2024—2025学年上学期长沙初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期长沙初中数学九年级开学模拟试卷1
一．填空题（共16小题，满分80分，每小题5分）
1．（5分）因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）＝　 　；ab2﹣a＝　 　．
2．（5分）比较大小： 　 　（填“＞”，“＝”，“＜”）．
3．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值为　 　．
4．（5分）设m是7的小数部分，n是7的小数部分，则（m+n）2016＝　 　．
5．（5分）不等式组的最大整数解是　 　．
6．（5分）已知直线y＝﹣x+3a与直线y＝x+a的交点坐标为（m，8），则m的值为　 　．
7．（5分）若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则k，b的取值范围是k　 　0，b　 　0．
8．（5分）一次函数y＝kx+b的图象经过点（3，0）与（0，3），那么关于x的不等式kx+b＞0的解集是　 　．
9．（5分）如图所示，直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，点C是OB的中点，D，E分别是直线AB和y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是 　 　．
10．（5分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m值是 　 　．
11．（5分）一元二次方程的求根公式是　 　．
12．（5分）已知α是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，那么α2+α﹣2＝　 　．
13．（5分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，BD．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 　 　．
14．（5分）在矩形ABCG中，点D是AG的中点，点E是AB上一点，且BE＝BC，DE⊥DC，CE交BD于F，下列结论：①CD平分∠ECG；②∠EDB＝45°；③（1）CD＝DE；④CF：AE＝（1）：1，其中正确的是 　 　．
15．（5分）计算：　 　．
16．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：
①abc＜0；
②4a+2b+c＞0；
③5a﹣b+c＝0；
④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，
其中正确的结论有 　 　．
二．解答题（共4小题，满分40分，每小题10分）
17．（10分）已知x+y＝8，xy＝﹣1，求x3+x2y+xy2+y3的值．
18．（10分）已知：D、E分别是等边△ABC的BC、AB边上的点，且AE＝BD，连接AD、CE．
（1）如图①，求证：∠ACE＝∠BAD；
（2）如图②，分别以EA、EC为边作 AECF，并连接DF，试判定△ADF的形状，并说明理由；
（3）如图③，分别以AB、BC为边作 ABCM，并作MN⊥CE于N，若AD和CE相交于点P，且PA+PC＝4，求MN的长．
19．（10分）如图，直角三角形ABC在平面直角坐标系中，直角边BC在y轴上，AB，BC的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，AB＜BC，且BC＝2OB，P为BC上一点，且∠BAP＝∠C．
（1）求点A的坐标；
（2）求直线AP的解析式；
（3）M为x轴上一点，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0）和（4，0）．写出它与y轴交点的坐标，并求出它的解析式．
2024—2025学年上学期长沙初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．填空题（共16小题，满分80分，每小题5分）
1．（5分）因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）＝　（x+1）（x﹣2）　；ab2﹣a＝　a（b+1）（b﹣1）　．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（x+1）（x﹣2），a（b+1）（b﹣1）．
【分析】通过两次提取公因式来进行因式分解．
【解答】解：原式＝x（x﹣2）+（x﹣2）＝（x+1）（x﹣2），
ab2﹣a＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1）
故答案为：（x+1）（x﹣2），a（b+1）（b﹣1）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2．（5分）比较大小： 　＞　（填“＞”，“＝”，“＜”）．
【考点】分数指数幂；实数大小比较．
【专题】实数；运算能力．
【答案】＞．
【分析】根据分数指数幂化简然后再比较大小．
【解答】解：（）（），
故答案为：＞．
【点评】本题考查了分数指数幂，熟练掌握分数指数幂是解题的关键，注意负数的偶次幂是正数．
3．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值为　　．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4（k﹣1）＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4（k﹣1）＝0，
解得k．
故答案为．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．（5分）设m是7的小数部分，n是7的小数部分，则（m+n）2016＝　1　．
【考点】估算无理数的大小．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据，可得7的小数部分，7的小数部分，再根据1的任何次幂都是1，可得答案．
【解答】解：由，得
7的小数部分m3，
7的小数部分n＝4，
（m+n）2016＝12016，
故答案为：1．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用得出7的小数部分，7的小数部分是解题关键．
5．（5分）不等式组的最大整数解是　2　．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其最大整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①得，x，
解不等式②得，x＜3，
所以，不等式组的解集是x＜3．
则最大整数解是2．
故答案为2．
【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
