2024—2025学年上学期武汉初中数学九年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期武汉初中数学九年级开学模拟试卷3
一．选择题（共9小题，满分45分，每小题5分）
1．（5分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（5分）若关于x的方程2x2+mx＝4x+2中不含一次项，则m＝（　　）
A．0 B．4 C．﹣4 D．±4
3．（5分）关于一次函数y＝2x﹣1，下列说法不正确的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标（0，﹣1）
B．图象与x轴的交点坐标为（，0）
C．y随x的增大而增大
D．其图象不经过第三象限
4．（5分）在下面性质中，菱形有而矩形没有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．内角和为 360°
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
5．（5分）设N＝﹣2x2﹣y2+8x+6y+2021，则N的最大值为（　　）
A．2018 B．2028 C．2038 D．2048
6．（5分）由二次函数y＝8（x﹣2）2+3可知，正确的结论是（　　）
A．图象的开口向下
B．图象的对称轴为直线x＝﹣2
C．函数的最小值为3
D．当x≤2时，y随x的增大而增大
7．（5分）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　）
A．（15﹣x﹣9）（200+70x）＝1360
B．（15﹣x）（200+70x）＝1360
C．（15﹣x﹣9）（200﹣70x）＝1360
D．（15﹣x）（200﹣70x）＝1360
8．（5分）若点A（n+1，y1），B（n﹣2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1 （a＜0）上，且y1＜y2，则n的取值范围是（　　）
A．n≥3 B． C．0＜n＜3 D．n≤0
9．（5分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0两根为x1，x2，x2+x1，x2．x1．如果抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，2），若abc＝4，且a≥b≥c，则|a|+|b|+|c|的最小值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
10．（4分）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，则a的值为 　 　；
（2）若方程有实数根，则满足条件的正整数a的值为 　 　．
11．（4分）关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么满足条件的所有非负整数k的和为 　 　．
12．（4分）二次函数y＝x2﹣6x+1的对称轴是直线x＝　 　．
13．（4分）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为 　 　分钟．
14．（4分）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（1，﹣3），与x轴的一个交点为B（4，0），点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上．①2a+b＝0；②abc＜0；③抛物线与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为1＜x＜4，上述五个结论中，其中正确的结论是 　 　（填写序号即可）．
三．解答题（共4小题，满分35分）
15．（8分）用指定方法解方程：
（1）x2﹣1＝4x（公式法）；
（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）（因式分解法）．
16．（8分）已知直线y＝kx+b经过点A（0，6），且平行于直线y＝﹣2x，若该直线经过点P（m，2），求△AOP的面积．
17．（9分）春节过后，甲型流感病毒（以下简称：甲流）开始悄然传播，某办公室最初有三人同时患上甲流，经过两轮传播后，办公室现有27人确诊甲流，请问在两轮传染过程中，平均一人会传染给几个人？
18．（10分）如图①，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）两点，且10．
（1）求此抛物线对应的函数表达式．
（2）设此抛物线与y轴交于点C，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
2024—2025学年上学期武汉初中数学九年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题，满分45分，每小题5分）
1．（5分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（5分）若关于x的方程2x2+mx＝4x+2中不含一次项，则m＝（　　）
A．0 B．4 C．﹣4 D．±4
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；符号意识；运算能力．
【答案】B
【分析】首先要把方程化成一般形式．不含x的一次项，即是一次项系数为0，再解答即可．
【解答】解：2x2+mx＝4x+2，
2x2+（m﹣4）x﹣2＝0，
不含x的一次项，
则m﹣4＝0，
解得m＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．本题关键是明白不含x的一次项，即是一次项系数为0．
3．（5分）关于一次函数y＝2x﹣1，下列说法不正确的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标（0，﹣1）
B．图象与x轴的交点坐标为（，0）
C．y随x的增大而增大
D．其图象不经过第三象限
【考点】一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质及图象位置逐项评析判断即可．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣1，与y轴的交点坐标（0，﹣1），图象与x轴的交点坐标为（，0）y随x的增大而增大，
∴选项ABC都正确，但不符合题意，
∵一次函数y＝2x﹣1图象过一三四象限，故选项D错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
4．（5分）在下面性质中，菱形有而矩形没有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．内角和为 360°
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【考点】矩形的性质；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】利用矩形的性质和菱形的性质可直接求解．
