高二数学期末考试卷
参考答案
１．Ｃ 犃＝｛狓｜３－狓≥狓＋１｝＝（－∞，１］，犅＝｛狓｜狔＝ｌｎ狓｝＝（０，＋∞），则犃∩犅＝（０，１］．
２ ２
狓 狔
２．Ｄ 由题可知双曲线 － ＝１的渐近线方程为狔＝±槡２狓．３犿 ６犿
３．Ａ 由狕２ ＋（３－ｉ）狕＋２－ｉ＝０，可得（狕＋１）（狕＋２－ｉ）＝０，则虚数狕＝－２＋ｉ，故狕的虚部为１．
１１６＋犿
４．Ａ 由表格数据及回归方程易知狓＝５，狔＝５．７５×５＋０．２５＝ ，解得犿＝２９．
５
５．Ｂ 若犿⊥狀，当狀∥犾时，犿⊥β不一定成立，故不能推出α⊥β．
若α⊥β，且α∩β＝犾，犿⊥犾，则犿⊥β，因为犿?α，所以α⊥β．
故“犿⊥狀”是“α⊥β”的必要不充分条件．
２槡３ ｜６－１２＋１｜
６．Ｃ 由题可知圆心犆（２，－３），半径狉＝ ，点犆到直线犾的距离犱＝ ＝１，则｜犃犅｜
３ 槡３２＋４２
２槡３ ?→ ?→ ?→ ?→ ４
＝２槡狉２－犱２＝ ，所以△犆犃犅为等边三角形，故犆犃·犆犅＝｜犆犃｜·｜犆犅｜ｃｏｓ∠犃犆犅＝ ×
３ ３
１ ２
＝ ．
２ ３
７．Ｃ 先选出２名女生排列，有Ａ２３种排法，再将男生全排，有Ａ３３种排法，最后将女生插空，则不
同的排法种数为Ａ２ ３３Ａ３Ａ
２
４＝４３２．
狆
８．Ａ 易知犕（－ ，０），当直线 与 相切时，设 的方程为 （
狆
犃犕 犆 犃犕 狔＝犽狓＋ ），与 ２狔＝２狆狓
２ ２
２ ２
联立，可得 犽狆犽２狓２＋狆（犽２－２）狓＋ ＝０，则 ＝［（犽２－２）］２－ ２犽４Δ 狆 狆 ＝０，解得犽＝±１，故直线
４
犃犕的斜率的最大值为１．
（）的最小正周期为２π ，故 错误 （ π） π π９．ＢＤ 犳狓 ＝π Ａ ．犳 － ＝３ｃｏｓ［２×（－ ）－ ］＝０，所以
２ １２ １２ ３
犳（狓）的图象关于点（
π， π ２π－ ０）对称，故Ｂ正确．犳（狓－ ）＝３ｃｏｓ（２狓－ ）不是奇函数，故Ｃ错
１２ ６ ３
误 当 ［ π，π］时， π ［ ，２π］，当 π π． 狓∈ － ２狓－ ∈ －π ２狓－ ＝０，即狓＝ 时，犳（狓）取得最大值３，
３ ２ ３ ３ ３ ６
故Ｄ正确．
１０．ＡＢＤ 因为犛１６＋犛１２＝犛１４＋犛１０，所以犛１６－犛１４＋犛１２－犛１０＝犪１６＋犪１５＋犪１２＋犪１１＝２（犪１４＋犪１３）
（
， ， 犪１＋犪２６
）×２６ （犪１３＋犪１４）×２６
＝０即犪１３＋犪１４＝０所以犛２６＝ ＝ ＝０，故Ａ正确．
２ ２
因为犛１３，犛２６－犛１３，犛３９－犛２６成等差数列，所以犛３９－犛２６＝２（犛２６－犛１３）－犛１３＝３，即犛３９＝３，故
Ｂ正确．
【高二数学·参考答案 第 １页（共５页）】
{#{QQABLYYUogggAIBAAAhCAQEqCgMQkBCACSgGBBAIMAAAQBNABAA=}#}
书
当犱＞０时，狀＝１３，犛狀取得最小值，当犱＜０时，狀＝１３，犛狀取得最大值，故Ｃ错误．
因为犱＞０，所以犪１３＜０，犪１４＞０，则犛２５＝２５犪１３＜０，犛２７＝２７犪１４＞０，所以当犱＞０时，满足犛狀＜
０的最大整数狀的值为２５，Ｄ正确．
１１．ＡＣＤ 设犘犙＝２犚，因为犘犙⊥平面犃犅犆，所以三棱锥犘?犃犅犆和犙?犃犅犆均为正三棱锥．
如图，取犃犅的中点犕，底面的中心为犖，连接犘犕，犙犕，犆犕，则
犘犕⊥犃犅，犆犕⊥犃犅，犙犕⊥犃犅，所以∠犘犕犙为二面角犘?犃犅?犙的
平面角，∠犘犕犆为侧面犘犃犅 与底面犃犅犆所成二面角的平面角．
由犃犅＝２槡３，犘犆＝槡５，可得犕犖＝１，犆犖＝２，犘犖＝１，犗犘＝犚，犗犖
，所以 ２ ２ （ ）２，解得 ５＝｜犚－１｜ 犚 ＝２＋ 犚－１ 犚＝ ，所以球犗的体积