6．（5分）已知直线y＝﹣x+3a与直线y＝x+a的交点坐标为（m，8），则m的值为　4　．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【专题】函数及其图象．
【答案】见试题解答内容
【分析】把交点坐标代入两直线解析式，联立方程解答即可．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+3a和直线y＝x+a的交点坐标为（m，8），
∴﹣m+3a＝8，m+a＝8，
解得：m＝a＝4，
故答案为：4
【点评】本题考查了相交线的问题，关键是把交点坐标代入两直线解析式解答．
7．（5分）若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则k，b的取值范围是k　＜　0，b　＞　0．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】函数思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图象在坐标平面内的位置确定k，b的取值范围．
【解答】解：∵直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0．
故答案为：＜、＞．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
8．（5分）一次函数y＝kx+b的图象经过点（3，0）与（0，3），那么关于x的不等式kx+b＞0的解集是　x＜3　．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先利用图象可找到图象在x轴上方时x＜3，进而得到关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜3．
【解答】解：由题意可得：一次函数y＝kx+b中，y＞0时，图象在x轴上方，x＜3，
则关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜3，
故答案为：x＜3．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．
9．（5分）如图所示，直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，点C是OB的中点，D，E分别是直线AB和y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是 　2　．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；轴对称﹣最短路线问题；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】2．
【分析】作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，故当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长＝CD+DE+CE＝DF+DE+EG＝FG，此时△DEC周长最小，依据勾股定理即可得到FG的长，进而得到△CDE周长的最小值．
【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，
∵直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，
∴A（0，4），B（﹣4，0），C（﹣2，0），
∴BO＝4，OG＝2，BG＝6，OA＝OB，
∴∠ABC＝45°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴BF＝BC＝2，
由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，
当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长＝CD+DE+CE＝DF+DE+EG＝FG，
此时△DEC周长最小，
∵Rt△BFG中，FG2，
∴△CDE周长的最小值是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣最短问题等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置，属于中考常考题型．
10．（5分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m值是 　﹣2　．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】方程思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程解的定义，将x＝0代入关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0，然后解关于m的一元二次方程即可．
【解答】解：根据题意，得
x＝0满足关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0，
∴m2﹣4＝0，
解得，m＝±2；
又∵二次项系数m﹣2≠0，即m≠2，
∴m＝﹣2；
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．解答该题时，注意一元二次方程的定义中的“一元二次方程的二次项系数不为0”这一条件．
11．（5分）一元二次方程的求根公式是　x　．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】方程思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】设一元二次方程是ax2+bx+c＝0（a≠0）．根据配方法求得一元二次方程的求根公式．
【解答】解：设一元二次方程是ax2+bx+c＝0（a≠0）．
化二次项系数为1，得
x2x0，
移项，得
x2x，
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2x，
∴（x）2，
当b2﹣4ac≥0时，x；
当b2﹣4ac＜0时，原方程无解；
故一元二次方程的求根公式是x；
故答案为：x．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．通过配方法解一元二次方程的过程，进一步加强推理技能训练，同时发展学生的逻辑思维能力．
12．（5分）已知α是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，那么α2+α﹣2＝　23　．
【考点】根与系数的关系；负整数指数幂．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】23．
【分析】可求方程的另一根为α﹣1．α+α﹣1＝5，α α﹣1＝1，α2+α﹣2＝（α+α﹣1）2﹣2＝23．
