长方体和正方体的表面积预习讲义（思维导图、易错例题、针对性训练）数学六年级上册苏教版

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长方体和正方体的表面积预习讲义（思维导图、易错例题、针对性训练）数学六年级上册苏教版
思维导图
易错例题
1．一个无盖的长方体收纳箱，长是50厘米，宽是15厘米，高是30厘米。制作这样的一个收纳箱至少需要多少平方厘米的材料？
【分析】求所需多少材料，实际是求长方体五个面的面积，根据无盖长方体的表面积公式：长方体表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，把数据代入公式解答。
【详解】50×15＋50×30×2＋30×15×2
＝750＋3000＋900
＝3750＋900
＝4650（平方厘米）
答：制作这样的一个收纳箱至少需要4650平方厘米的材料。
2．把长方体（如下图，单位：厘米）沿虚线切开后，得到8个小长方体，这些小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米？
【分析】（1）沿虚线每切一刀，长方体一分为二，增加两个相同截面的面积。
（2）图中虚线显示共切三刀，增加的面恰好是原长方体上下、左右、前后六个面。因此实际就是求长方体的表面积。
【详解】
（平方厘米）
答：这些小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了736平方厘米。
3．一个长方体茶叶盒，底面是边长为0.8分米的正方形，高1.2米。现在要在四周贴上与长方体茶叶盒等高的商标纸，至少需要多少平方分米的商标纸？
【分析】在侧面贴商标纸，那么商标纸的面积应该等于长方体的侧面积，由于底面是正方形，所以四个侧面的面积一样，用底面边长乘高再乘4即可，需要注意统一单位。
【详解】1.2米＝12分米
0.8×12×4＝38.4（平方分米）
答：至少需要38.4平方分米的商标纸。
4．如图是一个长方体的孔明灯，它的底面是边长30厘米的正方形，高50厘米。
（1）制作这个孔明灯要用竹条搭建框架，至少需要多少厘米的竹条？（接头处不计）
（2）除了下底面外，其他面都要糊上透光性较好的阻燃棉纸，制作这个孔明灯至少需要多少平方分米的安全阻燃棉纸？
【分析】（1）竹条长度相当于长方体棱长总和，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，列式解答即可；
（2）孔明灯只有前、后、左、右和上面5个面，这个孔明灯上下两个面是正方形，前后左右4个面是完全一样的长方形，需要的安全阻燃棉纸的面积＝长×宽＋长×高×4，据此列式解答。
【详解】（1）（30＋30＋50）×4
＝110×4
＝440（厘米）
答：至少需要440厘米的竹条。
（2）30×30＋30×50×4
＝900＋6000
＝6900（平方厘米）
＝69（平方分米）
答：制作这个孔明灯至少需要69平方分米的安全阻燃棉纸。
针对性训练
一、选择题
1．下图的纸片折起来可以做成一个正方体，这个正方体“锦”字的对面上是（ ）字。

A．你 B．祝 C．前 D．程
2．用一根铁丝围成长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体框架，如果用同样长的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体的表面积是（ ）。
A．192平方厘米 B．216平方厘米 C．72厘米 D．216厘米
3．两个一样的正方体，拼成一个长方体，表面积（ ）。
A．增加了 B．减少了 C．不变 D．无法确定
4．如果把4个礼品盒包装在一起，下面几种方法中，最节省包装纸的是（ ）。
A． B．
C． D．
5．把一块长14分米、宽10分米、高20分米的长方体木块平均分成两个小长方体，这两个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积至少增加（ ）平方分米。
A．140 B．200 C．280 D．560
6．一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，这个正方体的表面积扩大到原来的（ ）倍。
A．9 B．6 C．16 D．27
7．长方体的长、宽、高分别是6分米、5分米、4分米，如果把高增加2分米，表面积比原来增加（ ） 平方分米。
A．44 B．8 C．60 D．2
8．一根长方体木料，长4米，宽0.25米，厚2分米，把它锯成4段，表面积最少增加（ ）平方分米。
A．24 B．30 C．60 D．120
