2024—2025学年上学期长沙初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期长沙初中数学九年级开学模拟试卷2
一．填空题（共16小题，满分80分，每小题5分）
1．（5分）分解因式：
（1）﹣a3+2a2﹣a＝　 　；
（2）a4﹣2a3+a2＝　 　；
（3）2x2﹣2x　 　；
（4）a4b﹣6a3b+9a2b＝　 　．
2．（5分）比较大小： 　 　（填“＞”，“＝”，“＜”）．
3．（5分）一元二次方程x2+x﹣1＝0根的判别式的值是 　 　．
4．（5分）设a是4的整数部分，b是4的小数部分，则a＝　 　，b＝　 　．
5．（5分）关于x的不等式组有五个整数解，则a的取值范围是　 　．
6．（5分）一次函数y＝kx+b的图象平行于函数y＝﹣2x的图象，且经过点（3，﹣2），则该一次函数的表达式是y＝　 　．
7．（5分）已知正比例函数y＝（k﹣1）x中，y的值随自变量x的值增大而减小，那么k的取值范围是　 　．
8．（5分）如图，直线y＝kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式kx+b≥0的解集为 　 　．
9．（5分）如图，点A（3，0）在x轴上，直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段OC，BC上的动点，则PD+DA的最小值为 　 　．
10．（5分）若a（a≠0）是关于方程x2+bx﹣2a＝0的一个根，则a+b的值为 　 　．
11．（5分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3＝0时，原方程可变形为　 　．
12．（5分）已知α是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，那么α2+α﹣2＝　 　．
13．（5分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，BD．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 　 　．
14．（5分）如图，在正方形ABCD中，点G为BC边上的动点，点H为CD边上的动点，且满足BG+DH＝HG，连接AH，AG分别交正方形ABCD的对角线BD于F，E两点，则下列结论中正确的有 　 　.（填序号即可）
①∠DHA＝∠GHA；②AF AH＝AE AG；③BE+DF＝EF；④AHAE
15．（5分）化简：　 　．
16．（5分）抛物线y＝ax2﹣2ax+c （a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点（﹣1，0）．下列四个结论：
①该抛物线一定经过点（3，0）；
②2a+c＞0；
③若点P1（m，y1），P2（m+1，y2）在该抛物线上，y1＞y2，则m的取值范围为m＞1；
④若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2﹣2ax+c+n＝0的两个根，其中n＜0，则﹣1＜x1＜x2＜3
其中正确的是 　 　．（填写序号）
二．解答题（共4小题，满分40分，每小题10分）
17．（10分）利用因式分解计算：
（1）x3﹣9x；
（2）2.132+2×2.13×2.87+2.872．
18．（10分）如图1，四边形ABCD为菱形，AB＝m，∠DAB＝60°，DE⊥AB于点E，F为BC上任意一点，连接DF，BD，H为DF上任意一点．
（1）若DF⊥BC，求DF的长（用m表示）；
（2）如图2，作FG∥DE交AC于点G，H为DF的中点，连接HG，HB，BG．猜想线段HG与HB存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点F的运动过程中，当HB+HC+HD的值最小时，请直接写出HF的长（用m表示）．
19．（10分）如图，直角三角形ABC在平面直角坐标系中，直角边BC在y轴上，AB，BC的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，AB＜BC，且BC＝2OB，P为BC上一点，且∠BAP＝∠C．
（1）求点A的坐标；
（2）求直线AP的解析式；
（3）M为x轴上一点，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（x1，0）、B（x2，0），与y轴交点为C，且x1+x2＝4，．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积．
2024—2025学年上学期长沙初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．填空题（共16小题，满分80分，每小题5分）
1．（5分）分解因式：
（1）﹣a3+2a2﹣a＝　﹣a（a﹣1）2　；
（2）a4﹣2a3+a2＝　a2（a﹣1）2　；
（3）2x2﹣2x　（2x﹣1）2　；
（4）a4b﹣6a3b+9a2b＝　a2b（a﹣3）2　．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】（1）﹣a（a﹣1）2；
（2）a2（a﹣1）2；
（3）（2x﹣1）2；
（4）a2b（a﹣3）2．
【分析】（1）（2）（3）（4）先提取公因式，再利用完全平方公式分解．
【解答】解：（1）﹣a3+2a2﹣a＝﹣a（a2﹣2a+1）
＝﹣a（a﹣1）2；
（2）a4﹣2a3+a2＝a2（a2﹣2a+1）
＝a2（a﹣1）2；
（3）2x2﹣2x（4x2﹣4x+1）
（2x﹣1）2；
（4）a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a+9）
＝a2b（a﹣3）2．
故答案为：（1）﹣a（a﹣1）2；（2）a2（a﹣1）2；
（3）（2x﹣1）2；（4）a2b（a﹣3）2．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
2．（5分）比较大小： 　＞　（填“＞”，“＝”，“＜”）．
【考点】分数指数幂；实数大小比较．
【专题】实数；运算能力．
【答案】＞．
【分析】根据分数指数幂化简然后再比较大小．
【解答】解：（）（），
故答案为：＞．
【点评】本题考查了分数指数幂，熟练掌握分数指数幂是解题的关键，注意负数的偶次幂是正数．