【解答】解：设另一根为β，则α β＝1，
∴β＝α﹣1．
∴α，α﹣1是原方程的两个根，
∵α+α﹣1＝5．
∴α2+α﹣2＝（α+α﹣1）2﹣2＝23，
故答案为：23．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数关系，完全平方公式；理解根与系数关系是解题的关键．
13．（5分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，BD．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 　2　．
【考点】三角形的外接圆与外心；三角形三边关系；勾股定理的应用．
【专题】三角形；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】2．
【分析】连接BE，DE，根据直角三角形斜边中线的性质求出BE，根据点与圆的位置关系得到点E落在线段BD上时，DE的值最小，计算即可．
【解答】解：连接BE，DE，
Rt△MBN中，点E是MN的中点，
∴BEMN＝2，
∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，
∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，
∴DE的最小值为：2，
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，三角形的三边关系，勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用相关知识．
14．（5分）在矩形ABCG中，点D是AG的中点，点E是AB上一点，且BE＝BC，DE⊥DC，CE交BD于F，下列结论：①CD平分∠ECG；②∠EDB＝45°；③（1）CD＝DE；④CF：AE＝（1）：1，其中正确的是 　①②③　．
【考点】四边形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】①②③．
【分析】由“ASA”可证△DAE≌△DGK，可得DE＝DK，由等腰直角三角形的性质可证CD平分∠ECG，故①正确；由等腰三角形的性质可求∠ABD＝∠GCD＝22.5°，可求∠EDB＝45°，故②正确；分别计算出CD，DE，AE的长，即可判断④⑤，即可求解．
【解答】解：延长ED交CG的延长线于K，作DH⊥EC于H．
∵BE＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BCE＝∠BEC＝45°，
∴∠ECK＝45°，
∵点D是AG的中点，
∴AD＝DG，
又∵∠A＝∠DGK＝90°，∠ADE＝∠GDK，
∴△DAE≌△DGK（ASA），
∴DE＝DK，
∵CD⊥EK，
∴EC＝CK，
又∵DE＝DK，
∴∠DCK＝∠DCE＝22.5°，
∴CD平分∠ECG，故①正确；
∵AB＝CG，∠A＝∠CGD＝90°，AD＝DG，
∴△ABD≌△GCD（SAS），
∴∠ABD＝∠GCD＝22.5°，
∴∠DBC＝∠BCD＝67.5°，
∴∠BDC＝45°，
∴∠EDB＝45°，故②正确；
∵∠DCK＝∠DCE＝22.5°，
∴∠K＝∠CED＝∠CBF＝67.5°，
∴∠EFD＝67.5°＝∠FED＝∠CFB＝∠CBF，
∴DE＝DF，BC＝CF，
又∵DH⊥EF，
∴EH＝FH，
∵AB∥CG，
∴∠AED＝∠K＝67.5°＝∠CED，
又∵∠A＝∠DHE＝90°，DE＝DE，
∴△ADE≌△HDE（AAS），
∴AE＝EH＝HF，
设AD＝DG＝a，则BC＝BE＝CF＝2a，
∵EC＝2a，
∴EF＝2a﹣2a，AE＝EH＝HFa﹣a，
∴（1）CD＝（1） a，
∵DEa，
∴（1）CD＝DE，故③正确，
∵2（1），
∴故④错误，
故答案为：①②③．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
15．（5分）计算：　﹣2a﹣6　．
【考点】分式的混合运算．
【专题】分式；运算能力．
【答案】﹣2a﹣6．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝[]


＝﹣2（a+3）
＝﹣2a﹣6．
故答案为：﹣2a﹣6．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：
①abc＜0；
②4a+2b+c＞0；
③5a﹣b+c＝0；
④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，
其中正确的结论有 　①②④⑤　．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】①②④⑤．
【分析】利用顶点式得到y＝ax2+4ax﹣5a，根据抛物线的开口向上得到a＞0，则b＞0，c＜0，于是可对①进行判断；解方程ax2+4ax﹣5a＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），利用x＝2时，y＞0可对②进行判断；把b＝4a，c＝﹣5a代入5a﹣b+c中可对③进行判断；根据抛物线y＝a（x+5）（x﹣1）与直线y＝﹣1有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2，则可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c＝1有2个根，方程ax2+bx+c＝﹣1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣9a），
∴y＝a（x+2）2﹣9a＝ax2+4ax﹣5a，
∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∴b＝4a＞0，c＝﹣5a＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
当y＝0时，ax2+4ax﹣5a＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），
∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以②正确；
∵5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a，
而a＞0，
∴5a﹣b+c＜0，所以③错误；
∵方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，
∴抛物线y＝a（x+5）（x﹣1）与直线y＝﹣1有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2，
∴﹣5＜x1＜x2＜1，所以④正确；
∵方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，
∴方程ax2+bx+c＝1有2个根，方程ax2+bx+c＝﹣1有2个根，
