2023-2024学年河南省新乡市封丘一中高一（下）第二次段考数学试卷（含答案）

2023-2024学年河南省新乡市封丘一中高一（下）第二次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知是夹角为的单位向量，则与的夹角( )
A. B. C. D.
3.圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美为了估算圣索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点三点共线处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣索菲亚教堂的高度约为( )
A. B. C. D.
4.已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知，，是空间中不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若与异面，则至多有一条与，都垂直
C. 若，，，则一定平行于和
D. 若，，，则存在同时垂直，
7.古代数学名著九章算术商功中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，分别为棱，的中点，为棱上的动点，且线段的长度最小值为，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 若复数则复数在复平面内对应的点位于第一象限
B. 已知复数满足，则
C. 是关于的方程为实数在复数集内的一个根，实数的值为
D. 若复数满足若，且，则的最小值为
10.已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则为钝角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，的三角形有两解，则的取值范围为
11.已知平面平面，是，外一点，过点的直线与，分别交于，两点，过点的直线与，分别交于，两点，且，，，则的长为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量在基底下的坐标为，则向量在基底的坐标为______．
13.在中，，，，则______．
14.如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，测得从，到库底与水坝的交线的距离分别为，又测得的长为，的长为，则水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
平面内给定三个向量，，．
求满足的实数，．
若满足，且，求的坐标．
16.本小题分
如图，在平面四边形中，的面积为．
求；
若，求．
17.本小题分
如图，已知直角三角形的斜边平面，在平面上，，分别与平面成和的角，．
求到平面的距离；
求平面与平面的夹角．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．
设平面与直线相交于点，求证：；
若，，，求直线与平面所成角的大小．
19.本小题分
如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形．
求证：平面平面；
若圆锥底面半径为，高为，求点到平面的距离．
参考答案
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15.解：根据题意，向量，，，
若，则有，
解得
设，
由题意可得，
因为，则，
又，所以，
由解得或，
所以的坐标为或．
16.解：因为的面积为，
即，
解得；
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由正弦定理得，
解得．
．
17.解：过作，垂足为，过作，垂足为，连、、，
则，，
设到平面的距离为，因为平面，所以，
在直角三角形中，，所以，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，则，
得；
由知，，
则，
在中，，
由余弦定理可得：，
所以，
所以，
设平面与平面的夹角为，
所以，
故平面与平面的夹角为．
18.证明：平面与直线相交于点，平面平面，
四边形是菱形，，
平面，平面，平面，
平面，平面平面，；
解：连接，取中点，连接、，
菱形中，，，是等边三角形，
是中点，，
平面，平面，，
、平面，，平面．
是直线与平面的所成角，
是中点，，．
平面，平面，，
为中点，，中，，
等边中，高，
中，，可得，即直线与平面的所成角等于．
19.解：证明：连结交于点，
因为为圆锥顶点，为底面中心，
所以平面，
又因为平面，
所以，
因为为等边三角形，为中心，
所以，
因为，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
作，又，，
则平面，
又，，，
得，
所以点到平面的距离为．
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