3．（5分）一元二次方程x2+x﹣1＝0根的判别式的值是 　5　．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】5．
【分析】根据一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac即可求出值．
【解答】解：x2+x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5．
所以一元二次方程x2+x﹣1＝0根的判别式的值为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．
4．（5分）设a是4的整数部分，b是4的小数部分，则a＝　6　，b＝　3　．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】6，3．
【分析】因为2.236，所以可计算4与4的近似值，即可得出答案．
【解答】解：∵2.236，
∴46.236，41.764，
∴a＝6，b＝3，
故答案为：6，3．
【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意进行计算是解决本题的关键．
5．（5分）关于x的不等式组有五个整数解，则a的取值范围是　﹣3≤a　．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣3≤a．
【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出不等式组的解集，根据不等式组的整数解即可得出关于a的不等式组，求出即可．
【解答】解：解不等式2x＜3（x﹣3）+1得：x＞8，
解不等式x+a得：x＜2﹣4a，
则不等式组的解集为8＜x＜2﹣4a，
∵不等式组有5个整数解为9、10、11、12、13，
∴13＜2﹣4a≤14，
即﹣3≤a，
故答案为﹣3≤a．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
6．（5分）一次函数y＝kx+b的图象平行于函数y＝﹣2x的图象，且经过点（3，﹣2），则该一次函数的表达式是y＝　y＝﹣2x+4　．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【专题】函数及其图象．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行线的性质得出k＝﹣2，中把点（3，﹣2）代入求出即可；
【解答】解：根据题意得：k＝﹣2，
∴y＝﹣2x+b，
把（3，﹣2）代入得：﹣6+b＝﹣2，
解得：b＝4，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4；
故答案为：y＝﹣2x+4
【点评】此题主要考查了两条直线平行问题，关键是掌握若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
7．（5分）已知正比例函数y＝（k﹣1）x中，y的值随自变量x的值增大而减小，那么k的取值范围是　k＜1　．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】函数思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正比例函数图象与系数的关系列出关于k的不等式k﹣1＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵正比例函数 y＝（k﹣1）x中，y的值随自变量x的值增大而减小，
∴k﹣1＜0，
解得，k＜1；
故答案为：k＜1．
【点评】本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与k的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx所在的位置与k的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．
8．（5分）如图，直线y＝kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式kx+b≥0的解集为 　x≥﹣3　．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．
【答案】x≥﹣3．
【分析】根据函数图象，写出直线不在x轴下方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：∵直线y＝kx+b交x轴于A（﹣3，0），
∴不等式kx+b≥0的解集为x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数解析式的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9．（5分）如图，点A（3，0）在x轴上，直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段OC，BC上的动点，则PD+DA的最小值为 　5　．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；轴对称﹣最短路线问题；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】．
【分析】作点A关于y轴的对称点E，过点E作EH⊥BC于点H，交y轴于点D′，连接D′A，D′P，连接CE，则PD+DA的最小值即为EH的长度，分别求出BE，OC和BC的长度，根据，可得10×7EH，求出EH的长度，即可确定PD+DA的最小值．
【解答】解：作点A关于y轴的对称点E，过点E作EH⊥BC于点H，交y轴于点D′，连接D′A，D′P，连接CE，如图所示：
则PD+DA的最小值即为EH的长度，
∵点A（3，0）在x轴上，
∴点E坐标为（﹣3，0），
∵直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于B，C两点，
令x＝0，则y＝7，
∴点C坐标为（0，7），
令y＝0，则x＝7，
∴点B坐标为（7，0），
∴BE＝7+3＝10，OC＝7，BC，
∵，
∴10×7EH，
∴EH，
