6.2.2 向量的减法运算（教学设计）

6.2.2 向量的减法运算教学设计
一、教材分析
1. 教材来源
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第2课时。
2.地位与作用
向量的减法运算是平面向量线性运算的一种。在学完向量的加法运算及几何意义后,本节课是对上节课内容的一个转换。本节课先引出相反向量，再类比实数的减法运算，通过相反向量将减法运算转化为加法运算，体现了减法运算和加法运算之间的内部联系.借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，掌握平面向量减法运算及运算规则，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养.
二、学情分析
1.认知基础：
学生在上节课已经学面向量的加法运算及几何意义,会运用三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和向量,具备了一定的作图能力，这为学习向量的减法运算打下了很好的基础。
2.认知障碍：
类比数的减法运算，让学生注意对“被减数”的理解。
三、教学目标
目标：
（1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，并理解其几何意义.
（2）理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识.培养类比、迁移、分类、归纳等能力.
目标解析：
（1）学生能类比数的减法定义向量的减法，能画图表示两个向量减法的结果．能依据向量减法的定义，并借助其几何意义探讨向量减法的运算规则.
（2）研究平面向量的减法运算时，借助与数的运算的类比，如借助与数的运算的类比，定义向量的减法.本节的内容蕴含了数形结合、类比、归纳、抽象等数学思想方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体.
四、教学策略分析
本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生通过观察、类比从物理、几何、代数三个角度理解平面向量的运算，应该为学生创造积极探究的平台，引导学生类比数的运算研究向量的运算.通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移.
在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．
在教学过程中，让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量，通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路，因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.
五、教学重难点
重点：理解并掌握向量减法的三角形法则;
难点：向量减法的几何意义及运算律.
六、教学过程
环节1：创设问题情境，引入向量减法
问题1:类比实数x的相反数是，对于向量a，你能定义出“相反向量” 它与原来的向量a有什么联系
【预设答案】与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量.
师生活动：教师投影展示提问，学生思考并回答教师的问题.
设计意图：绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数,在实数中，负号表示正负的区别,结合向量的特点，引导学生理解相反向量的定义,与a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量.在向量中，负号表示方向相反的区别.
问题2: 类比实数x的减法，你认为向量的减法该怎样定义
【预设答案】减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
师生活动：教师提出问题1，请同学回答应该怎么定义相反向量。老师引导学生从向量既有大小又有方向的特点出发对“相反向量”下定义：与a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量,紧接着提出问题2，老师总结概括得出求两个向量的差的运算叫做向量的减法，表示形式a-b=a+(-b);
设计意图：通过问题驱动学生思考，类比向量加法运算对相反向量以及向量的减法下定义，培养学生类比的数学思想方法,
环节2：推陈出新，建构新知
活动1 向量的减法　
(1)定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，求两个向量差的运算叫做向量的减法.
向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.
问题3: 对于任意两个非零向量a与b，根据减法的定义如何作图得到ab？
【预设答案】如图，设a,b, -b,连接AB，由向量减法的定义知， ．在四边形OCAB中，，所以OCAB是平行四边形．所以．
　　
追问1：归纳出作图得到ab的具体步骤，ab的几何意义什么
【预设答案】如图，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作
a,b,则a-b,即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
　　
记忆口诀：首同尾连指被减.
师生活动：学生先观察图形，老师引导学生回顾向量加法的三角形法则“首尾相连，由起点指向终点即为和向量”"，通过类比，总结概括出向量减法的三角形法则是“向量共起点，连终点，指向被减向量为减向量”，通过观察图形，理解ab的几何意义表示从向量a的终点指向向量b的终点的向量，
设计意图：强化学生数形结合的意识，在向量加法的基础上，学生通过独立思考与动手操作，掌握向量减法的三角形法则，在学习的过程中积累基本活动经验,体会向量减法的几何意义.
追问 2：观察图形，如果要求ba，你能直接用图中的已知向量来表示吗
【预设答案】
师生活动：学生观察图象并回答问题.
设计意图：强化学生对相反向量概念的理解，ab与ba互为相反向量，因此ba，突破教学难点，帮助学生理解减向量的方向.
活动2 动手实践，探究向量的三角不等式
问题4：（1）已知向量共线，你能作出向量吗？
（2）试探索不同情况下||，||，||之间的关系.