∴所有根之和为2×（）＝2×（）＝﹣8，所以⑤正确．
故答案为①②④⑤．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二．解答题（共4小题，满分40分，每小题10分）
17．（10分）已知x+y＝8，xy＝﹣1，求x3+x2y+xy2+y3的值．
【考点】因式分解的应用．
【专题】计算题；整体思想；整式；运算能力；应用意识．
【答案】（x+y）（x2+y2）；528．
【分析】首先分两组，提取公因式后，再提取公因式，把x+y＝8，化为x2+y2+2xy＝64，求出x2+y2＝66，整体代入原式计算即可．
【解答】解：x3+x2y+xy2+y3
＝（x3+x2y）+（xy2+y3）
＝x2（x+y）+y2（x+y）
＝（x+y）（x2+y2）；
∵x+y＝8，
∴x2+y2+2xy＝64，
∴x2+y2＝66，
∴原式＝8×66＝528．
【点评】本题考查了分组分解法分解因式，熟练掌握分组分解法的结构特点，把x+y＝8，化为x2+y2+2xy＝64形式是解题关键．
18．（10分）已知：D、E分别是等边△ABC的BC、AB边上的点，且AE＝BD，连接AD、CE．
（1）如图①，求证：∠ACE＝∠BAD；
（2）如图②，分别以EA、EC为边作 AECF，并连接DF，试判定△ADF的形状，并说明理由；
（3）如图③，分别以AB、BC为边作 ABCM，并作MN⊥CE于N，若AD和CE相交于点P，且PA+PC＝4，求MN的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析过程；（2）△ADF是等边三角形，理由见解析过程；（3）6．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB＝AC，∠B＝∠CAE＝60°，即可根据SAS判定△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）由平行四边形的性质及全等三角形的性质可得出BD＝CF，AD＝AF，即可根据SSS判定△ABD≌△ACF，即可得到∠BAD＝∠CAF，进而得出∠DAF＝60°，又有AD＝AF，即可判定△ADF是等边三角形；
（3）连结PM，延长CP，在CP的延长线上取点G，使AG＝AP，可得△APG是等边三角形，根据等边三角形的性质及平行四边形的性质利用SAS证出△GAC≌△PAM，得出GC＝PM＝GP+PC＝PA+PC＝4，∠MPN＝180°﹣∠APG﹣∠APM＝180°﹣60°﹣60°＝60°，最后根据特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠CAE＝60°，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴∠BAD＝∠ACE；
（2）如图②，△ADF是等边三角形，理由如下：
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，AF＝CE，
∵AE＝BD，
∴BD＝CF，
由（1）知，△ABD≌△CAE，
∴AD＝CE，
∴AD＝AF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SSS），
∴∠BAD＝∠CAF，
∵∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝60°，
∴∠DAC+∠CAF＝∠DAF＝60°，
又∵AD＝AF，
∴△ADF是等边三角形；
（3）如图③，连结PM，延长CP，在CP的延长线上取点G，使AG＝AP，
∵∠BAD＝∠ACE，∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠CPD＝∠DAC+∠ACE＝60°，
∴∠GPA＝∠CPD＝60°，
∴△APG是等边三角形，
∴∠GAP＝60°，
∴∠GAC＝∠GAP+∠PAC＝60°+∠PAC，
∵四边形ABCM是平行四边形，
∴AM∥BC，AM＝BC，
∴∠MAC＝∠ACB＝60°，
∴∠PAM＝∠PAC+∠MAC＝∠PAC+60°，
∴∠GAC＝∠PAM，
∵BC＝AC，
∴AC＝AM，
在△GAC和△PAM中，
，
∴△GAC≌△PAM（SAS），
∴GC＝PM，∠AGC＝∠APM＝60°，
∴GC＝PM＝GP+PC＝PA+PC＝4，∠MPN＝180°﹣∠APG﹣∠APM＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵MN⊥CE，
∴∠MNP＝90°，
在Rt△MNP中，sin∠MPN，
∴，
∴MN＝6．
【点评】此题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、特殊角的三角函数值等，熟记平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质及特殊角的三角函数值是解题的关键．
19．（10分）如图，直角三角形ABC在平面直角坐标系中，直角边BC在y轴上，AB，BC的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，AB＜BC，且BC＝2OB，P为BC上一点，且∠BAP＝∠C．
（1）求点A的坐标；
（2）求直线AP的解析式；
（3）M为x轴上一点，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；数据分析观念；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（6，4）；
（2）yx；
（3）存在，点N的坐标为（，8）或（，﹣8）或（﹣2，0）或（8，0）．
【分析】（1）先解出方程的解，根据AB＜BC，得出AB＝6和BC＝8，再根据BC＝2OB求出OB＝4，即可求出点A的坐标；
（2）根据题中条件可推出△ABP∽△CBA，利用边之比求出BP的长，即可求出点P的坐标，然后设出直线解析式，把点A、P的坐标即可求出解析式；
（3）根据（1）中条件先求出点C的坐标，然后设出点M、N的坐标，分别分以AC为边和AC为对角线两大种情况进行讨论，其中AC为边可分四边形MCAN为矩形和四边形MACN为矩形两种情况，然后利用矩形的对角线互相平分且相等、两点间的距离公式以及勾股定理这三个知识点即可求出点N的坐标．
【解答】解：（1）∵AB，BC的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，
解方程可得：x1＝6，x2＝8，
∵AB＜BC，
∴AB＝6，BC＝8，
∵BC＝2OB，
∴OB＝4，
点A的坐标为（6，4）；
（2）根据题意可得：∠BAP＝∠ACB，∠ABP＝∠CBA，
∴△ABP∽△CBA，
∴，即，
解得：BP，
∴OP＝BP﹣OB，
∴点P的坐标为（0，），
令直线AP的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把A（6，4），P（0，）代入可得：
，解得：，
∴直线AP的解析式为：yx；