∴PD+DA的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
10．（5分）若a（a≠0）是关于方程x2+bx﹣2a＝0的一个根，则a+b的值为 　2　．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】方程思想；整体思想；模型思想；应用意识．
【答案】2．
【分析】将x＝a代入x2+bx﹣2a＝0即可解决，
【解答】解：∵a（a≠0）是关于方程x2+bx﹣2a＝0的一个根，
∴当x＝a时，则a2+ba﹣2a＝0，
∴a（a+b﹣2）＝0，
∵a≠0，
∴a+b﹣2＝0，
∴a+b＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查一元二次方程的概念，体现整体思想的应用．
11．（5分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3＝0时，原方程可变形为　（x+2）2＝7　．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】方程思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【解答】解：移项得，x2+4x＝3，
配方得，x2+4x+4＝3+4，即（x+2）2＝7，
故答案为：（x+2）2＝7．
【点评】本题主要考查配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
12．（5分）已知α是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，那么α2+α﹣2＝　23　．
【考点】根与系数的关系；负整数指数幂．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】23．
【分析】可求方程的另一根为α﹣1．α+α﹣1＝5，α α﹣1＝1，α2+α﹣2＝（α+α﹣1）2﹣2＝23．
【解答】解：设另一根为β，则α β＝1，
∴β＝α﹣1．
∴α，α﹣1是原方程的两个根，
∵α+α﹣1＝5．
∴α2+α﹣2＝（α+α﹣1）2﹣2＝23，
故答案为：23．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数关系，完全平方公式；理解根与系数关系是解题的关键．
13．（5分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，BD．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 　2　．
【考点】三角形的外接圆与外心；三角形三边关系；勾股定理的应用．
【专题】三角形；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】2．
【分析】连接BE，DE，根据直角三角形斜边中线的性质求出BE，根据点与圆的位置关系得到点E落在线段BD上时，DE的值最小，计算即可．
【解答】解：连接BE，DE，
Rt△MBN中，点E是MN的中点，
∴BEMN＝2，
∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，
∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，
∴DE的最小值为：2，
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，三角形的三边关系，勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用相关知识．
14．（5分）如图，在正方形ABCD中，点G为BC边上的动点，点H为CD边上的动点，且满足BG+DH＝HG，连接AH，AG分别交正方形ABCD的对角线BD于F，E两点，则下列结论中正确的有 　①②④　.（填序号即可）
①∠DHA＝∠GHA；②AF AH＝AE AG；③BE+DF＝EF；④AHAE
【考点】四边形综合题．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】①②④．
【分析】由“SAS”可证△ABG≌△ADN，可得AN＝AG，∠BAG＝∠DAN，由“SSS”可证△AGH≌△ANH，可得∠DHA＝∠GHA，∠GAH＝∠NAH，故①正确；通过证明点A，点D，点H，点E四点共圆，可得∠AHE＝∠ADE＝45°，由等腰直角三角形的性质可得AHAE，故④正确；通过证明△AEF∽△AHG，可得，即AF AH＝AE AG；故②正确；通过证明△AEF≌△AEP，可得EF＝PE，即DF2+BE2＝FE2，故③错误，即可求解．
【解答】解：延长CD至N，使DN＝BG，连接AN，
∵AB＝AD，∠ADN＝∠ABG＝90°，
∴△ABG≌△ADN（SAS），
∴AN＝AG，∠BAG＝∠DAN，
∵HN＝DH+DN＝DH+BG，BG+DH＝HG，
∴HN＝HG，
又∵AH＝AH，AN＝AG，
∴△AGH≌△ANH（SSS），
∴∠DHA＝∠GHA，∠GAH＝∠NAH，故①正确；
∵∠BAD＝∠BAG+∠GAH+∠DAH＝90°，
∴∠GAH+∠NAH＝90°，
∴∠GAH＝∠NAH＝45°，
∵∠GAH＝∠HDE＝45°，
∴点A，点D，点H，点E四点共圆，
∴∠AHE＝∠ADE＝45°，
∴∠GAH＝∠EHA＝45°，
∴∠AEH＝90°，AE＝EH，
∴AHAE，故④正确；
∵点A，点D，点H，点E四点共圆，
∴∠AED＝∠AHD，
∴∠AED＝∠AHG，
又∵∠EAF＝∠GAH，
∴△AEF∽△AHG，
∴，
∴AF AH＝AE AG；故②正确；
如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABP，
∴△ADF≌△ABP，
∴AP＝AF，∠DAF＝∠BAP，PB＝DF，∠ADF＝∠ABP＝45°，
∴∠PBE＝90°，
∴PB2+BE2＝EP2，
∴DF2+BE2＝PE2，
∵∠DAF+∠BAE＝45°＝∠BAP+∠BAE，
∴∠PAE＝45°＝∠EAF，
又∵AE＝AE，AP＝AF，
∴△AEF≌△AEP（SAS），
∴EF＝PE，
∴DF2+BE2＝FE2，故③错误，
故答案为：①②④．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．（5分）化简：　　．
【考点】分式的混合运算．
