云南省昆明市嵩明县昆一中嵩明学校(嵩明县第一中学）2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题（含答案）

2026届昆一中嵩明学校高一6月份月考
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名 准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册第六章一第九章.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，它们的夹角为，则（ ）
A.10 B. C. D.13
3.已知，则的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
4.下列叙述中，错误的是（ ）
A.数据的标准差比较小时，数据比较分散
B.样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响
C.数据的极差反映了数据的集中程度
D.任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变
5.在中，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
6.若函数为偶函数，则的取值为（ ）
A.0 B. C. D.
7.已知一个正棱台（正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形）的上 下底面是边长分别为的正方形，侧棱长为，则该棱台的表面积为（ ）
A.72 B.82 C.92 D.112
8.已知，则（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.当时，幂函数的图象在直线的上方，则的值可能为（ ）
A. B.-2 C. D.3
10.若复数（为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ）
A.的虚部为 B.的实部为1
C.在复平面上对应的点位于第一象限 D.
11.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某高中共有学生1000人，其中高一和高二各有400人，现采用按比例分配的分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为__________.
13.若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积为__________.
14.如图，在正三棱柱中，，则直线与直线所成角的正切值为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知函数是指数函数.
（1）求实数的值；
（2）解不等式：.
16.（本小题满分15分）
在中，分别是内角的对边，已知.
（1）求的大小；
（2）若，求的面积.
17.（本小题满分15分）
对某高校学生参加“走进敬老院送温暖”的活动次数进行统计，随机抽取名学生，得到这名学生参加此活动的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图.
分组 频数 频率
10 0.20
24
14 0.28
合计 1
（1）求出表中及图中的值；
（2）若该校有学生3000人，试估计该校学生参加此活动的次数在区间内的人数；
（3）估计该校学生参加此活动次数的众数 中位数及平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，所有结果保留一位小数）
18.（本小题满分17分）
已知向量不共线，向量.
（1）若，求的值；
（2）若为相互垂直的单位向量，且，求的值.
19.（本小题满分17分）
在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，分别为线段上一点，且.
（1）证明：；
（2）证明：平面，并求三棱锥的体积.
2026届昆一中嵩明学校高一6月份月考·数学
参考答案 提示及评分细则
1.B .
2.C 因为向量，它们的夹角为，所以，
所以.故选C.
3.C （当且仅当时取等号）.
4.A 数据的标准差比较小时，数据比较集中，故A错误；
样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响，故B正确；
数据的极差反映了数据的集中程度，故C正确；
任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故D正确.故选A.
5.A 的面积为.
6.B .
7.C 棱台的侧面是等腰梯形，高，
所以一个侧面积，
所以该棱台的表面积.故选C.
8.D 因为，所以或.若，则，此时（舍）；若，则，此时0（符合题意），所以，即.因为且，所以且，解得，则，所以.故选D.
9.AB 由题意，转化为当时，恒成立，可得，故选.
10.BC 因为复数，所以的虚部为5，实部为1，故A错误，B正确；，所以在复平面上对应的点为，位于第一象限，故C正确；，D错误.故选BC.
11.BD 若，则或，故错误；，则或异面，故C错误.故选BD.
12. .
13. 圆心角为，即，所以扇形的面积为.
14. 连接交于点，作点为的中点，连接，则与所成的角等于与所成的角，在中，.
15.解：（1）由题可知解得；
（2）由（1）得，
在上单调递增，
解得，故原不等式的解集为.
16.解：（1）由，
有.
又，
所以.
（2）由，有，
可得，得.，
的面积为.
17.解：（1）由分组对应的频数是10，频率是0.20，知，所以，
，解得，
所以；
（2）估计该校学生参加此活动的次数在区间内的人数为；
（3）估计该校学生参加此活动次数的众数是.
因为，所以估计该校学生参加此活动次数的中位数满足，
解得，所以该校学生参加此活动次数的中位数约为18.1，
由，
所以估计该校学生参加此活动次数的平均数是18.3.
18.解：（1）因为，所以.
因为，所以.
因为，所以存在实数，使得，
则，
解得.
（2）因为，所以，
因为，所以，
即.
因为为相互垂直的单位向量，所以，
则，即.
19.证明：（1）由得，
平面平面，平面平面，
平面.
又平面.
（2）在棱上取一点，使得.
，又，
四边形为平行四边形.
，又.
.
平面平面，又平面，
平面.
平面，且到平面的距离为.
.