2024年四川省广元市中考数学真题（含解析）

2024年四川省广元市中考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将在数轴上对应的点向右平移个单位，则此时该点对应的数是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.一个几何体如图水平放置，它的俯视图是( )
A. B. C. D.
4.在“五四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：，，，，，，，分析这组数据，下列说法错误的是( )
A. 中位数是 B. 方差是 C. 众数是 D. 平均数是
5.如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
6.如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，点恰好落在线段上，若，，则的长为( )
A. B.
C. D.
8.我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买、两种绿植，已知种绿植单价是种绿植单价的倍，用元购买的种绿植比用元购买的种绿植少株设种绿植单价是元，则可列方程是( )
A. B.
C. D.
9.如图，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为( )
A. B. C. D.
10.如图，已知抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：；方程有两个不相等的实数根；；；其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：______．
12.年月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”什么是阿秒？阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是阿秒，将阿秒用科学记数法表示为______秒
13.点是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点，则的度数为______．
14.若点满足，则称点为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标______．
15.已知与的图象交于点，点为轴上一点，将沿翻折，使点恰好落在上点处，则点坐标为______．
16.如图，在中，，，则的最大值为______．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
先化简，再求值：，其中，满足．
19.本小题分
如图，已知矩形．
尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点，交于点；不写作法，保留作图痕迹
连接、，求证：四边形是菱形．
20.本小题分
广元市开展“蜀道少年”选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道、了解蜀道、热爱蜀道、宣传蜀道，进一步挖掘和传承古蜀道文化、普及蜀道知识，为此某校开展了“蜀道文化知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析竞赛成绩用表示，总分为分，共分成五个等级：：；：；：；：；：并绘制了如下尚不完整的统计图．
抽取学生成绩等级人数统计表
等级
人数
其中扇形图中等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是．
样本容量为______， ______；
全校名学生中，请估计等级的人数；
全校有名学生得满分，七年级人，八年级人，九年级人，从这名学生中任意选择两人在国旗下分享自己与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法求这两人来自同一个年级的概率．
21.本小题分
小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率；
现有一块与中折射率相同的长方体介质，如图所示，点，、、分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点处射入，其折射光线恰好从点处射出，如图，已知，，求截面的面积．
22.本小题分
近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：
价格类别 短款 长款
进货价元件
销售价元件
该服装店第一次用元购进长、短两款服装共件，求两款服装分别购进的件数；
第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共件进货价和销售价都不变，且第二次进货总价不高于元服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
23.本小题分
如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，为坐标原点，连接，．
求与的解析式；
当时，请结合图象直接写出自变量的取值范围；
求的面积．
24.本小题分
如图，在中，，，经过、两点，交于点，的延长线交于点，交于点．
求证：为的切线；
若，，求的半径．
25.本小题分
数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段小强在学习相似一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形如图产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在中，点为边上一点，连接．
初步探究
如图，若，求证：；
尝试应用
如图，在的条件下，若点为中点，，求的长；
创新提升
如图，点为中点，连接，若，，，求的长．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过点，与轴交于点．
求抛物线的函数表达式；
在直线上方抛物线上有一动点，连接交于点，求的最大值及此时点的坐标；
作抛物线关于直线上一点的对称图象，抛物线与只有一个公共点点在轴右侧，为直线上一点，为抛物线对称轴上一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标．
答案解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得，
所以在数轴上对应的点向右平移个单位，此时该点对应的数是，
故选：．
将在数轴上对应的点向右平移个单位，可列算式，求得此时该点对应的数是，于是得到问题的答案．
