青海省海东市民和回族土族自治县城西高级中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题（含答案）

民和县城西高级中学2024年春季学期6月月考
高二数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名 准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某大学食堂备有4种荤菜 8种素菜 2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ）
A.14 B.64 C.72 D.80
2.下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数；
②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置；
③某派出所一天内接到的报警电话次数；
④某同学上学路上离开家的距离.
其中是离散型随机变量的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
4.函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.色差和色度是衡量毛线玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ）
色差 21 23 25 27
色度 15 18 19 20
A.23.4 B.23.6 C.23.8 D.24.0
6.在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为（ ）
A.1600 B.1800 C.2100 D.2400
7.3600的正因数的个数是（ ）
A.55 B.50 C.45 D.40
8.设等比数列的公比为，设甲：；乙：，则（ ）
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.已知，则的可能取值为6
B.已知，则的可能取值为7
C.在的二项展开式中，常数项是45
D.在的二项展开式中，常数项是210
10.下列说法正确的是（ ）
A.抛物线的准线方程是
B.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是
C.双曲线与椭圆的焦点相同
D.是双曲线上一点，点是双曲线的焦点，若，则
11.一个盒子中装有3个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：）与时间（单位：min）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为__________.
13.若直线与直线平行，则直线与的距离为__________.
14.有甲 乙两个班级共计100人进行物理考试，按照大于等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀 非优秀 总计
甲班 10
乙班 30
已知在全部100人中随机抽取1人，成绩非优秀的概率为，则下列说法正确的是__________.
①列联表中的值为的值为40；
②列联表中的值为的值为50；
③根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；
④根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”.
附：，其中.
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知等差数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16.（本小题满分15分）
已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作斜率为4直线，交抛物线于两点，求.
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面是等边三角形，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
18.（本小题满分17分）
甲 乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲 乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为.
（1）求的分布列；
（2）请根据射击环数的期望及方差来分析甲 乙的射击技术.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）证明：；
（2）设，求证：对任意的，都有成立.
民和县城西高级中学2024年春季学期6月月考·高二数学
参考答案 提示及评分细则
1.B 因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，
所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法，
所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有种，故选B.
2.B 对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；
对于②，沿轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；
对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；
对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.故选B.
3.D 随机变量服从两点分布，设成功的概率为，
.故选D.
4.A 因为，所以所求切线的斜率为.由，得所求切线的方程为，整理为.故选A.
5.A 由题意可知，，
将，即，解得，
所以，
当时，，
则.故选A.
6.D 由题设，若表示数学考试成绩，则，而，
所以，故参加本次联考的总人数约为.故选D.
7.C 由题意，因此正因数的个数是.故选C.
8.C 考虑充分性：因为，当时，，所以，满足充分性；考虑必要性：，即，当，当时，正负交替，不可能恒大于0，当时，，当，满足必要性，所以甲是乙的充要条件，故选C.
9.ABC 因为，故或，得或，故A，B正确；
根据二项展开式的通项公式，令，解得，
，故C正确，D错误.故选ABC.
10.ACD 对于A，抛物线的准线方程是，故A正确；
对于B，当即时，方程表示圆，故B错误；
对于C，双曲线即，与椭圆的焦点均为，故C正确；
对于D，双曲线，顶点为，焦点为，
，而，则，故D正确，故选ACD.
11.BC 第一次取得黑球的概率；第一次取得白球的概率
第一次取黑球，第二次取黑球的概率；
第一次取黑球，第二次取白球的概率，故A错误；
第一次取白球，第二次取黑球的概率；
第一次取白球，第二次取白球的概率；
第二次取得黑球的概率；
第二次取得白球的概率；
，故B正确；
，
，故C正确；
，故D错误.故选BC.
12. 因为.故在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为.
13. 由于与平行，所以，即，解得或.
当时，两直线方程分别为，此时两直线重合，不符合题意；
当时，两直线方程分别为，所以直线与的距离为.
14.①④ 由题意得在全部100人中随机抽取1人，成绩非优秀的概率为，
则成绩非优秀的学生有人，甲班有40人，则乙班30人，即，
成绩优秀的学生有30人，甲班由10人，则乙班有20人，即，
故①正确，②错误；
由列联表可得，
故按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”，（3）错误，（4）正确.
15.解：（1）设公差为，由得，解得
故；
（2）由得，
故.
16.解：（1）由题意知，，抛物线的准线为，
所以焦点关于的准线的对称点为，所以，
解得，
所以抛物线的方程为；
（2）由（1）知，所以直线的方程为.
设，由得，所以，
所以.
17.（1）证明：是等边三角形，为的中点.
是等边的中线，，
平面平面，
平面平面平面；
（2）解：取的中点，连接平面，
平面，
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，
则，
.
设平面的法向量为，
由
令，则.
显然平面的一个法向量为，
，
故平面与平面夹角的余弦值为.
18.解：（1）由题意得，解得.
，解得，
所以的分布列为
10 9 8 7
0.4 0.2 0.2 0.2
的分布列为
10 9 8 7
0.3 0.3 0.2 0.2
（2）由（1）得；
，
.
由于，说明甲射击的环数的期望比乙高，但成绩没有乙稳定.
19.证明：（1）设，定义域为，
则，令，解得，
当时，在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递增.
所以，所以成立；
（2），
要证，即证，
即证，即证，即证，
令，原不等式等价于，即，
设，则，所以在区间上单调递增，所以，所以原不等式成立.