２
为４π （５）３ １２５π× ＝ ，故Ａ正确．犘犕＝槡２，犙犕＝槡１２＋４２＝槡１７，
３ ２ ６
（
，所以 槡２
）２＋（槡１７）２－５２ ３ ５
犙犘＝５ ｃｏｓ∠犘犕犙＝ ＝－ ，ｓｉｎ∠犘犕犙＝ ，所以ｔａｎ∠犘犕犙
２×槡２×槡１７ 槡３４ 槡３４
５ ５
＝－ ，即二面角犘?犃犅?犙的正切值为－ ，故Ｂ错误．因为犘犖＝犖犕，所以平面犘犃犅与
３ ３
平面犃犅犆所成的角为
π，故Ｃ正确．最小截面为过点犕且垂直于球心犗与犕 连线的圆，此
４
时截面圆的半径 ２ ２ ２５ １３狉＝槡犚－犗犕 ＝ ２槡－ ＝槡３，截面圆的面积为π狉＝３π，故Ｄ正确．４ ４
１２．槡５ 由题可知犪＋犫＝３，犪犫＝１，所以｜犪－犫｜＝槡（犪＋犫）２－４犪犫＝槡５．
１３．９９ 由题可知，犵（狓＋５０）＋犵（－狓＋５０）＝犳（狓＋５０）＋犳（－狓＋５０）＋ｓｉｎ（π狓＋５０π）＋
９９
ｓｉｎ（－π狓＋５０π）＝２，所以∑犵（犻）＝２×４９＋１＝９９．
犻＝１
１４．－１ 因为狔＝ｅ
狓－犪与狔＝ｌｎ狓＋犪互为反函数，其图象关于直线狔＝狓对称，
所以曲线 ＝ｅ狓－犪狔 上的点到直线狔＝狓的最小距离为槡２．
设与直线 ＝狓平行且与曲线 ＝ｅ狓－犪狔 狔 相切的切线的切点犘（狓０，狔０）．
′＝ｅ狓－犪狔 ，ｅ狓０－犪＝１，解得狓＝犪，所以 ＝ｅ－犪＋犪０ 狔０ ＝１．
得到切点犘（犪，１），点犘到直线狔＝狓的距离
｜犪－１｜
犱＝ ＝槡２，解得犪＝－１或３．
槡２
当犪＝３时，＝ｅ狓－３狔 与狔＝狓相交，不符合题意．
当犪＝－１时，＝ｅ狓＋１狔 与狔＝狓不相交，符合题意．
１５．解：（１）由犪ｃｏｓ犅＋犫ｃｏｓ犃＝犪犮２及正弦定理，得ｓｉｎ犃ｃｏｓ犅＋ｓｉｎ犅ｃｏｓ犃＝犪犮ｓｉｎ犆，………
………………………………………………………………………………………………２分
则ｓｉｎ犆＝犪犮ｓｉｎ犆，解得犪犮＝１．……………………………………………………………３分
因为犃，犅，犆成等差数列，所以犃＋犆＝２犅，………………………………………………４分
则 ππ－犅＝２犅，所以犅＝ ．…………………………………………………………………５分
３
【高二数学·参考答案 第 ２页（共５页）】
{#{QQABLYYUogggAIBAAAhCAQEqCgMQkBCACSgGBBAIMAAAQBNABAA=}#}
故 的面积 １ 槡３△犃犅犆 犛＝ 犪犮ｓｉｎ犅＝ ．……………………………………………………６分
２ ４
（２）因为犪，犫，犮成等比数列，所以犪犮＝犫２，即犫２＝１．………………………………………８分
２
由余弦定理可知 犪＋犮
２－犫２ 犪２＋犮２－１ ２犪犮－１ １
ｃｏｓ犅＝ ＝ ≥ ＝ ，当且仅当犪＝犮时，等号
２犪犮 ２ ２ ２
成立， ………………………………………………………………………………………１０分
所以 的最大值为π犅 ，此时犪＝犮＝１，……………………………………………………１２分
３
故△犃犅犆的周长为３．……………………………………………………………………１３分
１６．（１）证明：连接犅犇，犗犅，犅犇与犗犆相交于点犈，因为犃犇∥犅犆，犃犇
＝２犅犆＝４，所以犗犅犆犇为平行四边形，即犈为犅犇的中点． ……
………………………………………………………………２分
连接犕犈，因为犕为犘犇的中点，所以犘犅∥犕犈．……………４分
因为犘犅?平面犗犕犆，犕犈?平面犗犕犆，所以犘犅∥平面犗犕犆．…
………………………………………………………………６分
（２）解：因为犘犃＝犘犇，所以犘犗⊥犃犇．因为平面犘犃犇⊥平面
