人教版九年级数学上册21.2.3 解一元二次方程——因式分解法 课后练习(含解析)

人教版九年级数学上册
21.2.3 解一元二次方程——因式分解法课后练习
一、单选题
1．已知实数x，y满足 且 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．2
2．一元二次方程x2＝－2x的解是（　　）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2
3．已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（　　）
A．4或5 B．3 C． D．3或
4．方程的两个根为（　　）
A． B．
C． D．
5．已知一个直角三角形的两边长是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（　　）
A．3 B． C．3或 D．5或
6．矩形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则矩形ABCD的面积为（　　）
A． B．12 C． D．或
7．若关于 的一元二次方程 有一根为0，则 的的值为（　　）
A．2 B．-1 C．2或-1 D．1或-2
8．用因式分解法把方程 分解成两个一次方程，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．一元二次方程x2﹣10x+21＝0的两根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为（　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．不能确定
10．一个三角形的两条边长分别是方程x2﹣8x+15＝0的两根，三角形的周长是12，则该三角形的面积是（　　）
A．5 B．6 C．7.5 D．12
二、填空题
11．的根为　 　．
12．已知（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，则一元二次方程x2+x﹣m＝0的根是 　 　．
13．如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的周长为　 　．
14．已知方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，则m=　 　．
15．关于x的方程ax2＋2x－a＋2＝0(a是已知数)有以下三个结论：①当a＝0时，方程只有一个实数解；②当a≠0时，方程有两个不相等的实数解；③当a是任意实数时，方程总有负数解，其中正确的是　 　(填序号).
三、解答题
16．解方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0 （2）x（x﹣3）＝x﹣3．
x2﹣3x+2＝0 （4）x2﹣6x﹣7＝0．
已知关于x的方程x2﹣2016x+m2﹣3m＝0的一个根与关于x的方程x2+2016x﹣m2+3m＝0的一个根互为相反数，求m的值
若关于x的一元二次方程有一个根是，求k的值及方程的另一根.
19．小敏与小霞两位同学解方程 的过程如下框：
小敏： 两边同除以 ，得 ， 则 ． 小霞： 移项，得 ， 提取公因式，得 ． 则 或 ， 解得 ， ．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若不正确请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
已知方程x2﹣6x+m﹣2=0的一个根为2，求m的值及另一个根．
若直角三角形的两边长分别是方程 的两根，求该直角三角形的面积．
先化简，再求值：（ ）÷ ，其中x的值是方程x2+2x﹣3＝0的解.
23．阅读下面的例题.
解方程： .
解：（1）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）.
（2）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）.
∴原方程的解是 ， .
请参照上述方法解方程 .
1．答案：A
解析：解：∵ ，得 ，
即 .
∴ 或 .
即 或 .
∵ ，所以 ， .
故答案为：A.
分析：原方程可变形为x6-26x3y3-27y6=0，给方程两边同时除以y6，求出的值，根据x2≠y2可得=3，给分式的分子、分母同时除以y2，然后将=3代入计算即可.
2．答案：D
解析：解 ：x2＝－2x
x2+2x=0
x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝-2.
故答案为：D.
分析：将方程化为一般形式，发现方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，因此直接利用因式分解法求解即可.
3．答案：D
解析：解：解方程得，，
当两直角边分别为4和5，则第三边的长，
当斜边为5，第三边的长，
所以此三角形的第三边长为3或．
故答案为：D．
分析：先求出，，再分类讨论，利用勾股定理计算求解即可。
4．答案：D
解析：解：
，
解得
故答案为：D．
分析：利用十字相乘法求解一元二次方程即可。
5．答案：D
解析：解：，
因式分解得：，解得：，，
情况1：当为斜边的长时，此时斜边长为5，
情况2：当，，都为直角边长时，此时斜边长为，
这个直角三角形的斜边长为5或，
故答案为：D．
分析：利用因式分解法解一元二次方程，再利用勾股定理即可得出答案。
6．答案：D
解析：解：∵，
∴（x-2）（x-5）=0，
∴
∴另一边长为=或=，
∴矩形的面积为2×=或5×=5，
故答案为：D．
分析：利用矩形的性质，再根据因式分解法解一元二次方程即可。
7．答案：A
解析：解：∵方程（m+1）x2-x+m2-m-2=0是一元二次方程，
∴m+1≠0，
∴m≠-1，
∵x=0是方程（m+1）x2-x+m2-m-2=0的解，
∴m2-m-2=0，
∴（m-2）（m+1）=0，
∴m=2或m=-1，
∴m=2.
故答案为：A.
分析：根据一元二次方程的定义得出m≠-1，再把x=0代入方程得出m2-m-2=0，得出m=2或m=-1，即可得出m=2.
8．答案：C
解析：解：根据题意得， ，
∴ ，
∴ 或 ．
故答案为：C
分析：先求出，再利用因式分解法求解即可。
9．答案：B
解析：解：（x﹣3）（x﹣7）＝0
∴x1＝3，x2＝7．
∵三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，
∴腰长是7，底边是3，
周长为：7+7+3＝17．
故答案为：B．
分析：先求出x1＝3，x2＝7，再求出腰长是7，底边是3，最后计算求解即可。
10．答案：B
解析：解：x2﹣8x+15＝0，
（x﹣3）（x﹣5）＝0，
x﹣3＝0或x﹣5＝0，
所以x1＝3，x2＝5，
即三角形的两条边长分别3、5，
而三角形的周长是12，
所以第三边长为12-3-5=4，
因为32+42＝52，
所以此三角形为直角三角形，
所以该三角形的面积＝ ×3×4＝6．
故答案为：B．
分析：先求出三角形的两条边长分别3、5，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
11．答案：，
解析：解：，
，
x=0或x-1=0，
解得，，
故答案为：，．
分析：利用因式分解法解方程即可。
12．答案：或
解析：解：∵（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，
∴，
∵x2+x﹣m＝0，
∴，
解得：或.
