湘教版数学八年级上册 2.1.1三角形边的关系 教学设计

《2.1.1 三角形的边》教学设计
一、教学目标
1．在小学阶段对三角形的认识的基础上，进一步了解三角形的定义、表示方法、有关概念及分类（按边）；
2．经历合作探究三角形三边关系的过程，渗透演绎推理的意识，发展逻辑推理能力；
3．会用三角形的三边关系解决简单问题；
4.体会数学与现实生活的联系，培养发现、观察、分析问题的能力.
二、教学重难点及方法
教学重点：三角形的三边关系的探究及其简单运用
教学难点：学生自主发现、提出、推导“两边之差小于第三边”。
教学方法：任务驱动
三、教学过程
（一）创设情景，引入新课
展示一组图片。
【学生活动】欣赏图片，说出这些图形形象的共性特征。
【设计意图】图片欣赏，自然引入三角形。从遥远国度的建筑物，到随处可见的装饰品，从巨大的钢架岸桥到微小的分子结构，到处都蕴含着三角形这种图形形象。
（二）合作交流，明确定义
请学生动手画一个三角形，并说一说是怎么画的。
【学生活动】经历定义三角形的过程，体验如何用数学的严谨方式定义一个研究对象。
【设计意图】三角形定义是一个操作性定义，在自己亲手画三角形的过程中，孩子们不难明白，“不在同一条直线上”，“首尾顺次相接”的含义。三角形是平面图形，“不在同一条直线上”，“首尾顺次相接”就是它的图形特征。在学生概括的过程中，教师通过问题的形式完善学生对三角形概念的归纳。小学阶段对三角形的认识仅停留在感性层面，对定义的认识要提升到理性层面，需要有一个过程。
（三）明晰内涵，提高认识
同学们，刚才这位同学画了三条线段，围成了三角形。是哪三条线段呢？我们怎么表示这三条线段呢？
【学生活动】学生主动对三个顶点进行字母表示
【教学内容】顺理成章地得出组成要素以及三角形的表示法。强化边的两种表示、三角形的角和角的区别，以及“△ABC”一般是按照字母顺序进行书写等细节。
【设计意图】得到了定义以后，接下来做什么？要素的定义和表示。从教材体系看，七年级学习线段和角。它们既是并列的，又是关联的。它们是平面几何图形并列的两个基本元素。与之前已有知识对照，有助于理解新知。
（四）感悟体验，形成分类
我们在七年级时，学习过两条线段的长短比较。让学生观察所画的三角形，判断三条线段的长短。
【学生活动】学生可能会有a>b>c，a>c>b，b>a>c，c>a>b，a=b≠c，b=c≠a，a=c≠b，a=b=c等等不同的写法。
【教学内容】引导学生从“相等不相等”的角度来概括归纳。
【学生活动】回忆等边和等腰三角形的概念，抓住定义对谁是谁的特殊情况进行辨析。
【教学内容】现在咱们能以“三角形的边”为分类标准，对所有三角形进行归类吗？
【学生活动】在刚才的基础上，更进一步完成分类。
【设计意图】先让学生对最容易混淆的等腰和等边三角形进行辨析，再进行全体三角形分类，可以有效突破难点，学生更易于接受。教师引导学生寻找是否“有两边相等”。有两边相等就是等腰，没有两边相等就是不等边。“分类”，是理解数学结构的关键一环，也是理清研究顺序的重要一环。对于“分类”，教师适时给予渗透，希望可以利用分类，来发展学生的研究意识和思维水平。
观察发现，归纳性质
【教师活动】刚才我们讨论了三角形中，“有没有两条边相等”，据此对三角形进行了分类。继续观察所画三角形，三条边相互之间还有没有其它的大小关系呢？
【学生活动】回忆小学所学。
【教师活动】在小学，大家应该都动手操作，摆过小木棒。直观感受过，任意两边长度的和是大于第三边。可是，通过观察、实验发现的数学结论，严格来说，只能称为猜想。它必须要经历严格的推理，才能确认其正确性。
所以，大家能不能说说其中的道理呢？
【学生活动】学生回忆线段的基本性质，得出定理“三角形任意两边之和大于第三边”。
【教师活动】板书定理。
【设计意图】学生经历用符号语言表示、用文字语言概括的过程。本环节，学生通过观察、回忆，不难得出“两边之和大于第三边”。但引导孩子思考其中的道理，知其然更要知其所以然。
（六）内化新知，推论应用
【教学内容与教师活动】现在，我们把这个定理用于实际问题中.在三角形ABC中，AB=8cm,AC=3cm.老师给大家提供几个边BC的长度值，大家看看，是否合适？
然后再依次取10cm、6cm、5cm、4cm
【学生活动】分别判断是否合适。
【教师活动】同学们，我们给出的三角形中有两条边是确定长度分别是3cm，8cm.当第三条边长取12,11时不合适，取10,6时是可以的，取5和4又不行，同学们有没有什么发现呢？
【学生发现】BC不能取到任意长度。