犃犅犆犇，平面犘犃犇∩平面犃犅犆犇＝犃犇，犘犗?平面犘犃犇，所以犘犗⊥平面犃犅犆犇．
取犅犆的中点犎，连接犗犎．因为犃犅犆犇是等腰梯形，所以犗犎⊥犃犇．
以犗为坐标原点，犗犎，犗犇，犗犘所在直线分别为狓轴，狔轴，狕轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，………………………………………………………………………………………８分
则犃（０，－２，０），犅（槡３，－１，０），犆（槡３，１，０），犘（０，０，２槡３），
所以?→犃犅＝（槡３，１，０），
?→ ?→
犃犘＝（０，２，２槡３），犘犆＝（槡３，１，－２槡３）．……………………………９分
?→
烄犿·犃犅＝槡３狓＋狔＝０，
设平面犘犃犅的法向量为犿＝（狓，狔，狕），则烅
烆 ·?→犿 犃犘＝２狔＋２槡３狕＝０，
令狓＝１，则狔＝－槡３，狕＝１，可得犿＝（１，－槡３，１）． ……………………………………１２分
·?→
〈，?→〉 犿 犘犆 槡１５｜ｃｏｓ犿犘犆｜＝｜ ?→ ｜＝ ，所以直线 与平面
槡１５
犘犆 犘犃犅所成角的正弦值为 ．
｜犿｜｜犘犆｜ １０ １０
…………………………………………………………………………………………１５分
１７．（１）解：因为
槡３
犲＝ ，所以
犫 １
＝ ． …………………………………………………………２分
２ 犪 ２
又 （ ４ １犘２，１）在犆上，所以 ２＋ ２＝１，………………………………………………………３分犪 犫
２ ２
解得犪＝２槡２，犫＝槡２，则椭圆 的方程为
狓 狔
犆 ＋ ＝１．……………………………………５分
８ ２
（２）证明：由题可知，直线犾的斜率显然存在，设犾的方程为狔＝犽狓＋狋，犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２），
烄狔＝犽狓＋狋，
则 ２ ２ ２烅狓２ ２ （狔 解得１＋４犽
）狓＋８犽狋狓＋４狋－８＝０，
＋ ＝１，
烆８ ２
【高二数学·参考答案 第 ３页（共５页）】
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则 －８犽狋 ４狋
２－８
狓＋狓＝ ，狓狓＝ ， （ ）２ （ ２１ ２ １ ２ ）（ ２ ） （ ２ ２）
１＋４犽２ １＋４犽２
Δ＝８犽狋 －４１＋４犽 ４狋－８＝１６８犽＋２－狋 ＞０．
……………………………………………………………………………………………８分
狔１－１ 狔２－１又 ＋ ＝０，整理可得２犽狓１狓２＋（狋－１－２犽）（狓１＋狓２）－４狋＋４＝０， …………１１分
狓１－２ 狓２－２
化简得 １ １－狋４犽２－４犽＋１＋２犽狋－狋＝０，即（２犽－１）（２犽－１＋狋）＝０，所以犽＝ 或犽＝ ．………
２ ２
…………………………………………………………………………………………１３分
当 １－狋犽＝ 时，直线犾过点犘，不符合题意，所以
１
犽＝ ，即直线犾的斜率为定值．……１５分
２ ２
１８．解：（１）设犃事件为甲通过了初赛，犅事件为甲第三轮答题没有合格，
则 （） ２（１）２（ １ １ １犘犃 ＝Ｃ３ １－ ）＋（ ）３＝ ，…………………………………………………２分
２ ２ ２ ２
犘（
１ １ １ １
犃犅）＝ × ×（１－ ）＝ ，…………………………………………………………４分
２ ２ ２ ８
１
（ ）
所以甲在通过初赛的条件下，第三轮答题没有合格的概率为 （ ） 犘犃犅 ８ １犘犅｜犃 ＝
犘（犃）
＝ ＝ ．
１ ４
２
……………………………………………………………………………………………７分