二、填空题
9．焊接一个正方体框架共用去铁丝60cm，这个正方体的棱长是( )cm，在这个框架的四面粘贴彩纸，至少需要彩纸是( )cm2。
10．把一个棱长和是32dm的长方体包装盒，从最长的棱中间切开，正好得到两个无盖的正方体盒子。这个长方体包装盒的表面积是( )。
11．如图，小明把送给妈妈的生日礼物放在一个长5dm、宽4dm、高3dm的长方体盒子里，包装这个盒子至少需要( )dm2的包装纸；如果在它的外面打上“十字形”的彩带，那么至少需要( )dm长的彩带（接头处长2.5dm）。
12．已知一个长方体的底面周长是15cm，高是6cm，那么这个长方体的棱长总和是( )cm，若给这个长方体的四周（不含上下两面）涂上颜色，则涂色面积是( )cm2。
13．一个长20cm、宽6cm、高18cm的长方体木盒，需要用彩纸包装，至少需要( )cm2的彩纸（重叠部分忽略不计）。
14．把一个长10厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体切成两个大小相等的长方体，表面积最多增加( )平方厘米，最少增加( )平方厘米。
15．如图，有一个长方体饼干盒。如果围着它贴一圈商标纸（上下不贴），接口处4厘米，需要( )平方分米商标纸。

16．一个棱长是70cm的正方体纸箱，这个纸箱的表面积是( )。
三、计算题
17．求出下列图形的棱长总和、表面积。
四、解答题
18．学校准备给五（1）班粉刷教室四周的墙壁和房顶，教室长9米，宽5米，高3米，门窗面积是11平方米，需要粉刷的面积是多少平方米？
19．某游泳池长50米，宽25米，深2.5米。
（1）该游泳池占地多少平方米？
（2）要在游泳池的底部和四壁涂上防水涂层，要涂多少平方米？
20．在数学活动课上，红红将一个长方体纸盒拆开，如下图所示，请你求出原来长方体纸盒的表面积。
参考答案：
1．C
【分析】正方体的展开图中相对的两个面不相连，即“上下隔一行，左右隔一列”。另外，展开图的对面之间不能有公共边或公共点（相对的面不相邻）。据此解答即可。
【详解】因为“你”和“程”在同一行，隔着“前”，根据“左右隔一列”可知：与“你”相对的是“程”。
“似”与“锦”“程”有公共边，与“前”有公共点，所以与“似”相对的不是“锦”“程”“前”；又与“你”相对的是“程”，所以“似”与“祝”相对。
由此可推出：这个正方体“锦”字的对面上是“前”。
故答案为：C
【点睛】直接判断一个数字的对面是什么数字比较难，可根据相对面的规律用排除法解决。
2．B
【分析】首先根据长方体的棱长总和公式：长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高） ×4，求出这根铁丝的长度，再根据正方体的棱长总和公式：正方体的棱长总和＝棱长×12，求出正方体的棱长，然后利用正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答即可。
【详解】（8＋6＋4）×4÷12
＝18×4÷12
＝6（厘米）
6×6×6＝216（平方厘米）
即这个正方体的表面积是216平方厘米。
故答案为：B
【点睛】此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式、正方体的表面积公式的综合应用。
3．B
【分析】如图，两个完全一样的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了两个正方形的面，据此分析。
【详解】两个完全一样的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了。
故答案为：B
【点睛】两个立体图形（比如正方体之间）拼起来，因为面数目减少，所以表面积减少，但是体积没变。
4．A
【分析】要想最节省包装纸，4个礼品盒组成的长方体表面积最小，把4个礼品盒最大的面重叠在一起，这样最节省包装纸，重叠一次减少2个重叠面的面积，宽和高所在的面面积最小，减少的表面积越多需要的包装纸越少，据此解答。
【详解】A．减少了4个长和宽所在面的面积和4个长和高所在面的面积；
B．减少了4个长和宽所在面的面积和4个宽和高所在面的面积；
C．减少了6个宽和高所在面的面积；
D．减少了4个长和高所在面的面积和4个宽和高所在面的面积。
综上所述，尽可能把礼品盒最大的面重叠在一起，减少的表面积最多，最节省包装纸。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，明确减少的面积最多时最节省包装纸是解答题目的关键。
5．C
