北师大版七年级数学下册1.6完全平方公式强化练习（含解析）

1.6完全平方公式强化练习
一、单选题（共 10 小题）
1、已知，，则代数式的值为（ ）．
A．20 B．10 C． D．
2、下列计算正确的是（ ）
A．a·a3=a3 B．a6÷a2=a3
C．(a3)2=a6 D．
3、下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4、如图，两个正方形的边长分别为a, b,如果a+b=ab=9,则阴影部分的面积为（ ）
A．36 B．27 C．18 D．9
5、若的值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6、下列计算正确的是( )
A．a3 a=a3 B．(2a+b)2=4a2+b2 C．a8b÷a2=a4b D．(﹣3ab3)2=9a2b6
7、已知a－b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值是( )
A．4 B．9 C．13 D．15
8、无论，为何值，代数式的值总是（ ）
A．非负数 B． C．正数 D．负数
9、有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
10、若等式成立，则M是（ ）
A． B． C．－ D．－
二、填空题（共 8 小题）
1、已知，求的值为____．
2、多项式是一个完全平方式，则a=_______；
3、如果，那么的值为______．
4、若实数，满足，则代数式的值是____．
5、已知，，则______．
6、已知（2021﹣a）（a﹣2022）＝5，则（a﹣2021）2+（a﹣2022）2＝_____．
7、若，，，则的值是 _______．
8、已知关于的代数式是完全平方式，则____________
三、解答题（共 6 小题）
1、已知，，求下列各式的值：
（1） （2）
2、有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
3、如图①是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)观察如图②，请你写出下列三个代数式，，ab之间的等量关系为______；
(2)运用你在（1）中得到的关系式，计算：若x、y为实数，且，，试求值；
(3)如图③，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
4、如图，甲长方形的两边长分别为m+1，m+5；乙长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）．
(1)图中的甲长方形的面积＝ ，乙长方形的面积＝ ，比较： （填“＜”、“＝”或“＞”），并说明理由；
(2)现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积S与图中的甲长方形面积的差（即S﹣）是一个常数，求出这个常数．
5、阅读材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m、n的值．
解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，
∴（m2－2mn＋n2）＋（n2－8n＋16）＝0，
∴（m－n）2＋（n－4）2＝0，
∴（m－n）2＝0，（n－4）2＝0，
∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知x2－2xy＋2y2＋6y＋9＝0，求、的值；
(2)已知△АВС的三边长分别为а，b，с都是正整数，且满足a2＋b2－10a－12b＋61＝0，求△ABC的边a、b的值；
(3)已知a－b＝8，ab＋c2－16c＋80＝0，求a＋b＋c的值．
6、若满足，求的值．
-参考答案-
一、单选题
1、A
[思路]利用完全平方公式计算即可得到答案．
[详解]∵，，
∴x+y=，
∴
=
=
=20，
故选：A．
2、C
[思路]根据同底数幂的除法底数不变指数相减，同底数幂的乘法底数不变指数相加，幂的乘方底数不变，指数相乘，以及完全平方公式可得答案．
[详解]A、a·a3=a4，故A计算错误；
B、a6÷a2=a4，故B计算错误；
C、(a3)2=a6，故C正确；
D、，故D错误；
故选：C．
3、C
[思路]根据积的乘方、完全平方公式、同底数幂的乘法进行计算，即可判断出正确答案．
[详解]A、根据积的乘方法则得（﹣2a）2＝4a2，
∴原式错误；
B、根据完全平方公式得（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴原式错误；
C、根据同底数幂的乘法法则得a2 2a2＝2a4，
∴原式正确；
D、根据同底数幂的乘法法则得a 2a2＝2a3，
∴原式错误；
故选：C．
4、B
[思路]阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去两个直角三角形面积，求出即可．
[详解]∵a+b=ab=9，
∴S=a2+b2-a2-b（a+b）=（a2+b2-ab）=[（a+b）2-3ab]= ×（81-27）=27．
故选B．
5、B
[思路]把进行完全平方，展开计算的值即可.
[详解]∵=1，
∴=1，
∴-2=1，
∴=3，
∴=8，
故选B.
6、D
[思路]根据同底数幂的除法、完全平方公式、单项式除以单项式进行计算即可．
[详解]A. a3 a＝a4，故A错误；
B. （2a＋b）2＝4a2＋b2＋4ab，故B错误；
C. a8b÷a2＝a6b，故C错误；
D. （﹣3ab3）2＝9a2b6，故D正确；
故选：D.
