2023 学年下学期高一期末五校联考试卷
数 学参考答案及评分细则
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C D B C C D C B ACD ABD BCD
3
12. 13. 2 14. (0,1)； 3
5
3
15．（1）解： f (x) = cos 2x ， ——1 分
2
2
所以 g(x)的最小正周期T = = . ——2 分
2
令 2k 2x 2k ,(k Z) ， ——3 分
解得 k x k ——4 分
2
所以 g(x)的单调递增区间为[k ,k ], (k Z ). ——5 分
2
1 cos(2x )
3 3
（2）因为 g(x) = cos2x 4 2 = cos2x + 2sin 2x 2
2 2 2
5 4 3 5
= ( sin 2x + cos 2x) 2 = sin(2x + ) 2 . ——7 分
2 5 5 2
3 4
其中 sin = ,cos = , (0, ). ——8 分
5 5 2
5 1
当且仅当 sin(2x + ) =1时，函数 g(x)的最大值为 2 = ，
2 2
此时 2x0 + = 2k + (k Z ) ，即 2x0 = 2k + ——9 分
2 2
3
又 cos 2x0 = cos(2k + ) = sin = ， cos2x
2 ——10 分
0 =1 2sin x0
2 5
3
所以1 2sin2 x0 = ，
5
2 1解得 sin x0 = ——11 分
5
因为 x [0, ) ， ——12 分 0
2
5
所以 sin x0 = . ——13 分
5
16.解：（1）由频率分布直方图可知，
1
{#{QQABTYYEogiAQIBAAQgCUQHoCAOQkBGAAQgGhBAMMAAAgRNABAA=}#}
成绩的第 75百分位数一定在[80，90）内， ——1分
0.75 0.7
即80+10 = 82.5 ——3分
0.2
因此估计参加这次竞赛的学生成绩的第 75百分位数为 82.5； ——4分
（2）由直方图可知，从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中
分别抽取了 3人，2人，1人 ——5分
其中有 3人为航天达人，设为 a，b，c，有 3人不是航天达人，设为 d，e，f，
则从 6人中选择 2人作为学生代表，则样本空间为：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），
（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共 15种， —— 8分
其中 2人均为航天达人为（a，b），（a，c），（b，c）共 3种， ——9分
3 1
所以被选中的 2人均为航天达人的概率为 = ． ——10分
15 5
（3）[80,90）组的人数为 200，[90,100]组的人数为 100. ——11分
备注：若以 80 人的样本来计算方差也正确，不扣分。
2 1 265
则这两组的平均数为：85 +95 = ——12分
3 3 3
所以总体的方差为：
2 1 265 2 265 888s = 200 12+ (85 ) +100 8+ (95 )
2
= 33 ——15分 300 3 3 27
1 200 2002 2 2 2
或：∵12 = xi 85 xi = 200(12+85 )，
200 i=1 i=1
1 100 100
8 = y 2 952i y
2
i =100(8+95
2 ) ——13 分
100 i=1 i=1
2 1
200 100
s = ( x 2
265
i + y
2
i ) ( )
2
——14 分
300 i=1 i=1 3
1 265 296
= 200(12+85
2 )+100(8+952 ) 2 ( ) = 33 ——15分 300 3 9
17.证明：（1）设 AC 边上的高为h ,则
1 1
S BCD = h CD = a BD sin CBD ,
2 2
1 1
S BAD = h AD = c BD sin ABD , ——1分
2 2
又∠CBD =∠ABD,
2
{#{QQABTYYEogiAQIBAAQgCUQHoCAOQkBGAAQgGhBAMMAAAgRNABAA=}#}
CD a
∴ = ； ——3分
AD c
（2）①设∠CBD =∠ABD = (0 ) ,由（1）可知a = 2c
