数学答案
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1. C 【解析】由 log2 x 2，解得 0 x 4，则 B x 0 x 4 .又∵ A x 1 x 2 ，
∴ A B (0, 2) .故选：C.
2. D 【解析】命题“ x 0， x3 2x 1”的否定是：“ x 0， x3 2x 1” .故选：D.
3. D 【解析】由题意得： 2 2 2 = 1解得 = 1或 = 3，
又函数 f x 在 0, 上单调递增，则 a 3，则 g x bx 3 1 b 1 ，
当 + 3 = 0 即 = 3时， g 3 2，
g x bx a则 1 b 1 过定点 3,2 .故选：D.
4. A 【解析】 y 2.1x 是R 上的单调增函数，故 2.11.9 2.11.3 2.10 1，故 d a 1；
又 y 0.3x是R 上的单调减函数，故1 0.30 0.31.3 0，即0 b 1；
又 y log2 x是 0, 上的单调增函数，故 log2 0.8 log2 1 0，即 c 0；
综上所述： d a b c .故选：A.
2π
5. A【解析】记OA R，如图，在 OAB中，因为OA OB R，AB 2 3， AOB ，
3
1 AB 3 3
所以 2 sin π ，即 ， R 2，
R 3 R 2
l 1 2π 1又 2 l1，即OD OB
2π
，所以OC 1 OD R 1，
2 3 2 3 2
1 2 1 2 1 2π
所以扇面字画部分的面积为 S OA OC (22 12 ) π，故选：A.
2 2 2 3
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6. D 【解析】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为 x秒，则有
x 2
512
；
1.25 1013
512
两边取常用对数，得 lg x lg 2 51213 lg 2 lg1.25 10
13 ；
1.25 10
lg x 512lg 2 lg1.25 13 512lg2 3lg5 11
512lg2 3 1 lg 2 11 515lg 2 14 140.5；
所以 x 10140.5 10140 100.5 3.16 10140 .故选：D.
7. A【解析】由2x 2y 3 x 3 y移项变形为2x 3 x 2y 3 y
设 f (x) 2x 3 x
因为 2x 、 3 x单增，易知 f (x)是定义在 R 上的增函数，故由 2x 3 x 2y 3 y，可得 x y，
所以 y x 0 y x 1 1, 从而 ln(y x 1) 0，故选：A．
8. A【解析】因为 A B ，所有 A ,B ，
由 2x x2 0，得 2 x x2，
如图，作出函数 y x2 , y 2x的图象，
x 2
由图可知，不等式 2 x 0 x 0 的解集为 2,4 ，
x 2
所以 A x 2 x 0且 x R 2,4 ，
由 x2 (3a 1)x 2a2 2a 0，得 x 2a x a 1 0，
当 2a a 1，即 a 1时，则B ，不符题意；
当2a a 1，即 a 1时，则B a 1,2a ，
由 a 1，得 a 1 2，
a 1
根据嵌套集合的定义可得 a 1 4，解得2 a 3；
2a 4
当 2a a 1，即a 1时，则 B 2a,a 1 ，
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由a 1，得2a 2，
a 1
根据嵌套集合的定义可得 a 1 4，无解，
a 1 2
综上所述，实数 a的取值范围为 2,3 .故选：A.
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. ACD【解析】因为 412 360 52 ，
所以与 412 角的终边相同角为 k 360 52 ,k Z ，
当 k 1时， 308 ，
当 k 0时， 52 ，
当 k 2时， 772 ，
当 k 3时， 1132 ，
综上，选项 A、C、D 正确.
故选：ACD.
