人教版九年级数学上册21.2.4 解一元二次方程——一元二次方程的根与系数的关系 课后练习(含解析)

人教版九年级数学上册
21.2.4 解一元二次方程—— 一元二次方程的根与系数的关系课后练习
一、单选题
1．已知 是关于 的方程 的两根，则 的值是（　　）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
2．已知方程 的两根分别为m、n，则 的值为（　　）
A．1 B． C．2021 D．
3．已知m，n是方程 的两根，则代数式 的值等于（　　）
A．0 B． C．9 D．11
4．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝-2，x2＝4，则m-n的值是（　　）
A．-10 B．10 C．-6 D．6
5．已知是一元二次方程的一个根，则方程的另外一根为（ ）
A． B． C． D．
6．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则下列选项不正确的是（　　）
A．m+n＝﹣2 B．mn＝﹣5 C．m2+2m﹣5＝0 D．m2+2n﹣5＝0
7．若，是一元二次方程的两个根，则，的值分别是（ ）
A．1和6 B．5和-6 C．-5和6 D．5和6
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（　　）
A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣2
9．已知是方程的根，则的值是（　　）
A．1 B．-1 C．±1 D．0
10．已知 是关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则m的值为（　　）
A． 或1 B． 或3 C． D．3
二、填空题
11．若一元二次方程的两根分别为m与n，则　 　．
12．若m、n是方程x －3x－1=0的解，则m －4m－n的值是　 　．
13．若关于x的方程有一个根是2，则另一个根为　 　．
14．一元二次方程的两根为，，则　 　．
15．若方程两根为、，则　 　．
三、解答题
16．若 是方程 的一个根，求方程的另一个根及c的值.
已知关于x的一元二次方程两个不相等的实数根，，若，求m的值．
若关于x的一元二次方程x2－bx＋3＝0有一个根是x＝1，求b的值及方程的另一根.
已知方程关于x的一元二次方程3x2+5x-4k=0的一个根是-2，求k和方程另一个根a的值．
在等腰 中， 、 、 的对边分别是a、b、c；已知 ，b、c分别是方程 的两个根，试求 的周长.
已知 ， 是关于x的方程 的两个根，是否存在实数m使 成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
已知关于x的一元二次方程 的一个根是 ，求方程的另一个根及k的值．
23．已知关于x的一元二次方程 （m为常数），若方程有一个根为3，求m的值及方程的另一个根．
1．答案：D
解析：解：∵ 是关于 的方程 的两根，
∴ ，
∴ ，
∴
=
=
=2009+12
=2021
故答案为：D.
分析：根据一元二次方程根的概念可得a2=2009-3a，根据根与系数的关系可得a+b=-3，然后代入待求式中计算即可.
2．答案：B
解析：解：∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为m，n，
∴mn＝1，m2﹣2021m+1＝0，
∴m2＝2021m-1，
∴m2﹣ ＝2021m-1-2021m=-1.
故答案为：B.
分析：根据一元二次方程根的概念可得m2-021m+1＝0，根据根与系数的关系可得mn=1，则m2＝2021m-1，m=，接下来代入待求式中计算即可.
3．答案：C
解析：解：∵m，n是方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
故答案为：C.
分析：根据一元二次方程根的概念可得m2-10m=-1，根据根与系数的关系可得m+n=10，待求式可变形为m2-10m+(m+n)，据此计算.
4．答案：D
解析：解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝-2、x2＝4，
∴x1+x2＝﹣m＝-2+4，解得：m＝﹣2，
x1 x2＝n＝-2×4，解得：n＝-8，
∴m-n＝﹣2-（-8）＝6.
故答案为：D.
分析：设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，x1 x2＝，可得x1+x2＝﹣m，x1 x2＝n，据此分别求出m、n的值，再代入计算即可.
5．答案：C
解析：解：是一元二次方程的一个根，设方程的另一个根为n，
∵两根的和为：，
∴，解得：，
故答案为：C．
分析：设方程的另一个根为n，根据一元二次方程根与系数的关系可得，所以，再求出n的值。
6．答案：D
解析：解：∵m、n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2，m2+2m﹣5＝0，n2+2n﹣5＝0，
∴选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意；
故答案为：D．
分析：利用一元二次方程的根及一元二次方程根与系数的关系逐项判断即可。
7．答案：D
解析：解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴x1+x2=5，x1x2=6，
故答案为：D．
分析：根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=5，x1x2=6。
8．答案：B
解析：解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×1＝7．
故答案为：B．
分析：利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2＝3，x1x2＝1，再代入求解即可。
9．答案：B
解析：解：∵x1与x2是方程的根，
∴ ，
∴.
