分解法可以解答此方程；
（2）先移项，然后根据提公因式法可以解答此方程．
【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0，
（x+5）（x﹣1）＝0，
∴x+5＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝1；
（2）2x（x﹣3）＝（x﹣3），
2x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0 或 2x﹣1＝0，
∴x1＝3，x2．
【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，根据方程的特点选择合适的解答方法．
18．（8分）如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．
（1）若纸盒的高是4cm，求纸盒底面长方形的长和宽．
（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）纸盒底面长方形的长为16cm，宽为12cm；
（2）若纸盒的底面积是150cm2，纸盒的高为5cm．
【分析】（1）根据纸盒底面长方形的长＝（长方形硬纸片的长﹣2×纸盒的高）÷2，可求出纸盒底面长方形的长；根据纸盒底面长方形的宽＝长方形硬纸片的宽﹣2×纸盒的高，可求出纸盒底面长方形的宽；
（2）设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是150cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是150cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×4）÷2＝16（cm），
纸盒底面长方形的宽为20﹣2×4＝12（cm）．
答：纸盒底面长方形的长为16cm，宽为12cm．
（2）设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是150cm2，
依题意，得：（20﹣2x）＝150，
化简，得：x2﹣30x+125＝0，
解得：x1＝5，x2＝25．
当x＝5时，20﹣2x＝10＞0，符合题意；
当x＝25时，20﹣2x＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．
答：若纸盒的底面积是150cm2，纸盒的高为5cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．（8分）已知关于x的方程：x2+（2a﹣3）x+a2＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
（2）若方程的两个根是x1，x2，且x1+x2＝x1 x2，求a的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）a；
（2）﹣3．
【分析】（1）根据“有两个不相等的实数根”，结合一元二次方程根的判别式，得到关于a的一元一次不等式，解之即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系解答．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2a﹣3）2﹣4a2＞0，
整理得：9﹣12a＞0，
解得：a，
即a的取值范围为a；
（2）根据题意得：x1+x2＝3﹣2a，x1x2＝a2，
由x1+x2＝x1 x2得到：3﹣2a＝a2，
整理，得（a+3）（a﹣1）＝0．
解得a1＝﹣3，a2＝1（舍去）．
故a的值是﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握一元二次方程根的判别式；（2）正确掌握一元二次方程根与系数的关系．
20．（8分）在如图的网格中，只利用直尺作图：
（1）将△ABC向左平移3个单位后的图形△A1B1C1；
（2）作点P，使P到AB、BC的距离相等，且PB＝PC；
（3）点Q在y轴上，当QA+QB最小时，点Q的坐标为 （0，） ．
【考点】作图﹣平移变换；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）（2）作图见解析部分；
（3）作图见解析部分，Q（0，）．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）作∠ABC的角平分线，线段BC的垂直平分线交于点P，点P即为所求；
（3）作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点Q，连接AQ，点Q即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，点P即为所求；
（3）如图，点Q即为所求．
∵A′（﹣1，3），B（2，1），
设直线BA′的解析式为y＝kx+b，则有，
∴，
∴Q（0，）．
故答案为：（0，）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，角平分线，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（8分）已知抛物线y＝ax2与直线y＝3x﹣11都经过点P（1，b）．
（1）求a、b的值；
（2）指出该抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）当x在什么范围内时，二次函数y＝ax2中的y随x的增大而增大？
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）a＝﹣8，b＝﹣8；
（2）顶点为（0，0），对称轴是y轴；
（3）x＜0．
【分析】（1）把P点坐标代入直线解析式可求得b，再把P点坐标代入抛物线解析式可求得a；
（2）根据二次函数的顶点实际求得即可；
（3）根据二次函数的性质即可得到．
【解答】解：（1）∵y＝3x﹣11经过点P（1，b），
∴b＝3×1﹣11＝﹣8，
∴P点坐标为（1，﹣8），
∵抛物线y＝ax2经过点P，
∴a＝﹣8，
∴a的值为﹣8，b的值为﹣8；
（2）抛物线y＝ax2的顶点为（0，0），对称轴是y轴；
（3）∵a＝﹣8＜0，对称轴是y轴；
∴当x＜0时，二次函数y＝ax2中的y随x的增大而增大．
【点评】本题主要考查二次函数的性质及待定系数法的应用，掌握顶点在原点、对称轴为y的抛物线的性质是解题的关键．
22．（10分）为抗击疫情，人们众志成城，响应号召，口罩成了生活必需品，某药店销售普通口罩现在的售价为每包12元，每星期可卖出100包，市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出50包，已知普通口罩的进价为每包8元，如何定价才能使利润最大？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】每包定价11元，才能使利润最大．
【分析】设每包定价x元，每星期的利润为w元，根据总利润＝每包利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求函数取得最大值时，每包售价即可．
【解答】解：设每包定价x元，每星期的利润为w元，
则：w＝（x﹣8）[100﹣50（x﹣12）]
＝﹣50x2+1100x﹣5600
＝﹣50（x﹣11）2+450，
∵﹣50＜0，
∴当x＝11时，w有最大值，最大值为450，
∴每包定价11元，才能使利润最大．
