2023-2024学年广东省湛江一中高一（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省湛江一中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若，，，则( )
A. B. C. D.
4.将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
5.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数，则方程在下列哪个区间上必有实数根( )
A. B. C. D. 不能确定
7.如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为米，摩天轮中心到地面的距离为米，每分钟按逆时针方向转动圈若初始位置是从距地面米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系设从点运动到点时所经过的时间为单位：分钟，且此时点距离地面的高度为单位：米，则是关于的函数当时，( )
A. B.
C. D.
8.设偶函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数的解析式
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 在区间上单调递增
D. 不等式的解集为，
12.已知函数则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在定义域上单调递减
D. 若实数，满足，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，则 ______．
14.已知，则的最大值是______．
15.若定义运算则函数的值域是______．
16.若实数，满足，，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期、图象的对称中心及其单调递减区间；
求函数在上的最值及其对应的的值．
18.本小题分
已知，且．
求的值；
求的值．
19.本小题分
已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且．
求的值，并求出的解析式；
若在上恒成立，求的取值范围．
20.本小题分
如图，计划依靠一面墙建一个植物角墙长为用栅栏围成四个相同的长方形区域种植若干种植物．
若每个长方形区域的面积为，要使围成四个区域的栅栏总长度最小，每个长方形区域长和宽分别是多少米？并求栅栏总长度的最小值；
若每个长方形区域的长为，宽为长的一半每米栅栏价格为元，区域的重建费用为每平方米元要使总费用不超过元，求长方形区域的长的取值范围．
21.本小题分
已知函数．
若的定义域为，求的取值范围；
若的值域为，求的取值范围；
设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围．
22.本小题分
设，函数．
讨论函数的零点个数；
若函数恰有两个零点，，求证：．
答案解析
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17.解：由函数，可得函数最小正周期为，
令，解得，所以对称中心为，
再令，解得，
所以函数的减区间为．
解：因为，所以，
所以当，即时，函数有最小值为，
当，即时，函数有最大值为．
18.解：因为，
所以，
又，
所以，
所以，
所以，
所以；
，
，
则．
19.解：解：因为是偶函数，所以，解得，
当时，可得，可得，
所以函数的解析式为．
解：由知，当时，，
因为在上恒成立，
即，
又因为，
当且仅当时，即时等号成立，
所以，即的取值范围是．
20.解：设每个长方形区域的长为，
则宽为，
栅栏总长为，当且仅当，即时等号成立，
故每个长方形区域的长和宽分别为和时，栅栏总长度最小，且最小值为；
由题可知每个长方形区域的长为，宽为，，
则长方形区域的面积为，栅栏总长为，
总费用，
又总费用不超过元，
，解得，
又，
，
故的取值范围为
21.解：函数的定义域为，
即在上恒成立，则满足，解得，
所以实数的取值范围是；
解：函数的值域为，
则满足，解得或，即实数的取值范围；
解：因为且，可得在上单调递增，
所以，，
所以对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，，所以，
当，即时，，解得，所以无解；
当，即时，解得，所以，
综上，实数的取值范围是．
22.解：由，
令，因为，可得，且，
令，即，又因为
当或，即时，此时无解；
当，即时，仅有一解，此时仅有一解；
当，即时，有两解，
因为各有一解，此时恰有两个零点，
综上可得，当时，无零点；当时，恰有一个零点；当时，恰有两个零点．
证明：若恰有两个零点，时，
令，，所以，为的两解，
所以，所以，所以，
由，可得，，所以，则，
所以；
由，可得，所以，
因为在上单调递减，可得，所以．
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