2023-2024学年黑龙江省实验中学高二（下）月考数学试卷（6月份）（含答案）

2023-2024学年黑龙江省实验中学高二（下）月考数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知数列满足，，则( )
A. B. 或 C. 或 D.
3.若：，则成立的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
4.已知等比数列的前项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
5.若，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数满足，且的导函数，则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是( )
A. 函数的增区间是，
B. 函数的减区间是，
C. 是函数的极小值点
D. 是函数的极小值点
11.已知函数有两个极值点和，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若数列满足，为常数，则称数列为调和数列已知数列为调和数列，且，则的最大值为______．
13.已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是______．
14.已知是自然对数的底数若，成立，则实数的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为
求实数的值；
若，，，求的最小值．
16.（15分）已知函数，，若在处与直线相切．
求，的值；
求在其中为自然对数的底数上的最大值和最小值．
17.（15分）设为等差数列的前项和，已知，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.（17分）已知数列的前项和为，，当，且时，．
证明：为等比数列；
设，记数列的前项和为，若，求正整数的最小值．
19.（17分）已知函数．
讨论函数的单调性；
若函数存在两个极值点，，记，求的取值范围．
参考答案
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15.解：函数的值域为，
只有一个根，即则．
不等式的解集为
即为的解集为
则的两个根为，
；
，，
．
当且仅当时，的最小值为．
16.解：函数，
，
函数在处与直线相切，
，解得；
由可得，
，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得极大值即最大值，
所以，
又，，
所以．
17.解：设等差数列的公差为，，且，，成等比数列．
，，即，
解得，；舍去．
，；
．
由可得：，
，
，
数列的前项和，
，
相减可得：，
化为．
18.证明：当时，，
所以，即，
又，
故对都成立，且，
所以是首项为，公比为的等比数列．
解：由知：，则，
所以，
则，即，
所以，可得，而，故，正整数的最小值为．
19.解：由题意，，
当或，即时，，为增函数；
当时，由得，不妨设，
由得或，由得，
故时，的单调递增区间为，，单调递减区间为
由知当时，，是的两个根，
即函数存在的两个极值点，，且，，
所以，，
令，，，当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，故，
又时，，时，，
故，
即的取值范围是
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