2
2
在 ABC中，由余弦定理得：9 = 5c 4c2 cos2 ， ——4分
c2
9
即： = ，
5 4cos 2
1 9sin 2
又 S = c 2c sin 2 = ——5分
2 5 4cos 2
法一：
9sin 2
S = 4S cos 2 +9sin 2 = 5S 16S 2 +81sin(2 + ) = 5S
5 4cos 2
5S
sin(2 + ) =
16S 2 +81 ——6分
∵ sin(2 + ) 1
5S
∴ 1 S
2 9 S 3
16S 2 +81 ——7分
当且仅当2 + = 时取得最大值 3. ——8分
2
法二：令 t = tan
18t
9sin 2 2 18t 18 18
则 S = = 1+ t = = = 3
2
5 4cos 2 4(1 t ) 9t 2 +1 1
5 9t +
1
2 9t
1+ t 2 t t ——7分
当且仅当 t = 3取得最大值 3. ——8分
②在 ABC中， ∵AD=1，CD=2
2 1
BD = BA+ BC ,
3 3
2 2 1 22 4 4 1 2
BD = ( BA+ BC) = BA + BA BC + BC
3 3 9 9 9
∴9BD2 =8c2 +8c2 cos ABC， ——9分
又在 ABC中，由余弦定理得：5c2 4c2 cos ABC = 9，
2 2
∴ BD = 2(c 1)， ——10分
3
{#{QQABTYYEogiAQIBAAQgCUQHoCAOQkBGAAQgGhBAMMAAAgRNABAA=}#}
1 1
∵ S BAD = (c +1+ BD)r = AD h
2 2
1 1
S BCD = (a + 2+ BD)R = CD h
2 2
r 2c + 2+ BD BD 1
∴ = =1 =1
R 2(c +1+ BD) 2(c +1+ BD) c +1
2( +1) ——11分
BD
1 1 1
=1 =1 =1
c +1
2( +1) c +1 1 12( +1) 2( + +1) ——12分
2(c2 1) 2(c 1) 2 (c 1)
又c+2c 3且c+3 2c ,所以1 c 3 ——13分
1 1 1 1
∴ + 1 0
2 (c 1) 1 1 4
2( + +1)
2 (c 1)
3 r
∴ 1
4 R ——14分
r 3
所以 的取值范围是 ( ,1) . ——15分
R 4
18．解：（1）在图 2 中取CD的中点G ，连接EG
因为 E 为 AB 的中点，所以BC//EG，
则 A1EG 就是异面直线 A E 与BC 所成的角或其补角 ——1 分 1
在 A1DC 中， A1D = A1C = 2,CD = 2 2 ，
所以 A1DC 为等腰直角三角形.
1
因为G 为CD的中点，所以 A1G = CD = 2
2
在 A EG中， A1G = A1E = 2, EG = BC = 2 ， 1
所以 A EG为等腰直角三角形 ——2 分 1
∴ A EG = 45 ——3 分 1
∴异面直线 A E 与BC 的夹角为45 . ——4 分 1
（2）如图，连接 AC 交DE 于点 F ，连接 A1F
4
{#{QQABTYYEogiAQIBAAQgCUQHoCAOQkBGAAQgGhBAMMAAAgRNABAA=}#}
在 矩 形 ABCD 中 ，
AE 2 AD 2 2
= , = = , ，
AD 2 DC 2 2 2
EAD = ADC = 90 ，
所以 EAD ADC ， ——5 分
所以 ADE = DCA
于是 DAC + ADE = DAC + DCA= 90 ，
因此 AFD = 90 ，即DE ⊥ AC ——6 分
∵ DE ⊥ A1F ，DE ⊥ FC ， A ， ， ——7 分 1F FC = F A1F,CF 平面A1FC
所以 DE ⊥平面A FC ——8 分 1
因为 A1C 平面A1FC ， ——9 分
所以 DE ⊥ A1C ——10 分
（3）如图，过 A1作 A1H ⊥ FC ，垂足为 H ，
过 H 作 HI ⊥CD，垂足为 I ，连接 A1I ．
则 A IH 就是二面角 A1 CD B1 的平面角. ——11 分
证明如下：
因为DE ⊥平面A1FC ， A1H 平面A1FC ，
所以 A1H ⊥ DE ．
又因为 A1H ⊥ FC， FC DE = F ， FC, DE 平面BCDE ，
所以 A1H ⊥平面BCDE ．
因为CD 平面BCDE ，
所以 A1H ⊥CD ．