【专题】分式；运算能力．
【答案】．
【分析】根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式

，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
16．（5分）抛物线y＝ax2﹣2ax+c （a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点（﹣1，0）．下列四个结论：
①该抛物线一定经过点（3，0）；
②2a+c＞0；
③若点P1（m，y1），P2（m+1，y2）在该抛物线上，y1＞y2，则m的取值范围为m＞1；
④若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2﹣2ax+c+n＝0的两个根，其中n＜0，则﹣1＜x1＜x2＜3
其中正确的是 　①②④　．（填写序号）
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】①②④．
【分析】①根据函数图象经过点（﹣1，0）和对称轴为直线x＝1，可以判断①；
②由①得2a+c＝﹣a，结合c＞0判断出a的正负，即可判断②；
③根据函数性质结合图象可以判断③
④将两个根转化为交点的横坐标，根据二次函数性质即可判断．
【解答】解：抛物线对称轴为直线x1，
∵抛物线经过点（﹣1，0），
∴该抛物线一定经过点（3，0），
故①正确；
∵抛物线经过点（3，0），
∴9a﹣6a+c＝0，
∴3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵c＞0，
∴﹣3a＞0，
∴a＜0，
∵3a+c＝0，
∴2a+c＝﹣a，
∴2a+c＞0，
故②正确；
∵a＜0，对称轴为直线x＝1，
∴当y1＞y2时m，
故③错误；
∵方程ax2﹣2ax+c+n＝0的两个根，
∴二次函数y＝ax2﹣2ax+c与直线y＝﹣n有两个交点，
如图所示：
由图象可知，﹣1＜x1＜x2＜3，
故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系及数形结合思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键．
二．解答题（共4小题，满分40分，每小题10分）
17．（10分）利用因式分解计算：
（1）x3﹣9x；
（2）2.132+2×2.13×2.87+2.872．
【考点】因式分解的应用．
【专题】因式分解；实数；整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先提取公因式，再按平方差公式进行分解；
（2）按完全平方公式分解为两数和的平方，再计算．
【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣32）＝x（x+3）（x﹣3）；
（2）原式＝（2.13+2.87）2＝52＝25．
【点评】本题主要考查了因式分解，关键是熟练掌握因式分解的方法．
18．（10分）如图1，四边形ABCD为菱形，AB＝m，∠DAB＝60°，DE⊥AB于点E，F为BC上任意一点，连接DF，BD，H为DF上任意一点．
（1）若DF⊥BC，求DF的长（用m表示）；
（2）如图2，作FG∥DE交AC于点G，H为DF的中点，连接HG，HB，BG．猜想线段HG与HB存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点F的运动过程中，当HB+HC+HD的值最小时，请直接写出HF的长（用m表示）．
【考点】四边形综合题．
【专题】代数几何综合题；平面直角坐标系；一次函数及其应用；线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）m；
（2）HBHG，证明过程请看解答；
（3）m．
【分析】（1）由菱形的性质易证△BCD是等边三角形，得出BD＝BC＝m，由等边三角形的性质得BFBCm，由勾股定理即可得出结果；
（2）方法一：以点E为原点，AB为x轴、DE为y轴，建立平面直角坐标系，求得B（m，0），A（m，0），C（m，m），D（0，m），由待定系数法求出直线BC的解析式为yxm，直线AC的解析式为yxm，设F（c，cm），则G（c，cm），求出H（c，c），由两点间的距离公式求出HB，HG，即可得出结果；
方法二：设DE交AC于点N，将△BCG绕点B逆时针旋转60°，得到△BDM，点M在DE上，连接HM、GM，则DM＝CG，△BGM是等边三角形，易证∠CGF＝∠CNE＝120°，∠GCF＝∠GFC，则FG＝CG＝DM，连接DG、MF，四边形DGFM是平行四边形，易证M、H、G三点共线，HG＝HM，由等边三角形的性质得出BH⊥GM，在Rt△BHG中，BH＝tan∠BGM HGHG；
（3）设点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，从而有DE＝PC，连接PD得到PD＝PA，同时∠APB+∠APD＝120°+60°＝180°，∠ADP+∠ADE＝180°，即B、P、D、E四点共线，故PA+PB+PC＝PD+PB+DE＝BE，在△ABC中，另取一点P′，易知点P′与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、P′、D′、E四点不共线，P′A+P′B+P′C＞PA+PB+PC，得出点P为等边△ABC的中心时到三个顶点距离之和最小，在点F的运动过程中，当HB+HC+HD的值最小时，点H为等边△BCD的中心，此时，DF⊥BC，HFDF，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴BC＝AB＝m，△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝m，
∵DF⊥BC，
∴点F为BC的中点，
∴BFBCm，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：DFm；
（2）线段HG与HB存在的数量关系为：HBHG，理由如下：
方法一：以点E为原点，AB为x轴、DE为y轴，建立平面直角坐标系，如图2所示：
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴DC＝AD＝AB＝m，△ABD是等边三角形，