【点评】本题考查二次函数的应用，根据等量关系列出函数解析式是解题关键．
23．（10分）在正方形ABCD中，点M是边CD上一点，点N是边AD上一点，连接BM，CN相交于点P，且CM＝DN．
（1）如图1，请判断线段BM与CN的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，延长CN到点Q，连接DQ，且∠CQD＝45°．
①请直接写出BP，CP，CQ之间的数量关系为 BP+CP＝CQ ；
②连接AC，AQ，当BP＝2CP，△ACQ的面积是6时，请直接写出NQ的长为 1 ；
（3）点E在线段CN上，连接BE，DE，当AB，∠BED＝135°，BEDE＝3时，请直接写出NE的长为 或3 ．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；应用意识．
【答案】（1）BM＝CN，BM⊥CN；证明过程见解答．
（2）①BP+CP＝CQ．
②1．
（3）或3．
【分析】（1）根据正方形的边相等、角相等及CM＝DN，证明△BCM≌△CDN，得BM＝CN，∠CBM＝∠DCN，再导出∠CBM+∠PCB＝90°，从而得到∠BPC＝90°，BM⊥CN．
（2）①作DF⊥CQ于点F，得到等腰直角三角形DFQ，再证明△BPC≌△CFD，推得BP+CP＝CQ．
②由题意可得△ANQ∽△CND∽△BCP，可知N为AD的中点，AQ＝2NQ，为后面计算方便，设正方形的边长为2a，这样AQ、CQ都可以用含a的代数式表示，由相似三角形的性质可以推得∠AQN＝90°，由△ACQ的面积是6列方程求出a的值，再转化为NQ的长．
（3）过点B作BH⊥DE，交DE的延长线于点H，连接BD，由∠BED＝135°，BEDE＝3这些条件，求出∠BDH＝30°这一隐含条件，再按点E在BD的上方和下方两种情况分别求出NE的长．
【解答】解：（1）BM＝CN，BM⊥CN.
证明：如图1，在正方形ABCD中，∠BCM＝∠CDN＝90°，BC＝CD．
∵CM＝DN，
∴△BCM≌△CDN（SAS），
∴BM＝CN；
∵∠CBM＝∠DCN，
∴∠CBM+∠PCB＝∠DCN+∠PCB＝∠BCD＝90°，
∴∠BPC＝90°，BM⊥CN．
∴BM＝CN，BM⊥CN.
（2）①如图2，作DF⊥CQ于点F，则∠CFD＝∠DFQ＝90°．
∵∠CQD＝45°，
∴∠FDQ＝45°＝∠CQD，
∴DF＝QF．
由（1）得∠PBC＝∠FCD，∠BPC＝90°，
∴∠BPC＝∠CFD，
∵BC＝CD，
∴△BPC≌△CFD（AAS），
∴BP＝CF，CP＝DF＝QF，
∴BP+CP＝CF+QF＝CQ．
故答案为：BP+CP＝CQ．
②如图3，设正方形ABCD的边长为2a．
∵AD＝CD，∠ADC＝90°，∠CQD＝45°，
∴∠CAN＝45°＝∠CQD，
又∵∠ANC＝∠QND，
∴△ACN∽△QDN，
∴，
∴，
∵∠ANQ＝∠CND，
∴△ANQ∽△CND，
∴∠AQN＝∠CDN＝∠BPC＝90°，∠QAN＝∠DCN＝∠CBM，
∴tan∠CBM，
∵CD＝AD＝2a，
∴DNCD＝a，AN＝a．
设NQ＝x，则AQ＝2x，
∴x2+（2x）2＝a2，
解得xa，
∴NQa，AQa，
∵CN，
∴CQaa，
由S△ACQ＝6，得aa＝6，解得a或a（不符合题意，舍去），
∴NQa1．
故答案为：1．
（3）作BH⊥DE，交DE的延长线于点H，连接BD．
当点E在BD的上方时，如图4．
∵∠H＝90°，∠BEH＝180°﹣∠135°＝45°，
∴∠EBH＝45°，
∴BH＝EH，
∴EH＝BE sin45°BE，
∵BEDE，
∴（BEDE），
∴BE+DE＝3，
∴EH+DE＝3，
∴DH＝3；
∵AB＝AD，∠A＝90°，
∴BD2＝（）2+（）2＝12，
∴BD＝2；
∵cos∠BDH
∴∠BDH＝30°，
∴EH＝BHBD，
∴BEBC．
∵∠EBD＝∠BEH﹣∠BDH＝45°﹣30°＝15°，∠CBD＝∠CDB＝45°，
∴∠CBE＝15°+45°＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴CE＝BC，
∵AD∥BC，
∴∠DNC＝∠BCE＝60°，
由，得CN2，
∴EN＝CN﹣CE；
当点E在BD的下方时，如图5，作ER⊥BC于点R．
同理可得DH＝3，∠BDH＝30°，BH＝EH，
∴BEBHBC，
∵∠DBE＝∠BEH﹣∠BDH＝45°﹣30°＝15°，
∴∠CBE＝∠CBD﹣∠DBE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BEC＝∠BCE75°，
∴∠ECD＝90°﹣75°＝15°，
∵∠EDC＝45°﹣30°＝15°，
∴∠EDN＝∠END＝90°﹣15°＝75°，
∴NE＝CE＝DE．
∵∠ERC＝∠ERB＝90°，∠CBE＝30°，
∴ERBE，BR，
∴CR，
∴NE＝CE3．
综上所述，NE的长为或3．
故答案为：或3．
【点评】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及解直角三角形、二次根式的化简等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造特殊角和含有特殊角的直角三角形，解第（3）题时应注意分类讨论，以免丢解，此题计算烦琐，难度较大，应边做边检验．
24．（12分）如图，直线yx+2与坐标轴的交点分别为点B和点C，抛物线ybx+c经过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点P是线段BC上的动点，连接AP，在AP上方作∠APE＝∠ABC，PE交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当PE平分∠APC时，求PE的长；
（3）已知点D在x轴上，且DB＝DC，连接DC交PE于点F，若，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；二次函数的应用；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）；
（2）；
（3） 或 ．
【分析】（1）求出B（4，0），C（0，2），代入抛物线ybx+c，解方程组可得出答案；
（2）证出PE∥AB，PA＝PB，则点P在抛物线的对称轴上，点P，E的纵坐标相同，可求出点E的坐标，则可得出答案；
（3）证出△ABP∽△PCF，由相似三角形的性质得出，过点P作PM⊥AB于点M，则△BPM∽△BCO，由相似三角形的性质列出方程可得出答案．
【解答】解：（1）直线的解析式为，当x＝0 时，y＝2；当 时，x＝4，
∴B（4，0），C（0，2），
∵抛物线 经过B，C两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵∠APC＝∠PAB+∠PBA，∠APE＝∠ABC，
当PE平分∠APC时，∠APC＝2∠APE，
∴∠APE＝∠PAB＝∠PBA，
∴PE∥AB，PA＝PB，
∴点P在抛物线的对称轴上，点P，E的纵坐标相同，
∵当 时，，
∴，
∴，整理得：2x2﹣6x﹣3＝0，
解得：，
∵点E在AP上方的抛物线上，
∴点E的坐标为，
∴；
（3）由y＝0，，得x1＝﹣1 x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB＝5，
设OD＝m，则CD＝BD＝4﹣m，
在Rt△OCD 中，根据勾股定理，（4﹣m）2＝m2+22，
解得：，
∴，，
∵，，
∵∠APC＝∠APE+∠EPC＝∠PAB+∠PBA，∠APE＝∠ABP，
∴∠EPC＝∠PAB，
∵DC＝DB，