又因为 HI ⊥CD， A1H HI = H ， A1H , HI 平面A1HI ，所以CD⊥平面A1HI ．
因为 A1I 平面A1HI ，
5
{#{QQABTYYEogiAQIBAAQgCUQHoCAOQkBGAAQgGhBAMMAAAgRNABAA=}#}
所以CD ⊥ A1I 。
即 A A1IH 就是二面角 1 CD B的平面角． ——13 分
2 3 2
设 A1FC = , (0, )， 则 A1H = sin ， HI = (2 cos )．
3 3
A1H 3 sin ∵ tan A1IH = tan = = =1 ——14 分
4 HI 2 cos
∴ 3sin +cos = 2， sin + =1，
6
∴ + = =
6 2 3
2 3
此时 A1H = sin =1， ——15 分
3 3
1
又 SEBCD = 3 2 2 = 3 2 ——16 分
2
1 1
∴VA EBCD = SEBCD A1H = 3 2 1= 2 ——17 分 1 3 3
19．解：（1）由 A： 1, 1,1, 1,1,1,
可得T(A) ： 1,1, 1,1,1, 1, ——1 分
T 2(A)：1, 1,1,1, 1, 1 ——2 分
所以 A T 2(A) = 1+1+1 1 1 1= 2； ——3 分
（2）因为 A T(A) = a a +a a + ...+a a ， 1 2 2 3 n 1
由数列 A 为 n 数列，所以ai 1,1 （i＝1，2，…，n）， ——4 分
对于数列 A：a1, a2 ,…, an 中相邻的两项ai , ai+1（i＝1，2，…，n），
令 an+1 = a1，
若a ，则 ， i = ai+1 aiai+1 =1
若a a ，则a a = 1， ——6 分 i i+1 i i+1
6
{#{QQABTYYEogiAQIBAAQgCUQHoCAOQkBGAAQgGhBAMMAAAgRNABAA=}#}
记 aiai+1（i＝1，2，…，n）中有 t 个 1，有n t 个 1， ——7 分
则 A T (A) = n 2t ， ——8 分
因为n 2t 与 n 的奇偶性相同，而n 3与 n 的奇偶性不同，
故不存在适合题意的数列 A； ——10 分
（3）首先证明 A T(A) =T k (A) T k+1(A)（k＝1，2，…，n﹣2），
对于数列 A：a1, a2 ,…, an 有
T(A) ： a2 , a3 , …，an , a1,
T k (A)：ak+1,a …，a , a , a …， k+2 , n 1 2, ak 1,ak ,
T k+1(A)： a ,a a , a , ak+2 k+3 , …， n 1 2,…，a ,a , ——11 分 k k+1
k k+1
所以T (A) T (A) = ak+1ak+2 + ak+2ak+3 + ...+ ana1 + a1a2 + a2a3 + ...+ akak+1 ——12 分
故 A T(A) =T k (A) T k+1(A) （k＝1，2，…，n﹣2），
故 A T(A) = n 4． ——13 分
其次，由数列 A 为 n数数列可知， A T(A) = n 2t = n 4， ——14 分
解得 t＝2，这说明数列 A 中任意相邻两项不同的情况有 2 次， ——15 分
若数列 A 中 1的个数为 s（s＝1，2，3，…，n﹣1）个，此时数列 A 有 n 个，
所以数列 A 的个数为n(n 1)个． ——17 分
部分题目详解：
8.由满足对任意的 t R，恒有 b te b e ， b ⊥ e b = 2 ，
1 1
∵ a = 2 ∴ a + e = a + 2e = a ( 2e) ，
2 2
1 1 1
所 以 a + e + a b = a ( 2e) + a b b ( 2e) = 2 3
2 2 2
（如图所示）
1
当且仅当向量 2e,b, a 的终点在一条直线上时等号成立．故选： ．
2
7
{#{QQABTYYEogiAQIBAAQgCUQHoCAOQkBGAAQgGhBAMMAAAgRNABAA=}#}
14.解：当 = 1， = 1时，
1
则函数 f (x) = ，定义域为( ∞, 1) ∪ ( 1,1) ∪ (1,+∞)，
x 1
f ( x) = f (x)，故 f (x) 为偶函数，
1
当 x 0， f (x) = ，故 f (x) 在(0,1)和(1,+∞)单调递减， f (0) = 1，
x 1