∴DEADm，AE＝BEABm，
∴B（m，0），A（m，0），C（m，m），D（0，m），
设直线BC的解析式为：y＝kx+a，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为：yxm，
设直线AC的解析式为：y＝k′x+b，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为：yxm，
设F（c，cm），
∵FG∥DE，
∴G（c，cm），
∵H为DF的中点，
∴H（c，c），
∴HB，
HG，
∴HBHG；
方法二：设DE交AC于点N，
∵∠BCG＝∠BDE＝30°，BC＝BD，∠CBD＝60°，
∴将△BCG绕点B逆时针旋转60°，得到△BDM，点M在DE上，如图2﹣1所示：
连接HM、GM，
则DM＝CG，△BGM是等边三角形，
∴∠BGM＝60°，
∵FG∥DE，
∴∠CGF＝∠CNE＝∠NEA+∠NAE＝90°+30°＝120°，
∴∠GFC＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠GCF＝∠GFC，
∴FG＝CG，
∴GF＝DM，
连接DG、MF，则四边形DGFM是平行四边形，
∵H为DF的中点，
∴GM过点H，
∴M、H、G三点共线，HG＝HM，
∴BH⊥GM，
在Rt△BHG中，BH＝tan∠BGM HG＝tan60° HGHG；
（3）如图3所示：设点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴DE＝PC，AP＝AD，
连接PD，
则△APD是等边三角形，
∴PD＝PA，∠APB+∠APD＝120°+60°＝180°，∠ADP+∠ADE＝180°，
∴B、P、D、E四点共线，
∴PA+PB+PC＝PD+PB+DE＝BE．
在△ABC中，另取一点P′，则点P′与三个顶点连线的夹角不相等，即∠AP′B≠120°，
将△ACP′绕点A逆时针旋转60°得到△AD′E，
∴D′E＝P′C，AP′＝AD′，
连接P′D′，则△AP′D′是等边三角形，
∴P′D′＝P′A，∠APB+∠APD≠180°，∠ADP+∠ADE≠180°，
∴B、P′、D′、E四点不共线，
∴P′A+P′B+P′C＞PA+PB+PC，
∴点P为等边△ABC的中心时到三个顶点距离之和最小，
∴在点F的运动过程中，当HB+HC+HD的值最小时，点H为等边△BCD的中心，
此时，DF⊥BC，HFDF，
由（1）得：DFm，
∴HFmm．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、平行四边形的判定与性质、坐标与图形的性质、锐角三角函数定义、平行线的性质、等边三角形的中心性质、勾股定理、待定系数法求直线解析式、平面直角坐标系中两点间的距离等知识；熟练掌握菱形的性质、等边三角形的判定与性质，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．
19．（10分）如图，直角三角形ABC在平面直角坐标系中，直角边BC在y轴上，AB，BC的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，AB＜BC，且BC＝2OB，P为BC上一点，且∠BAP＝∠C．
（1）求点A的坐标；
（2）求直线AP的解析式；
（3）M为x轴上一点，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；数据分析观念；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（6，4）；
（2）yx；
（3）存在，点N的坐标为（，8）或（，﹣8）或（﹣2，0）或（8，0）．
【分析】（1）先解出方程的解，根据AB＜BC，得出AB＝6和BC＝8，再根据BC＝2OB求出OB＝4，即可求出点A的坐标；
（2）根据题中条件可推出△ABP∽△CBA，利用边之比求出BP的长，即可求出点P的坐标，然后设出直线解析式，把点A、P的坐标即可求出解析式；
（3）根据（1）中条件先求出点C的坐标，然后设出点M、N的坐标，分别分以AC为边和AC为对角线两大种情况进行讨论，其中AC为边可分四边形MCAN为矩形和四边形MACN为矩形两种情况，然后利用矩形的对角线互相平分且相等、两点间的距离公式以及勾股定理这三个知识点即可求出点N的坐标．
【解答】解：（1）∵AB，BC的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，
解方程可得：x1＝6，x2＝8，
∵AB＜BC，
∴AB＝6，BC＝8，
∵BC＝2OB，
∴OB＝4，
点A的坐标为（6，4）；
（2）根据题意可得：∠BAP＝∠ACB，∠ABP＝∠CBA，
∴△ABP∽△CBA，
∴，即，
解得：BP，
∴OP＝BP﹣OB，
∴点P的坐标为（0，），
令直线AP的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把A（6，4），P（0，）代入可得：
，解得：，
∴直线AP的解析式为：yx；
（3）存在，理由如下：
由（1）中可得：A（6，4），OC＝4，则点C的坐标为（0，﹣4），
则AC10，
令点M（m，0），N（a，n），
当以AC为边时，①当四边形MCAN为矩形时，此时MC⊥AC，
此时对角线AM和CN互相平分，
∴，即，解得：，
此时点M（a﹣6，0）、N（a，8），
∴CM2＝（a﹣6）2+42，AM2＝（12﹣a）2+42，
∵MC⊥AC，
∴CM2+AC2＝AM2，即（a﹣6）2+42+102＝（12﹣a）2+42，
解得：a，
∴N（，8）；
②当四边形MACN为矩形时，此时MA⊥AC，
此时对角线AN和MC互相平分，
∴，即，解得：，
此时点M（a+6，0）、N（a，﹣8），
∴AM2＝a2+42，CM2＝（a+6）2+42，
∵MA⊥AC，
∴MA2+AC2＝CM2，即a2+42+102＝（a+6）2+42，
解得：a，
∴N（，﹣8）；
③当以AC为对角线时，此时MN也为对角线，
∵对角线AC和MN互相平分，
∴，即，解得：，
此时点M（6﹣a，0）、N（a，0），
∴MN＝|6﹣2a|，
∵矩形的对角线相等，
∴MN＝AC，
∴|6﹣2a|＝10，解得：a1＝﹣2，a2＝8，
∴点N的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；