【分析】把一个大长方体木块平均分成两个小长方体后，表面积增加2个切面的面积，分别以长和宽所在的面为切面、以长和高所在的面为切面、以宽和高所在的面为切面求出增加的表面积，最后比较大小，据此解答。
【详解】情况1：14×10×2
＝140×2
＝280（平方分米）
情况2：14×20×2
＝280×2
＝560（平方分米）
情况3：10×20×2
＝200×2
＝400（平方分米）
因为280平方分米＜400平方分米＜560平方分米，所以这两个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积至少增加280平方分米。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，理解两个小长方体的表面积之和比原来大长方体的表面积增加2个切面的面积是解答题目的关键。
6．C
【分析】假设出原来正方体的棱长，根据“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”表示出原来和现在正方体的表面积，最后用除法求出表面积扩大的倍数，据此解答。
【详解】假设原来正方体的棱长为2厘米。
现在正方体的棱长：2×4＝8（厘米）
（8×8×6）÷（2×2×6）
＝（64×6）÷（4×6）
＝384÷24
＝16
所以，它的表面积扩大到原来的16倍。
故答案为：C
【点睛】正方体的棱长扩大到原来的a倍，则表面积扩大到原来的a2倍，体积扩大到原来的a3倍。
7．A
【分析】长方体原有的表面积是前后左右和上下面共6个面的面积和，高增加后，上下底面积不变，增加的部分是长为6分米高为2分米的前后2个面和宽为5分米高为2分米的左右2个面的面积和，据此解答。
【详解】6×2×2＋5×2×2
＝24＋20
＝44（平方分米）
表面积比原来增加44平方分米。
故答案为：A
【点睛】考查长方体各个面的特征及长方体表面积的计算，关键找到表面积增加部分是哪部分。
8．B
【分析】把长方体木料锯成4段，则增加（4－1）×2＝6个横截面的面积，据此进行计算即可。
【详解】0.25米＝2.5分米
（4－1）×2
＝3×2
＝6（个）
2.5×2×6
＝5×6
＝30（平方分米）
则表面积最少增加30平方分米。
故答案为：B
【点睛】本题考查长方体的表面积，明确锯成4段，表面积比原来增加了6个横截面的面积是解题的关键。
9． 5 100
【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，求出这个正方体的棱长；求四面粘贴彩纸的面积，根据正方形面积公式：面积＝棱长×棱长，代入数据，求出一个面的面积，再乘4即可解答。
【详解】60÷12＝5（cm）
5×5×4
＝25×4
＝100（cm2）
焊接一个正方体框架共用去铁丝60cm，这个正方体的棱长是5cm，在这个框架的四面粘贴彩纸，至少需要彩纸是100cm2。
10．40dm2/40平方分米
【分析】根据从最长的棱中间切开，正好得到两个无盖的正方体盒子，即长方体的四个长棱，八个短棱，一个长棱等于两个短棱，所以有4×2＋8个短棱，设短棱长为x，列式求出一个短棱的长度，再根据正方形的面积＝边长×边长，把几个面相加即可解答。
【详解】解：设短棱长为x，
16x＝32
16x÷16＝32÷16
x＝2
侧面积是：2×4×4
＝8×4
＝32（dm2）
底面积是：2×2＝4（dm2）
32＋4＋4
＝36＋4
＝40（dm2）
这个长方体包装盒的表面积是40dm2。
11． 94 32.5
【分析】由题意可知，包装纸的面积就是盒子的表面积，根据盒子的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；彩带的长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋接头处的长度。据此代入数据作答即可。
【详解】（5×4＋5×3＋4×3）×2
＝（20＋15＋12）×2
＝47×2
＝94（dm2）
5×2＋4×2＋3×4＋2.5
＝10＋8＋12＋2.5
＝18＋12＋2.5
＝30＋2.5
＝32.5（dm）
则包装这个盒子至少需要94dm2的包装纸；如果在它的外面打上“十字形”的彩带，那么至少需要32.5dm长的彩带。
12． 54 90
【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，即长方体的棱长总和＝（长＋宽）×4＋高×4，再根据长方体的底面周长＝（长＋宽）×2，由此可以推理得出，长方体的棱长总和＝长方体的底面周长×2＋高×4；
不含上下面的长方体的表面积＝（长×高＋宽×高）×2，即不含上下面的长方体的表面积＝（长＋宽）×高×2，再根据长方体的底面周长＝（长＋宽）×2，由此可以推理得出，不含上下面的长方体的表面积＝长方体的底面周长×高，据此解答。