故答案为：或.
分析：利用因式分解法解一元二次方程即可。
13．答案：24
解析：解：设直角三角形的三边分别为2x-2，2x，2x+2，
∴（2x-2）2+（2x）2=（2x+2）2，
∴x=4或x=0（不符合题意，舍去），
∴直角三角形的三边分别为6，8，10，
∴周长=6+8+10=24.
故答案为：24.
分析：设直角三角形的三边分别为2x-2，2x，2x+2，根据勾股定理得出方程（2x-2）2+（2x）2=（2x+2）2，解方程求出x的值，得出直角三角形的三边分别为6，8，10，即可得出三角形的周长.
14．答案：1
解析：解：把方程x2-2x-3=0左边因式分解得，
（x-3）（x+1）=0，
∵方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，
∴m=1，
故答案为：1．
分析：利用十字相乘法求出方程化简为（x-3）（x+1）=0，即可得到m的值。
15．答案：①③
解析：解：当 时， ， 方程只有一个解，①正确；
当 时，方程ax2＋2x－a＋2＝0是一元二次方程， ，方程有2个实数解，故②不正确；
， 所以x=﹣1是方程的根，③正确；
故答案为：①③.
分析：当a=0时，方程变为2x+2=0，据此判断①；求出判别式的值，根据其正负确定方程根的情况，据此判断②；对原方程因式分解可得(x+1)(ax-a+2)=0，据此判断③.
16．答案：（1）解：
即 或
解得：
（2）解：
即 或
解得：
（3）解：
这里
∴
∴
（4）解：
即 或
解得：
解析：（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）先移项，再利用因式分解求解一元二次方程即可；
（3）利用公式法求解一元二次方程即可；
（4）利用十字相乘法求解一元二次方程即可。
17．答案：解：设这两个方程的根分别为a和﹣a
把x＝a代入方程x2﹣2016x+m2﹣3m＝0，得a2﹣2016a+m2﹣3m＝0 ①
再把x＝﹣a代入方程x2+2016x﹣m2+3m＝0，得a2﹣2016a﹣m2+3m＝0 ②
①﹣②消去a 得：2m2﹣6m＝0
解得m＝3或m＝0
解析： 设这两个方程的根分别为a和-a，得出a2-2016a+m2-3m＝0，a2-2016a-m2+3m＝0，两式相减得出2m2-6m＝0 ，解方程即可得出m的值，
18．答案：解：∵x=1是x2﹣3x+k+2＝0的一个根，
∴12-3×1+k+2=0，
解得k=0，
将k=0代入原方程得x2﹣3x+2＝0，
∴
解得x1=1，x2=2，
∴k=0，方程的另一个根是x=2.
解析：将x=1代入原方程中可求出k的值，进而得到关于x的一元二次方程，然后利用因式分解法就可求出方程的另一根.
19．答案：解：
小敏： 两边同除以 ，得 ， 则 ． （×） 小霞： 移项，得 ， 提取公因式，得 ． 则 或 ， 解得 ， ． （×）
正确解答：
移项，得 ，
提取公因式，得 ，
去括号，得 ，
则 或 ，
解得 ， ．
解析：
小敏：没有考虑x-3 =0，解分式方程时如果方程两边同时除以含未知数的式子，容易丢根，要考虑这个式子为零时是否符合题意，；
小霞： 思路正确，但是提公因式出现符号错误，当括号前是负号时，去掉括号时，括号里面的项都要变号。
20．答案：解：当x=2时，22﹣6×2+m﹣2=0，
解得：m=10．
∴方程为x2-6x+8=0
解得：x1=2，x2=4
∴m的值为10，方程的另一个根是x=4．
解析：将x=2代入原方程中可得关于m的一元一次方程，求出m的值，代入原方程中可得关于x的一元二次方程，求解即可得到另一个根.
21．答案：解：解方程 得，
， ，
当3和4是直角三角形的两条直角边时，直角三角形的面积为 ；
当3是直角三角形的直角边，4是直角三角形的斜边时，另一条直角边为 ，直角三角形的面积为 ；
答：直角三角形的面积为6或 ．
解析：先利用十字相乘法求出方程的两根，再分两种情况利用勾股定理求出第三边，最后利用三角形的面积公式求解即可。
22．答案：解：原式＝ ＝ = ，
由x2+2x 3＝0，得到x＝1（舍去）或 3，
则当x＝ 3时，原式＝ 12.
解析：根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简；利用因式分解法解一元二次方程，求出x的值，再代入使原分式有意义的x的值求值即可.
23．答案：解： .
（1）当 时，原方程化为 ，
解得 ， （不合题意，舍去）.
（2）当 时，原方程化为 ，
解得 ， （不合题意，舍去）.
故原方程的解是 ， .
解析：当x≥1时，原方程化为x2-x=0，利用因式分解法可得x的值；当x<1时，原方程化为 x2+x-2=0，同理可得x的值，进而可得原方程的解.