21.2.2 解一元二次方程——公式法同步练习（含解析）——人教版2024-2025学九年级数学上册

人教版2024-2025学九年级数学上册
21.2.2 解一元二次方程---公式法 同步练习
一、单选题
1．一元二次方程 的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
2．下列方程有两个相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣3x+2＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣9＝0
3．直线y=+a不经过第四象限，则关于的方程a-2-1=0的实数解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
4．若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　）
A．2 B．±2 C．±4 D．±2
5．已知关于x的方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
6．关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣4）x+（m﹣2）＝0有两个实数根，则m的取值范围（　　）
A．m≥2 B．m≤2 C．m≥2且m≠0 D．m≤2且m≠0
7．下列方程中没有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
8．2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”（如图），体现了数学研究的继承和发展，弦图中四边形ABCD与EFGH均为正方形，若且正方形EFGH的面积为正方形ABCD的面积的一半，则a：b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
9．若关于x的一元二次方程ax2﹣4x＋2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≤2 B．a≤2且a≠0 C．a＜2 D．a＜2且a≠0
10．关于x的一元二次方程 没有实数根，则实数n的值可以为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是　 　.
12．若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数a的取值范围是　 　．
13．若一元二次方程x2-4x+k+2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　.
14．已知关于x的方程x2＋2（m﹣1）x＋m2＝0有实数根，则m的最大整数值是　 　．
15．若关于 x 的一元二次方程x2-2x+b=0有两个相等的实数根，则 b 的值为　 　.
三、解答题
16．等腰三角形的三边长分别为、、，若，与是方程的两根，求此三角形的周长．
17．关于x的方程x2﹣（k+1）x+k＝0有两个相等的实数根，求k的值．
18．已知关于x的方程x2+kx+k-2＝0，证明不论k为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．
19．如果关于 的方程 没有实数根，试判断关于 的方程 的根的情况.
20．已知：关于x的一元二次方程x2+kx﹣1=0，求证：方程有两个不相等的实数根．
已知关于 的一元二次方程 有两实数根 ，求 的取值范围
22．已知：关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．求：k的最小整数解．
23．关于 的方程 有实数根，且 为正整数，求 的值．
参考答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵
∴Δ＝b2 4ac＝12 4×1×（－3）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；确定a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：A、x2﹣2x+1＝0，判别式，有两个相等的实数根，符合题意；
B、x2﹣3x+2＝0，判别式，有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、x2﹣2x+3＝0，判别式，没有实数根，不符合题意；
D、x2﹣9＝0，判别式，有两个不相等的实数根，不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意得直线y=+a一定经过第一、三象限，
∵直线y=+a不经过第四象限，
∴，
当时，关于的方程a-2-1=0为一元二次方程，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等实数根，
当时，关于的方程a-2-1=0为一元一次方程，有1个实数解，
综上所述，关于的方程a-2-1=0的实数解的个数是1个或2个．
故答案为：D
【分析】先求出，再分类讨论求解即可。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，
∴△=m2－4×4=0，
解得：m=±4，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：x2-2x-1=0，
∵，，，
∴Δ=（-2）2-4×1×（-1）=8＞0，
∵Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C．
【分析】先计算根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意得m≠0且Δ=（2m-4）2-4m×（m-2）≥0，
解得m≤2且m≠0，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：A．△，则方程没有实数解，所以选项符合题意；
B．△，则方程有两个相等的实数解，所以选项不符合题意；
C．方程化为，△，则方程有两个不相等的实数解，所以选项不符合题意；
D．方程化为，△，则方程有两个不相等的实数解，所以选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：，，
正方形EFGH的面积为，正方形ABCD的面积为，
正方形EFGH的面积为正方形ABCD的面积的一半，
，
，
，
设，
，
，
解得，，
，
，
的值为．
故答案为：D．
【分析】根据题意得出正方形EFGH的面积为，正方形ABCD的面积为，再根据正方形EFGH的面积为正方形ABCD的面积的一半，列出方程求解即可。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（ 4）2 4 a 2≥0，
解得a≤2且a≠0．
故答案为：B．
【分析】先求出a≠0且Δ＝（ 4）2 4 a 2≥0，再求解即可。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意可知： ，
∴ .