【预设答案】
当向量至少有一个为零向量时，且；
如图1，非零向量同向时，在平面内任取一点，作，，则. 此时；
如图2，非零向量反向时，在平面内任取一点，作，，则. 此时；
如图3，非零向量不共线时，在平面内任取一点，作，，则. 此时，由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得.
综上所述，，其中成立的充要条件是与反向或与中至少有一个为零向量，成立的充要条件是与同向或与中至少有一个为零向量.
师生活动：学生自己画图探索后，教师板书讲解并总结向量的三角不等式.
设计意图：在形成概念后，遵循从一般到特殊的思路，在实践活动中进行再认识，熟悉概念，从外延的角度加深概念的理解，为下一个环节作铺垫；类比上一小节学习向量的加法运算时所学的向量的三角不等式，探究有关向量减法的三角不等式.
注：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，等号何时成立？
(1)当向量a，b不共线时，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；
(2)当向量a，b共线且同向时，前一个等号成立；当向量a，b共线且反向时，后一个等号成立.
【牛刀小试】若，，则的取值范围是__________．
【预设答案】.
师生活动：学生思考并回答问题.
设计意图：向量的三角不等式的简单应用，利用其求向量的取值范围.
环节3：巩固新知，优化认知
例1：如图，已知向量，求作向量.
【预设答案】
师生活动：学生独立思考和动手操作，教师展示学生作业，通过点评作业来强化向量的减法原则，帮助学生明确向量减法的几何意义.
设计意图：进一步帮助学生理解向量减法的定义、几何意义，强化学生的作图意识，帮助学生掌握向量减法的三角形法则,
变式：如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
【预设答案】法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
师生活动：学生思考并回答问题
设计意图：强化学生对向量减法几何意义的掌握.
【方法小结】求作两个向量的差向量的两种思路
(1)用向量减法的三角形法则作两向量的差的步骤
此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”．
(2)利用相反向量作两向量差的方法
作向量a－b时，先作向量＝a，再作＝－b，则向量＝＋＝a＋(－b)＝a－b.
例2：填空：
【预设答案】；；；；.
变式：化简下列式子：
(1)－－－；
(2)(－)－(－).
【预设答案】(1)原式＝＋－＝＋＝－＝0.
(2)原式＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.
师生活动：学生思考并回答问题
设计意图：考察学生对向量减法运算的掌握.
【方法小结】1.向量减法运算的常用方法
2.向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和；(2)起点相同且为差.
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.
例3如图，在平行四边形中，，，用表示向量.
【预设答案】.
师生活动：让学生观察图形，请学生回答问题:，.教师引导学生发现向量是沟通代数与几何的重要工具，向量及向量的运算沟通了平行四边形的边及对角线，所以平行四边形是研究，，，之间关系的重要几何模型.
设计意图：让学生借助向量的加、减运算，用已知向量表示其他向量.
变式：如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
【预设答案】因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝－＝b－a，
故＝＋＝b－a＋c.
师生活动：由学生独立完成后，让学生代表进行展示，教师巡视学生的解答，并点评给出正确答案.
设计意图：意在增强学生的运算能力，熟练运用向量的加法和减法，学会用向量表示其他向量.
【方法小结】用向量表示其他向量的方法
(1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则.
(2)表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点？
(3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则.
环节4：学以致用，融会贯通
1.在四边形ABCD中，＝，若|－|＝|－|，则四边形ABCD是(　　)
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定
2.－－－＝________.
3.若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|的长度为______.
4.如图所示，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用c，d表示.
【预设答案】
1.B
2.
3.2
4.(1)＝＋＋＝d＋e＋a＝a＋d＋e.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3)＝＋＋＝a＋b＋e.
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
师生活动：学生在学案上完成当堂检测，并按顺序一人回答一道，之后教师点评．
设计意图：检测本节课教学效果，巩固学生对本节内容的理解和掌握．在这个环节中，学生经历了迁移应用，深入理解的思维过程，对所学的知识进一步内化和深加工．
环节5：课堂小结
思考：教师引导学生回顾本课时的内容，并回答下面的问题：
(1)通过这节课，你学到了什么知识？
【预设答案】
(2)在解决问题时，用到了哪些数学思想？
【预设答案】数形结合、分类讨论、类比的思想
师生活动：学生思考并回答
设计意图：师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．
环节6：作业布置
完成教材：第12页 练习 第1，2，3题
第22 页 习题6.2 第4,7题
板书设计
6.2.2 平面向量的减法运算 一、创设情境 二、探究新知 1.减法定义 2.减法作图 3.减法几何意义 课堂小结 作业布置