故答案为：B.
分析：根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2==1，x1x2==-1，对待求式进行通分可得，据此计算.
10．答案：D
解析：解：根据题意得： ，且 ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： 或 ，
∴m的值为3.
故答案为：D.
分析：根据一元二次方程的根及根与系数的关系可得，，由可求出m的范围，由=可得关于m的方程并解之即可.
11．答案：
解析：解：∵一元二次方程的两根分别为m与n，
根据根与系数的关系得，mn=2，
所以原式=．
故答案为：．
分析：利用根与系数的关系求出，mn=2，再代入求解即可。
12．答案：-2
解析：解：是方程的解，
，
，
，
、是方程的解，
，
．
故答案为：-2．
分析：先求出，再求出，最后代入求解即可。
13．答案：-4
解析：解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2t=-8，
解得：t=-4，
即方程的另一个根为-4.
故答案为：-4．
分析：根据一元二次方程根与系数可得方程的另一个根。
14．答案：1
解析：根据题意得x1＋x2＝3，x1x2＝2，
所以x1＋x2 x1x2＝3 2＝1．
故答案为1．
分析：利用一元二次方程根与系数的关系先求出x1＋x2＝3，x1x2＝2，再代入求解即可。
15．答案：10
解析：解：
由韦达定理可得
∴
故答案为：10
分析：利用一元二次方程根与系数的关系先求出，再代入求解即可。
16．答案：解：∵ 是此方程的一个根，设另一个解为
则 ，
，即方程的另一个根为
.
解析：设另一根为x2，根据根与系数的关系可得x1+x2=6，据此可得x2，然后根据x1x2=c可得c的值.
17．答案：解：∵，是一元二次方程的两根
∴由根与系数关系得，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∵，
∴
∴．
解析：先求出 ，， 再利用一元二次方程根的判别式求解即可。
18．答案：解：∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+3=0有一个根是x=1，
∴1﹣b+3=0，
解得：b=4，
把b=4代入方程得：x2﹣4x+3=0，
设另一根为m，可得1+m=4，
解得：m=3，
则b的值为4，方程另一根为x=3.
解析：将x=1代入原方程中可得b的值，进而可得关于x的一元二次方程，设另一根为m，根据根与系数的关系可得1+m==4，求解可得m的值，即方程的另一根.
19．答案：解：将x=-2代入方程
12-10-4k=0
k=
∴a+-2=-
∴a=
解析：根据方程根的含义求出k的值，继而根据一元二次方程根与系数的关系求出a即可。
20．答案：解：∵b、c是关于x的方程 的两个实数根，
∴ ， ，
当a=3为其腰时，则b=a或c=a，
此时三角形三边为3，3，9，
∵ ，
∴不能构成三角形；
当a=3为其底时，b=c，原方程有两个相等的实数根，
∴ ，
此时三角形三边为6，6，3，周长为 ，
综上， 的周长为15.
解析：根据根与系数的关系，把b+c和bc表示出来，然后分两种情况讨论，即当a=3为其腰时，当a=3为其底时， 结合等腰三角形的性质分别求出三边长，再根据三角形三边的关系判断三角形是否存在，最后求周长即可.
21．答案：解：存在.
对于关于x的方程x2+2（m-2）x+m2+4=0，
∵ ， ， ，
∴ =[2（m-2）]2-4（m2+4）≥0，
∴m≤0，
根据根与系数的关系得x1+x2=-2（m-2），x1x2=m2+4，
∵x12+x22-x1x2=21，
∴（x1+x2）2-2x1x2-x1x2=21，即（x1+x2）2-3x1x2=21，
∴[-2（m-2）]2-3（m2+4）=21，
整理得m2-16m-17=0，解得m1=17，m2=-1，
而m≤0，
∴m=-1.
解析：由题意可得△≥0，代入化简可得m≤0，根据根与系数的关系可得x1+x2=-2(m-2)，x1x2=m2+4，然后代入x12+x22-x1x2=21中求出m的值，结合m的范围进行取舍即可.
22．答案：解： 是一元二次方程 的一个根，
，
解得 ，
则原方程为 ，
解得
则方程的另一个根为 ．
解析：先将x=2代入方程求出k的值，再根据根与系数的关系求解方程的另一个根即可。
23．答案：解：∵3是方程的一个根，
∴ ，
∴ ．
设方程的另一个根为 ，
∵ ，
∴ ．
∴m的值为 ；方程的另一个根为 ．
解析：根据题意求出 ，再根据 ， 计算求解即可。