2023-2024学年辽宁省名校联盟高二（下）月考数学试卷（6月份）（含答案）

2023-2024学年辽宁省名校联盟高二（下）月考数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.甲辰龙年新年伊始，“尔滨”成为旅游城市中的“顶流”，仅元旦假期，哈尔滨接待游客突破万人次，实现旅游收入亿元，冰雪大世界更是游客们必去打卡点之一小于、小智等个“南方小土豆”决定在冰雪大世界的雪花摩天轮、超级大滑梯、急速雪圈、雪地旋转个项目中选择个项目优先游玩体验若每个项目至少有个“小土豆”去优先体验，每个“小土豆”都会选择个项目优先体验，且小于、小智都单独人去某个项目，则不同的优先游玩体验方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.已知数列满足，则( )
A. B. C. D.
6.如图，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过次移动后，该质点位于的位置，则( )
A. B. C. D.
7.已知直线与曲线相切于点，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数满足，，当时，，函数，则下列结论错误的是( )
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 的最大值为
D. 的图象与直线有个交点
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 两个变量的线性相关性越强，则相关系数越大
B. 若随机变量，满足，则
C. 若随机变量服从正态分布，且，则
D. 已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
10.已知数列满足，，记数列的前项积为，前项和为，则( )
A. B.
C. D.
11.已知函数的零点是，，且，函数的零点是，，且，当时，则( )
A. B.
C. D. 存在，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若的展开式中项的二项式系数是，则展开式中所有项的系数和为______．
13.已知，，则的最小值为______．
14.已知函数，数列满足，函数的极值点为，且，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的频率分布直方图和列联表：
产品 合格 不合格 合计
调试前
调试后
合计
求列联表中，的值；
补充列联表，能否有的把握认为参数调试与产品质量有关；
常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比现从调试前、后的产品中任取一件，表示“选到的产品是不合格品”，表示“选到的产品是调试后的产品”，请利用样本数据，估计的值．
附：，．
16.本小题分
已知数列的前项积为，，且．
求的通项公式；
若存在，使得恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
不透明的袋子中装有个黑球、个红球、个白球除颜色外完全相同，现从中任意取出个球，再放入个红球和个黑球．
求取球、放球结束后袋子里红球的个数为的概率；
记取球、放球结束后袋子里黑球的个数为随机变量，求的分布列以及数学期望．
18.本小题分
已知数列满足，．
证明：数列是递增数列；
设数列的前项和为，证明：．
19.本小题分
平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置，基本不等式就是最简单的平均值不等式一般地，假设，，，为个非负实数，它们的算术平均值记为注：，几何平均值记为注：，算术平均值与几何平均值之间有如下的关系：，即，当且仅当时等号成立，上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式．
已知，求的最小值；
已知正项数列，前项和为．
当时，求证：；
求证：．
参考答案
1.
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14.
15.解：由调试前的频率分布直方图，可得不合格的概率为，
因为不合格品的数量为，所以调试前抽取的样本数量为，
因为合格的概率为，所以合格品的数量为，故．
由调试后的频率分布直方图，可得不合格的概率为，
因为不合格品的数量为，所以调试后抽取的样本数量为，
因为合格的概率为，所以合格品的数量为，故．
补充列联表：
产品 合格 不合格 合计
调试前
调试后
合计
，
所以有的把握认为参数调试与产品质量有关；
根据表格中的数据，可得．
16.解：因为，当时，，
所以，
又因为，所以，
由，，知数列中奇数项为负，偶数项为正，
所以，
所以．
因为存在，使得恒成立，
当为奇数时，，且，
所以；
当为偶数时，，且，
所以．
所以，
故的取值范围为．
17.解：设事件为“取球、放球结束后袋子里红球的个数为”，
则；
由题意可知，的可能取值为，，，，
则，，
，，
所以的分布列为：
则．
18.证明：，
所以即，故，
所以，故数列是递增数列．
由，得，
则，
所以，
所以
，
整理得．
19.解：因为，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
证明：因为，
所以由均值不等式可得，
且．
取，，，，再将之分别累积后得：．
证明：因为，
所以
，
因为，
所以，从而证明成立．
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