2024年四川省雅安市中考数学试卷
一、选择题:本题共12小题,每小题3分,共36分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.计算的结果是( )
A. B. C. D.
3.下列几何体中,主视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5.如图,直线,交于点,于,若,则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
6.不等式组的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
7.在平面直角坐标系中,将点向右平移个单位后,得到的点关于轴的对称点坐标是( )
A. B. C. D.
8.如图,的周长为,正六边形内接于则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
9.某校开展了红色经典故事演讲比赛,其中名同学的成绩单位:分分别为:,,,,,,,关于这组数据,下列说法中正确的是( )
A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是
10.已知则( )
A. B. C. D.
11.在数学课外实践活动中,某小组测量一栋楼房的高度如图,他们在处仰望楼顶,测得仰角为,再往楼的方向前进米至处,测得仰角为,那么这栋楼的高度为人的身高忽略不计( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
12.已知一元二次方程有两实根,,且,则下列结论中正确的有( )
;
抛物线的顶点坐标为;
;
若,则.
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题:本题共5小题,每小题3分,共15分。
13.要使式子有意义,则的取值范围是______.
14.将,,,,,这个数分别写在张同样的卡片上,从中随机抽取张,卡片上的数为有理数的概率是______.
15.如图是个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图,在探究纸杯叠放在一起后的总高度与杯子数量的变化规律的活动中,我们可以获得以下数据字母,请选用适当的字母表示 ______.
杯子底部到杯沿底边的高;
杯口直径;
杯底直径;
杯沿高.
16.如图,在和中,,,将绕点顺时针旋转一定角度,当时,的度数是______.
17.如图,把矩形纸片沿对角线折叠,使点落在点处,与交于点,若,,则的值是______.
三、解答题:本题共7小题,共69分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
18.本小题分
计算:;
先化简,再求值:,其中.
19.本小题分
某中学对八年级学生进行了教育质量监测,随机抽取了参加米折返跑的部分学生成绩成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级,并绘制了不完整的统计图如图所示根据图中提供的信息解答下列问题:
请把条形统计图补充完整;
若该校八年级学生有人,试估计该校八年级学生米折返跑成绩不合格的人数;
从所抽取的优秀等级的学生、、、、中,随机选取两人去参加即将举办的学校运动会,请利用列表或画树状图的方法,求恰好抽到、两位同学的概率.
20.本小题分
如图,点是 对角线的交点,过点的直线分别交,于点,.
求证:≌;
当时,,分别连接,求此时四边形的周长.
21.本小题分
某市为治理污水,保护环境,需铺设一段全长为米的污水排放管道,为了减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时每天的工效比原计划增加,结果提前天完成铺设任务.
求原计划与实际每天铺设管道各多少米?
负责该工程的施工单位,按原计划对工人的工资进行了初步的预算,工人每天人均工资为元,所有工人的工资总金额不超过万元该公司原计划最多应安排多少名工人施工?
22.本小题分
如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于,两点.
求反比例函数及一次函数的表达式;
求的面积;
若点是轴上一动点,连接,当的值最小时,求点的坐标.
23.本小题分
如图,是的直径,点是上的一点,点是延长线上的一点,连接,.
求证:是的切线;
若,求证:;
若于,,,求的长.
24.本小题分
在平面直角坐标系中,二次函数的图象与轴交于,两点,与轴交于点.
求二次函数的表达式;
如图,若点是线段上的一个动点不与点,重合,过点作轴的平行线交抛物线于点,当线段的长度最大时,求点的坐标;
如图,在的条件下,过点的直线与抛物线交于点,且在轴上是否存在点,使得为等腰三角形?若存在,直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案解析
1.【答案】
【解析】解:根据只有符号不同的两个数互为相反数可得的相反数是,
故选:.
2.【答案】
【解析】解:原式.
故选:.
3.【答案】
【解析】解:、圆锥的主视图是三角形,故此选项符合题意;
B、圆柱的主视图是矩形,故此选项不符合题意;
C、三棱柱的主视图是长方形,中间还有一条虚线,故此选项不符合题意;
D、正方体的主视图为正方形,故此选项不符合题意;
故选:.
4.【答案】
【解析】解:与不是同类项,不能合并运算,因此选项A不符合题意;
B.,因此选项B不符合题意;
C.,因此选项C不符合题意;
D.,因此选项D符合题意;
故选:.
5.【答案】
【解析】解:,,
,
,
故选:.
6.【答案】
【解析】解:解不等式,得:,
解不等式,得:,
则不等式组的解集为,
将不等式组的解集表示在数轴上如下:
故选:.
7.【答案】
【解析】解:将点向右平移个单位后,
平移后的坐标为,
得到的点关于轴的对称点坐标是.
故选:.
8.【答案】
【解析】解:设半径为,由题意得,,
解得,
六边形是的内接正六边形,
,
,
是正三角形,
弦所对应的弦心距为,
.
故选:.
9.【答案】
【解析】解:排列得:,,,,,,,,
出现次数最多是,即众数为;
最中间的两个数为和,平均数为,即中位数为;
,即平均数为;
,即方差为.
故选:.
10.【答案】
【解析】解:,
,
,
,
故选:.
11.【答案】
【解析】解:设米,
在中,,
,即,
整理得:米,
在中,,
,即,
整理得:米,
米,
,即,
解得:,
则这栋楼的高度为米.
故选:.
12.【答案】
【解析】解:由题意,有两实根,,
.
得,.
,故正确.
.
抛物线的对称轴是直线.
抛物线的顶点为.
又,,
,即.
顶点坐标为,故正确.
,
.
又,,
.
,故错误.
,
.
对于函数,当时的函数值小于当时的函数值.