【解答】解：∵菱形的性质有对角线互相垂直平分，四边相等，内角和为360°，
矩形的性质有对角线平分且相等，每个内角为90°，内角和为360°，
∴菱形有而矩形没有的性质是对角线互相垂直，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟练掌握特殊四边形的性质是解题的关键．
5．（5分）设N＝﹣2x2﹣y2+8x+6y+2021，则N的最大值为（　　）
A．2018 B．2028 C．2038 D．2048
【考点】配方法的应用．
【专题】配方法；整式；运算能力．
【答案】C
【分析】先配方，再根据非负数的性质可得N的最大值．
【解答】解：∵N＝﹣2x2﹣y2+8x+6y+2021
＝﹣2（x2﹣4x+4）﹣（y2﹣6y+9）+2038
＝﹣2（x﹣2）2﹣（y﹣3）2+2038，
∴N的最大值为2038．
故选：C．
【点评】本题考查了配方法的应用，关键是配方得到N＝﹣2（x﹣2）2﹣（y﹣3）2+2038．
6．（5分）由二次函数y＝8（x﹣2）2+3可知，正确的结论是（　　）
A．图象的开口向下
B．图象的对称轴为直线x＝﹣2
C．函数的最小值为3
D．当x≤2时，y随x的增大而增大
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝8（x﹣2）2+3，
∴该函数图象的开口向上，故选项A错误；
图象的对称轴是直线x＝2，故选项B错误；
函数的最小值为3，故选项C正确；
当xx≤2时，y随x的增大而减小，故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．（5分）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　）
A．（15﹣x﹣9）（200+70x）＝1360
B．（15﹣x）（200+70x）＝1360
C．（15﹣x﹣9）（200﹣70x）＝1360
D．（15﹣x）（200﹣70x）＝1360
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】由售价及销售间的关系，可得出降价后每袋粽子的销售利润为（15﹣x﹣9），每天可售出（200+70x）袋，利用超市每天售出此种粽子的利润＝每袋的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：每袋粽子的销售利润为（15﹣x﹣9），每天可售出（200+70x）袋，
∴超市每天售出此种粽子的利润（15﹣x﹣9）（200+70x）＝1360．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（5分）若点A（n+1，y1），B（n﹣2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1 （a＜0）上，且y1＜y2，则n的取值范围是（　　）
A．n≥3 B． C．0＜n＜3 D．n≤0
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】分两种情况，①若A（n+1，y1）在直线x＝1的右边，B（n﹣2，y2）在直线x＝1的左边，列不等式求出解集，②若A（n+1，y1）在直线x＝1的右边，B（n﹣2，y2）在直线x＝1的右边，列不等式求出解集．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+a2+1．
＝a（x2﹣2x+1）+a2﹣a+1
＝a（x﹣1）2+a2﹣a+1，
∵a＜0，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1，
①若A（n+1，y1）在直线x＝1的右边，B（n﹣2，y2）在直线x＝1的左边，
由题意可得，且1﹣（n﹣2）＜（n+1）﹣1，
∴n，
②若A（n+1，y1）在直线x＝1的右边，B（n﹣2，y2）在直线x＝1的右边，
由题意可得，n﹣2≥1，
∴n≥3，
综上所述：n．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题关键．
9．（5分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0两根为x1，x2，x2+x1，x2．x1．如果抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，2），若abc＝4，且a≥b≥c，则|a|+|b|+|c|的最小值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；根与系数的关系．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】易知：b+c＝2﹣a，bc，可将b、c看作是一元二次方程x2﹣（2﹣a）x0的两实根，那么可根据△≥0，求得a的大致取值范围为a≥4．由于abc＝4＞0，且a≥b≥c，则说明：
①a、b、c均大于0，由于a≥4，如果三数均为正数，显然a+b+c＞4≠2，因此不合题意．
②a正，b、c为负，那么此时|a|+|b|+|c|＝a﹣（b+c）＝a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，根据得出的a的取值范围，即可求出|a|+|b|+|c|的最小值．
【解答】解：∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a+b+c＜0，与a+b+c＝2矛盾，
∴a＞0；
∵b+c＝2﹣a，bc，
∴b，c是一元二次方程x2﹣（2﹣a）x0的两实根．
∴Δ＝（2﹣a）2﹣40，
∴a3﹣4a2+4a﹣16≥0，即（a2+4）（a﹣4）≥0，故a≥4．
∵abc＞0，
∴a，b，c为全大于0或一正二负．
①若a，b，c均大于0，
∵a≥4，与a+b+c＝2矛盾；
②若a，b，c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0，
则|a|+|b|+|c|＝a﹣b﹣c＝a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，
∵a≥4，
故2a﹣2≥6
当a＝4，b＝c＝﹣1时，满足题设条件且使不等式等号成立．
故|a|+|b|+|c|的最小值为6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理的应用及不等式的相关知识．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
10．（4分）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，则a的值为 　﹣14　；
（2）若方程有实数根，则满足条件的正整数a的值为 　4，2，1　．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）﹣14；
（2）4，2，1．
【分析】（1）将x＝﹣1代入一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0即可求a；
