2024年山东省泰安市中考数学真题（含答案）

2024年山东省泰安市中考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.下面图形中，中心对称图形的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.据泰山景区年月日消息，年泰山景区累计接待进山游客超万人次，同比增长，刷新了历年游客量最高纪录数据万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5.如图，直线，等边三角形的两个顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.我国古代四元玉鉴中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若，，试问买甜果苦果各几个？
若设买甜果个，买苦果个，可列出符合题意的二元一次方程组，根据已有信息，题中用“，”表示的缺失的条件应为( )
A. 甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B. 甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C. 甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D. 甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
9.如图，中，，分别以顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论：
；
垂直平分线段；
；
．
其中，正确结论的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为，则阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
11.如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是则下列结论：；方程一定有一个根在和之间；方程一定有两个不相等的实数根；其中，正确结论的个数有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
12.如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结当点在直线上运动时，线段的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.单项式的次数是______．
14.某学校在月日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从西游记、骆驼祥子、水浒传中随机选择一本，小颖准备从西游记、骆驼祥子、朝花夕拾中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是______．
15.在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机如图，无人机在河上方距水面高米的点处测得瞭望台正对岸处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高米图中点，，，在同一平面内那么大汶河此河段的宽为______米参考数据：，，，
16.如图，小明的父亲想用长为米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园已知房屋外墙长米，则可围成的菜园的最大面积是______平方米．
17.如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连结交于点，延长与相交于点若，，则的长为______．
18.如图所示，是用图形“”和“”按一定规律摆成的“小屋子”．
按照此规律继续摆下去，第______个“小屋子”中图形“”个数是图形“”个数的倍．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：；
化简：．
20.本小题分
某超市打算购进一批苹果现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取个，测得它们的直径单位：，并制作统计图如下：
根据以上信息，解答下列问题：
统计量
供应商 平均数 中位数 众数
甲
乙
则 ______， ______， ______．
苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，______供应商供应的苹果大小更为整齐填“甲”或“乙”
超市规定直径含以上的苹果为大果超市打算购进甲供应商的苹果个，其中，大果约有多少个？
21.本小题分
直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点．
求直线的表达式；
若，请直接写出满足条件的的取值范围；
过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积．
22.本小题分
随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
23.本小题分
综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．
【探究发现】
同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图，把矩形纸片翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边上，折痕为，将纸片展平，连结与相交于点同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【拓展延伸】
同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图，是平行四边形纸片的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点都落在对角线上，折痕分别是和将纸片展平，连结，，同学们探究后发现，若，那么点恰好是对角线的一个“黄金分割点”，即请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
24.本小题分
如图，在等腰中，，，点，分别在，上，，连结，，取中点，连结．
求证：，；
将绕点顺时针旋转到图的位置．
请直接写出与的位置关系：______；
求证：．
25.本小题分
如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点，点．
求抛物线的表达式；
将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；
在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】解：；
；
．
20.【答案】 甲
21.【答案】解：分别将点、点代入中，
即，，
解得：，，
点坐标为，点坐标为，
把点坐标，点坐标分别代入，
即
一次函数表达式为．
由图象可知，
当时，或．
把时代入中，
得，
点坐标为，
，
．
22.【答案】解：设甲组有名工人，则乙组有名工人，
根据题意得：，
解答：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲组有名工人，乙组有名工人．
23.【答案】解：正确，理由如下，
作于点，
，
，
．
，
，
又，
∽．
．
是矩形，，
四边形是矩形．
．
．
同学们的发现说法正确，理由如下，
，
，，
由折叠知，
．
．
，
由平行四边形及折叠知，，
，
即点为的一个黄金分割点．
24.【答案】
25.【答案】解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
由题意得：：，
当时，，
故点在抛物线上；
存在，理由：
当为直角时，
如图，过点作且，则为等腰直角三角形，
，，
，
，
≌，
则，，
则点，
当时，，
即点在抛物线上，
即点即为点；
当为直角时，如图，
同理可得：≌，
则，，
则点，
当时，，
即点在抛物线上，
即点即为点；
当为直角时，如图，
设点，
同理可得：≌，
则且，
解得：且，即点，
当时，，
即点不在抛物线上；
综上，点的坐标为：或．
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