∴∠PBA＝∠DCB，
∴△ABP∽△PCF，
∴，
∴PB PC＝CF AB，
由B（4，0），C（0，2），可知，
设BP＝t，则，代入上式，t （2，
整理得，，
解得：，
∴或，
过点P作PM⊥AB于点M，则△BPM∽△BCO，
∴，
①当时，，
解得：，
∴OM＝OB﹣BM＝3，点P的坐标为 ；
②当 时，，
解得：，
∴OM＝OB﹣BM＝1，点P的坐标为 ．
综上所述，点P的坐标为 或 ．
【点评】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数的解析式的求法，二次函数的性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标表示线段的长度．
考点卡片
1．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
2．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
3．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
4．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
5．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
6．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
7．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
8．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
9．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
10．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
11．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
12．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
13．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
14．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
15．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
16．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
17．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
18．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
19．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
20．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
21．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
22．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
23．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
24．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
25．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
26．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
27．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
28．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
29．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
30．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
31．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
2024—2025学年上学期武汉初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）一元二次方程x2﹣3x+2＝0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）
A．1，3，2 B．1，﹣3，2 C．0，3，2 D．0，﹣3，2
2．（3分）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+3＝0 B．（x+1）2＝0
C．x2+2x＝0 D．（x+3）（x﹣1）＝0
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+11＝0，此方程可化为（ ）
A．（x﹣4）2＝5 B．（x+4）2＝5 C．（x﹣4）2＝27 D．（x+4）2＝27
4．（3分）现有A、B、C三种不同的矩形纸片若干张（边长如图），小智要用这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取A纸片9张，再取B纸片1张，还需取C纸片的张数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（3分）如果在二次函数的表达式y＝2x2+bx+c中，b＞0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象向右平移1个单位，得到的图象对应的函数表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+1 B．y＝（x﹣3）2+1
C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x﹣2）2+2
7．（3分）以下是某风景区旅游信息：
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费80元
超过30人 增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于50元
根据以上信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元，从中可以推算出该公司参加旅游的人数为（ ）
A．38 B．40 C．42 D．44
8．（3分）已知抛物线y＝3（x﹣1）2+1上有三点A（1.5，y1），B（2，y2），C（﹣5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
9．（3分）关于二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+5的最大值，下列说法正确的是（ ）
A．最大值是3 B．最大值是﹣3
