2024—2025学年上学期长沙初中数学九年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）

中小学教育资源及组卷应用平台
2024—2025学年上学期长沙初中数学九年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连…”，我国民间流传有许多“24节气歌”，下面四幅手绘作品，它们依次分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下表记录了四位射击运动员选拔比赛成绩的平均数和方差：
运动员 甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.1 9.2 9.1 9.2
方差（环2） 3.5 15.5 16.5 3.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．（3分）下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的方程是（　　）
A．x2﹣1＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2+2x＝3 D．x2+2x+3＝0
4．（3分）下列命题中，逆命题成立的是（　　）
A．正方形的四个角都是90°
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对顶角相等
D．全等三角形的对应角相等
5．（3分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点．若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为（　　）
A．10 B．8+2 C．8+2 D．14
6．（3分）在函数y中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2 B．x≤2 C．﹣2≤x≤3 D．x≤2或x≥3
7．（3分）一次函数y＝x﹣2的图象与y轴的交点坐标为（　　）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，0）
8．（3分）已知关于x的二次函数y＝2x2+（m+2）x+m的图象与x轴交于A，B两点，且满足AB＝4，m的值（　　）
A．﹣3或6 B．10或﹣6 C．﹣6或6 D．﹣6
9．（3分）抛物线y＝3x2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线是（　　）
A．y＝3（x﹣2）2﹣3 B．y＝3（x+2）2﹣3
C．y＝3（x+2）2+3 D．y＝3（x﹣2）2+3
10．（3分）如图所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝ax2+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的大致图象．正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若x1、x2是方程x2﹣5x﹣7＝0的两根，那么x1+x2+x1x2＝　 　．
12．（3分）若一次函数y＝﹣2x+b的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是 　 　（写出一个即可）．
13．（3分）函数y＝mx﹣1的图象经过（1，3），则m＝　 　．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接DO．若∠BAC＝37°，则∠ODC的度数为 　 　．
15．（3分）平面直角坐标系中，点P（3，1）关于x轴对称的点的坐标是 　 　．
16．（3分）二次函数y＝x2﹣4x+c满足以下条件：当3＜x＜4时，它的图象位于x轴的下方；当4＜x＜5时，它的图象位于x轴的上方，则c的值为 　 　．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）计算：2﹣1+（﹣1）2018+||﹣（π﹣3.14）0
18．（6分）用配方法解方程：x2+2x﹣3＝0．
19．（6分）随着网络发展，电子产品大量普及，许多人都静不下心来读名著．为了倡导更多学生加入读名著活动，某校开展了一次“最近你读名著了吗？”的活动，调查学生近三年所读名著的数量．该校随机抽取100名学生“近三年读名著数量”的数据，根据调查数据绘制出下面的统计表．
近三年读名著数量 1本 2本 3本 4本 5本 6本 7本 8本
人数 1 5 11 20 24 22 12 5
请根据以上表格信息进行分析：
（1）直接写出学生“近三年读名著数量”的众数和中位数．
（2）求学生“近三年读名著数量”的平均数．
20．（8分）抛物线的部分图象如图所示，抛物线图象顶点A（1，4），与y轴、x轴分别交于点B和点C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积．
21．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．
（1）△ABD是等腰三角形吗？为什么？
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求四边形ABCD的面积．
22．（9分）公园原有一块矩形的空地，其长和宽分别为120米，80米，后来公园管理处从这块空地中间划出一块小矩形，建造一个矩形小花园，并使小花园四周的宽度都相等（四周宽度最多不超过30米）．
（1）当矩形小花园的面积为3200平方米时，求小花园四周的宽度．
（2）若建造小花园每平方米需资金100元，为了建造此小花园，管理处最少要准备多少资金？此时小花园四周的宽度是多少？
23．（9分）某电商的A商品平均每天可销售40件，每件盈利50元．临近春节，电商决定降价促销．经调查表明：每件商品每降低1元，其日平均销量将增加2件．设A商品每件降价x元，日销量为y件．
（1）写出y关于x的函数表达式；
（2）当降价多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
2024—2025学年上学期长沙初中数学九年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连…”，我国民间流传有许多“24节气歌”，下面四幅手绘作品，它们依次分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（3分）下表记录了四位射击运动员选拔比赛成绩的平均数和方差：
运动员 甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.1 9.2 9.1 9.2
方差（环2） 3.5 15.5 16.5 3.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】方差；算术平均数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
【解答】解：∵乙和丁的平均数较大，
∴从乙和丁中选择一人参加竞赛，
∵丁的方差较小，
∴选择丁参加比赛，
故选：D．
【点评】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
3．（3分）下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的方程是（　　）
A．x2﹣1＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2+2x＝3 D．x2+2x+3＝0
【考点】根的判别式．
【专题】常规题型．
【答案】D
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：（A）Δ＝﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，故A有实数根；
（B）Δ＝4﹣4×1＝0，故B有实数根；
（C）Δ＝﹣4﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，故C有实数根；
（D）Δ＝4﹣4×1×3＝﹣8＜0，故D无实数根；
故选：D．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
