陕西省榆林市神木市第四中学2023-2024学年高二下学期第四次检测数学试题（含答案）

神木四中2023~2024学年度第二学期高二第四次检测考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名 准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
3.色差和色度是衡量毛线玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ）
色差 21 23 25 27
色度 15 18 19 20
A.23.4 B.23.6 C.23.8 D.24.0
4.已知函数，则的值为（ ）
A.0 B. C. D.-2
5.已知椭圆的长轴的顶点分别为，点为椭圆的一个焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6.直线与圆的位置关系为（ ）
A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定
7.设随机变量的分布列为分别为随机变量的数学期望与方差，则（ ）
A. B. C. D.
8.甲 乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（ ）
A. B. C. D.或
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列各组的两个变量中呈正相关关系的是（ ）
A.学生的身高与学生的化学成绩
B.汽车行驶的里程与它的耗油量
C.人的年龄与年收入
D.水果的重量与它的总价
10.下列函数在定义域上为增函数的有（ ）
A. B.
C. D.
11.下列说法正确的是（ ）
A.可表示为
B.6个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手15次
C.若把英文“sorry”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种
D.将4名医护人员安排到呼吸 感染两个科室，要求每个科室至少有1人，则共有18种不同的安排方法
12.某商场举办一项抽奖活动，规则如下：每人将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，记第次正面朝上的点数为，若“”，则算作中奖，现甲 乙 丙 丁四人参加抽奖活动，记中奖人数为，下列说法正确的是（ ）
A.若甲第1次投掷正面朝上的点数为3，则甲中奖的可能情况有4种
B.若甲第3次投掷正面朝上的点数为5，则甲中奖的可能情况有6种
C.甲中奖的概率为
D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知的展开式中含的项的系数为-192，则__________.
14.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为__________.
15.有甲 乙两个班级共计100人进行物理考试，按照大于等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀 非优秀 总计
甲班 10
乙班 30
已知在全部100人中随机抽取1人，成绩非优秀的概率为，则下列说法正确的是__________.
①列联表中的值为的值为40；
②列联表中的值为的值为50；
③根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；
④根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”.
附：，其中.
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
16.已知两个不透明的盒中各有形状 大小都相同的红球 白球若干个，盒中有个红球与个白球，盒中有个红球与个白球，若从两盒中各取1个球，表示所取的2个球中红球的个数，则的最大值为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，已知.
（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值.
19.（本小题满分12分）
某收费（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计 方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用（单位：元）及该月对应的用户数量（单位：万人），得到如下数据表格：
用户一个月月租减免的费用（元） 4 5 6 7 8
用户数量（万人） 2 2.1 2.5 2.9 3.2
已知与线性相关.
（1）求关于的经验回归方程；
（2）据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
20.（本小题满分12分）
袋中有5个白球 4个黑球，从中任意摸出3个，求下列事件发生的概率：
（1）摸出2个或3个白球；
（2）至少摸出1个白球；
（3）至少摸出1个黑球.
21.（本小题满分12分）
每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠，某机构调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的人员中，常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中，各抽取了200人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）根据频率分布直方图，求常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间（同一组的数据用该组区间的中点值代替）；
（3）若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列列联表，并判断是否有的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.
睡眠足 睡眠不足 总计
常参加体育锻炼人员
不常参加体育锻炼人员
总计
附：，其中.
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
22.（本小题满分12分）
设直线的方程为，该直线交抛物线于两个不同的点.
（1）若点为线段的中点，求直线的方程；
（2）证明：以线段为直径的圆恒过点.
神木四中2023~2024学年度第二学期高二第四次检测考试·数学
参考答案 提示及评分细则
1.D 因为直线，所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，所以.
2.D 随机变量服从两点分布，设成功的概率为，
.故选D.
3.A 由题意可知，，
将，即，解得，
所以，
当时，，
则.故选A.
4.D 由题意知，，所以，故选D.
5.C 设长轴为，焦距为，由题意有，得.
6.B 直线恒过，又在圆内部，所以直线与圆必相交.
7.C 因为随机变量的分布列为，由分布列的性质可知，，解得，
，
，
.故选C.
8.D 随机变量可能的取值为2，3.
.
，
故的分布列为：
2 3
故，由，解得或.故选D.
9.BD 由题意，中为非确定性关系；中均为相关关系，且为正相关关系.故选BD.
10.AC 在上是增函数；函数的定义域为，当时，，当时，，所以在定义域上不是增函数；函数的定义域为，所以在定义域上是增函数；，定义域为在定义域内不是增函数，故选AC.
11.BC 对于选项，，故A错误；
对于B选项，6人两两握手，共握（次），故B正确；
对于C选项，排列共有（种），正确的共有，可能出现的错误共有（种），故C正确；
对于D选项，将4人按3，1分组，共（种）分法，再分到科室有（种）分法；
将4人按2，2分组，共有（种）分法，再分到科室有（种）分法.
故每个科室至少有1人，共有（种）安排方法，故D错误.故选BC.
12.BCD 由题意知，当时，中奖情况有种，故A错误；
当时，中奖情况有种，故B正确；
中奖情况如下：当时，共有1种；当时，共有种；当时，共有种；记“”的事件为，则中奖的可能情况共有种，所有可能情况有种，，故C正确；
四人参加抽奖，每人中奖的概率均为，中奖人数，所以，故D正确.故选BCD.
13.2 由，得.
14. ，则，则，解得.
15.①④ 由题意得在全部100人中随机抽取1人，成绩非优秀的概率为，
则成绩非优秀的学生有人，甲班有40人，则乙班30人，即，
成绩优秀的学生有30人，甲班由10人，则乙班有20人，即，
故①正确，②错误；
由列联表可得，
故按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”，③错误，④正确.
16. 的可能取值为，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2
，
，当且仅当时，等号成立，
所以当取到最大值时，的值为4.
17.解：（1）因为，
又，
所以.
因为也满足，所以.
（2）因为，
所以，
所以.
18.解：（1）因为四边形是矩形，，
所以.
又因为，所以平面，
因为，所以平面，
又，所以平面，从而.
（2）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐
标系.
因为，所以，又，
故.
设为平面的法向量，则即
取，解得.
为平面的一个法向量.
显然，为平面的一个法向量.
则.
据图可知，二面角的余弦值为.
19.解：（1）由，
，
有，
，
故关于的经验回归方程为；
（2）由（1）知经验回归方程为，当时，，
所以预测该月的用户数量为5.10万人.
20.解：（1）根据题意，设从中摸出白球的个数为，则服从超几何分布，
所以.
即摸出2个或3个白球的概率为；
（2）由（1）得，，即至少摸出1个白球的概率为；
（3）所以至少摸出1个黑球，
故至少摸出1个黑球的概率为.
21.解：（1）由频率分布直方图可知，，可得；
（2）由频率分布直方图可得：
，
所以常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间；
（3）常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，则“睡眠不足”的人数为50；
不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，则“睡眠不足”的人数为90，
列联表如下：
睡眠足 睡眠不足 总计
常参加体育锻炼人员 150 50 200
不常参加体育锻炼人员 110 90 200
总计 260 140 400
因为，
所以有的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.
22.（1）解：联立方程组，消去得，
设，
则.
因为为线段的中点，所以，解得，
所以直线的方程为.
（2）证明：因为，
，
所以，
即，
所以，
因此，即以线段为直径的圆恒过点.