C．最大值是5 D．最大值是﹣5
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：
①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图象经过点（1，3）时，方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+3x2＝0，其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）写出一个大于﹣2且小于0的无理数 ．
12．（3分）经文化和旅游部数据中心测算，2023年春节期间全国国内旅游出游3.08亿人次，国内多个热门景区再现游客“爆满”的景象．据统计，某景区的游客人数在春节假期第一天为4万人，第三天为5.76万人．设平均每天的增长率为x，则可列方程为 ．
13．（3分）一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，围成的鸡舍面积最大是 平方米．
14．（3分）已知二次函数y＝a（x+1）2+c（a≠0）的图象上有两点A（2，4）、B（m，4），那么m的值等于 ．
15．（3分）已知关于x的方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝﹣1，则另一根为 ．
16．（3分）如图，点D是等边△ABC中AB边上一点，连接CD，点E在CD上，连接AE，BE，若∠AED＝60°，AE＝6，BE＝2，则CE＝ ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解下列方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）2x（x﹣3）＝（x﹣3）．
18．（8分）如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．
（1）若纸盒的高是4cm，求纸盒底面长方形的长和宽．
（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．
19．（8分）已知关于x的方程：x2+（2a﹣3）x+a2＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
（2）若方程的两个根是x1，x2，且x1+x2＝x1 x2，求a的值．
20．（8分）在如图的网格中，只利用直尺作图：
（1）将△ABC向左平移3个单位后的图形△A1B1C1；
（2）作点P，使P到AB、BC的距离相等，且PB＝PC；
（3）点Q在y轴上，当QA+QB最小时，点Q的坐标为 ．
21．（8分）已知抛物线y＝ax2与直线y＝3x﹣11都经过点P（1，b）．
（1）求a、b的值；
（2）指出该抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）当x在什么范围内时，二次函数y＝ax2中的y随x的增大而增大？
22．（10分）为抗击疫情，人们众志成城，响应号召，口罩成了生活必需品，某药店销售普通口罩现在的售价为每包12元，每星期可卖出100包，市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出50包，已知普通口罩的进价为每包8元，如何定价才能使利润最大？
23．（10分）在正方形ABCD中，点M是边CD上一点，点N是边AD上一点，连接BM，CN相交于点P，且CM＝DN．
（1）如图1，请判断线段BM与CN的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，延长CN到点Q，连接DQ，且∠CQD＝45°．
①请直接写出BP，CP，CQ之间的数量关系为 ；
②连接AC，AQ，当BP＝2CP，△ACQ的面积是6时，请直接写出NQ的长为 ；
（3）点E在线段CN上，连接BE，DE，当AB，∠BED＝135°，BEDE＝3时，请直接写出NE的长为 ．
24．（12分）如图，直线yx+2与坐标轴的交点分别为点B和点C，抛物线ybx+c经过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点P是线段BC上的动点，连接AP，在AP上方作∠APE＝∠ABC，PE交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当PE平分∠APC时，求PE的长；
（3）已知点D在x轴上，且DB＝DC，连接DC交PE于点F，若，求点P的坐标．
2024—2025学年上学期武汉初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）一元二次方程x2﹣3x+2＝0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）
A．1，3，2 B．1，﹣3，2 C．0，3，2 D．0，﹣3，2
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】常规题型．
【答案】B
【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；b是一次项系数，c叫做常数项进行分析即可．
【解答】解：x2﹣3x+2＝0的二次项系数是1，一次项系数是﹣3，常数项是2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握判断二次项系数，一次项系数，常数项时要先化成一般式．
2．（3分）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+3＝0 B．（x+1）2＝0
C．x2+2x＝0 D．（x+3）（x﹣1）＝0
【考点】根的判别式．
【答案】B
【分析】通过根的判别式来判断A、C两个选项中方程根的情况，通过解方程来判断B、D两个选项中方程根的情况，由此即可得出结论．
【解答】解：A、x2+3＝0，
∵Δ＝0﹣4×1×3＝﹣12＜0，
∴该方程无实数根；
B、（x+1）2＝0，即x+1＝0，
解得：x＝﹣1，
∴该方程有两个相等的实数根；
C、x2+2x＝0，
∵Δ＝22﹣4×1×0＝4＞0，
∴该方程有两个不等的实数根；
D、（x+3）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣3或x＝1，
∴该方程有两个不等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是分析四个选项中方程根得情况．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号得出根的个数是关键．
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+11＝0，此方程可化为（ ）
A．（x﹣4）2＝5 B．（x+4）2＝5 C．（x﹣4）2＝27 D．（x+4）2＝27
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先移项，再配方，变形后即可得出选项．
【解答】解：x2﹣8x+11＝0，
移项，得x2﹣8x＝﹣11，
配方，得x2﹣8x+16＝﹣11+16，
即（x﹣4）2＝5，
故选：A．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