4．（3分）下列命题中，逆命题成立的是（　　）
A．正方形的四个角都是90°
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对顶角相等
D．全等三角形的对应角相等
【考点】命题与定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】写出各个选项中命题的逆命题，关键正方形的判定定理、矩形的性质定理、对顶角的概念、全等三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、正方形的四个角都是90°的逆命题是四个角都是90°的四边形是正方形，逆命题不成立；
B、对角线相等的四边形是矩形的逆命题是矩形的底角相等，逆命题成立；
C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题不成立；
D、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，逆命题不成立；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确写出各个命题的逆命题是解题的关键．
5．（3分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点．若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为（　　）
A．10 B．8+2 C．8+2 D．14
【考点】矩形的性质；三角形中位线定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】易知OE是中位线，则OECD＝3，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据矩形性质可求BO，从而求出△BOE周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，
∵点O是AC的中点，E为AD的中点，
∴OECD＝3，AEAD＝4，
在Rt△ABE中，AE＝4，AB＝6，
根据勾股定理得，BE，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
AC10．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵点O是AC的中点，
∴BO＝5．
∴△BOE周长为5+3+28+2．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质以及中位线定理，熟记矩形的性质定理并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
6．（3分）在函数y中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2 B．x≤2 C．﹣2≤x≤3 D．x≤2或x≥3
【考点】函数自变量的取值范围．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式．
【答案】C
【分析】根据被开方数大于等于0，得到关于x的一元一次不等式组，解之即可．
【解答】解：根据题意得：
，
解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x≤3，
则不等式的解集为：﹣2≤x≤3，
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，正确掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
7．（3分）一次函数y＝x﹣2的图象与y轴的交点坐标为（　　）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，0）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】平面直角坐标系；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】令x＝0，计算函数y＝x﹣2的值即可．
【解答】解：令x＝0，得y＝x﹣2＝0﹣2＝﹣2，
则一次函数y＝x﹣2的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与y轴的交点，关键是求出x＝0时的值即可得到一次函数与y轴的交点坐标．
8．（3分）已知关于x的二次函数y＝2x2+（m+2）x+m的图象与x轴交于A，B两点，且满足AB＝4，m的值（　　）
A．﹣3或6 B．10或﹣6 C．﹣6或6 D．﹣6
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【答案】B
【分析】2x2+（m+2）x+m可分解为（x+1）（2x+m），从而可确定出方程的一个解为x＝﹣1，由AB＝4，可求得m的值，从而可确定出方程的另一个根为x＝3或x＝﹣5，即可求解．
【解答】解：令y＝0得：2x2+（m+2）x+m＝0．
∴（x+1）（2x+m）＝0．
∴x1＝﹣1，x2m．
∵AB＝4．
∴m+1＝±4．
解得：m＝10或m＝﹣6．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是二次函数与x轴的交点，将2x2+（m+2）x+m可分解为（x+1）（2x+m）是解题的关键．
9．（3分）抛物线y＝3x2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线是（　　）
A．y＝3（x﹣2）2﹣3 B．y＝3（x+2）2﹣3
C．y＝3（x+2）2+3 D．y＝3（x﹣2）2+3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】A
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律写出平移抛物线解析式．
【解答】解：将物线y＝3x2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是y＝3（x﹣2）2﹣3，
故选：A．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
10．（3分）如图所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝ax2+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的大致图象．正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而得到结论．
【解答】解：令ax2+（a+c）x+c＝ax+c，
解得，x1＝0，x2，
∴二次函数y＝ax2+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的交点为（0，c），（，0），故选项A、B、C不合题意；
选项D中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，一次函数y＝ax+c中a＜0，c＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若x1、x2是方程x2﹣5x﹣7＝0的两根，那么x1+x2+x1x2＝　﹣2　．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】由于x1、x2是方程x2﹣5x﹣7＝0的两根，所以直接利用根与系数的关系即可得到两根之和与两根之积，然后代入计算就可以求出x1+x2+x1x2的值．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣5x﹣7＝0的两根，
∴x1+x2＝5，x1 x2＝﹣7，
x1+x2+x1x2＝5+（﹣7）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根x1，x2与系数的关系，x1+x2，x1 x2．