【详解】由分析可知：
长方体的棱长总和：15×2＋6×4
＝30＋24
＝54（cm）
不含上下面的长方体的表面积：15×6＝90（cm2）
所以这个长方体的棱长总和是54cm，若给这个长方体的四周（不含上下两面）涂上颜色，则涂色面积是90cm2。
13．1176
【分析】求彩纸的面积就是求长方体的表面积，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此代入数值进行计算即可。
【详解】（20×6＋20×18＋6×18）×2
＝（120＋360＋108）×2
＝588×2
＝1176（cm2）
则至少需要1176cm2的彩纸。
14． 160 80
【分析】平行于最大的面切下，切出的截面最大，平行于最小的面切下，切出的截面最小；
【详解】10×8×2
＝80×2
＝160（平方厘米）
8×5×2
＝40×2
＝80（平方厘米）
表面积最多增加（160）平方厘米，最少增加（80）平方厘米。
【点睛】本题考查的是长方形面积公式的应用
15．4.32
【分析】先利用长方体的表面积公式：S＝a×h×2＋b×h×2，代入数据求出长方体的侧面积，而这张商标纸的面积是指长方体的侧面积和接头处长12厘米，宽4厘米的长方形的面积，据此解答。
【详解】10×12×2＋6×12×2＋12×4
＝240＋144＋48
＝432（平方厘米）
432平方厘米＝4.32平方分米
即需要4.32平方分米商标纸。
【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活应用，还要弄清楚题目中求的是长方体几个面的面积。
16．294
【分析】根据：正方体的表面积＝6a2，计算出表面积，再根据1dm2＝100cm2，低级单位换算为高级单位除以进率，将单位换算为dm2；据此解答。
【详解】70×70×6
＝4900×6
＝29400（cm2）
29400cm2＝294dm2
所以，这个纸箱的表面积是294dm2。
【点睛】此题考查了正方体的表面积计算以及面积单位换算，关键熟记计算公式。
17．长方形的棱长总和为38，表面积是59；正方形的棱长总和为60，表面积是150
【分析】根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4、长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、正方体的棱长和＝棱长×12、正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据分别解答即可。
【详解】（4＋2.5＋3）×4
＝9.5×4
＝38
长方形的棱长总和为38；
（4×2.5＋4×3＋2.5×3）×2
＝（10＋12＋7.5）×2
＝29.5×2
＝59
长方形的表面积是59。
5×12＝60
正方形的棱长总和为60；
5×5×6＝150
正方形的表面积是150。
18．118平方米
【分析】根据题意，粉刷教室四周的墙壁和房顶，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；
根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门窗的面积，就是需粉刷的面积。
【详解】9×5＋9×3×2＋5×3×2
＝45＋54＋30
＝129（平方米）
129－11＝118（平方米）
答：需要粉刷的面积是118平方米。
19．（1）1250平方米；（2）1625平方米
【分析】（1）占地面积指的是游泳池的底面积，用“长×宽”求解即可；
（2）要涂的面积是求五个面的面积和，用“长×宽＋长×深×2＋宽×深×2”求解即可。
【详解】（1）50×25＝1250（平方米）
答：该游泳池占地1250平方米。
（2）50×25＋50×2.5×2＋25×2.5×2
＝1250＋250＋125
＝1625（平方米）
答：要涂1625平方米。
20．700平方厘米
【分析】将长方体纸盒拆开后，可知纸盒长是20厘米，宽是10厘米，（长＋高）×2＝50，可计算出长方体纸盒的高。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此计算得出答案。
【详解】根据题意得：长方体纸盒长是20厘米，宽是10厘米，高为：
（厘米）
则长方体纸盒表面积为：
（平方厘米）
答：长方体纸盒表面积为700平方厘米。
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