１
（） Ｃ若乙在 ，， 中只抽到了一题，则获得一等奖的概率 ３ ２ １ １ １２ 犅犆犇 犘１＝ × × × ＝ ；３ …Ｃ５ ３ ２ ３ ３０
…………………………………………………………………………………………１０分
Ｃ２
若乙在犅，犆，犇中抽到了两题，则获得一等奖的概率
３ １ １ １ １
犘２＝ ３× × × ＝ ；……１３分Ｃ５ ２ ２ ３ ４０
３
若乙在犅，犆，
Ｃ
犇中抽到了三题，则获得一等奖的概率
３ １ １ １ １
犘３＝ ３× × × ＝ ．……１６分Ｃ５ ２ ２ ２ ８０
故乙获得一等奖的概率 １７犘＝犘１＋犘２＋犘３＝ ． ………………………………………１７分
２４０
１９．（１）解：因为犳（狓）＝ｌｎ狓＋犪在［１，＋∞）上单调递增，所以犳（狓）≥犳（１）＝犪＞０．………１分
由 （狓）犪狓２犳 ≤ ，可得犪（狓２－１）－ｌｎ狓≥０．
２
令犉（狓） （
１ ２犪狓－１
＝犪狓２－１）－ｌｎ狓，狓∈［１，＋∞），则犉′（狓）＝２犪狓－ ＝ ．……………２分
狓 狓
当 １０＜犪＜ 时，由
１
犉′（狓）＝０，得狓＝ ＞１，
２ 槡２犪
所以当 １狓∈［１，槡 ）时，犉′（狓）＜０，函数犉（狓）单调递减，犉（狓）≤犉（１）＝０，不符合题意；…２犪
……………………………………………………………………………………………４分
当 １犪≥ 时，２犪≥１，因为狓≥１，所以２犪狓２－１≥０，则犉′（狓）≥０，所以函数犉（狓）在［１，＋∞）上
２
单调递增，犉（狓）≥犉（１）＝０，符合题意．
【高二数学·参考答案 第 ４页（共５页）】
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综上，犪的取值范围为［
１，＋∞）．…………………………………………………………６分
２
（）证明： 由题可知 （） １ 狓２ ① 犵′狓 ＝１－ ＝ ＞０在（０，＋∞）上恒成立，
狓＋１ 狓＋１
所以犵（狓）在（０，＋∞）上单调递增，则犵（狓）＞犵（０）＝０．…………………………………８分
２ ２ ２
令犺（
狓 狓 １ 狓
狓）＝ －犵（狓）＝ －狓＋ｌｎ（狓＋１），狓∈（０，＋∞），则犺′（狓）＝狓＋ －１＝ ＞０，
２ ２ 狓＋１ 狓＋１
所以犺（狓）在（０，＋∞）上单调递增，则犺（狓）＞犺（０）＝０，即犵（）
１
狓 狓２＜ ，所以 （狓）
１
狓２犵 ≤ ．
２ ２
故 １犵（狓）＝狓－ｌｎ（狓＋１）在（０，＋∞）上被 控制． ………………………………………１１分
２
狓２
②由①可知，当狓∈（０，＋∞）时，ｌｎ（狓＋１）－狓＋ ≥０，当且仅当狓＝０时，等号成立，
２
则 １ １ １ １犺（ ）＝ｌｎ（ ＋１）－ ＋ ＞０，……………………………………………………１３分
狓 狓 狓 ２狓２
即 １ １ ２狓－１ｌｎ（狓＋１）－ｌｎ狓＞ － ，２ 即２ｌｎ（狓＋１）－２ｌｎ狓＞ ，２ …………………………１５分狓 ２狓 狓
则有（ ３ ２狀－１２ｌｎ２－２ｌｎ１）＋（２ｌｎ３－２ｌｎ２）＋…＋［２ｌｎ（狀＋１）－２ｌｎ狀］＞１＋ ＋…＋ ，
４ 狀２
即 ３ … ２狀－１１＋ ＋ ＋ （２ ＜２ｌｎ狀＋１）．………………………………………………………１７分４ 狀
【高二数学·参考答案 第 ５页（共５页）】
{#{QQABLYYUogggAIBAAAhCAQEqCgMQkBCACSgGBBAIMAAAQBNABAA=}#}昆明市两校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
注意事项:
