江苏省南京市第二十七高级中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试卷（含解析）

南京市第二十七高级中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知i为虚数单位，若复数，则z的虚部为( )
A. B. C.0 D.1
2．已知直线与直线平行，则a的值为( )
A. B.1 C. D.0
3．在长方体中，已知点P为线段的中点，且，，，则直线与AP所成的角为( )
A. B. C. D.
4．开普勒第一定律也称椭圆定律 轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星H看作一个质点，H绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星P在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星C的近日点距离和远日点距离之和是20（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是81，则( )
A.181 B.97 C.52 D.19
5．已知向量，满足，，且，则，夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6．已知圆台的上下底面半径分别为2和5，且母线与下底面所成为角的正切值为，则该圆台的表面积为( )
A. B. C. D.
7．已知角，且，则( )
A. B.或 C. D.或
8．已知A，B是圆上的两个动点，且，若，则点P到直线AB距离的最大值为( )
A.2 B.3 C.4 D.7
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.直线的倾斜角为120°
B.经过点，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为
C.直线恒过定点
D.已知直线l过点，且与x，y轴正半轴交于点A B两点，则面积的最小值为4
10．已知圆，圆，则下列选项正确的是( )
A.直线MN的方程为
B.若P Q两点分别是圆M和圆N上的动点，则的最大值为5
C.圆M和圆N的一条公切线长为
D.经过点M N两点的所有圆中面积最小的圆的面积为
11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是( )
A.若，则
B.若，则是锐角三角形
C.若，，，则符合条件有两个
D.对任意，都有
12．在边长为2的正方体中，M，N分别是BC，的中点，则( )
A.AM与为异面直线
B.
C.点到平面的距离为2
D.若点Q为线段上的一动点，则的范围
三、填空题
13．若椭圆的离心率为，则m的值为___________.
14．已知向量，的夹角为，且，，则在上投影向量的坐标为___________.
15．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为“堑堵”.已知三棱柱为一“堑堵”，其中，，，且该“堑堵”外接球的表面积为，则该“堑堵”的高为___________.
16．若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是___________.
四、解答题
17．在中，，，.
（1）求BC边高线所在的直线的方程；
（2）过点A的直线l与直线BC的交点为D，若B C到l的距离之比为，求D的坐标.
18．如图，在三棱锥中，底面ABC，.
（1）求证：平面平面PBC；
（2）若M是PC的中点，二面角的大小为45°且，求直线与平面所成角的正切值.
19．在①；②；③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中且满足___________.
（1）求角C的大小；
（2）若的面积为，求的周长.
20．已知圆C经过 两点，且圆心在直线上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点的直线l与圆C相交于P Q两点，且，求直线l的方程.
21．如图，在正方体中，点E F分别为棱 的中点，点P为底面对角线AC与BD的交点，点Q是棱上一动点.
（1）证明：直线平面；
（2）证明：.
22．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线l交椭圆E于P，Q两点（点P位于第三象限），点P关于原点O的对称点为R.当时，的面积为1，且.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若的面积为，求直线l的方程.
参考答案
1．答案：B
解析：由题可得，则z的虚部为，
故选B.
2．答案：A
解析：因为，所以，解得.
故选：A.
3．答案：B
解析：因为，则直线与所成的角即为直线与所成的角，
如图，连接，可知直线与所成的角即为（或其补角），
则，
因为平面，平面，则，
在，可知，且为锐角，则，
所以直线与所成的角为.
故选：B.
4．答案：A
解析：设某行星运行轨道（椭圆）的长半轴长和短半轴长分别为,，则半焦距为，所以行星C的近日点距离为，远日点距离为，
由题意，解得,，所以.
故选：A
5．答案：A
解析：因为，
即，解得，
所以，夹角的余弦值为.
故选：A.
6．答案：D
解析：如图所示圆台的轴截面，
过点A作，
因此有，
因为母线与下底面所成为角的正切值为，
所以，
该圆台的表面积为，
故选：D
7．答案：C
解析：因为，则，可知，
且，解得，
则，可得，
所以.
故选：C.
8．答案：D
解析：由题意可知：圆的圆心，半径，
则，
设P、C到直线AB的距离分别为,，
因为，解得，
分别过P、C作，垂足分别为M，N，再过C作，垂足为D，
显然当P、C位于直线AB的同侧时，点P到直线AB的距离较大，
则，
当且仅当，即直线AB与直线PC垂直时，等号成立，
所以点P到直线AB距离的最大值为7.
故选：D.
9．答案：ACD
解析：对于选项A：直线的斜率，倾斜角为120°，故A正确；
对于选项C：因为，整理得，
令，解得，所以直线l恒过定点，故C正确；
对于选项B、D：可知直线l的斜率存在，设为，则直线，
令，解得，即直线l在y轴上的截距为；
令，解得，即直线l在x轴上的截距为；
对于B：若在x，y轴上截距互为相反数，则，解得或，
所以直线方程为或，故B错误；
对于D：直线l与x，y轴正半轴交于点A B两点，则，可知，，
可得面积，
当且仅当，即时，等号成立，
所以面积的最小值为4，故D正确；
故选：ACD.