4．（3分）现有A、B、C三种不同的矩形纸片若干张（边长如图），小智要用这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取A纸片9张，再取B纸片1张，还需取C纸片的张数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】完全平方式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意列出关系式，利用完全平方公式判断即可．
【解答】解：根据题意得：9a2+b2+6ab＝（3a+b）2，
则还需取C纸片的张数是6张．
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．（3分）如果在二次函数的表达式y＝2x2+bx+c中，b＞0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】由a＝2，b＞0，c＜0，推出0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴，由此即可判断．
【解答】解：∵a＝2，b＞0，c＜0，
∴0，
∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．（3分）二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象向右平移1个单位，得到的图象对应的函数表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+1 B．y＝（x﹣3）2+1
C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x﹣2）2+2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】直接运用平移规律“左加右减，上加下减”解答．
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是y＝（x﹣2﹣1）2+1，即y＝（x﹣3）2+1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
7．（3分）以下是某风景区旅游信息：
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费80元
超过30人 增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于50元
根据以上信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元，从中可以推算出该公司参加旅游的人数为（ ）
A．38 B．40 C．42 D．44
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】应用题；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】首先确定是否超过三十人，然后设参加这次旅游的人数为x人，根据总费用为2800元列出一元二次方程求解即可．
【解答】解：因为30×80＝2400＜2800，所以人数超过30人；
设参加这次旅游的人数为x人，依题意可知：x[80﹣（x﹣30）]＝2800，
解之得，x＝40或x＝70，
当x＝70时，80﹣（x﹣30）＝80﹣40＝40＜50，故应舍去，
即：参加这次旅游的人数为40人．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
8．（3分）已知抛物线y＝3（x﹣1）2+1上有三点A（1.5，y1），B（2，y2），C（﹣5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；模型思想；应用意识．
【答案】D
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，增减性和对称性综合判断即可．
【解答】解：抛物线y＝3（x﹣1）2+1的开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，1），其大致图象如图所示，
点A（1.5，y1），B（2，y2）在对称轴x＝1的右侧，
由增减性可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，因此有y2＞y1，
由对称性，增减性可知，y3＞y2，
因此有y3＞y2＞y1，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，图象法比较直观形象．
9．（3分）关于二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+5的最大值，下列说法正确的是（ ）
A．最大值是3 B．最大值是﹣3
C．最大值是5 D．最大值是﹣5
【考点】二次函数的最值．
【专题】函数及其图象．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：因为a＝﹣2＜0，
所以二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+5的最大值为5，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，最值解答．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：
①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图象经过点（1，3）时，方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+3x2＝0，其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x＝﹣1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的另一个交点为（﹣3，3），从而得到x1＝﹣3，x2＝1，则可对③进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
即1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝﹣1时，y有最小值，
∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），
即a﹣bt≤at2+b，所以②正确；
∵图象经过点（1，3）时，得ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的一个交点为（1，3），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的另一个交点为（﹣3，3），
即x1＝﹣3，x2＝1，
∴x1+3x2＝﹣3+3＝0，所以③正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）写出一个大于﹣2且小于0的无理数 ．
【考点】实数大小比较；无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】．（答案不唯一）
【分析】根据题意，大于﹣2且小于0的无理数一定是一个负数，而且这个负数的绝对值还要小于2，据此写出一个大于﹣2且小于0的无理数即可．
【解答】解：写出一个大于﹣2且小于0的无理数．
故答案为：．（答案不唯一）
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及无理数的特征和应用，解答此题的关键是要明确：无限不循环小数叫做无理数．
