2024-2025学年度人教版八上数学11.1与三角形有关的线段课件（第2课时）（30张PPT）

(共30张PPT)
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
与三角形有关的线段
八年级上册 RJ
初中数学
知识回顾
概念
三角形
三角形的分类
三角形的三边关系
按角分类
按边分类
三角形两边的和
大于第三边
三角形两边的差
小于第三边
边、顶点、角
1.了解三角形的高、中线和角平分线的定义及画法.
2.会利用三角形的高、中线和角平分线解决实际
问题.
学习目标
你还记得小学学过的“三角形的高”的定义吗？
定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的这条边上的高，这条对边叫做三角形的底.
高
底
A
B
C
课堂导入
D
表示方法：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高. 记作AD⊥BC于点D.
知识点1 三角形的高
新知探究
A
B
C
D
三角形的高是一条垂线段
三角形高的画法：用三角板过某一顶点向其对边或对边所在的直线画垂线，交对边或对边延长线于一点，所得的垂线段就是这条边上的高.
A
B
C
D
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
用同样的方法，你能画出△ABC的另两条边上的高吗？
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
E
F
用同样的方法，你能画出直角三角形和钝角三角形各条边上的高吗？
B
A
C
F
A
B
C
D
E
F
观察图形，不同三角形的三条高各有什么特点？
B
A
C
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
F
三角形三条高的位置
三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
三条高的位置 三条高都在三角形内部 有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部 有两条高在三角形外部，另一条高在三角形内部
三条高的交点 三条高交于三角形内部 三条高交于三角形的直角顶点 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点
例1 下列图形中，AD是△ABC的高的是（ ）
B
跟踪训练
新知探究
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
判断一条线段是否为三角形的高的方法
一看顶点：三角形的高一定过顶点.
二看垂足：三角形的高的垂足在顶点的对边或对边延长线上.
例2 如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
B
跟踪训练
新知探究
三角形的内部
三角形的直角顶点
三角形的外部
2.表示方法：
AD是△ABC的边BC上的中线，
点D是边BC的中点，
BD=CD= BC.
1.定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线.
D
C
B
A
知识点2 三角形的中线
新知探究
被三角形的中线分成的两个小三角形的面积大小有什么关系？
D
C
B
A
解：如图，过点A作AE⊥BC，
因为AD是△ABC的边BC上的中线，
所以BD=CD= BC.
所以△ABD的面积为 BD×AE，△ACD的面积为 CD×AE，所以△ABD和△ACD的面积相等.
如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，证明：△ABD和△ACD的面积相等.
D
C
B
A
E
三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形.
3.画法：
连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.
D
C
B
A
E
F
用同样的方法，你能画出△ABC的另两条边上的中线吗？
4.三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
D
C
B
A
E
F
O
重心一定在三角形内
例3 如图，有一块三角形菜地，现要将其分成面积比为1∶1∶2的三块，已知点A处是三块菜地的共同水源处，则三块菜地应该怎么分？
解：根据面积比为1∶1∶2的要求，
可以将三角形菜地的总面积看作4份.
如图，作△ABC的中线AD，△ABD的中线AE，
所得到的△ABE，△AED，△ADC的面积比就是1∶1∶2.
A
B
C
E
D
跟踪训练
新知探究
更多同类练习题见《教材帮》数学RJ八上11.1节作业帮
三角形的中线可以将三角形分成面积相等的两个小三角形
1.定义：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
2.表示方法：AD是△ABC的角平分线，
AD平分∠BAC，交BC于点D，
∠BAD=∠CAD= ∠BAC.
D
B
C
A
知识点3 三角形的角平分线
新知探究
3.画法：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线.
用同样的方法，你能画出△ABC的另外两条角平分线吗？
D
B
C
A
E
F
观察三条角平分线，你有什么发现？
三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点.
例4 如图，AD，BE，CF分别是△ABC的三条角平分线，请根据图中各角之间的关系填空：
D
A
B
C
E
F
1
2
3
4
（1）∠1=∠（ ）；
（2）∠3= （ ）；
（3）∠ACB=（ ）∠4.
2
∠ABC
2
跟踪训练
新知探究
1.如图，在△ABC中，∠1=∠2=∠3=∠4，则下列说法中，正确的是（　　）
A．AD是△ABE的中线
B．AE是△ABC的角平分线
C．AF是△ACE的高线
D．AE是△ABC的中线
B
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
随堂练习
∠1+∠2=∠3+∠4
2.如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空：
（1）BE=（ ）= （ ）；
（2）∠BAD=（ ）= （ ）；
（3）∠AFB=（ ）=90°；
CE
BC
∠CAD
∠BAC
∠CFA
B
C
D
E
A
F
解：因为AE为中线，
所以 BC=2BE=16.
因为AF为高，
所以∠AFB=∠CFA=90°.
所以△ABC的面积为 ×16×7=56.
B
C
D
E
A
F
（4）当BE=8，AF=7时，求△ABC的面积.
思路引导：
3.如图所示，已知△ABC的周长为27 cm，
AC=9 cm，BC边上的中线AD为6 cm，△ABD
的周长为19 cm，AB= .
8 cm
C
A
D
B
AB+BC+AC=
27 cm，AC=9 cm
AB+BD+AD=
19 cm，AD=6 cm
AB+BC=18 cm
AB+BD=13 cm
AB=8 cm
BC=2BD
高
与三角形有关的线段
中线
角平分线
重心
课堂小结
B
A
C
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
F
D
C
B
A
E
F
O
D
B
C
A
E
F
1.（2021 重庆江津区校级期中）如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，AE是角平分线. 若∠B=80°，∠C=30°，求∠DAE.
拓展提升
D
E
B
A
C
解：∵在△ABC中， ∠B=80°∠C=30°，
∴∠BAC=70°.
∵AE是角平分线，
∴∠BAE= ∠BAC=35°.
1.（2021 重庆江津区校级期中）如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，AE是角平分线. 若∠B=80°，∠C=30°，求∠DAE.
拓展提升
D
E
B
A
C
∵AD是边BC上的高，
∴∠BAD=90°－∠B=10°，
∴∠DAE=∠BAE－∠BAD=35°－
10°=25°.
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