10．CD【解析】对于 A，当 c2 0时，若 a b，有 ac2 bc2，不满足 ac2 bc2 ，故 A错
误；
对于 B，当 B 时，方程 ax 2 0无解，则 a 0；
当 B 2 2 2 时，由方程ax 2 0，解得 x ，可得 1或 2，解得 a 2或 1，
a a a
综上所述， a的解集为 1,0, 2 ，故 B 错误；
对于 C，由题意可知：方程 ax2 bx c 0的解为 x1 1, x2 3，且 a 0，
b c b c
由韦达定理可得 x1 x2 ， x1x ，则 4， 3，a 2 a a a
解得b 4a， c 3a，
则不等式 cx2 bx a 0为3ax2 4ax a 0
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a 0 2 x | x
1
x 1 由 ，则不等式变为3x 4x 1 0，解得 或 ，故 C正确；
3
对于 D，由题意可得 2 x 3，则 1 x 1 4，所以函数 f x 的定义域为 1,4 ，
对于函数 f x 1 ，则 1 x 1 4，解得0 x 5，所以其定义域为 0,5 ，故 D 正确；
故选：CD．
2 2
A a 0,b 0 a b 1 a b a b
2 1
11. ACD 【解析】对于 ，因为 ，且 ，由 ≥ ，得
2 2 4
a2 b2 1 1 ，当且仅当a b 时，等号成立，所以 A正确；
2 2
a b 1
对于 B，因为 a 0,b 0，且 a b 1，所以 ab≤ ，当且仅当 a b 1 时，
2 2 2
等号成立，所以 B错误；
对于 C，因为 a 0,b 0，且 a b 1，所以
1 1 1 1 (a b) 2 b a 2 2 b a 4 b a
1
，当且仅当 ，即 a b 时，a b a b a b a b a b 2
等号成立，所以 C正确；
对于 D，因为 a 0,b 0，且 a b 1，所以 ( a b)2 1 2 ab 1 (a b) 2，
1
即 a b 2 ，当且仅当 a b 时，等号成立，所以 D正确．2
故选：ACD．
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 2ln3【解析】因为 f x 是定义在R上的奇函数，所以 f 0 0，
f 1 f 1 ln3，则 f 0 2 f 1 2ln3
1
13. ,+ 【解析】因为函数 f x2 =ln 1+ x
1
2 的定义域为 R， f x =f x ， 1+x
所以函数 f x 为偶函数，
当 x 0,+ 时， f x =ln 1+x 1 2 ，易知 y ln 1 x 在 x 0,+ 上递增，1+x
y 1 2 在 x 0,+ 上递减，所以函数 f x 在 x 0,+ 上递增．1 x
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原不等式等价于 f x >f x 1 ，所以 x > x 1 1，解得： x ．
2
1
故答案为： ,+ ．
2
14. (1) 1（2分） (2) 4（3分）
2 ( ) = 2 + 1, ≤ 0【解析】画出 | 0.5 |, > 0
的图象：
因为方程 f x a有四个不同的解 x1, x2 , x3 , x4 ,故 f x 的图像与 y a有四个不同的交点,又
由图, f 0 1, f 1 2故 a的取值范围是 1,2 ,故 a的最小值是 1.
x x
又由图可知, 1 2 1 x1 x2 2 , log2 0.5
x3 log0.5 x4 ,故
log0.5 x3 log0.5 x4 log0.5 x3x4 0 ,故 x3x4 1.
x x 16 16故 4 1 x2 2 2x x3 x 44 x
.
4
又当 a 1时, log0.5 x4 1 x4 2 .当 a 2时, log0.5 x4 2 x4 4 ,故 x4 2, 4 .
又 y 2x
16
4 在 x4
16
2, 4 时为减函数,故当 x4 2时 y 2x4 x4 x
取最大值，此时
4
y 16 2 2 4 .
2
故答案为：(1) 1 (2) 4
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13 分）
2
3
1 =3 log 2 1 2 3 3 1 7解：（ ）原式 2 2 2 ； .............6分 4 4
（2）因为a2x 2 2x 1，所以 a 2，...........................................7 分
x x 2x 2x
a3x a 3x a a a 1 a 所以 a2x 1 a 2x 3 ．.....................13 分
a x a x a x a x 2
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（采用其他方法，依步骤给分）
16. (15 分）
解：（1）由 x A是 x B的必要不充分条件，得 B是A的真子集，..................1 分
则当 B 时，a 1 2a 10，解得 a 11，.....................................3 分
a 1 2a 10 a 1 2a 10
当 B 时， a 1 7 a 11
a 1 0
，或 2a 10 4 ，解得 或 ，.........6 分
综上所述， a , 1 7, ..............................................7 分
（2）由题意知“ a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题．...............8 分
令 g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，..........................10 分
g(－1)≥0，
则 ............................................................12 分
g(3)≥0，
－1≤x≤4，
－x2＋3x＋4≥0，
即 53x2 5x 0 解得 x≥ 或 x≤0，......................................14 分－ ≥ ， 3
5
所以 x的取值范围为[ 1,0] ∪ [ 3 , 4]........................................15 分
17. (15 分）
t 22x 1 t (t 0) x 1解：（1）令 ≥ ，则 ，...................................2 分
2
2
f (t) t 1 t t
2 2t 1
所以 (t≥0)，.........................................4 分
2 2
2
所以 f (x) x 2x 1 , x [0, ) ..............................................6 分
2
6x
（2）由题意知，问题转化为 m< 在(0，2]上有解，...........................8 分
x2＋3
6x
设 g(x)＝ ，
x2＋3
6
则 g(x) 6x＝ ＝ 3，x∈(0，2]，............................................10 分x2＋3 x＋
x
3
又 x＋ ≥2 3，.............................................................12 分
x
当且仅当 x＝ 3时取等号，...................................................14 分