此题重点考查数轴、有理数的运算等知识，根据题意正确地列出算式是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据完全平方式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了完全平方式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：从上面看，是一个正方形，正方形内部有一条捺向的对角线实线．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示，看不见的棱用虚线表示．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4.【答案】
【解析】解：把这组数据从小到大排列为，，，，，，，
故中位数是，故选项A说法正确，不符合题意；
平均数为，故选项D说法正确，不符合题意．
方差为，故选项B说法错误，符合题意；
众数是，故选项C说法正确，不符合题意；
故选：．
根据平均数、中位数、众数及方差的定义逐一计算即可判断．
本题考查了方差、众数、平均数、中位数，解答本题的关键是掌握相关统计量的定义．
5.【答案】
【解析】解：，
，
四边形是的内接四边形，
，
．
故答案为：．
根据圆周角定理先求出，再根据圆内接四边形的性质求出的度数，最后根据邻补角的定义即可求出答案．
本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：因为单项式与单项式的和仍是一个单项式，
所以，，
解得，，
所以点所在的象限为第四象限．
故选：．
根据两个单项式的和仍是一个单项式，可求出，的值，进而得出点所在象限．
本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意求出，的值并熟知每个象限内点的坐标特征是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，连接，
将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，点恰好落在线段上，
，，，
又，，
，
，
故选：．
连接，根据旋转的性质得出，，，再根据勾股定理求出的长，最后在等腰直角三角形中解直角三角形求出的长即可．
本题主要考查了旋转的性质，熟记旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：种绿植单价是种绿植单价的倍，种绿植单价是元，
种绿植单价是元．
根据题意得：．
故选：．
根据，两种绿植单价间的关系，可得出种绿植单价是元，利用数量总价单价，结合用元购买的种绿植比用元购买的种绿植少株，即可列出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：当点运动到处时，的面积，
即，
即，
又由图象可知，点从点出发沿以的速度匀速运动至点的时间为，
即，
，
，
，
，
．
故选：．
由面积公式和图象可知，，再根据完全平方公式即可得出的值，进而得出答案．
本题主要考查动点问题的函数图象，根据图象得到有用信息是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：抛物线开口向上，，，
当时，，
故不符合题意；
抛物线过点，
函数的最小值，
有两个不相等的实数根；
方程有两个不相等的实数根；
故符合题意；
，，
抛物线的对称轴为直线，且，且，而，
，
，
故不符合题意；
抛物线过点，
，
时，，即，当时，，
，
，
，
故符合题意；
：，，
，
由根与系数的关系可得：，，
，
，
，
故符合题意；
综上，正确，符合题意，正确个数有三个．
故选：．
根据题干条件逐一判断每一个小选项即可．
本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、根的判别式、抛物线与轴交点问题等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
首先利用完全平方把展开，然后再合并同类项，再利用完全平方公式进行分解即可．
此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：．
12.【答案】
【解析】解：阿秒是秒，
阿秒．
故答案为：．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
本题主要考查了科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
13.【答案】
【解析】解：由正五边形的性质可知，是正五边形的对称轴，
，
是正五边形的外角，
，
，
故答案为：．
由正五边形的对称性得出是正五边形的对称轴，进而得到，再求出正五边形的外角的度数，由三角形内角和定理即可得出答案．
本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的关键．
14.【答案】答案不唯一，满足且，
【解析】解：根据题意得：，即，
当，时，“美好点”的坐标为答案不唯一，满足且，．
故答案为：答案不唯一，满足且，．
根据“美好点”的定义，把已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算后，得到与的关系式，写出一个即可．
此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由题意，在上，
．
又在反比例函数上，
．
反比例函数为．
由翻折的性质，，
可设为，
为．
设直线与直线的交点为，
．
．
又与关于直线对称，且，
．
又在反比例函数上，
．
或舍去．
．
故答案为：．
依据题意，由在上，可得，故A，又在反比例函数上，进而可得，进而可得反比例函数为，再由翻折的性质，，进而可设为，则为，设直线与直线的交点为，建立求出，又与关于直线对称，且，可得，又在反比例函数上，最后可得，求出可以得解．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
16.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，如图所示：
，
在中，设，则，由勾股定理可得，
，即，
，
延长到，使，连接，如图所示：
，
，，
是等腰直角三角形，则，
在中，，，
由辅助圆定弦定角模型，作的外接圆，如图所示：
由圆周角定理可知，点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，根据圆的性质可知，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，如图所示：
是的直径，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，则由勾股定理可得，即的最大值为，