【教师活动】如果把未知的这条线段设为xcm,x可以取哪些值呢？
【学生活动】独立思考，有想法后，和同伴交流。
【教学内容】几何画板动态演示：第三边的取值上下限。
【教师活动】根据刚才这位同学的发现，我们能不能推广到一般情况呢？如果老师把3和8换成a和b的话，第三边x的取值范围又是什么呢？
【学生猜想】第三条线段的长度应该要比a、b的差要大，比a、b的和要小。
【教师活动】论证这位同学的发现，重点看看这两条线段的差是怎么得到的？刚才定理对应的这组不等式都是和的形式，怎么样能得到差呢？
学生说出“移项”之后，进入探究。
【学生活动】学生独立思考，自主完成。一位同学投影展示说明。
【教学内容】文字语言总结，板书推论。
【教师活动】关于第三边的取值范围，我们是不是也可以确定？板书应用。
【设计意图】通过老师引导，学生不难发现，当固定两边时，第三边是有取值范围的。在思考过程中，既有理性认识（数的运算），又辅以感性认识（图形的运动变化）。用最简洁的语言阐述最深刻的道理，用最直观的图形变化解释最深层的内涵，从数与形两个角度，发展学生的形象思维和逻辑推理能力。然后从特殊到一般，提出猜想。通过证明，得出三边关系的推论：三角形任意两边之差小于第三边。这就在小学的基础上，更进一步了。最后进入三边关系的应用：求第三边的取值范围。引导学生提炼得出解决此类问题的方法，即：则以a,b为两边的三角形的第三边的取值范围为：。
【教学内容】
【设计意图】通过变式练习，侧重分类讨论思想在等腰三角形三边关系中的运用。关注学生，能否通过解题体会出“如何做研究”，思维是否得到训练，创造力是否得到培养。
（七）梳理小结，整体建构
【教学内容】同学们对三角形有了哪些新的认识呢？
【学生活动】学生边回顾，边梳理， 边总结。
【教师总结】我们先从生活中的图形形象中抽象出了三角形这个几何图形，然后去研究它的定义、组成要素、表示法，组成要素有边和角两大类，本节课重点研究了边这个基本要素。接着按边分类，再探究三边关系，最后加以应用。
一个三角形，边和角是基本的要素。边与边有关系：“两边之和大于第三边”；角与角也有关系的：“内角和180度”，下一节我们会去研究；边与角也有关系，以后再研究。这些最核心的组成要素之间的关系，就是基本性质。
【设计意图】
揭示对研究对象的背景、研究对象的定义、对研究对象的分类为前提的性质研究，最终形成一个研究数学问题的思维体系，体现了“思维之道”．依据几何图形的组成要素和相关要素分类，再研究性质的逻辑思维顺序，真正为发生学习迁移奠定基础．
（八）知识运用，能力提升
基础过关：
1.以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是 （ ）
A. 2,3,4 B. 2,3,5 C.2,5,10 D.8,4,4
2.一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长是（ ）
A. 7 B. 9 C. 12 D. 9或12
3. 已知等腰三角形的一边长等于12 cm，腰长是底边长的，求它的周长.
能力提升：
问题 已知一个三角形的三边长分别为，其中有两边相等，求此三角形周长.
分析 此题只要根据两边相等，列出关于的方程，就可求出的值，同时还要检验所求的值能否使三条线段组成三角形，最后求出周长.但题中未指明哪两条边相等，故必须分情形讨论.
【设计意图】必做题，层层递进。练习 1 、练习 2 、练习 3 针对今天的知识点进行了巩固；练习4、练习5以等腰三角形研究对象，进一步强化三角形的三边关系，优化学生思维，提高能力。选做题是课堂活动的延展，既面向全体学生，又满足学生个性发展的需要，是“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的较好体现．并且，旨在让学生进一步体会分类思想．
教学反思
教学过程中存在一点遗憾：对分类的标准和意义未能渗透到位。
教师引导：如果要你对全体三角形进行分类，你会怎么做？当学生给出分类之后，应及时追问：说说你的分类标准是什么？分类标准的出发点在哪里？其实，分类有两个问题要解决，一为什么要分类，二是如何分类。追问的目的：
一是从概念出发思考问题，概念给出了三角形的内涵、要素，要素就是分类标准。以边为分类标准，实际上将从形状上对三角形进行了区分。
二是渗透分类的意义——几何学习的逻辑体系。我们对于几何图形的研究是有研究顺序的，遵循从一般到特殊的主线。这一章，我们先研究一般三角形都具有的性质，第三节再对特殊的等腰三角形进行专门研究。