f (x)与 轴交于(0, 1)点，则“囧点”坐标为C(0,1)，则“囧圆”圆心为C(0,1)，
要求”囧圆”的面积最小，则只需考虑 y 轴及 y 轴右侧的函数图象，
当圆C 过点 (0, 1)时，其半径为 2，这是和 x 轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中
半径的最小值；
1
当圆C 和 x 轴上方且 y 轴右侧的函数图象有公共点 A时，设 A(m, ) (其中m 1)，
m 1
2 2 1 2
则点 A到圆心C 的距离的平方为 d = m + ( 1) ，
m 1
1
令 = t， (t 0) ，
m 1
2 1 1 2 1 1
则 d = (1+ )2 + (t 1)2 = t2 + + 2t + 2 = (t )2 2(t )+ 4
t t 2 t t t
1
再令 t = ，(其中 R )，则d 2 = 2 2 +4 = ( 1)2 +3 3
t
所以当圆C 和 x 轴上方且 y 轴右侧的函数图象有公共点时，最小半径为 3 ．
又2 3 ，
综上可知，在所有的“囧圆”中，半径的最小值为 3 ，
故所有的“囧圆”中，面积的最小值为3 ．
故答案为 (0,1)；3 ．
8
{#{QQABTYYEogiAQIBAAQgCUQHoCAOQkBGAAQgGhBAMMAAAgRNABAA=}#}2023学年下学期高一期末五校联考试卷
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1.开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关
信息填写在答题卡指定区域内。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和
涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
L已知集合A=(-l≤x≤B={2≤0
则AnB=()
A.{-1≤x≤2}B.{x-1≤x<2}C.{x0≤x≤}D.{x0≤x≤2}
2.若复数：满足=3，则月=（)
z+1
A.2
B.2023
C.√2023
D.1
3.已知a=g),b=cosl,c=2i,则a,b,c的大小关系为()
A.a
B.aC.bD.b4.已知m,n是两条不同的直线，以，阝是两个不重合的平面，则下列命题正确的是()
A.m∥，n/∥B,c∥B→m∥n
B.⊥B,mcc,ncβ→m⊥n
C.m∥n,m⊥c,ncB→c⊥B
D.c⊥B,m⊥C→mcB
5.如图所示，函数y=costan0≤x<37且x≠石)的图象是()
6.已知一个古典概型的样本空间2和事件A,B,满足n(2)=12,n(A)=6,
n(B)=4,(AUB)=8,则下列说法正确的是()
1
A.事件A与事件B互斥
B.P(B)=
3
C.P(AB)>P(AB)
D.事件A与事件B相互独立
7.已知函数fx)=nx-
+ax+2a+bsin(x-2),则f(x)图象有如下性质()
3-x
A.关于点(2,2b)中心对称
B.关于直线x=b轴对称
C.关于点(2,4a)中心对称
D.关于点(2,2a)中心对称
8.已知平面向量a,五，e,且日=1，d园=2.已知向量6与e所成的角为60，且
万-网≥5-对任意实数恒成文，则6++a-的最小值为（)
A.√5+1
B.2V3
C.V5+5
D.2W5
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.广州市某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识
测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分。得分不少于60分记为及格，不少
于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则()
A.该次数学史知识测试及格率超过90%
B.该次数学史知识测试得满分的同学有15名
得60分326
C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
得40分
8%
D.若该中学共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的
得100分
同学大约有1800名
得80分48%