综上所述：存在，点N的坐标为（，8）或（，﹣8）或（﹣2，0）或（8，0）．
【点评】本题考查的是一次函数与几何综合题型，解题关键：一是掌握相似三角形的性质与判定，二是掌握矩形的性质．
20．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（x1，0）、B（x2，0），与y轴交点为C，且x1+x2＝4，．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积．
【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）3．
【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（x1，0）、B（x2，0），且x1+x2＝4，．可以得到b和x1，x2和c的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）根据题意，可以得到点C的坐标，然后即可计算出△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（x1，0）、B（x2，0），且x1+x2＝4，．
∴x1+x24，x2＝3x1，x1x2，
∴b＝4，x1＝1，x2＝3，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+4x﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣3，
∵抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与y轴交点为C，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
由（1）知：A（1，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣1＝2，
∴△ABC的面积为：3，
即△ABC的面积为3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和勾股定理的逆定理解答．
考点卡片
1．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
2．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
3．分数指数幂
分数指数幂是正分数指数幂和负分数指数幂的统称．分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式．负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法，是高中代数的重点．
4．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
5．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1 a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1 c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
6．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
7．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
8．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
9．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
10．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
11．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
12．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
13．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
14．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
15．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0 y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
16．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
17．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x．
18．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
19．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
20．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
21．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
22．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
23．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
24．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
25．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
26．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
27．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
28．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．