选择必修 第一章 1.4.1用空间向量研究直线、平面位置关系 2空间中直线、平面的平行 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
选择必修 第一章
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
2.空间中直线、平面的平行
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系． 1.数学抽象素养和空间直观素养.
2.掌握利用向量方法证明直线与平面、平面与平面平行． 2.空间直观素养和逻辑推理素养.
温故知新
1.空间中点、直线和平面的向量表示
点→点+位置向量
线→点+方向向量
平面→点+法向量
①设法向量：设出平面的法向量=(x，y，z)；
②选向量：取平面内两个不共线的向量=(a1，b1，c1)，=(a2，b2，c2)；
③列方程组：由列出方程组；
④解方程组：；
⑤取一组非零解，得法向量.
2.求平面法向量的步骤：
新知引入
上一节,我们学习了空间中点、直线、平面的的向量表示方法.以及平面法向量的求法，这节课我们用空间向量来证明线线、线面、面面间的平行关系.
我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量．那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？首先来看平行的问题．
新知探究
由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？
l1
l2
如图，设、分别是直线l1，l2的方向向量. 由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行. 所以
l1∥l2 ∥
λ∈R,使得=λ.
利用向量证明线线平行的思路.
证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可.
x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2.
新知探究
类似地，如图1，设是直线l的方向向量,是平面α的法向量，l α，则
l
图1
l∥α ⊥ .
=0
x1x2+y1y2+z1z2=0.
证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；
(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
新知探究
图2
如图2，设、分别是平面α，β的法向量，则
α∥β ∥ .
λ∈R,使得=λ
x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2 .
证明面面平行问题的方法
(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．
新知探究
【例1】已知直线l的方向向量=(-1,1,1),平面α的法向量，若直线l∥平面α，则x的值为（ ）
A.-2 B.- C. D.
解：
∵直线l∥平面α，
∴⊥，即
∴=0,即,
故选D.
解得,
D
初试身手
1.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　)
A.a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0) B.a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)
C.a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1) D.a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1).
解：
只有D选项中，a·n＝－3＋3＝0
若l∥α，则a·n＝0.
而A选项中，a·n＝－2，不满足条件，
B选项中，a·n＝1＋5＝6，也不满足条件，
故选D.
C选项中，a·n＝－1，也不满足条件，
D
新知探究
【例2】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，
求证：⑴FC1∥平面ADE；
⑵平面ADE∥平面B1C1F.
证明：
如图所示建立空间直角坐标系D－xyz，则有
D(0，0，0)、A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，
∴＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，2，1).
⑴设＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则
,即.
D1
D
A
B
C
A1
B1
C1
z
y
E
F
令y1=1,则z1=-2,=(0,1,-2),
∵＝2×1＋1×(-2)＝0,
∴.
则FC1∥平面ADE.
新知探究
【例2】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，
求证：⑴FC1∥平面ADE；
⑵平面ADE∥平面B1C1F.
证明：
∵＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，
,即.
D1
D
A
B
C
A1
B1
C1
z
y
E
F
令y2=1,则z2=-2,=(0,1,-2),
∵,
∴平面ADE∥平面B1C1F.
⑵设＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量，则
新知探究
【例3】证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
分析：设平面α的法向量为，直线a，b的方向向量分别为 ，则由已知条件可得，由此可以证明与平面β内的任意一个向量垂直，即也是β的法向量.
已知：如图，a β，b β，a∩b=P，a//α，b//α，求证：α//β.
a
b
P
新知探究
【例3】证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
已知：如图，a β，b β，a∩b=P，a//α，b//α，求证：α//β.
a
b
P
证明：
如图，平面α的法向量为，直线a，b的方向向量分别为 ，
∵a//α，b//α，
∴，
∵a β，b β，a∩b=P，
∴对于任意点Q∈β，存在x，y∈R，使得.
从而.
∴也是β的法向量.故α//β.
新知探究
【例4】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2. B1C上是否存在点P，使得A1P//平面ACD1
分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量，以及平面ACD1的法向量等都可以用坐标表示. 如果点P存在，那么就有 ，由此通过向量的坐标运算可得结果.，
新知探究
【例4】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2. B1C上是否存在点P，使得A1P//平面ACD1
解：
以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系.则
∴，
设是平面ACD1的法向量，则,,即
.
∴
取z=6,则x=4,y=3.
A(3,0,0)、C(0,4,0)、D1(0,0,2)
∴(4,3,6)是平面ACD1的一个法向量.
新知探究
【例4】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2. B1C上是否存在点P，使得A1P//平面ACD1
解：
由A1，C，B1的坐标分别是(3,0,2),(0,4,0),(3,4,2),得
设点P满足(0≤λ≤1)，则=(-3λ,0,-2λ),
∴=(-3λ,4,-2λ),
令,得-12λ+12-12λ=0，解得λ=，此时A1P 平面ACD1,这样的点P存在.
=(0,4,0),=(-3,0,-2),
∴当，即P为B1C的中点时，A1P//平面ACD1.
初试身手
2.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PA∥平面EDB．
证明：
如图,以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系.设PD=DC=1，则D(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0),
E(0,,),
∴(0,,),（1，，-）,
，即
设=(x,y,z)是平面EDB的法向量，则有
令z=1,则x=1,y=-1.=(1,-1,1)，
又PA 平面EDB，
∴
∵=(1,0,-1),
∴=0,
∴PA∥平面EDB.
初试身手
3.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.在AB上是否存在点D，使得AC1∥平面CDB1．
解：
由AC＝3，BC＝4，AB＝5，得∠ACB=90°,即AC⊥BC.
由三棱柱是直三棱柱，得CC1⊥平面ABC,
如图，以C为原点建立空间直角坐标系,则C（0,0,0）,A(3,0,0),
B(0,4,0),C1(0,0,4),B1(0,4,4),
∴，即
设=(a,b,c)是平面CDB1的一个法向量，
令b=-x,则a=y,c=x.
∴=(y,-x,x).
假设存在点D(x,y,0),使得AC1∥平面CDB1．
则=(x,y,0),=(0,4,4),
初试身手
3.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.在AB上是否存在点D，使得AC1∥平面CDB1．
解：
即4x+3y=12, ②
由D在AB上，A(3,0,0),B(0,4,0),得,
联立①②可得x=,y=2,
∴D(,2,0),即D为AB的中点.
而=(-3,0,4)．
则=0,
即-3y+4x=0, ①
则在AB上存在点D，使得AC1∥平面CDB1．此时，点D为AB的中点.
课堂小结
1.空间两条直线平行
2.空间线面平行
l1∥l2 ∥
λ∈R,使得=λ.
x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2.
l∥α ⊥ .
=0
x1x2+y1y2+z1z2=0.
3.空间面面平行
α∥β ∥ .
λ∈R,使得=λ
x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2 .
作业布置
作业： P31 练习 第2,3题
P42 习题1.4 第3，4题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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