∴符合题意的选项为D.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程没有实数根可得△=b2-4ac<0，代入求解可得n的范围，据此判断.
11．【答案】m＜1
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝m，
∴（﹣2）2﹣4×1×m＞0，
解得：m＜1.
故答案为：m＜1.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.
12．【答案】a＜1
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∵
∴，
解得：a＜1，
故答案为：a＜1．
【分析】由一元二次方程根的判别式可得，则，解得a＜1。
13．【答案】
【解析】【解答】解：方程x2-4x+k+2=0，
这里a＝1，b＝-4，c＝k+2，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2 4ac＝（-4）2 4×1×（k+2）>0，
解得：
，
故答案为：
.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此可得不等式，求解即可.
14．【答案】0
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2＋2（m﹣1）x＋m2＝0有实数根，
∴
解得
m的最大整数值是0
故答案为：0
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
15．【答案】1
【解析】【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程x2-2x+b=0两个相等的实数根，
∴ ，
即 ，解得： .
故答案为：1.
【分析】根据方程有两个相等的实数根可得△=b2-4ac=0，代入求解可得b的值.
16．【答案】解：①若是三角形的腰，则b与c中至少有一边长为6，
代入方程得：，
解得或，
∴当时，
方程可化为，
解得，，
∴三角形三边长分别为4、6、6，
周长为：；
当时，
方程可化为，
解得，；
三角形三边长分别为6、6、10，
周长为：；
∴三角形的周长为16或22；
②若是三角形的底边，则b、c为腰，即，则方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
∴原方程可化为，
解得，
此时，，，不能构成三角形，舍去；
综上所述，三角形的周长为16或22．
【解析】【分析】分类讨论，利用等腰三角形的性质，列方程求解即可。
17．【答案】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
解得．
【解析】【分析】先求出 ， 再计算求解即可。
18．【答案】解：在方程x2+kx+k-2＝0中，
∵ ，
∴方程x2+kx+k-2＝0不论k为什么实数，总有两个不相等的实数根．
【解析】【分析】在方程x2+kx+k-2＝0中，因为 ，所以得出方程x2+kx+k-2＝0不论k为什么实数，总有两个不相等的实数根．
19．【答案】解：当m=0时，
-4x+5=0
解之：
此时方程有一个实数根，不符合题意；
∴m≠0
∴b2-4ac＜0
∴
解之：m＞4；
∵（m-5）x2-2（m+2）x+m+5=0
∵
∵m＞4
∴2m+4＞0
当m＞4且m≠5时
∴方程（m-5）x2-2（m+2）x+m+5=0有两个不相等的实数根；
当m=5时，方程（m-5）x2-2（m+2）x+m+5=0有1个实数根
【解析】【分析】首先分m=0与m≠0两种情况，由方程mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实数根知对应的△<0，代入求解可得m的范围，然后分m=5与m≠5两种情况判断出方程(m-5)x2-2(m-1)x+m=0根的情况.
20．【答案】证明：∵△=k2﹣4×1×（﹣1）=k2+4，
而k2≥0，
∴△＞0．
所以方程有两个不相等的实数根．
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可。
21．【答案】解：∵ 方程 有两实数根
∴ ≥0 ，
解得： ≤ ，
∴ 的取值范围为： ≤
【解析】【分析】根据题意利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
22．【答案】解：∵ ， ， ，
根据题意，得： =22-4×（k-1）×（-1）＞0且k-1≠0，
解得k＞0且k≠1，
所以k的最小整数解为2．
【解析】【分析】根据题意利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
23．【答案】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，
∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，
解得：m≤1，
∵m为正整数，
∴m=1，
【解析】【分析】根据题意利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。