10．答案：AD
解析：由题意可知：圆的圆心，半径，
圆N：，的圆心，半径，
对于选项A：直线MN的方程为，即，故A正确；
对于选项B：因为，
所以的最大值为，故B错误；
对于选项C：因为，可知圆M与圆N外切，
如图，直线l为两圆的公切线，A，B为切点坐标，过A作，交NB于D，
则为平行四边形，可得，，
所以公切线长为，故C错误；
对于选项D：当为直径的圆时，经过点M N两点的所有圆中面积最小，
此时圆的面积为，故D正确；
故选：AD.
11．答案：ABD
解析：对于A选项，由，根据正弦定理得，（r为外接圆半径），即，则，
故A正确；
对于B，，
所以，
所以，
所以，，三个数有0个或2个为负数，又因A，B，C最多一个钝角，
所以，，，即A，B，C都是锐角，
所以一定为锐角三角形，故B正确；
对于C，由正弦定理得，则，
又，则，知满足条件的三角形只有一个，故C错误；
对于D，因为，所以，又函数在上单调递减，
所以，所以，故D正确；
故选：ABD
12．答案：BCD
解析：以D为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，，
对于A，因为，，则，所以，
所以M，N，A，四点共面，所以AM与不是异面直线，故A错误；
对于B，，，则，
所以，所以，故B正确；
对于C，，，设平面的法向量，
则，令，则，又，
所以点到平面的距离为，故C正确；
对于D，点Q为线段上的一动点，则设，，
，所以，则，，
则，
因为，所以，所以，
所以，又，所以，
即的范围，故D正确.
故选：BCD.
13．答案：4
解析：因为，所以该椭圆的焦点在横轴上，所以
所以有，，
因为该椭圆的离心率为，
所以，
故答案为：4
14．答案：
解析：因为，所以，
又向量与的夹角为，且，
所以，
所以在方向上的投影向量为.
因为，所以在方向上的投影向量.
故答案为：.
15．答案：
解析：如图，将三棱柱补成长方体，
则三棱柱的外接球即为长方体的外接球，
设球的半径为R，该“堑堵”的高为h，
由题意可得，解得，
所以该“堑堵”的高为.
故答案为：.
16．答案：
解析：因为，可得，且，
所以曲线C是以为圆心，1为半径的右半圆，
直线过定点，斜率为k，如图所示：
当直线l过时，可得；
当直线与曲线C相切，则，解得；
所以实数k的取值范围是.
故答案为：.
17．答案：（1）；
（2）或
解析：（1）由题意可知：直线BC的斜率为，则BC边的高线所在的直线斜率为，
所以BC边的高线所在的直线方程为，即.
（2）由（1）可知直线的方程为：，即，
若直线l的斜率不存在，则直线，
可知B C到l的距离分别为4,2，不合题意；
若直线l的斜率存在，设为k，则直线，即，
由题意可得：，即或，
当，则直线，
联立方程，解得，即；
当，则直线，
联立方程，解得，即；
综上所述：D的坐标为或.
18．答案：（1）证明见详解；
（2）
解析：（1）因为底面，平面，
所以，
因为∠ABC＝90°，所以，
因为,平面，
所以平面，
因平面，
所以平面平面PBC.
（2）由（1）可知平面，平面，
所以，
因为，
所以为二面角的平面角，
所以，
令，则，
如图，过点A作于N，因为平面平面，平面平面，平面，
则平面，且M为的中点，连接，
则为直线与平面所成的角，
在中，,
在中，，M是PC的中点，则，
因为平面，平面，所以.
在中，，，
则直线与平面所成角的正切值为.
19．答案：（1）；
（2）
解析：（1）若选①，因为，所以，
即，所以，
所以，且，则；
若选②，因为，所以，
即，化简可得，所以或（舍），即；
若选③，因为，所以，
化简可得，，即，且，则；
（2）因为，则，解得，
且，
由正弦定理可得，，即，
又因为，即，所以，则，
由余弦定理可得，，则，
所以三角形的周长为.
20．答案：（1）；
（2）或
解析：（1）设圆C的标准方程为，可知其圆心为，
由题意可得，解得，
所以圆C的标准方程为.
（2）由题意，过点的直线l与圆C相交于P Q两点，且，
则，所以，所以，
所以圆心C到直线l的距离，
由题意直线l的斜率存在，设直线l为，即，
所以，化简得，解得或，
所以直线l的方程为或.
21．答案：（1）证明见详解；
（2）证明见详解
解析：（1）如图，以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴所在的直线，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，，，
可得，，可知，
则，且平面，平面，所以平面.
（2）设，则，可得，
由（1）可知：，
因为，所以.
22．答案：（1）；
（2）或.
解析：（1）连接，，因为点P关于原点O的对称点为R，
所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为矩形，
所以，所以，
又，则，
可得，解得，
则，故椭圆E的方程为.
（2）由（1）知，设，，
直线l的方程为，，
联立消去x，整理得，
则，，且，
所以的面积为
，
令，得，
解得或，从而或.
故直线l的方程为，或，
即，或.