g(x) 6则 max＝ ＝ 3，故 m< 3................................................16 分
2 3
所以实数m的取值范围是( ∞, 3)............................................17分
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18. (17 分）
0 x 4 4 x 10
解：（1）依题意，令 y 4 则 x 或 36 ...........................4 分
8 4 4 2 x 2
解得 0 x 4或 4 x 7 0 x 7 .................................6分
一次喷洒 1 个单位的去污剂，去污时间可达 7天................................8 分
（2）设从第一次喷洒起，经 x(6 x 10)天空气中的去污剂浓度为 f x ，.........9 分
f x 36 a 8 x 6 36 a则 x 11（a 6 x 10)，.................12 分x 2 2 x 2 2
依题意 f x 4对一切6 x 10恒成立 fmin x 4，......................13 分
又 f x 在 6,10 上单调递减， fmin x （f 10）=3 6a，.....................15 分
3 1 6a 4 a 0.2 ,
6
故 a的最小值为 0.2........................................................17 分
19. (17 分）
解：（1）∵ f (x) x2 (m 2)x m，
∴ f (x 2) (x 2)2 (m 2)(x 2) m x2 (m 6)x 8 3m．
∵ y f (x 2)是偶函数，∴m 6 0，∴m 6．.............................2 分
∴ f (x) x 2 4x 6，
∴ g(x) x 6 4(x 0)．.................................................4 分
x
ln x t x
1
（2）令 ，∵ 2 ,1 ，∴ t [ 2,0)，..............................5 分 e
不等式 g(ln x) n ln x 0
1
在 2 ,1
上恒成立，等价于 g(t) nt 0在 t [ 2,0)上恒成立，
e
t 6 4
即 n t 1 6 4 6 4 1在 t [ 2,0) 2
上恒成立．
t t t t 2 t
z 6 4令 2 1
1 1 2 5 5
， s，则 s ， z 6s 4s 1 ，∴ n ．.....9 分
t t t 2 2 2
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（3 2）令 log2 x 4 p，则 p 2，........................................10 分
2
方程 g log2 x 4
2
k 9 0 g( p) k 2 2 可化为 9 0log2 x 4 ，p
2
即 p
6 4 2k 9 0 p 5p (2k 6)，也即 0．......................12 分
p p p
2
又∵偶函数 y g log2 x 4 k 2 9log x2 4 恰好有三个零点，所以必有一个零点2
为 0，...................................................................14 分
p2 5p (2k 6)
∴ 0有一个根为 2，∴ k 6．∴ p2 5p 6 0，解得 p 2或 p 3．
p
log x2由 2 4 2 2，得 x 0，由 log2 x 4 3，得 x 2，∴零点为 0， 2，2．
.........................................................................17 分
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{#{QQABbYaEoggIQJIAAAhCUQXKCgCQkAEACQgGBBAMMAAAwRNABAA=}#}2024届高一1+3期末考试
圆弧所对的圆心角为
3,则扇面字画部分的面积为(
数学
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡
上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标
4π
2π
号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，
A.π
B.3
C.3
D.3
将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
分
6.区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域在区块链技术中，某个密码的长度设
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
前
定为5128，则密码一共有2”种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行2”次运算
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，
现在有一台计算机，每秒能进行1.25×10”次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译
1.设集合A={1该密码所需时间大约为()（参考数据：1g2≈0.3，V10≈3.16）
长
A.（-0,1)
B.(0,1)
C.(0,2)
0.（-∞，2)
A.6.32×104s
B.6.32×1040s
2.命题x>0,x-2x≤1的否定是(
c.3.16×104s
D.3.16×1040s
A.x>0,x3-2x≤1
B.x≤0，x3-2x>1
7.若2-2’<3-3’，则()
家
c.3r≤0，x3-2x≤1
D.3x>0,x3-2x>1
A.In(y-x+1)>0 B.In(y-x+1)<0 c.Inx-y>0 D.Inx-yko
感
3.幂函数()（口-2a-2)r在0+）上单调递增，则3()=b+16>1)过定点
8.定义：若集合A,B满足AOB≠O,存在a∈A且aEB,且存在b∈B且bEA,则称集
()
合4B为嵌套集合.已知集合1={rp-rs0且xeR.B={r-Ba+0r+2a+2a<0
A(亿)
8.(12)
c(3)
D.(3,2)
若集合A,B为嵌套集合，则实数a的取值范围为()
4.已知0=2.b=035,c=1og0.8,d=2.1”则4,6c,d的大小关系为()
A.(2,3)
B.（-0,1)
C.(0,3)
D.(1,2)
A.d>a>b>c
B.a>d>c>b
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
C.b>c>azd
D.c>a>d>b
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
5.折扇在我国己有三千多年的历史，它常以字画的形式体现我国的传统文化，右图为其结构
9.下列与412°角的终边相同的角是()
A.520
8.778°
C.-308°
D.1132°
简化图，设扇面A,B间的圆弧长为，C,D间的圆弧长为
,当弦长AB为2V3,
第1页，共2页