1.考生务必将自己的姓名.考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应答题时,将答案写在黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则
A. B.
C. D.
2.双曲线的渐近线方程为
A. B.
C. D.
3.虚数满足,则的虚部为
A.1 B.-1 C.2 D.-2
4.已知两个变量与的对应关系如下表:
1 3 5 7 9
6 18 39 53
若与满足一元线性回归模型,且经验回归方程为,则
A.29 B.30 C.31 D.32
5.已知是两个平面,是三条直线,且,则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知直线与圆交于两点,则
A. B. C. D.
7.3名男生和3名女生随机站成一排,恰有2名女生相邻,则不同的排法种数为
A. B.360 C.432 D.488
8.已知是抛物线的准线,与轴交于点是上一点,直线的斜率的最大值为
A.1 B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数,则下列结论正确的是
A.是的一个周期
B.的图象关于点对称
C.为奇函数
D:在区间上的最大值为3
10.已知等差数列的公差为,前项和为,若,则下列结论正确的是
A.
B.若,则
C.当时,取得最小值
D.当时,满足的最大整数的值为25
11.已知球的直径为为球面上的三点,平面.若是边长为的等边三角形,且,则下列说法正确的是
A.球的体积为
B.二面角的正切值为
C.平面与平面的夹角为
D.过中点的平面截球所得截面面积的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.若的等差中项为的等比中项为1,则__________.
13.已知函数满足,若,则__________.
14.设点在曲线上,点在曲线上,若的最小值为,则____________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在中,内角的对边分别为,且.
（1）若成等差数列,求的面积;
（2）若成等比数列,求当取得最大值时,的周长.
16.（15分）
如图,在四棱锥中,底面是等腰梯形,,侧面平面分别为的中点.
（1）证明:平面.
（2）若求直线与平面所成角的正弦值.
17.（15分）
已知椭圆的离心率为,且经过点.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）不经过点的直线与椭圆交于两点,若直线和的斜率互为相反数,证明:直线的斜率为定值.
18.（17分）
学校组织一项竞赛，在初赛中有三轮答题，三轮答题相互独立，三轮答题至少两轮合格即视为通过初赛，进入决赛.已知甲在初赛中每轮答题合格的概率均为.
（1）求甲在通过初赛条件下，第三轮答题没有合格的概率.
（2）已知决赛共有五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下：
分值 10 20 20 20 30
答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获得一等奖.已知参加决赛的学生乙答对题的概率为，答对题的概率均为，答对题的概率为，求乙获得一等奖的概率.
19.（17分）
若存在正实数,对任意,使得,则称函数在上被控制.
（1）已知函数在上被控制,求的取值范围.
（2）①证明:函数在上被控制.
②设,证明:.