12．（3分）若一次函数y＝﹣2x+b的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是 　﹣1（答案不唯一）　（写出一个即可）．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一次函数的图象经过第二、三、四象限，可以得出k＜0，b＜0，随便写出一个小于0的b值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+b（b为常数）的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
∴b的值可以是﹣1．
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据函数图象所过的象限找出它的系数的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，能够熟练的运用一次函数图象与系数的关系是关键．
13．（3分）函数y＝mx﹣1的图象经过（1，3），则m＝　4　．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】4．
【分析】直接把点（1，3）代入函数y＝mx﹣1，求出m的值即可．
【解答】解：∵函数y＝mx﹣1的图象经过（1，3），
∴3＝m﹣1，解得m＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接DO．若∠BAC＝37°，则∠ODC的度数为 　53°　．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】53°．
【分析】由菱形的性质得AB∥CD，AD＝CD，则∠OAE＝∠OCF，而∠AOE＝∠COF，AE＝CF，即可证明△OAE≌△OCF，则OA＝OC，所以OD⊥AC，因为∠OCD＝∠BAC＝37°，所以∠ODC＝90°﹣∠OCD＝53°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD＝CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△OAE≌△OCF（AAS），
∴OA＝OC，
∴OD⊥AC，
∴∠COD＝90°，
∵∠OCD＝∠BAC＝37°，
∴∠ODC＝90°﹣∠OCD＝90°﹣37°＝53°，
故答案为：53°．
【点评】此题重点考查菱形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明OA＝OC是解题的关键．
15．（3分）平面直角坐标系中，点P（3，1）关于x轴对称的点的坐标是 　（3，﹣1）　．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；符号意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）解答即可．
【解答】解：平面直角坐标系中，点P（3，1）关于x轴对称的点的坐标是（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，掌握关于x轴对称点的性质是解答本题的关键．
16．（3分）二次函数y＝x2﹣4x+c满足以下条件：当3＜x＜4时，它的图象位于x轴的下方；当4＜x＜5时，它的图象位于x轴的上方，则c的值为 　0　．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】0．
【分析】先求出该函数的对称轴，然后根据当3＜x＜4时，它的图象位于x轴的下方，当4＜x＜5时，它的图象位于x轴的上方，即可得到x＝4时，y＝0，从而可以求得c的值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2﹣4+c，
∴该函数的图象开口向上，对称轴是直线x＝2，
∵当3＜x＜4时，它的图象位于x轴的下方，当4＜x＜5时，它的图象位于x轴的上方，
∴当x＝4时，y＝0，
即0＝42﹣4×4+c，
解得c＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）计算：2﹣1+（﹣1）2018+||﹣（π﹣3.14）0
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】计算题；实数．
【答案】见试题解答内容
【分析】先计算负整数指数幂、乘方、取绝对值和零指数幂，再计算加减可得．
【解答】解：原式11
．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算顺序和运算法则．
18．（6分）用配方法解方程：x2+2x﹣3＝0．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先移项得到x2+2x＝3，再把方程两边加上1得到x2+2x+1＝3+1，即（x+1）2＝4，然后利用直接开平方法求解．
【解答】解：∵x2+2x＝3，
x2+2x+1＝3+1，即（x+1）2＝4，
∴x+1＝±2，
∴x1＝1，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：先把方程二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，然后把方程两边加上一次项系数的一半得平方，这样方程左边可写成完全平方式，再利用直接开平方法解方程．
19．（6分）随着网络发展，电子产品大量普及，许多人都静不下心来读名著．为了倡导更多学生加入读名著活动，某校开展了一次“最近你读名著了吗？”的活动，调查学生近三年所读名著的数量．该校随机抽取100名学生“近三年读名著数量”的数据，根据调查数据绘制出下面的统计表．
近三年读名著数量 1本 2本 3本 4本 5本 6本 7本 8本
人数 1 5 11 20 24 22 12 5
请根据以上表格信息进行分析：
（1）直接写出学生“近三年读名著数量”的众数和中位数．
（2）求学生“近三年读名著数量”的平均数．
【考点】众数；加权平均数；中位数．
【专题】数据的收集与整理；运算能力．
【答案】（1）中位数为5本，众数为5本．
（2）学生“近三年读名著数量”的平均数为5本．
【分析】（1）由中位数与众数的含义可得答案；
（2）利用平均数公式进行计算即可．
【解答】解：（1）由第50个，第51个数据均为5本，
∴中位数为（本）．
其中数据5本出现的次数最多，
∴众数为5本．
（2）学生“近三年读名著数量”的平均数为：
（本）．
答：学生“近三年读名著数量”的平均数为5本．
【点评】本题考查的是平均数，众数，中位数的含义，熟记平均数的计算公式，中位数与众数的含义是解本题的关键．
20．（8分）抛物线的部分图象如图所示，抛物线图象顶点A（1，4），与y轴、x轴分别交于点B和点C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）3．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣1）2+4，然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）作AD⊥y轴于D，先确定B点坐标，然后根据△ABC的面积＝S梯形ADOC﹣S△ABD﹣S△OBC进行计算．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
把C（3，0）代入得a（3﹣1）2+4＝0，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）当x＝0时，y＝﹣（x﹣1）2+4＝3，则B（0，3），
作AD⊥y轴于D，如图，
因为AD＝1，OC＝3，OD＝4，OB＝3，
所以△ABC的面积＝S梯形ADOC﹣S△ABD﹣S△OBC
（1+3）×41×13×3
＝3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式．也考查了二次函数的性质．
21．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．
（1）△ABD是等腰三角形吗？为什么？
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求四边形ABCD的面积．
【考点】菱形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】证明题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）△ABD是等腰三角形，理由见解答；
（2）证明见解答；