,抛物线的对称轴是直线,
又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小,
.
.
,故错误.
综上,正确的有共个.
故选:.
13.【答案】
【解析】解:式子有意义,
,
解得.
故答案为:.
14.【答案】
【解析】解:在,,,,,这个数中,
有理数为:,,,,共个数,
则卡片上的数为有理数.
故答案为:.
15.【答案】
【解析】解:如图可知,纸杯叠放在一起后的总高度杯子底部到杯沿底边的高杯子数量杯沿高,
,
故答案为:.
16.【答案】或
【解析】解:当点在点的左侧时,如图所示.
,,
.
,
,
.
当点在点的右侧时,如图所示.
,,
.
,
,
.
当时,的度数为或.
故答案为:或.
17.【答案】
【解析】解:折叠,
,
四边形是矩形,
,
,
,
,
,
在中,,
,
解得,
.
故答案为:.
18.【答案】解:原式
;
原式
,
当时,
原式.
【解析】先化简二次根式、负整数指数幂和绝对值,然后根据有理数的加减法计算即可;
先计算分式的减法,再计算分式的除法进行化简,最后代入求出答案即可.
19.【答案】解:根据题意得:人,
不合格的为:人,
补全条形统计图,如图所示:
根据题意得:人,
则该校八年级学生米折返跑成绩不合格的人数约为人;
列表如下:
---
---
---
---
---
所有等可能的情况有种,其中恰好抽到、两位同学的情况数为种,
则恰好抽到、两位同学.
【解析】根据成绩为良好的人数除以占的百分比求出调查的总人数,进而求出不合格的人数,补全条形统计图即可;
由样本中成绩不合格的百分比估计总体中成绩不合格的百分比,乘以即可得到结果;
列出得出所有等可能的情况数,找出恰好抽到、两位同学的情况数,即可求出恰好抽到、两位同学的概率.
20.【答案】四边形是平行四边形,
,
,
点是 对角线的交点,
,
在和中,
,
≌.
解:连接,,
由得≌,
,
,
四边形是平行四边形,
,
四边形是菱形,
,
,
四边形的周长为.
【解析】由平行四边形的性质得,则,而,,即可根据“”证明≌;
由≌,得,而,所以四边形是平行四边形,因为,所以四边形是菱形,则,于是得到问题的答案.
21.【答案】解:设原计划每天铺设管道米,则实际施工每天铺设管道米,
根据题意得:,
解得:,
经检验是分式方程的解,且符合题意,
,
则原计划与实际每天铺设管道各为米,米;
设该公司原计划应安排名工人施工,天,
根据题意得:,
解得:,
不等式的最大整数解为,
则该公司原计划最多应安排名工人施工.
【解析】设原计划每天铺设管道米,则实际施工每天铺设管道,根据原计划的时间实际的时间列出方程,求出方程的解即可得到结果;
设该公司原计划应安排名工人施工,根据工作时间工作总量工作效率计算出原计划的工作天数,进而表示出所有工人的工作总额,由所有工人的工资总金额不超过万元列出不等式,求出不等式的解集,找出解集中的最大整数解即可.
22.【答案】解:由题意,在反比例函数上,
.
反比例函数表达式为.
又在反比例函数上,
.
.
设一次函数表达式为,
.
,.
一次函数的表达式为.
由题意,如图,设直线交轴于点,交轴于点,
又直线为,
,.
,.
.
由题意,如图,作点关于轴的对称点,连接交轴于点,则的最小值等于的长.
与关于轴对称,
为.
又,
直线为.
令,则,
【解析】依据题意,由在反比例函数上,可得的值,进而求出反比例函数,再将代入求出的坐标,最后利用待定系数法求出一次函数的解析式;
依据题意,设直线交轴于点,交轴于点,由直线为,可得,,故,,再由,进而计算可以得解;
依据题意,作点关于轴的对称点,连接交轴于点,则的最小值等于的长,结合与关于轴对称,故为,又,可得直线为,再令,则,进而可以得解.
23.【答案】证明:如图,连接,
是的直径,
,
,
,
,
,
,
,
,
是的切线;
证明:,
,
,
由知,
,
,
,
;
设,
在中,,
,
,,
∽,
,
,
在中,由勾股定理得,
即,
整理得,
解得,舍去,
故AD.
【解析】如图,连接,根据是的直径,可知,根据,可得,再根据,可知,故是的切线;
根据,可知,则,根据,则,可得,故,可证;
设,在中,,可得,易证∽,故,在中,由勾股定理得,即,求解即可.
24.【答案】解:由题意得:,
则,
则抛物线的表达式为:;
由抛物线的表达式知,点,
由点、的坐标得,直线的表达式为:,
设点,则点,
则,
,
故有最大值,
此时,则,
即点;
存在,理由:
由点、的坐标得,直线的表达式为:,
过点作轴交轴于点,则,
,,
则,
即直线和关于直线对称,
则直线的表达式为:,
联立上式和抛物线的表达式得:,
解得:舍去或,
即点;
由点、的坐标得,直线的表达式为:,,
当为直角时,
则直线的表达式为:,
则点,
由点、的坐标得,,
故该点不符合题设要求;
当为直角时,
同理可得,点不符合题设要求;
当为直角时,
如下图,过点作轴于点,
为等腰三角形,
则,,
,,
,
,
≌,
则,,
而,
即点.
综上,.
【解析】由待定系数法即可求解;
由,即可求解;
当为直角时,则直线的表达式为:,则点,由点、的坐标得,,故该点不符合题设要求;当为直角时,同理可得,点不符合题设要求;当为直角时,证明≌,即可求解.
第1页,共1页