12．（3分）经文化和旅游部数据中心测算，2023年春节期间全国国内旅游出游3.08亿人次，国内多个热门景区再现游客“爆满”的景象．据统计，某景区的游客人数在春节假期第一天为4万人，第三天为5.76万人．设平均每天的增长率为x，则可列方程为 4（1+x）2＝5.76 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设平均每天的增长率为x，根据第一天为4万人，第三天为5.76万人，每月的增长率相同，可列出方程．
【解答】解：设平均每天的增长率为x，则可列方程为4（1+x）2＝5.76，
故答案为：4（1+x）2＝5.76．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键根据第一至第三天的增长率相同，表示出第三天的游客人数可列出方程．
13．（3分）一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，围成的鸡舍面积最大是 450 平方米．
【考点】二次函数的应用．
【专题】几何图形问题；数形结合；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设鸡舍面积为y平方米，AB＝xm，用含x的式子表示出AD，根据矩形面积公式得出关于x的二次函数，由二次函数的性质，可求得围成的鸡舍面积的最大值．
【解答】解：设鸡舍面积为y平方米，AB＝xm，则AD1＝（60﹣2x）m
由题意得：y＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60x
∴当x15时，围成的鸡舍面积最大，最大值为：﹣2×152+60×15＝450（平方米）
故答案为：450．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确分析图中的数量关系列出函数关系式，是解题的关键．
14．（3分）已知二次函数y＝a（x+1）2+c（a≠0）的图象上有两点A（2，4）、B（m，4），那么m的值等于 ﹣4 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】﹣4．
【分析】根据点A（2，4）、B（m，4）坐标特点可知这两个点关于对称轴对称，可求出m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+1）2+c（a≠0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵点A（2，4）、B（m，4）都在抛物线上，
∴点A、B关于直线x＝﹣1对称，
∴1，
∴m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的对称性是解决问题的关键．
15．（3分）已知关于x的方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝﹣1，则另一根为 3 ．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】常规题型；一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】设另一根为x2，根据一元二次方程根与系数的关系得出﹣1 x2＝﹣3，即可求出答案．
【解答】解：设方程的另一个根为x2，
则﹣1×x2＝﹣3，
解得：x2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，那么x1+x2，x1x2．
16．（3分）如图，点D是等边△ABC中AB边上一点，连接CD，点E在CD上，连接AE，BE，若∠AED＝60°，AE＝6，BE＝2，则CE＝ 10 ．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，延长ED，使EF＝AE，连接AF＝BF，过点E作EH⊥BF，由“SAS”可证△ACE≌△ABF，可得CE＝BF，∠AEC＝∠AFB＝120°，由直角三角形的性质和勾股定理可求解．
【解答】解：如图，延长ED，使EF＝AE，连接AF，BF，过点E作EH⊥BF，
∵∠AED＝60°，AE＝EF＝6，
∴△AEF是等边三角形，∠AEC＝120°，
∴∠AFE＝∠EAF＝60°＝∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAF，且AC＝AB，AE＝AF，
∴△ACE≌△ABF（SAS）
∴CE＝BF，∠AEC＝∠AFB＝120°，
∴∠EFB＝60°，且EH⊥BF，
∴FHEF＝3，EHFH＝3，
∴BH7，
∴CE＝BF＝FH+BH＝3+7＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线是本题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解下列方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）2x（x﹣3）＝（x﹣3）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝﹣5，x2＝1；
（2）x1＝3，x2．
【分析】（1）根据因式分解法可以解答此方程；
（2）先移项，然后根据提公因式法可以解答此方程．
【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0，
（x+5）（x﹣1）＝0，
∴x+5＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝1；
（2）2x（x﹣3）＝（x﹣3），
2x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0 或 2x﹣1＝0，
∴x1＝3，x2．
【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，根据方程的特点选择合适的解答方法．
18．（8分）如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．
（1）若纸盒的高是4cm，求纸盒底面长方形的长和宽．
（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）纸盒底面长方形的长为16cm，宽为12cm；
（2）若纸盒的底面积是150cm2，纸盒的高为5cm．
【分析】（1）根据纸盒底面长方形的长＝（长方形硬纸片的长﹣2×纸盒的高）÷2，可求出纸盒底面长方形的长；根据纸盒底面长方形的宽＝长方形硬纸片的宽﹣2×纸盒的高，可求出纸盒底面长方形的宽；
（2）设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是150cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是150cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×4）÷2＝16（cm），
纸盒底面长方形的宽为20﹣2×4＝12（cm）．
答：纸盒底面长方形的长为16cm，宽为12cm．
（2）设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是150cm2，
依题意，得：（20﹣2x）＝150，
化简，得：x2﹣30x+125＝0，
