21.2解一元二次方程 自主学习同步练习题（无答案） 2024-2025学年人教版九年级数学上册

2024-2025学年人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》
自主学习同步练习题
一、单选题
1．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上的是（　　）
A． B． C． D．
4．用求根公式解一元二次方程时，，的值是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（　　）
A． B．或 C． D．或
6．关于x的一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C．2024 D．2025
8．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为20，则该菱形两对角线长分别为（ ）
A．3与11 B．4与10 C．2与10 D．5与8
二、填空题
9．方程的一个较小的根为 ．
10．关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则两根之和为 ．
11．一元二次方程和所有实数根的和为 ．
12．在解方程时，小王看错了m，解得方程的根为6与；小李看错了n，解得方程的根为2与，则原方程的解为 ．
13．已知的两根为2，3，则的两个根分别为 ．
14．设，是的两根，则 ．
15．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
16．定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：①如果是的倒方程的解，则；②如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；③如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填序号）
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．已知关于的一元二次方程．
(1)当时，求方程的解；
(2)若该方程有实数根，求的取值范围．
19．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值
20．已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
(2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形；
(3)当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长．
21．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
∴，，则
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则___________；
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值．
参考答案
1．解：A、 ，
方程没有实数根，不符合题意；
B、 ，
方程有两个相等的实数根，不符合题意；
C、 ，
方程有两个不相等的实数根，符合题意；
D、 ，
方程没有实数根，不符合题意；
故选：C．
2．解：整理方程得，
∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故选：C．
3．解：、∵，
∴，故本选项错误；
、∵，
∴，故本选项正确；
、∵，
∴，故本选项错误；
、∵，
∴，故本选项错误；
故选：．
4．解：，
，
则，，，
故选：C
5．C解：把代入得，
，
，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
6．解：∵一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根，
∴一元二次方程的解为，
∴，
∴，
∴，
∴，，，故A、B、C正确，不符合题意；
∵，故D错误，符合题意；
故选：D．
7．解：∵、是方程的两个实数根，
∴，，
即，
∴
，
故选：A．
8．解：设菱形的两条对角线长分别为，即的两根为，
由题意得：，
∵菱形面积为20，
∴，解得：，
∴一元二次方程为，
整理得，
解得，
∴该菱形两对角线长分别为4与10，
故选：B．
9．解：由原方程，得
，
解得，，．
，即
，即方程的一个较小的根为．
故答案为：．
10．解：∵方程的其中一根为，
∴，
解得，
∴方程为，
∴两根之和为．
故答案为：．
11．解：由，
得到：，，，
，即方程有两个不等的实数根，
设两根分别为和，
则；
由，
找出，，，
，
此方程没有实数根．
综上，两方程所有的实数根的和为．
故答案为：
12．解：根据根与系数关系得
，，
解得：，，
∴原方程为，
，
或，
∴，，
故答案为：，．
13．解：∵的两根为2，3，
∴，
∴，
∴方程即为，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
14．解：∵，是的两根，
∴，，，，
∴，，
∴
，
故答案为：．
15．解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且，
故答案为：且．
16．解：的倒方程为：，
把代入，得：
，解得：；故①正确；
∵无解，
∴，
∴，
∵的倒方程为，也是一元二次方程，
∴，
∴没有实数根，故②正确；
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
当，时，满足要求，
此时的倒方程为一元一次方程，故③错误；
故答案为：①②．
17．（1）解：，
移项，得：，
配方，得：，
即，
开方，得，
∴，；
（2），
移项，得：，
因式分解，得，
∴或，
∴，．
18．（1）解：当时，原方程可化为，
配方，得，
解得；
（2）解：∵该方程有实数根，
∴，
解得，
即若该方程有实数根，的取值范围是．
19．（1）解：∵一元二次方程有实数根．
∴，即，
解得；
（2）解：∵方程的两个实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
20．（1）解：∵，
∴
；
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）由题意，得：，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴
，
解得：或（不合题意，舍去）；
∴；
（3）①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得：
，
∴，
∴方程为：，
解得：，
∴等腰三角形的三边为：，
∴周长为：；
②当为底边时，则方程有2个相同的实数根，
∴，
∴，
∴方程为：，
解得：，
∴等腰三角形的周长为：；
综上：周长为11或13．
21．（1）解：一元二次方程的两个根为，
，，
∴，
故答案为：；
（2）解：一元二次方程的两根分别为、，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：实数、满足，，
与看作是方程的两个实数根，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．