故答案为：．
过点作，垂足为，如图，首先推导出；延长到，使，连接，如图，得到；由辅助圆定弦定角模型，作的外接圆，如图，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，最后由勾股定理可得．
本题考查胡不归问题，勾股定理，等腰直角三角形，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握动点最值问题定弦定角模型的解法是解决问题的关键．
17.【答案】解：原式
．
【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：原式
，
，
，
原式．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】解：如图所示：
证明：如图设与的交点为，由可知，直线是线段的垂直平分线，
，，
，
，
又四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是菱形．
【解析】根据要求作出图形；
证明四边相等可得结论．
本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】
【解析】解：样本容量为：，
，
故答案为：，；
名，
答：全校名学生中，估计等级的人数有名；
把七年级人记为，八年级人分别记为、，九年级人分别记为、，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中选择的两人来自同一个年级的结果有种，即、、、，
这两人来自同一个年级的概率．
由等级的人数除以所占比例得出样本容量，即可得出的值；
由全校学生人数乘以等级的人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中选择的两人来自同一个年级的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及扇形统计图和统计表等知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：，
如图，设，则，
由勾股定理得，，
，
又，
，
折射率为：；
由题意可得，折射率为，
，
，
四边形是矩形，点是中点
，，
又，
，
在中，设，，由勾股定理得，，
，
，
，
截面的面积为：．
【解析】根据，求出，再计算出，直接按照折射率公式计算即可；
首先根据，折射率为，算出，即，在中，设，，可算出，得到 ，又因为四边形是矩形，点是中点，故AD，直接算矩形面积即可．
本题属于解直角三角形的应用问题，根据三角函数正确计算是解题的关键．
22.【答案】解：由题意，设购进短款服装件，购进长款服装件，
．
．
答：长款服装购进件，短款服装购进件．
由题意，设第二次购进件短款服装，则购进件长款服装，
．
．
又设利润为元，
则．
随的增大而减小．
当时，利润最大为：元．
答：当购进件短款服装，件长款服装时有最大利润，最大利润是元．
【解析】依据题意，设购进短款服装件，购进长款服装件，可得 ，计算即可得解；
依据题意，设第二次购进件短款服装，则购进件长款服装，从而，故，又设利润为元，进而，再结合一次函数的性质，即可判断得解．
本题主要考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
23.【答案】解：反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点
，
，
点，，
，
，
把，，代入得，
解得，
；
由图象可知，当时，自变量的取值范围为或；
若与轴相交于点，
，
．
【解析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，求得，进一步利用待定系数法求得与的解析式；
根据图象即可求解；
利用即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
24.【答案】证明：连接，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
为的切线；
解：过点作于点，
为等腰直角三角形，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
．
故的半径为．
【解析】连接，根据等腰直角三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到根据切线的判定定理得到为的切线；
过点作于点，根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】证明：如图，，，
∽，
，
．
解：如图，设，
点为中点，
，，
由得∽，
，
，
或不符合题意，舍去，
，
，
，
的长是．
解：如图，作交的延长线于点，则，
点为中点，
，
设，
，
，，
，
，
，，
，，
作交的延长线于点，则∽，
，
，，
，，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
解得，
，
的长是．
【解析】由，，证明∽，得，则；
设，则，，根据相似三角形的性质得，则，求得，所以，而，则；
作交的延长线于点，设，则，再证明，所以，求得，，则，，作交的延长线于点，则∽，所以，则，，再证明∽，得，则，，所以，则，求得．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
26.【答案】解：将，代入，
得：，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
如图，过点作轴的垂线交于点，则轴，
∽，
，
设的解析式为，
把，代入解析式得，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，有最大值，此时的最大值为，
此时点的坐标为；
由中心对称可知，抛物线与的公共点为直线与抛物线的右交点，
当时，解得舍或，
，
抛物线：的顶点坐标为，
抛物线的顶点坐标为，
设，
当为平行四边形的对角线时，，解得，
；
当为平行四边形对角线时，，
；
当为平行四边形的对角线时，时，解得，
；
综上所述：点坐标或或．
【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
过点作轴的垂线交于点，则轴，可知∽，由此得到，设，则，所以，当时，有最大值，此时的最大值为，此时点的坐标为；
由中心对称可知，抛物线与的公共点为直线与抛物线的右交点，求出，抛物线的顶点坐标为，设，当为平行四边形的对角线时，；当为平行四边形对角线时，；当为平行四边形的对角线时，．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，三角形相似的判定及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
第1页，共1页