解得：x1＝5，x2＝25．
当x＝5时，20﹣2x＝10＞0，符合题意；
当x＝25时，20﹣2x＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．
答：若纸盒的底面积是150cm2，纸盒的高为5cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．（8分）已知关于x的方程：x2+（2a﹣3）x+a2＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
（2）若方程的两个根是x1，x2，且x1+x2＝x1 x2，求a的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）a；
（2）﹣3．
【分析】（1）根据“有两个不相等的实数根”，结合一元二次方程根的判别式，得到关于a的一元一次不等式，解之即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系解答．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2a﹣3）2﹣4a2＞0，
整理得：9﹣12a＞0，
解得：a，
即a的取值范围为a；
（2）根据题意得：x1+x2＝3﹣2a，x1x2＝a2，
由x1+x2＝x1 x2得到：3﹣2a＝a2，
整理，得（a+3）（a﹣1）＝0．
解得a1＝﹣3，a2＝1（舍去）．
故a的值是﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握一元二次方程根的判别式；（2）正确掌握一元二次方程根与系数的关系．
20．（8分）在如图的网格中，只利用直尺作图：
（1）将△ABC向左平移3个单位后的图形△A1B1C1；
（2）作点P，使P到AB、BC的距离相等，且PB＝PC；
（3）点Q在y轴上，当QA+QB最小时，点Q的坐标为 （0，） ．
【考点】作图﹣平移变换；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）（2）作图见解析部分；
（3）作图见解析部分，Q（0，）．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）作∠ABC的角平分线，线段BC的垂直平分线交于点P，点P即为所求；
（3）作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点Q，连接AQ，点Q即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，点P即为所求；
（3）如图，点Q即为所求．
∵A′（﹣1，3），B（2，1），
设直线BA′的解析式为y＝kx+b，则有，
∴，
∴Q（0，）．
故答案为：（0，）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，角平分线，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（8分）已知抛物线y＝ax2与直线y＝3x﹣11都经过点P（1，b）．
（1）求a、b的值；
（2）指出该抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）当x在什么范围内时，二次函数y＝ax2中的y随x的增大而增大？
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）a＝﹣8，b＝﹣8；
（2）顶点为（0，0），对称轴是y轴；
（3）x＜0．
【分析】（1）把P点坐标代入直线解析式可求得b，再把P点坐标代入抛物线解析式可求得a；
（2）根据二次函数的顶点实际求得即可；
（3）根据二次函数的性质即可得到．
【解答】解：（1）∵y＝3x﹣11经过点P（1，b），
∴b＝3×1﹣11＝﹣8，
∴P点坐标为（1，﹣8），
∵抛物线y＝ax2经过点P，
∴a＝﹣8，
∴a的值为﹣8，b的值为﹣8；
（2）抛物线y＝ax2的顶点为（0，0），对称轴是y轴；
（3）∵a＝﹣8＜0，对称轴是y轴；
∴当x＜0时，二次函数y＝ax2中的y随x的增大而增大．
【点评】本题主要考查二次函数的性质及待定系数法的应用，掌握顶点在原点、对称轴为y的抛物线的性质是解题的关键．
22．（10分）为抗击疫情，人们众志成城，响应号召，口罩成了生活必需品，某药店销售普通口罩现在的售价为每包12元，每星期可卖出100包，市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出50包，已知普通口罩的进价为每包8元，如何定价才能使利润最大？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】每包定价11元，才能使利润最大．
【分析】设每包定价x元，每星期的利润为w元，根据总利润＝每包利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求函数取得最大值时，每包售价即可．
【解答】解：设每包定价x元，每星期的利润为w元，
则：w＝（x﹣8）[100﹣50（x﹣12）]
＝﹣50x2+1100x﹣5600
＝﹣50（x﹣11）2+450，
∵﹣50＜0，
∴当x＝11时，w有最大值，最大值为450，
∴每包定价11元，才能使利润最大．
【点评】本题考查二次函数的应用，根据等量关系列出函数解析式是解题关键．
23．（10分）在正方形ABCD中，点M是边CD上一点，点N是边AD上一点，连接BM，CN相交于点P，且CM＝DN．
（1）如图1，请判断线段BM与CN的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，延长CN到点Q，连接DQ，且∠CQD＝45°．
①请直接写出BP，CP，CQ之间的数量关系为 BP+CP＝CQ ；
②连接AC，AQ，当BP＝2CP，△ACQ的面积是6时，请直接写出NQ的长为 1 ；
（3）点E在线段CN上，连接BE，DE，当AB，∠BED＝135°，BEDE＝3时，请直接写出NE的长为 或3 ．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；应用意识．
【答案】（1）BM＝CN，BM⊥CN；证明过程见解答．
（2）①BP+CP＝CQ．
②1．
（3）或3．
【分析】（1）根据正方形的边相等、角相等及CM＝DN，证明△BCM≌△CDN，得BM＝CN，∠CBM＝∠DCN，再导出∠CBM+∠PCB＝90°，从而得到∠BPC＝90°，BM⊥CN．
（2）①作DF⊥CQ于点F，得到等腰直角三角形DFQ，再证明△BPC≌△CFD，推得BP+CP＝CQ．
②由题意可得△ANQ∽△CND∽△BCP，可知N为AD的中点，AQ＝2NQ，为后面计算方便，设正方形的边长为2a，这样AQ、CQ都可以用含a的代数式表示，由相似三角形的性质可以推得∠AQN＝90°，由△ACQ的面积是6列方程求出a的值，再转化为NQ的长．
（3）过点B作BH⊥DE，交DE的延长线于点H，连接BD，由∠BED＝135°，BEDE＝3这些条件，求出∠BDH＝30°这一隐含条件，再按点E在BD的上方和下方两种情况分别求出NE的长．
【解答】解：（1）BM＝CN，BM⊥CN.
证明：如图1，在正方形ABCD中，∠BCM＝∠CDN＝90°，BC＝CD．
∵CM＝DN，
∴△BCM≌△CDN（SAS），
∴BM＝CN；
∵∠CBM＝∠DCN，
∴∠CBM+∠PCB＝∠DCN+∠PCB＝∠BCD＝90°，
∴∠BPC＝90°，BM⊥CN．
∴BM＝CN，BM⊥CN.