（3）24．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，求出∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB＝BC＝AD即可判断；
（2）由（1）的结论再根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案；
（3）先求出BD的长，进而即可求出菱形的面积．
【解答】（1）解：△ABD是等腰三角形，理由：
∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝BC，AB＝AD，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）证明：由（1）AB＝BC，AB＝AD，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OCAC＝3，
∵AB＝5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO＝4，
∴BD＝2BO＝8，
∴菱形ABCD的面积为AC×BD6×8＝24．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，能熟记菱形的判定和性质是解此题的关键．
22．（9分）公园原有一块矩形的空地，其长和宽分别为120米，80米，后来公园管理处从这块空地中间划出一块小矩形，建造一个矩形小花园，并使小花园四周的宽度都相等（四周宽度最多不超过30米）．
（1）当矩形小花园的面积为3200平方米时，求小花园四周的宽度．
（2）若建造小花园每平方米需资金100元，为了建造此小花园，管理处最少要准备多少资金？此时小花园四周的宽度是多少？
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】应用题；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）20m；
（2）120000元，30m．
【分析】（1）设小花园四周的宽度为xm，则小花园的长为（120﹣2x）m，小花园的宽为（80﹣2x）m，根据矩形小花园的面积为3200平方米可列出方程，则可得出答案；
（2）当矩形四周的宽度最大的面时，小花园积最小，则可得出答案．
【解答】解：（1）设小花园四周的宽度为xm，由于小花园四周小路的宽度相等，
则根据题意，可得（120﹣2x）（80﹣2x）＝3200，
即x2﹣100x+1600＝0，
解之得x＝20或x＝80．
由于四周宽度最多不超过30米，故舍去x＝80．
∴x＝20m．
答：小花园四周宽度为20m．
（2）当矩形四周的宽度最大的时，小花园面积最小，从而投入的建造资金最少，
此时最少资金为100（120﹣2x）（80﹣2x）＝100×（120﹣2×30）×（80﹣2×30）＝120000（元）．
答：为了建造此小花园，管理处最少要准备120000元，此时小花园四周的宽度是30m．
【点评】本题考查一元二次方程的应用以及数形结合思想，通过图可以看出设路宽为xm，花园的长和宽就能表示出来，以花园的面积作为等量关系列出方程求解．
23．（9分）某电商的A商品平均每天可销售40件，每件盈利50元．临近春节，电商决定降价促销．经调查表明：每件商品每降低1元，其日平均销量将增加2件．设A商品每件降价x元，日销量为y件．
（1）写出y关于x的函数表达式；
（2）当降价多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）y＝2x+40（0≤x＜50）；
（2）当降价15元时，每天的利润最大，最大利润是2450元．
【分析】（1）根据利润等于每件的利润乘以销售量写出y与x的函数关系式；
（2）将（1）中所得的函数关系式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）由题意得：y＝2x+40，
∴y与x的函数关系式为y＝2x+40（0≤x＜50）；
（2）设日销售利润为w元，
则w＝（50﹣x）（2x+40）
＝﹣2x2+60x+2000
＝﹣2（x﹣15）2+2450，
∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下，y有最大值，
∴当x＝15时，y最大＝2450．
答：当降价15元时，每天的利润最大，最大利润是2450元．
【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
3．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
4．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
5．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
6．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
7．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
8．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
9．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
10．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
11．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0 y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
12．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
13．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
14．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
15．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
16．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
17．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
18．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
19．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
20．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
21．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
22．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
23．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
24．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
25．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
26．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
27．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
28．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
29．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
30．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
31．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
32．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．