2024年深圳市普通高中高二年级调研考试
数学参考答案及评分标准
1.【详解】集合，
.
故选：B .
2.【详解】因为
所以
，则，
故选：C.
3.【详解】因为，得到，
所以当时，有，
当时，成立，但得不出，
所以“” 是 “” 的充分不必要条件，
故选：A.
4. 【详解】A：，，则m∥n或m与n是异面直线，A为假命题；
B： 若 ,则，或, B为假命题
C：若，或, C为假命题
D：是面面垂直的一种判定方法，所以选项D正确.故选：D
故选：D.
5. 【详解】由，
，
故选：D
6. 【详解】从 9 名同学中选出 4 人去参加环保活动共有种，
甲、乙两名同学都不参加共有种，
若甲、乙两名同学至少有 1 名位参加有种，
故选：C
7. 【详解】设抛物线的焦点为，无论在何处，的最小值都是到轴的距离，
所以的最小值 和到轴的距离之和的最小值 和到准线的距离之和减去最小，
根据抛物线的定义问题转化为最小，显然当三点共线时最小，最小值为
.
故选：D
8. 【详解】因为①，所以，得到，
所以，又，②，
联立①②得到，，所以，
得到，则，
故选：B.
9. 【详解】设中的最大数为，最小数为，因为，
显然有，所以选项A正确，
新数据的平均数为，
所以选项C正确，
不妨取这组数据为，此时，中位数为，
标准差为，
则这组新数据为，此时平均数为，
中位数为，标准差为，
所以选项B和D错误，
故选：AC.
10. 【详解】由，
的最小正周期为，故A对，
，对应的函数值是最值，故B对；
时，，此时t关于x单调递增，
在不单调，故 在区间 上不单调递增，故C错；
时，，此时t关于x单调递增，
即t与x是一一对应的，
，而关于t的三角函数方程在时，恰好有4个根：，
又t与x是一一对应的，所以 在区间 上有 4 个零点，故D对，
故选;ABD
11. 【详解】对于A，设的中点为，连接，则，
所以，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，
所以点到直线的距离的最小值为，
因为，所以以为直径的圆与直线相离，
所以A正确，
对于B，如图，当直线与直线平行，且共线时，
则为等腰三角形，
此时，
则，
所以，所以，所以B错误，
对于C，因为,
所以
,
因为，
所以
，当，共线，且在之间时取等号，
所以的最小值为8，所以C正确，
对于D，因为，
所以，
所以
，当，共线，且在之间时取等号，
所以的最小值为112，所以D正确，
故选：ACD
12. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线为，高为，
由题有，解得，，所以，
所以圆锥的体积为，
故答案为：.
13.【详解】由可得：，
所以函数是上的增函数，
又由可得：函数是奇函数，
则，
即，
解得.
故答案为：.
14. 【详解】设，则，
由双曲线的定义可得，
，
在中，由余弦定理可得，
化简可得①，
在中，由余弦定理可得，
化简可得，即②，
联立①②可得，则双曲线的离心率为.
故答案为：2024 年深圳市普通高中高二期末调研考试
数 学
本试卷共 4 页, 19 小题, 满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前, 考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。用 铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角 “条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案, 答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 集合 ,则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ,则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量 为非零向量,则 “ ” 是 “ ” 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中为真命题的是（ ）
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
5. 已知 均为不等于 1 的正实数,若 ,则 （ ）
A. B. C. D.
6. 从 9 名同学中选出 4 人去参加环保活动, 若甲、乙两名同学至少有 1 名位参加, 则选派方案共有（ ）
A. 56 种 B. 70 种 C. 91 种 D. 126 种
7. 分别是抛物线 和 轴上的动点, ,则 的最小值为（ ）
A. 5 B. C. D. 2
8. 已知 ,且 ,则 的值为（ ）
A. B. C. -7 D. 7
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知互不相等的一组数据 的平均数为 ,记 为 ,则 这组新数据与原数据相比, 一定不变的量有（ ）
A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 标准差
10. 已知函数 ,则（ ）
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于 对称
C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上有 4 个零点
11. 已知点 为圆 上两动点,且 ,点 为直线 : 上动点,则（ ）
A. 以 为直径的圆与直线 相离 B. 的最大值为
C. 的最小值为 8 D. 的最小值为 112
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知圆锥的表面积为 ,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积为 .
13. 已知函数 ,则不等式 的解集为 .
14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 的直线 与 的右支交于 两点,若 ,则 的离心率为 .
四 解答题: 本题共 9 小题，共 77 分、解答应笃出文学说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
设数列 满足 .
（1）求数列 的通项公式;
（2）求数列 的前 项和 .
16. (15 分)
在三棱锥 中, 平面 分别是 的中点,点 在棱 上,且 .
（1）求证: 平面 ;
（2）若 ,求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. (15 分)
某同学参加射击比赛, 每人配发 3 颗子弹. 射击靶由内环和外环组成, 若击中内环得 8 分,击中外环得 4 分,脱靶得 0 分. 该同学每次射击,脱靶的概率为 ,击中内环的概率为 ,击中外环的概率为 ,每次射击结果相互独立. 只有前一发中靶,才能继续射击, 否则结束比赛.
（1）若已知该同学得分为 8 分的情况下, 求该同学只射击了 2 发子弹的概率;
（2）设该同学最终得分为 ,求 的分布列和数学期望 .
18. (17 分)
已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性;
（2）当 时,证明: 函数 有且仅有一个零点.
19. (17 分)
已知椭圆 的焦距为 ,直线 过点 , 且与椭圆 相交于 两点, 是线段 的中点, 为坐标原点.
（1）求椭圆 的方程;
（2）若梯形 的顶点都在椭圆 上,且 ,对角线 和 交于点 , 线段 的中点分别为 .
(i) 证明: 四点共线;
(ii) 试探究直线 与直线 的交点是否为定点,若是,请求出该定点并证明; 若下是, 请说明理由.