（3）存在，理由如下：
由（1）中可得：A（6，4），OC＝4，则点C的坐标为（0，﹣4），
则AC10，
令点M（m，0），N（a，n），
当以AC为边时，①当四边形MCAN为矩形时，此时MC⊥AC，
此时对角线AM和CN互相平分，
∴，即，解得：，
此时点M（a﹣6，0）、N（a，8），
∴CM2＝（a﹣6）2+42，AM2＝（12﹣a）2+42，
∵MC⊥AC，
∴CM2+AC2＝AM2，即（a﹣6）2+42+102＝（12﹣a）2+42，
解得：a，
∴N（，8）；
②当四边形MACN为矩形时，此时MA⊥AC，
此时对角线AN和MC互相平分，
∴，即，解得：，
此时点M（a+6，0）、N（a，﹣8），
∴AM2＝a2+42，CM2＝（a+6）2+42，
∵MA⊥AC，
∴MA2+AC2＝CM2，即a2+42+102＝（a+6）2+42，
解得：a，
∴N（，﹣8）；
③当以AC为对角线时，此时MN也为对角线，
∵对角线AC和MN互相平分，
∴，即，解得：，
此时点M（6﹣a，0）、N（a，0），
∴MN＝|6﹣2a|，
∵矩形的对角线相等，
∴MN＝AC，
∴|6﹣2a|＝10，解得：a1＝﹣2，a2＝8，
∴点N的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；
综上所述：存在，点N的坐标为（，8）或（，﹣8）或（﹣2，0）或（8，0）．
【点评】本题考查的是一次函数与几何综合题型，解题关键：一是掌握相似三角形的性质与判定，二是掌握矩形的性质．
20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0）和（4，0）．写出它与y轴交点的坐标，并求出它的解析式．
【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】它与y轴交点的坐标为（0，﹣1），二次函数解析式为．
【分析】根据二次函数图象与性质，二次函数一般式的常数项就是二次函数图象与它与y轴交点的纵坐标，再由y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0）和（4，0），利用待定系数法得到关于a，b的二元一次方程组，求解即可得到解析式．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0），
∴二次函数图象与y轴交点的坐标为（0，﹣1），
∵二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0）和（4，0），
∴，
解得，
∴二次函数解析式为．
【点评】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法求二次函数解析式、解二元一次方程组，熟练掌握二次函数图象与y轴交点坐标特征，待定系数法求解析式是解决问题的关键．
考点卡片
1．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
2．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
3．分数指数幂
分数指数幂是正分数指数幂和负分数指数幂的统称．分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式．负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法，是高中代数的重点．
4．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
5．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1 a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1 c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
6．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
7．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
8．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
9．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
10．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
11．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
12．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
13．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
14．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
15．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0 y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
16．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
17．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x．
18．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
19．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
20．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
21．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
22．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
23．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
24．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
25．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
26．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
27．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
28．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．