（2）由于根的存在性可得Δ＝64﹣36（a﹣3）≥0，再结合二次项系数a≠3，可求a的范围进而解答．
【解答】解：（1）∵方程的一个根为x＝﹣1，
将x＝﹣1代入一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0，
可得a﹣3+8+9＝0，
∴a＝﹣14；
故答案为：﹣14；
（2）∵（a﹣3）x2﹣8x+9＝0是一元二次方程，
∴a≠3，
∵方程有实数根，
∴Δ＝64﹣36（a﹣3）≥0，
∴a，
∴a且a≠3，
∵a是正整数，
∴a＝4，2，1．
故答案为：4，2，1．
【点评】本题考查一元二次方程的根与根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式求法，注意二次项系数的取值情况是解题的关键．
11．（4分）关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么满足条件的所有非负整数k的和为 　3　．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，Δ＞0，以及二次项的系数不为0，求出k的取值范围，再进行计算即可．
【解答】解：由题意，得：Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4（k﹣3）＞0，
解得：k＜4，
又∵方程为一元二次方程，
∴k﹣3≠0，
∴k≠3，
∴满足条件的所有非负整数k：0，1，2，
∴满足条件的所有非负整数k的和为：0+1+2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查根据一元二次方程根的情况求出参数．熟练掌握判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程的二次项系数不为0是解题的关键．
12．（4分）二次函数y＝x2﹣6x+1的对称轴是直线x＝　3　．
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】3．
【分析】先将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8，
∴该函数的对称轴是直线x＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查二次函数的性质，明确题意，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
13．（4分）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为 　12　分钟．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】12．
【分析】先求摩天轮转动的角速度为＝20°/分，再求出OC＝OD﹣CD＝22（米），则OCOB，得∠OBC＝30°，然后求出最佳观赏位置的圆心角为240°，即可求解．
【解答】解：如图所示：
摩天轮转动的角速度为：360°÷18分＝20°/分，
由题意得：AD⊥BC，AD＝88米，AM＝100米，CM＝BN＝34米，
则OB＝OD＝44（米），DM＝AM﹣AD＝12（米），
∴CD＝CM﹣DM＝34﹣12＝22（米），
∴OC＝OD﹣CD＝22（米），
∴OCOB，
∵∠OCB＝90°，
∴∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝120°，
∴最佳观赏位置的圆心角为2×120°＝240°，
∴在运行的一圈里最佳观赏时长为：240°÷20°/分＝12（分钟），
故答案为：12．
【点评】本题考查了垂径定理的应用、含30°角的直角三角形的判定、直角三角形的性质等知识，熟练掌握垂径定理，求出∠OBC＝30°是解题的关键．
14．（4分）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（1，﹣3），与x轴的一个交点为B（4，0），点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上．①2a+b＝0；②abc＜0；③抛物线与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为1＜x＜4，上述五个结论中，其中正确的结论是 　①⑤　（填写序号即可）．
【考点】二次函数与不等式（组）；根的判别式；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】①⑤．
【分析】利用抛物线的对称轴方程得到1，则可对①进行判断；由抛物线开口向上得到a＞0，则b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），则可对③进行判断；利用抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点可对④进行判断；结合函数图象可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点为B（4，0），
∴抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），所以③错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），
∴抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个相等的实数根，所以④错误；
∵当1＜x＜4时，y2＞y1，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为1＜x＜4．所以⑤正确．
故答案为：①⑤．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x轴的交点问题．
三．解答题（共4小题，满分35分）
15．（8分）用指定方法解方程：
（1）x2﹣1＝4x（公式法）；
（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）（因式分解法）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1），；（2）x1＝2，．
【分析】（1）先移项，然后确定各项系数，代入求根公式即可得到解方程；
（2）先移项，然后提取公因式，令各因式为0，即可解方程．
【解答】解：（1）原方程化为：x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝16﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，
∴，
∴，；
（2）原方程化为：3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（3x﹣2）＝0，
∴x﹣2＝0或3x﹣2＝0，
∴x1＝2，．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法步骤是解题关键．
16．（8分）已知直线y＝kx+b经过点A（0，6），且平行于直线y＝﹣2x，若该直线经过点P（m，2），求△AOP的面积．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】6．