（2）①如图2，作DF⊥CQ于点F，则∠CFD＝∠DFQ＝90°．
∵∠CQD＝45°，
∴∠FDQ＝45°＝∠CQD，
∴DF＝QF．
由（1）得∠PBC＝∠FCD，∠BPC＝90°，
∴∠BPC＝∠CFD，
∵BC＝CD，
∴△BPC≌△CFD（AAS），
∴BP＝CF，CP＝DF＝QF，
∴BP+CP＝CF+QF＝CQ．
故答案为：BP+CP＝CQ．
②如图3，设正方形ABCD的边长为2a．
∵AD＝CD，∠ADC＝90°，∠CQD＝45°，
∴∠CAN＝45°＝∠CQD，
又∵∠ANC＝∠QND，
∴△ACN∽△QDN，
∴，
∴，
∵∠ANQ＝∠CND，
∴△ANQ∽△CND，
∴∠AQN＝∠CDN＝∠BPC＝90°，∠QAN＝∠DCN＝∠CBM，
∴tan∠CBM，
∵CD＝AD＝2a，
∴DNCD＝a，AN＝a．
设NQ＝x，则AQ＝2x，
∴x2+（2x）2＝a2，
解得xa，
∴NQa，AQa，
∵CN，
∴CQaa，
由S△ACQ＝6，得aa＝6，解得a或a（不符合题意，舍去），
∴NQa1．
故答案为：1．
（3）作BH⊥DE，交DE的延长线于点H，连接BD．
当点E在BD的上方时，如图4．
∵∠H＝90°，∠BEH＝180°﹣∠135°＝45°，
∴∠EBH＝45°，
∴BH＝EH，
∴EH＝BE sin45°BE，
∵BEDE，
∴（BEDE），
∴BE+DE＝3，
∴EH+DE＝3，
∴DH＝3；
∵AB＝AD，∠A＝90°，
∴BD2＝（）2+（）2＝12，
∴BD＝2；
∵cos∠BDH
∴∠BDH＝30°，
∴EH＝BHBD，
∴BEBC．
∵∠EBD＝∠BEH﹣∠BDH＝45°﹣30°＝15°，∠CBD＝∠CDB＝45°，
∴∠CBE＝15°+45°＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴CE＝BC，
∵AD∥BC，
∴∠DNC＝∠BCE＝60°，
由，得CN2，
∴EN＝CN﹣CE；
当点E在BD的下方时，如图5，作ER⊥BC于点R．
同理可得DH＝3，∠BDH＝30°，BH＝EH，
∴BEBHBC，
∵∠DBE＝∠BEH﹣∠BDH＝45°﹣30°＝15°，
∴∠CBE＝∠CBD﹣∠DBE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BEC＝∠BCE75°，
∴∠ECD＝90°﹣75°＝15°，
∵∠EDC＝45°﹣30°＝15°，
∴∠EDN＝∠END＝90°﹣15°＝75°，
∴NE＝CE＝DE．
∵∠ERC＝∠ERB＝90°，∠CBE＝30°，
∴ERBE，BR，
∴CR，
∴NE＝CE3．
综上所述，NE的长为或3．
故答案为：或3．
【点评】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及解直角三角形、二次根式的化简等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造特殊角和含有特殊角的直角三角形，解第（3）题时应注意分类讨论，以免丢解，此题计算烦琐，难度较大，应边做边检验．
24．（12分）如图，直线yx+2与坐标轴的交点分别为点B和点C，抛物线ybx+c经过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点P是线段BC上的动点，连接AP，在AP上方作∠APE＝∠ABC，PE交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当PE平分∠APC时，求PE的长；
（3）已知点D在x轴上，且DB＝DC，连接DC交PE于点F，若，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；二次函数的应用；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）；
（2）；
（3） 或 ．
【分析】（1）求出B（4，0），C（0，2），代入抛物线ybx+c，解方程组可得出答案；
（2）证出PE∥AB，PA＝PB，则点P在抛物线的对称轴上，点P，E的纵坐标相同，可求出点E的坐标，则可得出答案；
（3）证出△ABP∽△PCF，由相似三角形的性质得出，过点P作PM⊥AB于点M，则△BPM∽△BCO，由相似三角形的性质列出方程可得出答案．
【解答】解：（1）直线的解析式为，当x＝0 时，y＝2；当 时，x＝4，
∴B（4，0），C（0，2），
∵抛物线 经过B，C两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵∠APC＝∠PAB+∠PBA，∠APE＝∠ABC，
当PE平分∠APC时，∠APC＝2∠APE，
∴∠APE＝∠PAB＝∠PBA，
∴PE∥AB，PA＝PB，
∴点P在抛物线的对称轴上，点P，E的纵坐标相同，
∵当 时，，
∴，
∴，整理得：2x2﹣6x﹣3＝0，
解得：，
∵点E在AP上方的抛物线上，
∴点E的坐标为，
∴；
（3）由y＝0，，得x1＝﹣1 x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB＝5，
设OD＝m，则CD＝BD＝4﹣m，
在Rt△OCD 中，根据勾股定理，（4﹣m）2＝m2+22，
解得：，
∴，，
∵，，
∵∠APC＝∠APE+∠EPC＝∠PAB+∠PBA，∠APE＝∠ABP，
∴∠EPC＝∠PAB，
∵DC＝DB，
∴∠PBA＝∠DCB，
∴△ABP∽△PCF，
∴，
∴PB PC＝CF AB，
由B（4，0），C（0，2），可知，
设BP＝t，则，代入上式，t （2，
整理得，，
解得：，
∴或，
过点P作PM⊥AB于点M，则△BPM∽△BCO，
∴，
①当时，，
解得：，
∴OM＝OB﹣BM＝3，点P的坐标为 ；
②当 时，，
解得：，
∴OM＝OB﹣BM＝1，点P的坐标为 ．
综上所述，点P的坐标为 或 ．
【点评】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数的解析式的求法，二次函数的性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标表示线段的长度．
考点卡片
1．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
2．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
3．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
4．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
5．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
6．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
7．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
8．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
9．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
10．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
11．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
12．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
13．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
14．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
15．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
16．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
17．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
18．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
19．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
20．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
21．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
22．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
23．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
24．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
25．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
26．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
27．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
28．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
29．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
30．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
31．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
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