7、C
[思路]先根据完全平方公式变形：a2+b2=（a-b）2+2ab，再整体代入求出即可．
[详解]∵a-b=3，ab=2，
∴a2+b2=（a-b）2+2ab=32+2×2=13，
故选C．
8、C
[思路]把含a的放一块，配成完全平方公式，把含b的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．
[详解]原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+4b+4）+1
＝（a﹣1）2+（b+2）2+1，
∵（a﹣1）2≥0，（b+2）2≥0，
∴（a﹣1）2+（b+2）2+1＞0，
即原式的值总是正数．
故选：C．
9、B
[思路]设出长方形的长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案．
[详解]设长方形的长为a，宽为b，
由图1可得，（a+b）2-4ab=35，
即a2+b2=2ab+35①，
由图2可得，（2a+b）（a+2b）-5ab=102，
即a2+b2=51②，
由①②得，2ab+35=51，
所以ab=8，
即长方形的面积为8，
故选：B．
10、B
[详解]根据等式
可得: M=
故选：B．
二、填空题
1、47
[思路]先把已知条件的两边都除以a，然后再利用完全平方公式计算即可.
[详解]∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：47.
2、16
[思路]根据完全平方式的形式得出a=，再求出即可．
[详解]∵多项式是一个完全平方式
∴a==16
故答案为：16.
3、-3
[思路]将已知等式左边配方得出，利用非负数的性质求出、，代入计算即可．
[详解]∵，
∴
，，
，，
∴,
故答案为：．
4、9
[思路]先求出，根据完全平方公式变形即可求得
[详解]∵，且，
∴，
∴，
故答案是：9．
5、
[思路]将两边平方，利用完全平方公式展开，将代入，可求出2ab的值．再由可求出的值，最后再开方即可．
[详解]∵，
∴，即．
将代入上式，得：，
解得：．
∵，
∴可将、代入上式，得：．
∴
故答案为：
6、11
[思路]当数据较大时，一般使用换元法，设m＝a 2021，n＝a 2022，则原题变为m2＋n2的值，再利用完全平方公式进行求解．
[详解]设m＝a 2021，n＝a 2022，
则原题变为： mn＝ 5，即mn＝5，求m2＋n2，
∵m2＋n2
＝（m n）2＋2mn
＝[（a 2021） （a 2022）]2＋2×5，
＝（a 2021 a＋2022）2＋10
＝1＋10
＝11．
故答案为：11．
7、3
[思路]先求出，，，再利用完全平方公式对原式进行变形，最后整体代入计算即可．
[详解]∵，，，
∴，，，
∴
，
故答案为：3．
8、5或-7##或
[思路]根据完全平方公式的特点，可以发现9的平方根是±3，进而确定a的值.
[详解]
∴-（a+1）x=2×（±3）x
解得a=5或a=-7
故答案为：或
三、解答题
1、（1）；（2）
[思路]（1）已知第一个等式左边利用平方差公式分解，将x-y的值代入求出x+y的值，再利用完全平方公式变形，即可求出所求式子的值；
（2）利用求得的x+y的值，直接利用完全平方公式即可求出所求式子的值．
[详解]∵，，，
∴，
（1）
，
∴；
（2）∵，
∴．
2、见解析
[思路]根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决．
[详解]由题意可得：
方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，
方案三：a2++==a2+2ab+b2=（a+b）2．
3、(1)
(2)或
(3)图中阴影部分的面积
[思路]（1）通过观察图形面积可得出（a+b）2，（a-b）2，ab之间的等量关系．
（2）运用（1）的结果导出（x+y）2的值，再求x+y．
（3）设，，则 而，，把问题转到完全平方公式中来，从而可得答案．
[详解]（1）解：如图，大的正方形的面积为：
小的正方形的面积为： 4个长方形的面积为
；
（2）解：由（1）题所得，
∴，
∴当，时，，
∴或；
（3）设，，则
而，，
又由，
得，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
4、(1),,，理由见解析．
(2)4
[思路]（1）根据长方形的面积公式列式，利用多项式乘以多项式的法则计算即可求解；
（2）根据图中甲的长方形周长算出正方形的边长，后求S与的差即可求解．
[详解]（1）解：（1）．
理由：，
，
∴，
∴．
故答案为：,,．
（2）图中甲的长方形周长为2（m＋5＋m＋1）＝4m＋12，
∴该正方形边长为m＋3，
∴，
∴这个常数为4．
5、(1)，．
(2)，
(3)8
[思路]（1）根据，利用完全平方公式的方法，整理出，即可求出、的值各是多少；
（2）根据，利用完全平方公式的方法，整理出，求出、的值各是多少；
（3）根据，，利用完全平方公式的方法，判断出，求出、、的值各是多少；然后把、、的值求和，求出的值．
[详解]（1）解：，
，
，
，，
，．
（2）解：，
，
，
，，
，．
（3）解：，，
，
，
，，
，，，
，
即的值是8．
6、80
[思路]设，，再表示出ab，a+b，然后根据，代入计算即可．
[详解]设：，，
所以，，
则．
所以．