【分析】根据两直线平行的问题得到k＝﹣2，然后把（0，6）代入y＝﹣2x+b得求出b即可得到该函数解析式为y＝﹣2x+6，把P（m，2）代入y＝﹣2x+6即可得到m的值，进而利用三角形面积公式即可求得．
【解答】解：∵y＝kx+b与直线y＝﹣2x平行，
∴k＝﹣2，将A（0，6）
代入y＝﹣2x+b，解得b＝6
∴该函数解析式为y＝﹣2x+6，
将（m，2）代入解析式，则有2＝﹣2m+6，
解得m＝2，
∴P（2，2），
∴S△AOP6．
【点评】本题考查了两直线平行的问题，根据平行线的解析式中k值相等求解是解答本题的关键．
17．（9分）春节过后，甲型流感病毒（以下简称：甲流）开始悄然传播，某办公室最初有三人同时患上甲流，经过两轮传播后，办公室现有27人确诊甲流，请问在两轮传染过程中，平均一人会传染给几个人？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】在两轮传染过程中，平均一人会传染给2个人．
【分析】设在两轮传染过程中，平均一人会传染给x个人，则第一轮传染中有3x人被传染，第二轮传染中有（3+3x）x人被传染，根据“经过两轮传播后，办公室现有27人确诊甲流”，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．
【解答】解：设在两轮传染过程中，平均一人会传染给x个人，则第一轮传染中有3x人被传染，第二轮传染中有（3+3x）x人被传染，
根据题意得：3+3x+（3+3x）x＝27，
整理得：（1+x）2＝9，
解得：x1＝2，x2＝﹣4（不符合题意，舍去）．
答：在两轮传染过程中，平均一人会传染给2个人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（10分）如图①，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）两点，且10．
（1）求此抛物线对应的函数表达式．
（2）设此抛物线与y轴交于点C，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；分类讨论；二次函数图象及其性质；数据分析观念；推理能力．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，NQ的最小值为1，点Q的坐标为：（，）或（，）．
【分析】（1）由题意得，x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3，由（x1+x2）2﹣2x1x2＝b2+6＝10，求出b的值，进而求解；
（2）由△PQN与△APM的面积相等，得到h＝1，当点Q在点P的左侧时，则点Q的坐标为（m﹣1，m2﹣4m），求出NQ2＝（m﹣m+1）2+（m2﹣2m﹣3﹣m2+4m）＝4（m﹣1.5）2+1≥1，即可求解；当点Q在点P的右侧时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得，x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3，
则（x1+x2）2﹣2x1x2＝b2+6＝10，
解得：b＝﹣2（正值已舍去），
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由：
设点P（m，0），则点N（m，m2﹣2m﹣3），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
则点M（m，m﹣3），
设点Q到PN的距离为h，
∵△PQN与△APM的面积相等，
即PN hPM AP，
即（m2﹣2m﹣3） h＝﹣（m﹣3）（m+1），
解得：h＝1，
当点Q在点P的左侧时，
则点Q的坐标为（m﹣1，m2﹣4m），
则NQ2＝（m﹣m+1）2+（m2﹣2m﹣3﹣m2+4m）＝4（m﹣1.5）2+1≥1，
即NQ的最小值为1，此时点Q的坐标为：（，）；
当点Q在点P的右侧时，
则点Q的坐标为（m+1，m2﹣4），
同理可得：NQ2＝4（m）2+1≥1，
即NQ的最小值为1，此时点Q的坐标为：（，）；
综上，NQ的最小值为1，点Q的坐标为：（，）或（，）．
【点评】本题为二次函数综合题，涉及到根和系数的关系、三角形的面积、函数的最值问题，综合性强，难度适中．
考点卡片
1．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
3．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
4．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
5．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
6．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
7．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
8．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
9．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
10．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
11．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
12．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
13．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
14．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
15．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
16．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
17．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
18．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
19．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
20．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
21．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
22．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
23．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．